Aufgaben:Aufgabe 4.3: Unterschiedliche Frequenzen - Versionsgeschichte

Guenter am 14. Juli 2022 um 11:31 Uhr

2022-07-14T11:31:34Z

Guenter am 14. Juli 2022 um 11:24 Uhr

2022-07-14T11:24:27Z

Guenter am 11. März 2019 um 08:51 Uhr

2019-03-11T08:51:34Z

Guenter am 11. März 2019 um 08:48 Uhr

2019-03-11T08:48:47Z

Guenter am 11. März 2019 um 08:36 Uhr

2019-03-11T08:36:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:32:45Z

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Guenter am 9. November 2017 um 11:42 Uhr

2017-11-09T11:42:22Z

Guenter am 9. November 2017 um 11:33 Uhr

2017-11-09T11:33:57Z

Guenter am 9. November 2017 um 11:32 Uhr

2017-11-09T11:32:24Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorchlag 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorchlag 2</u>:
-* Dieser berücksichtigt die unterschiedlichen Frequenzen und die Begrenzung auf den Bereich $0 &#8804; t < T$.
+* Dieser berücksichtigt die unterschiedlichen Frequenzen und die Begrenzung auf den Bereich&nbsp; $0 &#8804; t < T$.
 *Die Signale $s_i(t)$ gemäß Vorschlag 3 unterscheiden sich dagegen nicht bezüglich der Frequenz, sondern weisen unterschiedliche Phasenlagen auf.
-'''(2)'''&nbsp; Die energiebegrenzten Signale $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$ sind alle zueinander orthogonal, das heißt, dass das innere Produkt zweier Signale $s_i(t)$ und $s_k(t)$ mit $i &ne; k$ stets $0$ ist :
+'''(2)'''&nbsp; Die energiebegrenzten Signale &nbsp; $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$ &nbsp; sind alle zueinander orthogonal,&nbsp; das heißt,&nbsp; <br>dass das innere Produkt zweier Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_k(t)$&nbsp; mit&nbsp; $i &ne; k$&nbsp; stets null ist :
 :$$< \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A^2 \cdot \int_{0}^{T}\cos(2\pi \cdot i \cdot t/T) \cdot \cos(2\pi \cdot k \cdot t/T)\,{\rm d} t $$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} < \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm}  {A^2}/{2} \cdot \int_{0}^{T}\cos(2\pi (i-k) t/T) \,{\rm d} t +
   \frac{A^2}{2} \cdot \int_{0}^{T}\cos(2\pi (i+k) t/T) \,{\rm d} t
    \hspace{0.05cm}.$$
+*Mit&nbsp; $i &#8712; \{0, \ \text{...} \ , 4\}$&nbsp; und&nbsp; $k &#8712; \{0, \ \text{...}\ , 4\}$&nbsp; sowie&nbsp; $i &ne; j$&nbsp; ist sowohl&nbsp; $i \, - k$&nbsp; ganzzahlig ungleich null,&nbsp; ebenso die Summe&nbsp; $i + k$.
-*Mit $i &#8712; \{0, \ \text{...} \ , 4\}$ und $k &#8712; \{0, \ \text{...}\ , 4\}$ sowie $i &ne; j$ ist sowohl $i \, &ndash; k$ ganzzahlig ungleich $0$, ebenso die Summe $i + k$.
-*Dadurch liefern beide Integrale das Ergebnis Null:
+*Dadurch liefern beide Integrale das Ergebnis&nbsp; "Null":
 :$$< \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm}= 0
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {N = M = 5}
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-'''(3)'''&nbsp; Die Energie des innerhalb $T$ konstanten Signals $s_0(t)$ ist gleich
+'''(3)'''&nbsp; Die Energie des innerhalb&nbsp; $T$&nbsp; konstanten Signals&nbsp; $s_0(t)$ ist&nbsp; gleich
 :$$E_0 = ||s_0(t)||^2 = A^2 \cdot T
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} ||s_0(t)|| = A \cdot \sqrt{T}  \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 83: / Zeile 84: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+&rArr; &nbsp; Richtig ist demzufolge der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>letzte Lösungsvorschlag</u> wegen
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>letzte Lösungsvorschlag</u>&nbsp; wegen
 :$$E_1 = ||s_1(t)||^2 = \frac{A^2 \cdot T}{2}
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} ||s_1(t)|| = A \cdot \sqrt{{T}/{2}} \hspace{0.3cm}

