Aufgaben:Aufgabe 4.3: Natürliche und diskrete Abtastung - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.1 Pulscodemodulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.1 Pulscodemodulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.3:_Natural_and_Discrete_Sampling]]

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2026-02-24T13:39:51Z

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	:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
	Diracimpulse  – unendlich schmal und unendlich hoch –  und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.  Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden,  wobei folgender Zusammenhang gilt:		Diracimpulse  – unendlich schmal und unendlich hoch –  und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.  Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden,  wobei folgender Zusammenhang gilt:
	:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}		:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei  (deutlich)  kleiner sein als der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Abtastwerte.		Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei  (deutlich)  kleiner sein als der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Abtastwerte.

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Spektrum des Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  mit Amplitude  $1$  und Dauer  $T_{\rm R}$  lautet:		'''(1)'''  Das Spektrum des Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  mit Amplitude  $1$  und Dauer  $T_{\rm R}$  lautet:
	:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}		:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

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	'''(2)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:		*Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:
	:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}		:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
	*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung  (mit einem Diracpuls)  und der letzte bei diskreter Abtastung.		*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung  (mit einem Diracpuls)  und der letzte bei diskreter Abtastung.

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	'''(4)'''  Richtig ist  der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.		'''(4)'''  Richtig ist  der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
	*Verlagert man den Faktor  $1/T_{\rm A}$  zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:		*Verlagert man den Faktor  $1/T_{\rm A}$  zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
	:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}		:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$


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	*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor,&nbsp so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.		*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor,&nbsp so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.
	*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:		*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:
	:$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=		:$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=Q( f_{\rm A}/2) \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$
	Q( f_{\rm A}/2) \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 8. April 2022 um 15:12 Uhr

2022-04-08T15:12:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. April 2022, 17:12 Uhr
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	'''(2)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:		*Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:
	:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}		:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}
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	'''(3)'''  Die Antwort ist <u>JA</u>:		'''(3)'''  Die Antwort ist  <u>JA</u>:
	* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses		* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
	:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
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	'''(4)'''  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.		'''(4)'''  Richtig ist  der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
	*Verlagert man den Faktor  $1/T_{\rm A}$  zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:		*Verlagert man den Faktor  $1/T_{\rm A}$  zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
	:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}		:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
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	'''(5)'''  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:		'''(5)'''  Die Antwort ist  <u>NEIN</u>:
	* Die Gewichtungsfunktion  $G_{\rm R}(f)$  betrifft nun auch den inneren Kern  $(μ = 0)$  des Faltungsproduktes.		* Die Gewichtungsfunktion  $G_{\rm R}(f)$  betrifft nun auch den inneren Kern  $(μ = 0)$  des Faltungsproduktes.
	*Alle anderen Terme  $(μ ≠ 0)$  werden durch den Tiefpass eliminiert.  Man erhält hier im relevanten Bereich  $\|f\| < f_{\rm A}/2$:		*Alle anderen Terme  $(μ ≠ 0)$  werden durch den Tiefpass eliminiert.  Man erhält hier im relevanten Bereich  $\|f\| < f_{\rm A}/2$:
	:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$		:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
	*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.		*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor,&nbsp so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.
	*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:		*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:
	:$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=		:$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
	Q( f_{\rm A}/2) \cdot ~~{\rm sinc}(~~\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$		Q( f_{\rm A}/2) \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 8. April 2022 um 15:07 Uhr

2022-04-08T15:07:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. April 2022, 17:07 Uhr
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	Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals  $q(t)$  mit einem  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich\|Diracpuls]]  $p_δ(t)$  beschreiben:		Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals  $q(t)$  mit einem  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich\|Diracpuls]]  $p_δ(t)$  beschreiben:
	:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
	Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.  Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:		Diracimpulse  – unendlich schmal und unendlich hoch –  und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.  Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden,  wobei folgender Zusammenhang gilt:
	:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}		:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}
	g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.		Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei  (deutlich)  kleiner sein als der Abstand  $T_{\rm A}$  zweier Abtastwerte.

	In der Grafik ist dieses Verhältnis mit  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$  sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der  &bdquo;natürlichen Abtastung”  und der  &bdquo;diskreten Abtastung”  besonders deutlich werden zu lassen:		In der Grafik ist dieses Verhältnis mit  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$  sehr groß gewählt,  um den Unterschied zwischen der  &bdquo;natürlichen Abtastung”  und der  &bdquo;diskreten Abtastung”  besonders deutlich werden zu lassen:
	* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:		* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:
	:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
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	In der Grafik sind diese Signale in blau  (natürliche Abtastung)  bzw. grün  (diskrete Abtastung)  skizziert.		In der Grafik sind diese Signale in blau  (natürliche Abtastung)  bzw. grün  (diskrete Abtastung)  skizziert.

	Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass  $H(f)$  mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$  und der Verstärkung  $T_{\rm A}/T_{\rm R}$  im Durchlassbereich eingesetzt:		Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass  $H(f)$  mit der Grenzfrequenz   $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$   und der Verstärkung   $T_{\rm A}/T_{\rm R}$   im Durchlassbereich eingesetzt:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Zeile 27:		Zeile 27:


			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|"Pulscodemodulation"]].
			*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|"Natürliche und diskrete Abtastung"]].
	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].
	*Das abgetastete Quellensignal wird mit  $q_{\rm A}(t)$  bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit  $Q_{\rm A}(f)$.		*Das abgetastete Quellensignal wird mit  $q_{\rm A}(t)$  bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit  $Q_{\rm A}(f)$.
	* Die Abtastung erfolgt stets bei  $ν · T_{\rm A}$.		* Die Abtastung erfolgt stets bei  $ν · T_{\rm A}$.
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	*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.		*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.
	*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:		*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:
	:$$V(f = ~~\frac{~~f_{\rm A}}{2}) = Q( ~~\frac{~~f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(~~\pi \cdot~~ \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=		:$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
	Q( ~~\frac{~~f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(~~\pi \cdot~~ \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( ~~\frac{~~f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$		Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}(\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 1. April 2020 um 09:13 Uhr

2020-04-01T09:13:58Z

Guenter am 1. April 2020 um 09:02 Uhr

2020-04-01T09:02:43Z

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:37 Uhr

2019-01-08T17:37:32Z

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:30 Uhr

2019-01-08T17:30:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2019, 19:30 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}		:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}
	g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Die Dauer  $~~T_R~~$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der ''natürlichen Abtastung'' und der ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:		Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der ''natürlichen Abtastung'' und der ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:
	* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:		* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:
	:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:30 Uhr

2019-01-08T17:30:05Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1615__Mod_A_4_3.png\|right\|frame\|PCM-Signale bei natürlicher und diskreter Abtastung]]		[[Datei:P_ID1615__Mod_A_4_3.png\|right\|frame\|PCM-Signale bei <br>natürlicher und diskreter Abtastung]]
	Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals $q(t)$ mit einem [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich\|Diracpuls]] $p_δ(t)$ beschreiben:		Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals  $q(t)$  mit einem [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich\|Diracpuls]]  $p_δ(t)$  beschreiben:
	:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
	Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls $p_δ(t)$ lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:		Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:
	:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}		:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}
	g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Die Dauer $T_R$ eines Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der ~~sog.~~ ''natürlichen Abtastung'' und der ~~sog.~~ ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:		Die Dauer  $T_R$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der ''natürlichen Abtastung'' und der ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:
	* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal $~~q_A~~(t)$ gleich dem Produkt aus Rechteckpuls $~~p_R~~(t)$ und analogem Quellensignal $q(t)$:		* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:
	:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
	* Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung:		* Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung:
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	In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.		In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.

	Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm T}$ im Durchlassbereich eingesetzt:		Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich eingesetzt:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die ~~Seiten~~ [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].
	*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.		*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.

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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Es gelte $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$. Geben Sie hierfür das normierte Spektrum $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$ an. Welcher Spektralwert tritt bei $f = 0$ auf?		{Es gelte  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$. Geben Sie hierfür das normierte Spektrum  $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$  an. Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% }		$G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% }

	{Wie lautet das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ bei natürlicher Abtastung? Vorschläge:		{Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei natürlicher Abtastung? Vorschläge:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.		- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
	+ Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})] ∗ Q(f)$.		+ Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$.
	- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.		- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.

	{ Eignet sich bei natürlicher Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?		{ Eignet sich bei natürlicher Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Ja.		+ Ja.
	- Nein.		- Nein.

	{ Wie lautet das Spektrum $~~Q_A~~(f)$ bei diskreter Abtastung? Vorschläge:		{ Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei diskreter Abtastung? Vorschläge:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.		- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
	- Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})] ∗ Q(f)$.		- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$.
	+ Es gilt $Q_{\rm A}(f) = [P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.		+ Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.

	{Eignet sich bei diskreter Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?		{Eignet sich bei diskreter Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Ja.		- Ja.
	+ Nein.		+ Nein.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:56Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:19 Uhr
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	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].
	*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.		*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 1. April 2020, 11:13 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Spektrum des Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ mit Amplitude $1$ und Dauer $T_{\rm R}$ lautet:		'''(1)'''  Das Spektrum des Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  mit Amplitude  $1$  und Dauer  $T_{\rm R}$  lautet:
	:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}		:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) ~~\hspace{0.3cm}~~ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$
			:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$



Zeile 81:		Zeile 83:
	:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}		:$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
	*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.		*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung  (mit einem Diracpuls)  und der letzte bei diskreter Abtastung.




