Aufgaben:Aufgabe 4.3: Betriebsdämpfung - Versionsgeschichte

Guenter am 12. November 2021 um 15:02 Uhr

2021-11-12T15:02:42Z

Guenter am 11. November 2021 um 16:42 Uhr

2021-11-11T16:42:51Z

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2021-11-11T16:36:00Z

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2019-11-06T13:53:58Z

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2019-11-06T13:44:13Z

Guenter am 28. November 2018 um 15:41 Uhr

2018-11-28T15:41:33Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 13:34 Uhr

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Guenter am 28. März 2018 um 13:20 Uhr

2018-03-28T13:20:02Z

Guenter am 28. März 2018 um 12:30 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Bei Widerstandsanpassung&nbsp; $(R_1 = R_2 =Z_{\rm W})$&nbsp; verbleibt von den vier Summanden nur der erste:
-:$${a}_{\rm B} =  \alpha \cdot l = 0.1\,{\rm Np/km} \cdot 2\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.2\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${a}_{\rm B} =  {a}_{\rm W} =  \alpha \cdot l = 0.1\,{\rm Np/km} \cdot 2\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.2\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

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 '''(4)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen sind richtig</u>:
 *Bei konstruktiver Überlagerung ist&nbsp; ${a}_{\rm WWD} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}A < 0 \; \Rightarrow \; A < 1$&nbsp; und minimal.
-*Im Gegensatz dazu bewirkt der maximale Wert von&nbsp; $A&nbsp;$&nbsp; (für den  $A > 1$ gilt) &nbsp; eine positive Wechselwirkungsdämpfung, also eine zusätzliche Dämpfung des Nutzsignals aufgrund der destruktiven Überlagerung von hin&ndash; und rücklaufender Welle.
+*Im Gegensatz dazu bewirkt der maximale Wert von&nbsp; $A&nbsp;$&nbsp; (für den  $A > 1$ gilt) &nbsp; eine positive Wechselwirkungsdämpfung,&nbsp; also eine zusätzliche Dämpfung des Nutzsignals aufgrund der destruktiven Überlagerung von hin&ndash; und rücklaufender Welle.
-'''(5)'''&nbsp; In der letzten Teilaufgabe wurde gezeigt, dass konstruktive Überlagerung gleichbedeutend ist mit der Minimierung von
+'''(5)'''&nbsp; In der letzten Teilaufgabe wurde gezeigt,&nbsp; dass konstruktive Überlagerung gleichbedeutend ist mit der Minimierung von
 :$$A   =  |1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
    \beta \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}|=  |1- r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)+ {\rm j} \cdot \sin(2  \beta
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   \hspace{0.2cm}\beta_{\rm min} = {\pi}({2l})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.785\,{\rm rad/km}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen kommt es zu destruktiver Überlagerung, falls das Phasenmaß folgende Bedingung erfüllt:
+*Dagegen kommt es zu destruktiver Überlagerung,&nbsp; falls das Phasenmaß folgende Bedingung erfüllt:
 :$$\cos(2  \beta  l) = -1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
   l= {\pi}/{2}, {3\pi}/{2}, {5\pi}/{2},\text{ ...}$$
-'''(6)'''&nbsp; Das Argument&nbsp; $A  = \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}$&nbsp; kann maximal&nbsp; $A = 2$&nbsp; werden &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Max}\ [a_\text{WWD}] \; \underline {= 0.693 \ \rm Np}$.
+'''(6)'''&nbsp; Das Argument&nbsp; $A  = \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}$ &nbsp; kann maximal&nbsp; $A = 2$&nbsp; werden &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Max}\ [a_\text{WWD}] \; \underline {= 0.693 \ \rm Np}$.
 Hierfür müssen  folgende Voraussetzungen erfüllt sein:
-* nicht abgeschlossene Leitung&nbsp; $(r_1 = r_2  = 1)$,
+* Nicht abgeschlossene Leitung&nbsp; $(r_1 = r_2  = 1)$,
 * kurze Kabellänge, so dass der Term&nbsp; $\alpha \cdot l$&nbsp; nicht wirksam ist&nbsp; $(r_\alpha = 1)$,
 * Phasenverlauf entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''.