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 [[Datei:P_ID1999__Dig_A_4_3.png|right|frame|Vorgegebene Signalmenge &nbsp;$\{s_i(t)\}$]]
-In der Grafik sind&nbsp; $M = 5$&nbsp; verschiedene Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; dargestellt. Entgegen der Nomenklatur im Theorieteil sind für die Laufvariable&nbsp; $i$&nbsp; die Werte&nbsp; $0, \ \text{...} \ , M-1$&nbsp; möglich.
+In der Grafik sind&nbsp; $M = 5$&nbsp; verschiedene Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Entgegen der Nomenklatur im Theorieteil sind für die Laufvariable&nbsp; $i$&nbsp; hier die Werte&nbsp; $0, \ \text{...} \ , M-1$&nbsp; möglich.
 Anzumerken ist:
-* Alle Signale sind zeitbegrenzt auf&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T$; damit ist auch die Energie aller Signale endlich.
+* Alle Signale sind zeitbegrenzt auf&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T$;&nbsp; damit sind auch die Energien aller Signale endlich.
 * Das Signal&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; hat die Periodendauer&nbsp; $T_0 = T$. Die Frequenz ist damit gleich&nbsp; $f_0 = 1/T$.
-* Die Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; mit &nbsp;$i &ne; 0$&nbsp; sind Cosinusschwingungen mit der Frequenz&nbsp; $i \cdot f_0$.
+* Das Signal&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; hat die Periodendauer&nbsp; $T_0 = T$.&nbsp; Die Frequenz ist damit gleich&nbsp; $f_0 = 1/T$.
 *Dagegen ist&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; konstant.
 * Der Maximalwert aller Signale ist&nbsp; $A$&nbsp; und es gilt&nbsp; $|s_i(t)| &#8804; A$.
-Gesucht sind in dieser Aufgabe die&nbsp; $N$&nbsp; Basisfunktionen, die hier entgegen der bisherigen Beschreibung im Theorieteil mit &nbsp;$j = 0, \ \text{...} \ , N-1$&nbsp; durchnummeriert werden.
+Gesucht sind in dieser Aufgabe die&nbsp; $N$&nbsp; Basisfunktionen,&nbsp; die hier entgegen der bisherigen Beschreibung im Theorieteil mit &nbsp;$j = 0, \ \text{...} \ , N-1$&nbsp; durchnummeriert werden.
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-''Hinweis:''
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Beschreiben Sie die Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$&nbsp; mit&nbsp;  $0 &#8804; i &#8804; 4$&nbsp; möglichst kompakt. <br>Welche Beschreibungsform ist richtig?
+{Beschreiben Sie die Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$&nbsp; mit&nbsp;  $0 &#8804; i &#8804; 4$ &nbsp; möglichst kompakt.&nbsp; Welche Beschreibungsform ist richtig?
 |type="[]"}
 - $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$.
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 $N \ = \ $ { 5 3% }
-{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_0(t)$, die formgleich mit&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; ist?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_0(t)$,&nbsp; die formgleich mit&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; ist?
 |type="[]"}
 - $\varphi_0(t) = s_0(t)$,
@@ Zeile 43: / Zeile 46: @@
 - $\varphi_0(t) = \sqrt{2/T}$ für $0 &#8804; t < T$, &nbsp;außerhalb &nbsp;$0$.
-{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$, die formgleich mit&nbsp;  $s_1(t)$&nbsp; ist?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$,&nbsp; die formgleich mit&nbsp;  $s_1(t)$&nbsp; ist?
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = s_1(t)$,

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 * Dieser berücksichtigt die unterschiedlichen Frequenzen und die Begrenzung auf den Bereich $0 &#8804; t < T$.
 *Die Signale $s_i(t)$ gemäß Vorschlag 3 unterscheiden sich dagegen nicht bezüglich der Frequenz, sondern weisen unterschiedliche Phasenlagen auf.
@@ Zeile 63: / Zeile 64: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $i &#8712; \{0, \ \text{...} \ , 4\}$ und $k &#8712; \{0, \ \text{...}\ , 4\}$ sowie $i &ne; j$ ist sowohl $i \, &ndash; k$ ganzzahlig ungleich $0$, ebenso die Summe $i + k$. Dadurch liefern beide Integrale das Ergebnis $0$:
+*Mit $i &#8712; \{0, \ \text{...} \ , 4\}$ und $k &#8712; \{0, \ \text{...}\ , 4\}$ sowie $i &ne; j$ ist sowohl $i \, &ndash; k$ ganzzahlig ungleich $0$, ebenso die Summe $i + k$.
 :$$< \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm}= 0
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {N = M = 5}
    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Energie des innerhalb $T$ konstanten Signals $s_0(t)$ ist gleich

