Aufgaben:Aufgabe 4.3: Iterative Decodierung beim BSC - Versionsgeschichte

Guenter am 29. November 2022 um 16:39 Uhr

2022-11-29T16:39:25Z

Guenter am 5. Juli 2019 um 07:45 Uhr

2019-07-05T07:45:14Z

Guenter am 5. Juli 2019 um 07:35 Uhr

2019-07-05T07:35:12Z

Guenter am 5. Juli 2019 um 07:34 Uhr

2019-07-05T07:34:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 29. Januar 2018 um 13:37 Uhr

2018-01-29T13:37:35Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 10:31 Uhr

2018-01-29T10:31:17Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 10:05 Uhr

2018-01-29T10:05:32Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 09:56 Uhr

2018-01-29T09:56:29Z

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2018-01-04T06:51:43Z

Guenter verschob die Seite 4.3 Iterative Decodierung beim BSC nach Aufgabe 4.3: Iterative Decodierung beim BSC

@@ Zeile 163: / Zeile 163: @@
 *Der Decoder entscheidet sich nun für die Folge $\underline{x}_1 = (1, \, 1, \, 1)$.
-*Der Fall &bdquo;$\underline{y}_3 = (1, \, 1, \, 0)$ empfangen unter der Voraussetzung $\underline{x}_1 = (1, \, 1, \, 1)$ gesendet&rdquo; würde genau der in der letzten Teilaufgabe betrachteten Konstellation &bdquo;$\underline{y}_2 = (1, \, 0, \, 1)$ empfangen und $\underline{x}_0 = (0, \, 0, \, 0)$ gesendet&rdquo; entsprechen.
+*Der Fall &bdquo;$\underline{y}_3 = (1, \, 1, \, 0)$ empfangen unter der Voraussetzung $\underline{x}_1 = (1, \, 1, \, 1)$ gesendet&rdquo; würde genau der in der letzten Teilaufgabe betrachteten Konstellation &bdquo;$\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$ empfangen und $\underline{x}_0 = (0, \, 0, \, 0)$ gesendet&rdquo; entsprechen.
 *Da aber $\underline{x}_0 = (0, \, 0, \, 0)$ gesendet wurde, gibt es nun zwei Bitfehler mit folgender Konsequenz:
 :* Der iterative Decoder entscheidet falsch.