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 [[Datei:P_ID1800__LZI_A_4_3.png|right|frame|Betrachtetes Leitungsmodell]]
-Wird eine Nachrichtenverbindung der Länge &nbsp;$l$&nbsp; nicht an beiden Enden mit ihrem Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; abgeschlossen, so kommt es stets zu Reflexionen.
+Wird eine Nachrichtenverbindung über Koaxialkabel der Länge &nbsp;$l$&nbsp; nicht an beiden Enden mit ihrem Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; abgeschlossen, so kommt es stets zu Reflexionen.
-Anstelle der Wellendämpfung &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; muss man in diesem Fall die Betriebsdämpfung &nbsp;$a_{\rm B}$&nbsp; betrachten, die hier ohne Frequenzabhängigkeit angegeben wird.&nbsp; Das heißt: &nbsp; Wir betrachten hier stets nur eine einzige Frequenz $f_0$:
+Anstelle der Wellendämpfung &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; muss man in diesem Fall die&nbsp; '''Betriebsdämpfung''' &nbsp;$a_{\rm B}$&nbsp; betrachten,&nbsp; die hier ohne Frequenzabhängigkeit angegeben wird.&nbsp; Das heißt: &nbsp; Wir betrachten hier stets nur eine einzige Frequenz $f_0$:
 :$${ a}_{\rm B} = { a}_{\rm B}(f_0)= { a}_{\rm W}+ {\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_1|+{\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_2|+{ a}_{\rm WWD}\hspace{0.05cm}.$$
-<br clear=all>
 Die vier Anteile &ndash; alle mit der Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo;&nbsp;  (Np) &ndash; beschreiben folgende Sachverhalte:
-* Der erste Summand &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; modelliert die&nbsp; '''Wellendämpfung'''&nbsp; der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.&nbsp; Beachten Sie, dass Dämpfungen mit &bdquo;$a$&rdquo; bezeichnet werden, während das Dämpfungsmaß (kilometrische Dämpfung) mit &bdquo;$\alpha$&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; sprich: &bdquo;alpha&rdquo; gekennzeichnet ist.
+* Der erste Summand &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; modelliert die&nbsp; '''Wellendämpfung'''&nbsp; der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.&nbsp; Beachten Sie,&nbsp; dass Dämpfungen mit &bdquo;$a$&rdquo; bezeichnet werden,&nbsp; während das Dämpfungsmaß&nbsp; (kilometrische Dämpfung)&nbsp; mit &bdquo;$\alpha$&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; sprich: &bdquo;alpha&rdquo; gekennzeichnet ist.
 * Der zweite Summand gibt die&nbsp; '''senderseitige Stoßdämpfung'''&nbsp; an.&nbsp; Dieser Term berücksichtigt den Leistungsverlust durch Reflexionen am Übergang &bdquo;Sender &rarr; Leitung&rdquo;:
 :$${\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_1|= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {R_1 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm W}}}
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
 *Wesentliche Informationen finden Sie auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie#Einfluss_von_Reflexionen_.E2.80.93_Betriebsd.C3.A4mpfung|Einfluss von Reflexionen - Betriebsdämpfung]]
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 <quiz display=simple>
-{Welcher Wert ergäbe sich für die Betriebsdämpfung <u>bei Anpassung</u>, wenn es also keine Reflexionen geben würde?
+{Welcher Wert ergäbe sich für die Betriebsdämpfung&nbsp; <u>bei Anpassung</u>,&nbsp; wenn es also keine Reflexionen geben würde?
 |type="{}"}