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 |type="[]"}
 - $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$.
-+ $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$ für $0 &#8804; t < T$, sonst $0$.
++ $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$&nbsp; für &nbsp;$0 &#8804; t < T$, &nbsp;sonst $0$.
-- $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi t/T \, &ndash; \, i \cdot \pi/2)}$ für $0 &#8804; t < T$, sonst $0$.
+- $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi t/T \, &ndash; \, i \cdot \pi/2)}$&nbsp; für &nbsp;$0 &#8804; t < T$, &nbsp;sonst $0$.
 {Geben Sie die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der erforderlichen Basisfunktionen an.
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 $N \ = \ $ { 5 3% }
-{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_0(t)$, die formgleich&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; ist?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_0(t)$, die formgleich mit&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; ist?
 |type="[]"}
 - $\varphi_0(t) = s_0(t)$,
-+ $\varphi_0(t) = \sqrt{1/T}$ für $0 &#8804; t < T$, außerhalb $0$.
++ $\varphi_0(t) = \sqrt{1/T}$ für $0 &#8804; t < T$, &nbsp;außerhalb &nbsp;$0$.
-- $\varphi_0(t) = \sqrt{2/T}$ für $0 &#8804; t < T$, außerhalb $0$.
+- $\varphi_0(t) = \sqrt{2/T}$ für $0 &#8804; t < T$, &nbsp;außerhalb &nbsp;$0$.
-{Wie lautet die Basisfunktion $\varphi_1(t)$, die formgleich $s_1(t)$ ist?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$, die formgleich mit&nbsp;  $s_1(t)$&nbsp; ist?
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = s_1(t)$,
-- $\varphi_1(t) = \sqrt{1/T} \cdot \cos {(2\pi t/T)}$ für $0 &#8804; t < T$, außerhalb $0$.
+- $\varphi_1(t) = \sqrt{1/T} \cdot \cos {(2\pi t/T)}$ für $0 &#8804; t < T$, &nbsp;außerhalb $0$.
-+ $\varphi_1(t) =\sqrt{2/T} \cdot \cos {(2\pi t/T)}$ für $0 &#8804; t < T$, außerhalb $0$.
++ $\varphi_1(t) =\sqrt{2/T} \cdot \cos {(2\pi t/T)}$ für $0 &#8804; t < T$, &nbsp;außerhalb $0$.
 </quiz>

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}}
-[[Datei:P_ID1999__Dig_A_4_3.png|right|frame|Vorgegebene Signalmenge $\{s_i(t)\}$]]
+[[Datei:P_ID1999__Dig_A_4_3.png|right|frame|Vorgegebene Signalmenge &nbsp;$\{s_i(t)\}$]]
-In der Grafik sind $M = 5$ verschiedene Signale $s_i(t)$ dargestellt. Entgegen der Nomenklatur im Theorieteil sind für die Laufvariable $i$ die Werte $0, \ \text{...} \ , M&ndash;1$ möglich. Anzumerken ist:
+In der Grafik sind&nbsp; $M = 5$&nbsp; verschiedene Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; dargestellt. Entgegen der Nomenklatur im Theorieteil sind für die Laufvariable&nbsp; $i$&nbsp; die Werte&nbsp; $0, \ \text{...} \ , M-1$&nbsp; möglich.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
@@ Zeile 21: / Zeile 27: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Beschreiben Sie die Signalmenge $\{s_i(t)\}$ mit  $0 &#8804; i &#8804; 4$ möglichst kompakt. <br>Welche Beschreibungsform ist richtig?
+{Beschreiben Sie die Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$&nbsp; mit&nbsp;  $0 &#8804; i &#8804; 4$&nbsp; möglichst kompakt. <br>Welche Beschreibungsform ist richtig?
 |type="[]"}
 - $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$.
@@ Zeile 27: / Zeile 33: @@
 - $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi t/T \, &ndash; \, i \cdot \pi/2)}$ für $0 &#8804; t < T$, sonst $0$.
-{Geben Sie die Anzahl $N$ der erforderlichen Basisfunktionen an.
+{Geben Sie die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der erforderlichen Basisfunktionen an.
 |type="{}"}
 $N \ = \ $ { 5 3% }
-{Wie lautet die Basisfunktion $\varphi_0(t)$, die formgleich $s_0(t)$ ist?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_0(t)$, die formgleich&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; ist?
 |type="[]"}
 - $\varphi_0(t) = s_0(t)$,