	'''(3)'''  Die Antwort ist <u>JA</u>:		'''(3)'''  Die Antwort ist <u>JA</u>:
	* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses		* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
	:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
	*~~Ist das~~ Abtasttheorem ~~erfüllt~~ und ~~der~~ Tiefpass ~~richtig dimensioniert, so~~ liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.		*Bei erfülltem Abtasttheorem und richtigem Tiefpass liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit  $μ = 0$  im Durchlassbereich.
	*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:		*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors  $T_{\rm A}/T_{\rm R}$  erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:
	:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$



	'''(4)'''  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.		'''(4)'''  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
	*Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:		*Verlagert man den Faktor  $1/T_{\rm A}$  zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
	:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}		:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
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	'''(5)'''  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:		'''(5)'''  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:
	* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes.		* Die Gewichtungsfunktion  $G_{\rm R}(f)$  betrifft nun auch den inneren Kern  $(μ = 0)$  des Faltungsproduktes.
	*Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $\|f\| < f_{\rm A}/2$:		*Alle anderen Terme  $(μ ≠ 0)$  werden durch den Tiefpass eliminiert.  Man erhält hier im relevanten Bereich  $\|f\| < f_{\rm A}/2$:
	:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$		:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
	*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der ~~si–Funktion~~ gedämpft.		*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der  $\rm si$–Funktion gedämpft.
	*Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt:		*Die höchste  Signalfrequenz  $(f = f_{\rm A}/2)$  wird hierbei am stärksten abgesenkt:
	:$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2}) = Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=		:$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2}) = Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
	Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$		Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$

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	[[Datei:P_ID1615__Mod_A_4_3.png\|right\|frame\|~~PCM-Signale bei <br>natürlicher~~ und ~~diskreter~~ Abtastung]]		[[Datei:P_ID1615__Mod_A_4_3.png\|right\|frame\|Zur natürlichen und diskreten Abtastung]]
	Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals  $q(t)$  mit einem [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich\|Diracpuls]]  $p_δ(t)$  beschreiben:		Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals  $q(t)$  mit einem  [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich\|Diracpuls]]  $p_δ(t)$  beschreiben:
	:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
	Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:		Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls  $p_δ(t)$  lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.  Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:
	:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}		:$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}
	g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left\|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right\|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
	Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der ''natürlichen Abtastung'' und der ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:		Die Dauer  $T_{\rm R}$  eines Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.

			In der Grafik ist dieses Verhältnis mit  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$  sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der  &bdquo;natürlichen Abtastung”  und der  &bdquo;diskreten Abtastung”  besonders deutlich werden zu lassen:
	* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:		* Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal  $q_{\rm A}(t)$  gleich dem Produkt aus Rechteckpuls  $p_{\rm R}(t)$  und analogem Quellensignal  $q(t)$:
	:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
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	:$$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$

	In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.		In der Grafik sind diese Signale in blau  (natürliche Abtastung)  bzw. grün  (diskrete Abtastung)  skizziert.

	Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich eingesetzt:		Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass  $H(f)$  mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$  und der Verstärkung  $T_{\rm A}/T_{\rm R}$  im Durchlassbereich eingesetzt:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{10}c} {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$





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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation\|Pulscodemodulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung\|Natürliche und diskrete Abtastung]].
	*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.		*Das abgetastete Quellensignal wird mit  $q_{\rm A}(t)$  bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit  $Q_{\rm A}(f)$.
			* Die Abtastung erfolgt stets bei  $ν · T_{\rm A}$.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Es gelte  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$. Geben Sie hierfür das normierte Spektrum  $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$  an. Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?		{Es gelte  $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$.  Geben Sie hierfür das normierte Spektrum  $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$  an.  Welcher Spektralwert tritt bei  $f = 0$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% }		$G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% }

	{Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei natürlicher Abtastung? Vorschläge:		{Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei natürlicher Abtastung?  Vorschläge:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.		- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
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	- Nein.		- Nein.

	{ Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei diskreter Abtastung? Vorschläge:		{ Wie lautet das Spektrum  $Q_{\rm A}(f)$  bei diskreter Abtastung?  Vorschläge:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.		- Es gilt  $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2019, 19:37 Uhr
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	:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}		:$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
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	\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
	*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.		*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.



	'''(3)'''  Die Antwort ist <u>JA</u>:		'''(3)'''  Die Antwort ist <u>JA</u>:
	* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses		* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
	:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
	*Ist das Abtasttheorem erfüllt und der Tiefpass richtig dimensioniert, so liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.		*Ist das Abtasttheorem erfüllt und der Tiefpass richtig dimensioniert, so liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.
	*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:		*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:
	:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$		:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.		'''(4)'''  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
	*Verlagert man den Faktor $1/~~T_A~~$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:		*Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
	$$ q_{\rm A}(t) = \~~left~~ [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \~~right~~ ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}		:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \~~left~~ [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \~~right~~ ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:		'''(5)'''  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:
	* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern ($μ = 0$) des Faltungsproduktes.		* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes.
	*Alle anderen Terme ($μ ≠ 0$) werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $\|f\| < f_{\rm A}/2$:		*Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $\|f\| < f_{\rm A}/2$:
	:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$		:$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
	*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der si–Funktion gedämpft.		*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der si–Funktion gedämpft.
	*Die höchste Signalfrequenz ($f = f_{\rm A}/2$) wird hierbei am stärksten abgesenkt:		*Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt:
	:$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2}) = Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=		:$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2}) = Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
	Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$		Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$