 $a_{\rm B} \ = \ $  { 0.2 3% } $\ \rm Np$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei Widerstandsanpassung $(R_1 = R_2 =Z_{\rm W})$ verbleibt von den vier Summanden nur der erste:
+'''(1)'''&nbsp; Bei Widerstandsanpassung&nbsp; $(R_1 = R_2 =Z_{\rm W})$&nbsp; verbleibt von den vier Summanden nur der erste:
 :$${a}_{\rm B} =  \alpha \cdot l = 0.1\,{\rm Np/km} \cdot 2\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.2\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 98: / Zeile 99: @@
 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm
 ln}\hspace{0.1cm}|q_2| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.553 \,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
    e}^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.183}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen sind richtig</u>:
-*Bei konstruktiver Überlagerung ist ${a}_{\rm WWD} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}A < 0 \; \Rightarrow \; A < 1$ und minimal.
+*Bei konstruktiver Überlagerung ist&nbsp; ${a}_{\rm WWD} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}A < 0 \; \Rightarrow \; A < 1$&nbsp; und minimal.
-*Im Gegensatz dazu bewirkt der maximale Wert von $A$ (für den  $A > 1$ gilt) eine positive Wechselwirkungsdämpfung, also eine zusätzliche Dämpfung des Nutzsignals aufgrund der destruktiven Überlagerung von hin&ndash; und rücklaufender Welle.
+*Im Gegensatz dazu bewirkt der maximale Wert von&nbsp; $A&nbsp;$&nbsp; (für den  $A > 1$ gilt) &nbsp; eine positive Wechselwirkungsdämpfung, also eine zusätzliche Dämpfung des Nutzsignals aufgrund der destruktiven Überlagerung von hin&ndash; und rücklaufender Welle.
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 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm }A    =  \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Das Minimum ergibt sich für
+*Das Minimum ergibt sich für
 :$$\cos(2  \beta  l) = +1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
   l= \pi, 2\pi, 3\pi, ... \hspace{0.2cm}\Rightarrow
   \hspace{0.2cm}\beta_{\rm min} = {\pi}({2l})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.785\,{\rm rad/km}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen kommt es zu destruktiver Überlagerung, falls das Phasenmaß folgende Bedingung erfüllt:
+*Dagegen kommt es zu destruktiver Überlagerung, falls das Phasenmaß folgende Bedingung erfüllt:
 :$$\cos(2  \beta  l) = -1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
   l= {\pi}/{2}, {3\pi}/{2}, {5\pi}/{2},\text{ ...}$$
-'''(6)'''&nbsp; Das Argument $A  = \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}$ kann maximal $A = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Max}\ [a_\text{WWD}] \; \underline {= 0.693 \ \rm Np}$ werden.
+'''(6)'''&nbsp; Das Argument&nbsp; $A  = \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}$&nbsp; kann maximal&nbsp; $A = 2$&nbsp; werden &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Max}\ [a_\text{WWD}] \; \underline {= 0.693 \ \rm Np}$.
 Hierfür müssen  folgende Voraussetzungen erfüllt sein:
-* nicht abgeschlossene Leitung ($r_1 = r_2  = 1$),
+* nicht abgeschlossene Leitung&nbsp; $(r_1 = r_2  = 1)$,
-* kurze Kabellänge, so dass der Term $\alpha \cdot l$ nicht wirksam ist ($r_\alpha = 1$),
+* kurze Kabellänge, so dass der Term&nbsp; $\alpha \cdot l$&nbsp; nicht wirksam ist&nbsp; $(r_\alpha = 1)$,
-* Phasenverlauf entsprechend der Teilaufgabe (5).
+* Phasenverlauf entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''.
 {{ML-Fuß}}