@@ Zeile 97: / Zeile 97: @@
 *Das Empfangswort $\underline{y}_2 = (0, 1, 0)$ ist kein gültiges Codewort des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i> SPC (3, 2). Somit ist die erste Aussage falsch.
 *Da der SPC (3, 2) zudem nur die minimale Distanz $d_{\rm min} = 2$ aufweist, kann auch kein Fehler korrigiert werden.
@@ Zeile 103: / Zeile 104: @@
 *Die minimale Distanz dieses Codes beträgt $d_{\rm min} = 3$, so dass $t = (d_{\rm min} \, - 1)/2 = 1$ Fehler korrigiert werden kann.
 *Neben $\underline{y}_0 = (0, 0, 0)$ werden auch $\underline{y}_1 = (0, 0, 1), \ \underline{y}_2 = (0, 1, 0)$ und $\underline{y}_4 = (1, 0, 0)$ dem Decodierergebnis $\underline{x}_0 = (0, 0, 0)$ zugeordnet.
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
 :$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{y}_2 \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm}\underline{x} =  \underline{x}_0 ) = (1-\varepsilon)^2 \cdot  \varepsilon\hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Term $(1 \, &ndash;\varepsilon)^2$ gibt dabei die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das erste und das dritte Bit richtig übertragen wurden und $\varepsilon$ berücksichtigt die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das zweite Bit.
+*Der erste Term $(1 \, &ndash;\varepsilon)^2$ gibt dabei die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das erste und das dritte Bit richtig übertragen wurden und $\varepsilon$ berücksichtigt die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das zweite Bit.
-Entsprechend gilt für das zweite mögliche Codewort $\underline{x}_1 = (1, 1, 1)$:
+*Entsprechend gilt für das zweite mögliche Codewort $\underline{x}_1 = (1, 1, 1)$:
 :$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{y}_2 \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm}\underline{x} =  \underline{x}_1 ) = \varepsilon^2 \cdot (1-\varepsilon)  \hspace{0.05cm}.$$
-Nach dem Satz von Bayes gilt dann für die Rückschlusswahrscheinlichkeiten:
+*Nach dem Satz von Bayes gilt dann für die Rückschlusswahrscheinlichkeiten:
 :$${\rm Pr}(\hspace{0.1cm}\underline{x} =  \underline{x}_0 \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm}\underline{y} = \underline{y}_2  ) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{y}_2 \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm}\underline{x} =  \underline{x}_0 )  \cdot \frac{{\rm Pr}(\underline{x} =  \underline{x}_0)}
 {{\rm Pr}(\underline{y} =  \underline{y}_2)} \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 121: / Zeile 123: @@
 {{\rm Pr(falsche \hspace{0.15cm}Entscheidung) }} = \frac{(1-\varepsilon)^2 \cdot  \varepsilon}{\varepsilon^2 \cdot (1-\varepsilon)}= \frac{(1-\varepsilon)}{\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $\varepsilon = 0.269$ erhält man folgende Zahlenwerte:
+*Mit $\varepsilon = 0.269$ erhält man folgende Zahlenwerte:
 :$$S =   {0.731}/{0.269}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.717}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm}{\rm ln}\hspace{0.15cm}(S)\hspace{0.15cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Das Vorzeichen des Kanal&ndash;$L$&ndash;Wertes $L_{\rm K}(i)$ ist positiv, falls $y_i = 0$, und negativ für $y_i = 1$. Der Betrag gibt die Zuverlässigkeit von $y_i$ an. Beim BSC&ndash;Modell gilt $|L_{\rm K}(i)| = \ln {(1 \, &ndash; \epsilon)/\epsilon} = 1$ für alle $i$. Also:
 :$$\underline {L_{\rm K}}(1)\hspace{0.15cm} \underline {= +1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \underline {L_{\rm K}}(2)\hspace{0.15cm} \underline {= -1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 132: / Zeile 137: @@
-[[Datei:P_ID2988__KC_A_4_3e_v1.png|rightr|frame| Iterative Decodierung von $(+1, –1, +1)$]]
 '''(5)'''&nbsp; Die nebenstehende  Tabelle verdeutlicht die iterative symbolweise Decodierung ausgehend von $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$.
 <br clear=all>
@@ Zeile 150: / Zeile 155: @@
 *Mit jeder weiteren Iteration nimmt der Zuverlässigkeitswert und damit die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{x}_0 | \underline{y}_2)$ drastisch zu &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 <quiz display=simple>
