Aufgaben:Aufgabe 4.3: Natürliche und diskrete Abtastung - Versionsgeschichte

Guenter am 8. April 2022 um 15:12 Uhr

2022-04-08T15:12:49Z

Guenter am 8. April 2022 um 15:07 Uhr

2022-04-08T15:07:03Z

Guenter am 1. April 2020 um 09:13 Uhr

2020-04-01T09:13:58Z

Guenter am 1. April 2020 um 09:02 Uhr

2020-04-01T09:02:43Z

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:37 Uhr

2019-01-08T17:37:32Z

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:30 Uhr

2019-01-08T17:30:36Z

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:30 Uhr

2019-01-08T17:30:05Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:56Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.3 Natürliche und diskrete Abtastung nach Aufgaben:Aufgabe 4.3: Natürliche und diskrete Abtastung

2018-01-03T14:28:01Z

Guenter verschob die Seite 4.3 Natürliche und diskrete Abtastung nach Aufgabe 4.3: Natürliche und diskrete Abtastung

Guenter am 20. Juli 2017 um 09:33 Uhr

2017-07-20T09:33:03Z

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
-'''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:
 :$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
-'''(3)'''&nbsp;  Die Antwort ist <u>JA</u>:
+'''(3)'''&nbsp;  Die Antwort ist&nbsp; <u>JA</u>:
 * Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
 :$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
-'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist&nbsp; der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
 *Verlagert man den Faktor&nbsp; $1/T_{\rm A}$&nbsp; zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
 :$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
-'''(5)'''&nbsp;  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:
+'''(5)'''&nbsp;  Die Antwort ist&nbsp; <u>NEIN</u>:
 * Die Gewichtungsfunktion&nbsp; $G_{\rm R}(f)$&nbsp; betrifft nun auch den inneren Kern&nbsp; $(μ = 0)$&nbsp; des Faltungsproduktes.
 *Alle anderen Terme&nbsp; $(μ ≠ 0)$&nbsp; werden durch den Tiefpass eliminiert.&nbsp; Man erhält hier im relevanten Bereich&nbsp; $|f| < f_{\rm A}/2$:
 :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
-*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der&nbsp; $\rm si$–Funktion gedämpft.
+*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor,&nbsp so werden die höheren Frequenzen entsprechend der&nbsp; $\rm si$–Funktion gedämpft.
 *Die höchste&nbsp; Signalfrequenz&nbsp; $(f = f_{\rm A}/2)$&nbsp; wird hierbei am stärksten abgesenkt:
 :$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
-  Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}(\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$
+  Q( f_{\rm A}/2) \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit einem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; beschreiben:
 :$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls &nbsp;$p_δ(t)$&nbsp; lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.&nbsp; Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls &nbsp;$p_{\rm R}(t)$&nbsp; ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:
+Diracimpulse&nbsp; &ndash; unendlich schmal und unendlich hoch &ndash;&nbsp; und dementsprechend auch der Diracpuls &nbsp;$p_δ(t)$&nbsp; lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.&nbsp; Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls &nbsp;$p_{\rm R}(t)$&nbsp; ausgegangen werden,&nbsp; wobei folgender Zusammenhang gilt:
 :$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}
   g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Dauer &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; eines Rechteckimpulses &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.
+Die Dauer &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; eines Rechteckimpulses &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; sollte dabei&nbsp; (deutlich)&nbsp; kleiner sein als der Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zweier Abtastwerte.
-In der Grafik ist dieses Verhältnis mit&nbsp; $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$&nbsp; sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der&nbsp; &bdquo;natürlichen Abtastung&rdquo;&nbsp; und der&nbsp; &bdquo;diskreten Abtastung&rdquo;&nbsp; besonders deutlich werden zu lassen:
+In der Grafik ist dieses Verhältnis mit&nbsp; $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$&nbsp; sehr groß gewählt,&nbsp; um den Unterschied zwischen der&nbsp; &bdquo;natürlichen Abtastung&rdquo;&nbsp; und der&nbsp; &bdquo;diskreten Abtastung&rdquo;&nbsp; besonders deutlich werden zu lassen:
 * Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal &nbsp;$q_{\rm A}(t)$&nbsp; gleich dem Produkt aus Rechteckpuls &nbsp;$p_{\rm R}(t)$&nbsp; und analogem Quellensignal &nbsp;$q(t)$:
 :$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 In der Grafik sind diese Signale in blau&nbsp; (natürliche Abtastung)&nbsp; bzw. grün&nbsp; (diskrete Abtastung)&nbsp; skizziert.
-Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$&nbsp; und der Verstärkung&nbsp; $T_{\rm A}/T_{\rm R}$&nbsp; im Durchlassbereich eingesetzt:
+Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit der Grenzfrequenz &nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ &nbsp; und der Verstärkung &nbsp; $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ &nbsp; im Durchlassbereich eingesetzt:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung|"Natürliche und diskrete Abtastung"]].
 *Das abgetastete Quellensignal wird mit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$.
 * Die Abtastung erfolgt stets bei&nbsp; $ν · T_{\rm A}$.
@@ Zeile 109: / Zeile 106: @@
 *Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der&nbsp; $\rm si$–Funktion gedämpft.
 *Die höchste&nbsp; Signalfrequenz&nbsp; $(f = f_{\rm A}/2)$&nbsp; wird hierbei am stärksten abgesenkt:
-:$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2})  =  Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
+:$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
-  Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$
+  Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}(\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Das Spektrum des Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ mit Amplitude $1$ und Dauer $T_{\rm R}$ lautet:
+'''(1)'''&nbsp;  Das Spektrum des Rechteckimpulses&nbsp; $g_{\rm R}(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T_{\rm R}$&nbsp; lautet:
 :$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x  \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$
@@ Zeile 81: / Zeile 83: @@
 :$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
-*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.
+*Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung&nbsp; (mit einem Diracpuls)&nbsp; und der letzte bei diskreter Abtastung.
 '''(3)'''&nbsp;  Die Antwort ist <u>JA</u>:
-* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
+* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
 :$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
-*Ist das Abtasttheorem erfüllt und der Tiefpass richtig dimensioniert, so liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.
+*Bei erfülltem Abtasttheorem und richtigem Tiefpass liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit&nbsp; $μ = 0$&nbsp; im Durchlassbereich.
-*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:
+*Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors&nbsp; $T_{\rm A}/T_{\rm R}$&nbsp; erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:
 :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
-*Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
+*Verlagert man den Faktor&nbsp; $1/T_{\rm A}$&nbsp; zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
 :$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 100: / Zeile 104: @@
 '''(5)'''&nbsp;  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:
-* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes.
+* Die Gewichtungsfunktion&nbsp; $G_{\rm R}(f)$&nbsp; betrifft nun auch den inneren Kern&nbsp; $(μ = 0)$&nbsp; des Faltungsproduktes.
-*Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$:
+*Alle anderen Terme&nbsp; $(μ ≠ 0)$&nbsp; werden durch den Tiefpass eliminiert.&nbsp; Man erhält hier im relevanten Bereich&nbsp; $|f| < f_{\rm A}/2$:
 :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
-*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der si–Funktion gedämpft.
+*Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der&nbsp; $\rm si$–Funktion gedämpft.
-*Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt:
+*Die höchste&nbsp; Signalfrequenz&nbsp; $(f = f_{\rm A}/2)$&nbsp; wird hierbei am stärksten abgesenkt:
 :$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2})  =  Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
   Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1615__Mod_A_4_3.png|right|frame|PCM-Signale bei <br>natürlicher und diskreter Abtastung]]
+[[Datei:P_ID1615__Mod_A_4_3.png|right|frame|Zur natürlichen und diskreten Abtastung]]
-Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit einem [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]] &nbsp;$p_δ(t)$&nbsp; beschreiben:
+Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit einem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]&nbsp; $p_δ(t)$&nbsp; beschreiben:
 :$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls &nbsp;$p_δ(t)$&nbsp; lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls &nbsp;$p_{\rm R}(t)$&nbsp; ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:
+Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls &nbsp;$p_δ(t)$&nbsp; lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren.&nbsp; Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls &nbsp;$p_{\rm R}(t)$&nbsp; ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:
 :$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm}
   g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Dauer &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; eines Rechteckimpulses &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der ''natürlichen Abtastung'' und der ''diskreten Abtastung'' besonders deutlich werden zu lassen:
+Die Dauer &nbsp;$T_{\rm R}$&nbsp; eines Rechteckimpulses &nbsp;$g_{\rm R}(t)$&nbsp; sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.
 * Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal &nbsp;$q_{\rm A}(t)$&nbsp; gleich dem Produkt aus Rechteckpuls &nbsp;$p_{\rm R}(t)$&nbsp; und analogem Quellensignal &nbsp;$q(t)$:
 :$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 15: / Zeile 17: @@
 :$$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$
-In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.
+In der Grafik sind diese Signale in blau&nbsp; (natürliche Abtastung)&nbsp; bzw. grün&nbsp; (diskrete Abtastung)&nbsp; skizziert.
-Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich eingesetzt:
+Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass&nbsp; $H(f)$&nbsp; mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$&nbsp; und der Verstärkung&nbsp; $T_{\rm A}/T_{\rm R}$&nbsp; im Durchlassbereich eingesetzt:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
@@ Zeile 28: / Zeile 33: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung|Natürliche und diskrete Abtastung]].
-*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
+*Das abgetastete Quellensignal wird mit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$.
@@ Zeile 36: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Es gelte &nbsp;$T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$. Geben Sie hierfür das normierte Spektrum &nbsp;$G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$&nbsp; an. Welcher Spektralwert tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
+{Es gelte &nbsp;$T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$.&nbsp; Geben Sie hierfür das normierte Spektrum &nbsp;$G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$&nbsp; an.&nbsp; Welcher Spektralwert tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie lautet das Spektrum &nbsp;$Q_{\rm A}(f)$&nbsp; bei natürlicher Abtastung? Vorschläge:
+{Wie lautet das Spektrum &nbsp;$Q_{\rm A}(f)$&nbsp; bei natürlicher Abtastung?&nbsp; Vorschläge:
 |type="[]"}
 - Es gilt &nbsp;$Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
@@ Zeile 51: / Zeile 57: @@
 - Nein.
-{ Wie lautet das Spektrum &nbsp;$Q_{\rm A}(f)$&nbsp; bei diskreter Abtastung? Vorschläge:
+{ Wie lautet das Spektrum &nbsp;$Q_{\rm A}(f)$&nbsp; bei diskreter Abtastung?&nbsp; Vorschläge:
 |type="[]"}
 - Es gilt &nbsp;$Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 :$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x  \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
@@ Zeile 75: / Zeile 76: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
 *Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.
 '''(3)'''&nbsp;  Die Antwort ist <u>JA</u>:
-* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
+* Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
 :$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
 *Ist das Abtasttheorem erfüllt und der Tiefpass richtig dimensioniert, so liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.
 *Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:
 :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>.
-*Verlagert man den Faktor $1/T_A$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
+*Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
-$$ q_{\rm A}(t) = \left [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \right ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
+:$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \left [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \right ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp;  Die Antwort ist <u>NEIN</u>:
-* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern ($μ = 0$) des Faltungsproduktes.
+* Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes.
-*Alle anderen Terme ($μ ≠ 0$) werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$:
+*Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$:
 :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
 *Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der si–Funktion gedämpft.
-*Die höchste Signalfrequenz ($f = f_{\rm A}/2$) wird hierbei am stärksten abgesenkt:
+*Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt:
 :$$V(f = \frac{f_{\rm A}}{2})  =  Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})=
   Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( \frac{f_{\rm A}}{2}) \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung|Natürliche und diskrete Abtastung]].
 *Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 14:28 Uhr
(kein Unterschied)