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 Wird eine Nachrichtenverbindung der Länge &nbsp;$l$&nbsp; nicht an beiden Enden mit ihrem Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; abgeschlossen, so kommt es stets zu Reflexionen.
-Anstelle der Wellendämpfung &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; muss man in diesem Fall die Betriebsdämpfung &nbsp;$a_{\rm B}$&nbsp; betrachten, die hier ohne Frequenzabhängigkeit angegeben wird. Das heißt: &nbsp; Wir betrachten hier stets nur eine einzige Frequenz $f_0$:
+Anstelle der Wellendämpfung &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; muss man in diesem Fall die Betriebsdämpfung &nbsp;$a_{\rm B}$&nbsp; betrachten, die hier ohne Frequenzabhängigkeit angegeben wird.&nbsp; Das heißt: &nbsp; Wir betrachten hier stets nur eine einzige Frequenz $f_0$:
 :$${ a}_{\rm B} = { a}_{\rm B}(f_0)= { a}_{\rm W}+ {\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_1|+{\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_2|+{ a}_{\rm WWD}\hspace{0.05cm}.$$
 <br clear=all>
-Die vier Anteile &ndash; alle mit der Pseudoeinheit &bdquo;Neper (Np)&rdquo; &ndash; beschreiben folgende Sachverhalte:
+Die vier Anteile &ndash; alle mit der Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo;&nbsp;  (Np) &ndash; beschreiben folgende Sachverhalte:
-* Der erste Summand &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; modelliert die '''Wellendämpfung''' der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle. Beachten Sie, dass Dämpfungen mit &bdquo;$a$&rdquo; bezeichnet werden, während das Dämpfungsmaß (kilometrische Dämpfung) mit &bdquo;$\alpha$&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; sprich: &bdquo;alpha&rdquo; gekennzeichnet ist.
+* Der erste Summand &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; modelliert die&nbsp; '''Wellendämpfung'''&nbsp; der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.&nbsp; Beachten Sie, dass Dämpfungen mit &bdquo;$a$&rdquo; bezeichnet werden, während das Dämpfungsmaß (kilometrische Dämpfung) mit &bdquo;$\alpha$&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; sprich: &bdquo;alpha&rdquo; gekennzeichnet ist.
-* Der zweite Summand gibt die '''senderseitige Stoßdämpfung''' an. Dieser Term berücksichtigt den Leistungsverlust durch Reflexionen am Übergang &bdquo;Sender &rarr; Leitung&rdquo;:
+* Der zweite Summand gibt die&nbsp; '''senderseitige Stoßdämpfung'''&nbsp; an.&nbsp; Dieser Term berücksichtigt den Leistungsverlust durch Reflexionen am Übergang &bdquo;Sender &rarr; Leitung&rdquo;:
 :$${\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_1|= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {R_1 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm W}}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-* In analoger Weise gilt für die '''empfängerseitige Stoßdämpfung''' am Leitungsende &nbsp; &rArr; &nbsp; Übergang &bdquo;Leitung &rarr; Empfänger&rdquo;:
+* In analoger Weise gilt für die&nbsp; '''empfängerseitige Stoßdämpfung'''&nbsp; am Leitungsende &nbsp; &rArr; &nbsp; Übergang &bdquo;Leitung &rarr; Empfänger&rdquo;:
 :$${\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_2|= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {R_2 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_2 \cdot Z_{\rm W}}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Die '''Wechselwirkungsdämpfung''' beschreibt die Signaldämpfung durch die Auswirkung einer doppelt reflektierten Welle, die sich dem Nutzsignal konstruktiv oder destruktiv überlagern kann. Für diesen letzten Anteil