 {Welche Aussagen gelten für die Decodierung des&nbsp; $\text{SPC (3, 2, 2)}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 1, \, 0)$.
 - Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 0, \, 0)$.
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 {Welche Aussagen gelten für den&nbsp; $\text{ RC (3, 1, 3)}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 1, \, 0)$.
 + Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 0, \, 0)$.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2987__KC_A_4_3_v1.png|right|frame|BSC–Modell und mögliche Empfangswerte]]
 Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Codes:
-* den Single Parity&ndash;Code &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29| SPC (3, 2, 2)]]:
+* den Single Parity&ndash;Code &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29| $\text{SPC (3, 2, 2)}$]]:
 :$$\underline{x} = \big (\hspace{0.05cm}(0, 0, 0), \hspace{0.1cm}
 (0, 1, 1), \hspace{0.1cm}
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 (1, 1, 0) \hspace{0.05cm} \big )
 \hspace{0.05cm}, $$
-* den Wiederholungscode &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes| RC (3, 1, 3)]]:
+* den Wiederholungscode &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes| $\text{RC (3, 1, 3)}$]]:
 :$$\underline{x} = \big (\hspace{0.05cm}(0, 0, 0), \hspace{0.1cm}
 (1, 1, 1)  \hspace{0.05cm} \big )
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
-Der Kanal wird auf Bitebene durch das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)|BSC&ndash;Modell]] beschrieben. Entsprechend der Grafik gilt dabei:
+Der Kanal wird auf Bitebene durch das&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)|BSC&ndash;Modell]]&nbsp; beschrieben. Entsprechend der Grafik gilt dabei:
 :$${\rm Pr}(y_i \ne x_i) \hspace{-0.15cm} \ = \  \hspace{-0.15cm}\varepsilon = 0.269\hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Pr}(y_i = x_i) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1-\varepsilon = 0.731\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet $\varepsilon$ die Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC&ndash;Modells.
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; die Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC&ndash;Modells.
 Bis auf die letzte Teilaufgabe wird stets von folgendem Empfangswert ausgegangen:
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Die hier gewählte Indizierung aller möglichen Empfangsvektoren kann der Grafik entnommen werden. Der meist betrachtete Vektor $\underline{y}_2$ ist hierbei rot hervorgehoben. Für die Teilaufgabe (6) gilt dann:
+Die hier gewählte Indizierung aller möglichen Empfangsvektoren kann der Grafik entnommen werden.
 :$$\underline{y} = (1, 1, 0) =\underline{y}_6
 \hspace{0.05cm}. $$
 Zur Decodierung sollen in der Aufgabe untersucht werden:
-* die [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Verallgemeinerung_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]], die bei den hier betrachteten Codes als <i>Hard Decision Maximum Likelihood Detection</i> (HD&ndash;ML) vornimmt (Softwerte liegen beim BSC nicht vor).
+* die&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Verallgemeinerung_der_Syndromdecodierung|Syndromdecodierung]], die bei den betrachteten Codes dem Konzept&nbsp; <i>Hard Decision Maximum Likelihood Detection</i>&nbsp; (HD&ndash;ML) folgt <br>(Softwerte liegen beim BSC nicht vor),
-* die symbolweise [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decodierung]] (SISO) entsprechend dieses Abschnitts.
+* die symbolweise&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decodierung]]&nbsp; (SISO) entsprechend dieses Abschnitts.
@@ Zeile 40: / Zeile 45: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Symbolweise Soft&ndash;in Soft&ndash;out_Decodierung]] sowie   [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|''Binary Symmetric Channel'']].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten
-* Das vom Decoder ausgewählte Codewort wird in den Fragen mit $\underline{z}$ bezeichnet.
+::[[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Symbolweise Soft&ndash;in Soft&ndash;out_Decodierung]], sowie
@@ Zeile 49: / Zeile 56: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für die Decodierung des SPC (3, 2, 2)?
+{Welche Aussagen gelten für die Decodierung des&nbsp; $\text{SPC (3, 2, 2)}$?
 |type="[]"}
-- Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis $\underline{z} = (0, \, 1, \, 0)$,
+- Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 1, \, 0)$.
-- Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis $\underline{z} = (0, \, 0, \, 0)$,
+- Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 0, \, 0)$.
 + Die HD&ndash;Syndromdecodierung versagt hier.
-{Welche Aussagen gelten für den RC (3, 1, 3)?
+{Welche Aussagen gelten für den&nbsp; $\text{ RC (3, 1, 3)}$?
 |type="[]"}
-- Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis $\underline{z} = (0, \, 1, \, 0)$,
+- Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 1, \, 0)$.
-+ Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis $\underline{z} = (0, \, 0, \, 0)$,
++ Die HD&ndash;Syndromdecodierung liefert das Ergebnis&nbsp; $\underline{z} = (0, \, 0, \, 0)$.
 - Die HD&ndash;Syndromdecodierung versagt hier.
-{Wie sicher ist diese Entscheidung, wenn man als Sicherheit $S$ den Quotienten der Wahrscheinlichkeiten für eine richtige bzw. falsche Entscheidung definiert? Setzen Sie  die Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC&ndash;Modells zu $\varepsilon = 26.9\%$.
+{Wie sicher ist diese Entscheidung, wenn man als Sicherheit&nbsp; $S$&nbsp; den Quotienten der Wahrscheinlichkeiten für eine richtige bzw. falsche Entscheidung definiert? <br>Setzen Sie  die Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC&ndash;Modells zu&nbsp; $\varepsilon = 26.9\%$.
 |type="{}"}
 $S \ = \ ${ 2.717 3% }
 $\hspace{0.75cm} \ln {(S)} \ = \ ${ 1 3% }
-{Wie lauten die intrinsischen $L$&ndash;Werte für die iterative symbolweise Decodierung des RC (3, 1)&ndash;Empfangswortes $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$?
+{Wie lauten die intrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte für die iterative symbolweise Decodierung des&nbsp; $\text{RC (3, 1)}$&ndash;Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$?
 |type="{}"}
 $L_{\rm K}(1) \ = \ ${ 1 3% }
@@ Zeile 72: / Zeile 79: @@
 $L_{\rm K}(3) \ = \ ${ 1 3% }
-{Welche Aussagen sind für die Decodierung des Empfangswortes $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$ zutreffend? Gehen Sie weiterhin vom RC (3, 1, 3) aus.
+{Welche Aussagen sind für die Decodierung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$&nbsp; zutreffend? Gehen Sie weiterhin vom&nbsp; $\text{RC (3, 1, 3)}$ aus.
 |type="[]"}
-+ Ab der ersten Iteration sind alle Vorzeichen von $L_{\rm APP}(i)$ positiv.
++ Ab der ersten Iteration sind alle Vorzeichen von&nbsp; $L_{\rm APP}(i)$&nbsp; positiv.
-+ Bereits nach der zweiten Iteration ist ${\rm Pr}(\underline{x}_0 | \underline{y}_2)$ größer als $99\%$.
++ Bereits nach der zweiten Iteration ist&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{x}_0\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} \underline{y}_2)$&nbsp; größer als&nbsp; $99\%$.
-+ Mit jeder Iteration werden die Beträge $L_{\rm APP}(i)$ größer.
++ Mit jeder Iteration werden die Beträge&nbsp; $L_{\rm APP}(i)$&nbsp; größer.
-{Welche Aussagen sind für die Decodierung des Empfangswortes $\underline{y}_6 = (1, 1, 0)$ zutreffend, wenn $\underline{x}_0 = (0, 0, 0)$ gesendet wurde?
+{Welche Aussagen sind für die Decodierung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}_6 = (1, 1, 0)$&nbsp; zutreffend, wenn&nbsp; $\underline{x}_0 = (0, 0, 0)$&nbsp; gesendet wurde?
 |type="[]"}
 - Der iterative Decoder entscheidet richtig.
 + Der iterative Decoder entscheidet falsch.
-+ Die &bdquo;Zuverlässigkeit&rdquo; für &bdquo;$\underline{y}_6 \Rightarrow  \underline{x}_0$&rdquo; steigt mit wachsendem $I$.
++ Die &bdquo;Zuverlässigkeit&rdquo; für &bdquo;$\underline{y}_6 \Rightarrow  \underline{x}_0$&rdquo; steigt mit wachsendem&nbsp; $I$.
 </quiz>