+* Die&nbsp; '''Wechselwirkungsdämpfung'''&nbsp; beschreibt die Signaldämpfung durch die Auswirkung einer doppelt reflektierten Welle, die sich dem Nutzsignal konstruktiv oder destruktiv überlagern kann.&nbsp; Für diesen letzten Anteil
 :$${ a}_{\rm WWD} = {\rm ln}\hspace{0.1cm} |1- r_1 \cdot r_2 \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
    \gamma \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}|$$
@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
-{Berechnen Sie die beiden Anteile der Stoßdämpfung für &nbsp;$Z_{\rm W} = 100\,{\rm \Omega}$&nbsp; sowie $R_1 = 200\,{\rm \Omega}$&nbsp; und &nbsp;$ R_2 = 1\,{\rm k\Omega}$.
+{Berechnen Sie die beiden Anteile der Stoßdämpfung für &nbsp;$Z_{\rm W} = 100\,{\rm \Omega}$&nbsp; sowie&nbsp; $R_1 = 200\,{\rm \Omega}$&nbsp; und &nbsp;$ R_2 = 1\,{\rm k\Omega}$.
 |type="{}"}
 $\ln\ |q_1| \ = \ $ { 0.059 3% } $\ \rm Np$
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 {Welche Bedingung muss die Hilfsgröße &nbsp;$A = \vert 1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  \beta \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}\vert $&nbsp; erfüllen, <br>damit es zu konstruktiver bzw. destruktiver Überlagerung bezüglich der Wechselwirkungsdämpfung kommt?
 |type="[]"}
-+ $A$ ist minimal &nbsp; &#8658; &nbsp; konstruktive Überlagerung,
++ $A$&nbsp; ist minimal &nbsp; &#8658; &nbsp; konstruktive Überlagerung,
-+ $A$ ist maximal &nbsp; &#8658; &nbsp; destruktive Überlagerung.
++ $A$&nbsp; ist maximal &nbsp; &#8658; &nbsp; destruktive Überlagerung.
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
-{Wie groß kann der Wechselwirkungsdämpfungsanteil maximal werden? Welche Voraussetzungen müssen hierfür gelten?
+{Wie groß kann der Wechselwirkungsdämpfungsanteil maximal werden?&nbsp; Welche Voraussetzungen müssen hierfür gelten?
 |type="{}"}
-${\rm Max}\ [a_\text{WWD}] \ = \ $ { 0.693 3% } $\ \rm Np$
+${\rm Max}\ \big [a_\text{WWD}\big ] \ = \ $ { 0.693 3% } $\ \rm Np$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1800__LZI_A_4_3.png|right|frame|Betrachtetes Leitungsmodell]]
-Wird eine Nachrichtenverbindung der Länge $l$ nicht an beiden Enden mit ihrem Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ abgeschlossen, so kommt es stets zu Reflexionen.
+Wird eine Nachrichtenverbindung der Länge &nbsp;$l$&nbsp; nicht an beiden Enden mit ihrem Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; abgeschlossen, so kommt es stets zu Reflexionen.
-Anstelle der Wellendämpfung $a_{\rm W} = \alpha \cdot l$ muss man in diesem Fall die Betriebsdämpfung $a_{\rm B}$ betrachten, die hier ohne Frequenzabhängigkeit angegeben wird. Das heißt: wir betrachten hier stets nur eine einzige Frequenz $f_0$:
+Anstelle der Wellendämpfung &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; muss man in diesem Fall die Betriebsdämpfung &nbsp;$a_{\rm B}$&nbsp; betrachten, die hier ohne Frequenzabhängigkeit angegeben wird. Das heißt: &nbsp; Wir betrachten hier stets nur eine einzige Frequenz $f_0$:
 :$${ a}_{\rm B} = { a}_{\rm B}(f_0)= { a}_{\rm W}+ {\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_1|+{\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_2|+{ a}_{\rm WWD}\hspace{0.05cm}.$$
 Die vier Anteile &ndash; alle mit der Pseudoeinheit &bdquo;Neper (Np)&rdquo; &ndash; beschreiben folgende Sachverhalte:
-* Der erste Summand $a_{\rm W} = \alpha \cdot l$ modelliert die '''Wellendämpfung''' der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle. Beachten Sie, dass Dämpfungen mit &bdquo;$a$&rdquo; bezeichnet werden, während das Dämpfungsmaß (kilometrische Dämpfung) mit &bdquo;$\alpha$&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; sprich: &bdquo;alpha&rdquo; gekennzeichnet ist.
+* Der erste Summand &nbsp;$a_{\rm W} = \alpha \cdot l$&nbsp; modelliert die '''Wellendämpfung''' der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle. Beachten Sie, dass Dämpfungen mit &bdquo;$a$&rdquo; bezeichnet werden, während das Dämpfungsmaß (kilometrische Dämpfung) mit &bdquo;$\alpha$&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; sprich: &bdquo;alpha&rdquo; gekennzeichnet ist.
 * Der zweite Summand gibt die '''senderseitige Stoßdämpfung''' an. Dieser Term berücksichtigt den Leistungsverlust durch Reflexionen am Übergang &bdquo;Sender &rarr; Leitung&rdquo;:
 :$${\rm ln}\hspace{0.1cm} |q_1|= {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {R_1 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm W}}}
@@ Zeile 34: / Zeile 35: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
-*Wesentliche Informationen finden Sie auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie#Einfluss_von_Reflexionen_.E2.80.93_Betriebsd.C3.A4mpfung|Einfluss von Reflexionen - Betriebsdämpfung]]
+*Wesentliche Informationen finden Sie auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie#Einfluss_von_Reflexionen_.E2.80.93_Betriebsd.C3.A4mpfung|Einfluss von Reflexionen - Betriebsdämpfung]]
 *Gehen Sie bei numerischen Berechnungen von folgenden Zahlenwerten aus:
@@ Zeile 51: / Zeile 52: @@
-{Berechnen Sie die beiden Anteile der Stoßdämpfung für $Z_{\rm W} = 100\,{\rm \Omega}$ sowie $R_1 = 200\,{\rm \Omega}$ und $ R_2 = 1\,{\rm k\Omega}$.
+{Berechnen Sie die beiden Anteile der Stoßdämpfung für &nbsp;$Z_{\rm W} = 100\,{\rm \Omega}$&nbsp; sowie $R_1 = 200\,{\rm \Omega}$&nbsp; und &nbsp;$ R_2 = 1\,{\rm k\Omega}$.
 |type="{}"}
 $\ln\ |q_1| \ = \ $ { 0.059 3% } $\ \rm Np$
@@ Zeile 57: / Zeile 58: @@
-{Berechnen Sie die Reflexionsfaktoren $r_1$, $r_2$ und $r_\alpha$.
+{Berechnen Sie die Reflexionsfaktoren &nbsp;$r_1$, &nbsp;$r_2$ und &nbsp;$r_\alpha$.
 |type="{}"}
 $r_1 \ = \ $ { 0.333 3% }
@@ Zeile 63: / Zeile 64: @@
 $r_\alpha\ = \ $ { 0.183 3% }
-{Welche Bedingung muss die Hilfsgröße $A = \vert 1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  \beta \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}\vert $ erfüllen, damit es zu konstruktiver bzw. destruktiver Überlagerung bezüglich der Wechselwirkungsdämpfung kommt?
+{Welche Bedingung muss die Hilfsgröße &nbsp;$A = \vert 1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  \beta \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}\vert $&nbsp; erfüllen, <br>damit es zu konstruktiver bzw. destruktiver Überlagerung bezüglich der Wechselwirkungsdämpfung kommt?
 |type="[]"}
 + $A$ ist minimal &nbsp; &#8658; &nbsp; konstruktive Überlagerung,
@@ Zeile 69: / Zeile 70: @@
-{Geben Sie den kleinstmöglichen Wert $\beta_\text{min}$ für das Phasenmaß $\beta(f_0)$ an, damit es zu einer konstruktiven Überlagerung kommt.
+{Geben Sie den kleinstmöglichen Wert &nbsp;$\beta_\text{min}$&nbsp; für das Phasenmaß &nbsp;$\beta(f_0)$&nbsp; an, <br>damit es zu einer konstruktiven Überlagerung kommt.
 |type="{}"}
 $\beta_\text{min} \ = \ $ { 0.785 3% } $\ \rm rad/km$