@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Symbolweise Soft&ndash;in Soft&ndash;out_Decodierung]] sowie   [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|''Binary Symmetric Channel'']].
 * Das vom Decoder ausgewählte Codewort wird in den Fragen mit $\underline{z}$ bezeichnet.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 - Die HD&ndash;Syndromdecodierung versagt hier.
-{Wie sicher ist diese Entscheidung, wenn man als Sicherheit $S$ den Quotienten der Wahrscheinlichkeiten für eine richtige bzw. falsche Entscheidung definiert?
+{Wie sicher ist diese Entscheidung, wenn man als Sicherheit $S$ den Quotienten der Wahrscheinlichkeiten für eine richtige bzw. falsche Entscheidung definiert? Setzen Sie  die Verfälschungswahrscheinlichkeit des BSC&ndash;Modells zu $\varepsilon = 26.9\%$.
 |type="{}"}
 $S \ = \ ${ 2.717 3% }
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Empfangswort $\underline{y}_2 = (0, 1, 0)$ ist kein gültiges Codewort bezüglich des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i> SPC (3, 2). Somit ist die erste Aussage falsch.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-'''(2)'''&nbsp; Die möglichen Codeworte beim RP (3, 1) sind $\underline{x}_0 = (0, 0, 0)$ und $\underline{x}_1 = (1, 1, 1)$. Die minimale Distanz dieses Codes beträgt $d_{\rm min} = 3$, so dass $t = (d_{\rm min} \, &ndash;1)/2 = 1$ Fehler korrigiert werden kann. Neben $\underline{y}_0 = (0, 0, 0)$ werden auch die Empfangsworte $\underline{y}_1 = (0, 0, 1), \ \underline{y}_2 = (0, 1, 0)$ und $\underline{y}_4 = (1, 0, 0)$ dem Decodierergebnis $\underline{x}_0 = (0, 0, 0)$ zugeordnet &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Die möglichen Codeworte beim RP (3, 1) sind $\underline{x}_0 = (0, 0, 0)$ und $\underline{x}_1 = (1, 1, 1)$.
@@ Zeile 98: / Zeile 101: @@
 :$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{y}_2 \hspace{0.1cm}| \hspace{0.1cm}\underline{x} =  \underline{x}_0 ) = (1-\varepsilon)^2 \cdot  \varepsilon\hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Term $(1 \, &ndash;\epsilon)^2$ gibt dabei die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das erste und das dritte Bit richtig übertragen wurden und $\epsilon$ berücksichtigt die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das zweite Bit.
+Der erste Term $(1 \, &ndash;\varepsilon)^2$ gibt dabei die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das erste und das dritte Bit richtig übertragen wurden und $\varepsilon$ berücksichtigt die Verfälschungswahrscheinlichkeit für das zweite Bit.
 Entsprechend gilt für das zweite mögliche Codewort $\underline{x}_1 = (1, 1, 1)$:
@@ Zeile 111: / Zeile 114: @@
 {{\rm Pr(falsche \hspace{0.15cm}Entscheidung) }} = \frac{(1-\varepsilon)^2 \cdot  \varepsilon}{\varepsilon^2 \cdot (1-\varepsilon)}= \frac{(1-\varepsilon)}{\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $\epsilon = 0.269$ erhält man folgende Zahlenwerte:
+Mit $\varepsilon = 0.269$ erhält man folgende Zahlenwerte:
 :$$S =   {0.731}/{0.269}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.717}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm}{\rm ln}\hspace{0.15cm}(S)\hspace{0.15cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 122: / Zeile 125: @@
-'''(5)'''&nbsp; Die erste Tabelle verdeutlicht die iterative symbolweise Decodierung ausgehend von $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$.
+[[Datei:P_ID2988__KC_A_4_3e_v1.png|rightr|frame| Iterative Decodierung von $(+1, –1, +1)$]]
-[[Datei:P_ID2988__KC_A_4_3e_v1.png|center|frame| Iterative Decodierung von $(+1, –1, +1)$]]
+'''(5)'''&nbsp; Die nebenstehende  Tabelle verdeutlicht die iterative symbolweise Decodierung ausgehend von $\underline{y}_2 = (0, \, 1, \, 0)$.
+<br clear=all>
 Diese Ergebnisse lassen sich wie folgt interpretieren:
 * Die Vorbelegung (Iteration $I = 0$) geschieht entsprechend $\underline{L}_{\rm APP} = \underline{L}_{\rm K}$. Eine harte Entscheidung &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$\sign {\underline{L}_{\rm APP}(i)}$&rdquo; würde zum Decodierergebnis $(0, \, 1, \, 0)$ führen. Die Zuverlässigkeit dieses offensichtlich falschen Ergebnisses wird mit $|{\it \Sigma}| = 1$ angegeben. Dieser Wert stimmt mit dem in Teilaufgaben (3) berechneten &bdquo;$\ln (S)$&rdquo; überein.
@@ Zeile 139: / Zeile 142: @@
   \approx 99.99\% \hspace{0.05cm}.$$
-Mit jeder weiteren Iteration nimmt der Zuverlässigkeitswert und damit die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{x}_0 | \underline{y}_2)$ drastisch zu &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
+*Mit jeder weiteren Iteration nimmt der Zuverlässigkeitswert und damit die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{x}_0 | \underline{y}_2)$ drastisch zu &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
-'''(6)'''&nbsp; Für den Empfangsvektor $\underline{y}_6 = (1, \, 1, \, 0)$ gilt folgende Tabelle:
+[[Datei:P_ID2991__KC_A_4_3f_v1.png|right|frame|Iterative Decodierung von $(–1, –1, +1)$]]
-[[Datei:P_ID2991__KC_A_4_3f_v1.png|center|frame|Iterative Decodierung von $(–1, –1, +1)$]]
+'''(6)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-Der Decoder entscheidet sich nun für die Folge $\underline{x}_1 = (1, \, 1, \, 1)$. Der Fall &bdquo;$\underline{y}_3 = (1, \, 1, \, 0)$ empfangen unter der Voraussetzung $\underline{x}_1 = (1, \, 1, \, 1)$ gesendet&rdquo; würde genau der in der letzten Teilaufgabe betrachteten Konstellation &bdquo;$\underline{y}_2 = (1, \, 0, \, 1)$ empfangen und $\underline{x}_0 = (0, \, 0, \, 0)$ gesendet&rdquo; entsprechen.
+*Der Decoder entscheidet sich nun für die Folge $\underline{x}_1 = (1, \, 1, \, 1)$.
 {{ML-Fuß}}