@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 $r_\alpha\ = \ $ { 0.183 3% }
+{Welche Bedingung muss die Hilfsgröße $A = \vert 1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}  \beta \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}\vert $ erfüllen, damit es zu konstruktiver bzw. destruktiver Überlagerung bezüglich der Wechselwirkungsdämpfung kommt?
 |type="[]"}
 + $A$ ist minimal &nbsp; &#8658; &nbsp; konstruktive Überlagerung,
@@ Zeile 86: / Zeile 84: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei Widerstandsanpassung ($R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$) verbleibt von den vier Summanden nur der erste:
+'''(1)'''&nbsp; Bei Widerstandsanpassung $(R_1 = R_2 =Z_{\rm W})$ verbleibt von den vier Summanden nur der erste:
-$${\rm a}_{\rm B} =  \alpha \cdot l = 0.1\,{\rm Np/km} \cdot 2\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.2\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${a}_{\rm B} =  \alpha \cdot l = 0.1\,{\rm Np/km} \cdot 2\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.2\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Entsprechend den angegebenen Gleichungen ergibt sich:
-$$q_1  =  \frac {R_1 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm
+:$$q_1  =  \frac {R_1 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_1 \cdot Z_{\rm
 W}}}= \frac {200 + 100}{2 \cdot \sqrt{200 \cdot 100}}= 1.061
 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm
 ln}\hspace{0.1cm}|q_1| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.059 \,{\rm Np}} \hspace{0.05cm},$$
-$$q_2  =  \frac {R_2 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_2 \cdot Z_{\rm
+:$$q_2  =  \frac {R_2 + Z_{\rm W}}{2 \cdot \sqrt{R_2 \cdot Z_{\rm
 W}}}= \frac {1000 + 100}{2 \cdot \sqrt{1000 \cdot 100}}= 1.739
 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm
 ln}\hspace{0.1cm}|q_2| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.553 \,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Beschaltungswiderständen erhält man
-$$r_1= \frac {200\,{\rm \Omega} - 100\,{\rm \Omega}}{200\,{\rm \Omega} + 100\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.333}\hspace{0.05cm},
+:$$r_1= \frac {200\,{\rm \Omega} - 100\,{\rm \Omega}}{200\,{\rm \Omega} + 100\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.333}\hspace{0.05cm},$$
-  \hspace{0.3cm}\frac {1000\,{\rm \Omega} - 100\,{\rm \Omega}}{1000\,{\rm \Omega} + 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ =
+:$$r_2=\frac {1000\,{\rm \Omega} - 100\,{\rm \Omega}}{1000\,{\rm \Omega} + 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ =
 .818}$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_\alpha = r_1 \cdot r_2\cdot {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_\alpha = r_1 \cdot r_2\cdot {\rm e}^{-2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
    \alpha \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}= 0.333 \cdot 0.818\cdot {\rm
    e}^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.183}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen sind richtig</u>:
@@ Zeile 114: / Zeile 115: @@
 '''(5)'''&nbsp; In der letzten Teilaufgabe wurde gezeigt, dass konstruktive Überlagerung gleichbedeutend ist mit der Minimierung von
-$$A   =  |1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
+:$$A   =  |1- r_\alpha \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
    \beta \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l}|=  |1- r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)+ {\rm j} \cdot \sin(2  \beta
    l)|  =  \sqrt {1- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)+ {r_\alpha}^2 \cdot \cos^2(2  \beta  l)+ {r_\alpha}^2 \cdot \sin^2(2  \beta
    l)}$$
-$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm }A    =  \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm }A    =  \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}
   \hspace{0.05cm}.$$
 Das Minimum ergibt sich für
-$$\cos(2  \beta  l) = +1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
+:$$\cos(2  \beta  l) = +1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
   l= \pi, 2\pi, 3\pi, ... \hspace{0.2cm}\Rightarrow
   \hspace{0.2cm}\beta_{\rm min} = {\pi}({2l})\hspace{0.15cm}\underline{= 0.785\,{\rm rad/km}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 Dagegen kommt es zu destruktiver Überlagerung, falls das Phasenmaß folgende Bedingung erfüllt:
-$$\cos(2  \beta  l) = -1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
+:$$\cos(2  \beta  l) = -1 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}2  \beta
-  l= {\pi}/{2}, {3\pi}/{2}, {5\pi}/{2}, ...$$
+  l= {\pi}/{2}, {3\pi}/{2}, {5\pi}/{2},\text{ ...}$$
-'''(6)'''&nbsp; Das Argument $A  = \sqrt {1+ {r_\alpha}^2- 2 \cdot r_\alpha \cdot \cos(2  \beta  l)}$ kann maximal $A = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Max}\ [a_\text{WWD}] \; \underline {= 0.693 \ \rm Np}$ werden unter folgenden Voraussetzungen:
+Hierfür müssen  folgende Voraussetzungen erfüllt sein:
 * nicht abgeschlossene Leitung ($r_1 = r_2  = 1$),
 * kurze Kabellänge, so dass der Term $\alpha \cdot l$ nicht wirksam ist ($r_\alpha = 1$),