Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Zum Abtasttheorem - Versionsgeschichte

Guenter am 8. April 2022 um 13:39 Uhr

2022-04-08T13:39:19Z

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Guenter am 8. Januar 2019 um 17:20 Uhr

2019-01-08T17:20:13Z

Guenter am 8. Januar 2019 um 17:02 Uhr

2019-01-08T17:02:48Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:56Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:27:46Z

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Guenter am 20. Juli 2017 um 08:58 Uhr

2017-07-20T08:58:43Z

Guenter am 19. Juli 2017 um 16:02 Uhr

2017-07-19T16:02:42Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Aussagen</u> sind zutreffend:
+'''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Aussagen</u>&nbsp; sind zutreffend:
 [[Datei:P_ID1611__Mod_Z_4_2a.png|P_ID1611__Mod_Z_4_2a.png|right|frame|Spektralfunktion des abgetasteten Signals]]
-* Das Abtasttheorem wird mit&nbsp; $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz > 2 · 5 \ \rm  kHz$&nbsp; erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
+* Das Abtasttheorem wird mit&nbsp; $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz > 2 · 5 \ \rm  kHz$&nbsp; erfüllt,&nbsp; so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
-*Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $Q(f)$&nbsp; durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand&nbsp; $f_{\rm A}$, was in der Grafik für die Spektralfunktion&nbsp; $Q_3(f)$&nbsp; allgemein verdeutlicht wird.
+*Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $Q(f)$&nbsp; durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand&nbsp; $f_{\rm A}$,&nbsp; was in der Grafik für die Spektralfunktion&nbsp; $Q_3(f)$&nbsp; allgemein verdeutlicht wird.
 *Durch einen Rechteck&ndash;Tiefpass mit&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm  kHz$&nbsp; erhält man das ursprüngliche Spektrum&nbsp; $Q(f)$.
 Die Verschiebung um
-* $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $+6 \ \rm  kHz$ und $+16 \ \rm  kHz$,
+* $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $+6 \ \rm  kHz$&nbsp; und&nbsp; $+16 \ \rm  kHz$,
-* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $-6 \ \rm  kHz$ und $-16 \ \rm  kHz$,
+* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $-6 \ \rm  kHz$&nbsp; und&nbsp; $-16 \ \rm  kHz$,
-* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $+17 \ \rm  kHz$ und $+27 \ \rm  kHz$,
+* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $+17 \ \rm  kHz$&nbsp; und&nbsp; $+27 \ \rm  kHz$,
-* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $-17 \ \rm  kHz$, $-27 \ \rm  kHz$.
+* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $-17 \ \rm  kHz$,&nbsp; $-27 \ \rm  kHz$.
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-'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$:&nbsp; &nbsp; Alle Spektrallinien sind reell.
+[[Datei:P_ID1612__Mod_Z_4_2c.png|P_ID1612__Mod_Z_4_2c.png|right|frame|Spektralfunktion des abgetasteten Cosinussignals]]
 *Die Periodifizierung von&nbsp; $Q(f)$&nbsp; mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$&nbsp; führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei&nbsp; $±f_{\rm N}$,&nbsp; $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$,&nbsp; $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ...
-*Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht&nbsp; $A$, während die beiden Spektrallinien von&nbsp; $Q(f)$&nbsp; nur jeweils mit&nbsp; $A/2$&nbsp; gewichtet sind.
+*Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht&nbsp; $A$,&nbsp; während die Spektrallinien von&nbsp; $Q(f)$&nbsp; nur jeweils mit&nbsp; $A/2$&nbsp; gewichtet sind.
-*Wegen&nbsp; $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$&nbsp; ist das Spektrum&nbsp; $V_1(f)$&nbsp; nach dem Tiefpass identisch mit&nbsp; $Q_1(f)$&nbsp; und dementsprechend gilt auch&nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$.
+*Wegen&nbsp; $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$&nbsp; ist das Spektrum&nbsp; $V_1(f)$&nbsp; nach dem Tiefpass identisch mit&nbsp; $Q_1(f)$.&nbsp; Eentsprechend gilt auch&nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$.
 *Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: &nbsp; Die Abtastwerte von&nbsp; $q_1(t)$&nbsp; liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. &nbsp;
 *Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase.
+<br clear=all>
 [[Datei:P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|right|frame|Abgetastetes Sinussignal]]
-'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Alle Abtastwerte von&nbsp; $q_2(t)$&nbsp; liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier&nbsp; $q_{\rm A}(t) \equiv 0$&nbsp; gilt.&nbsp; Damit ergibt sich aber natürlich auch&nbsp; $v_2(t) \equiv 0$.
+*Alle Abtastwerte von&nbsp; $q_2(t)$&nbsp; liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals,&nbsp; das heißt,&nbsp; dass hier&nbsp; $q_{\rm A}(t) \equiv 0$&nbsp; gilt.&nbsp; Damit ergibt sich aber natürlich auch&nbsp; $v_2(t) \equiv 0$.
 *Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; herleiten. &nbsp; $Q(f)$&nbsp; ist rein imaginär und die Imaginärteile bei&nbsp; $±f_{\rm N}$&nbsp; haben unterschiedliche Vorzeichen. &nbsp;
 *Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf &nbsp; ⇒ &nbsp; $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $V_2(f) \equiv 0$.
 <br clear=all>
-[[Datei:P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|right|frame|Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase&nbsp; $φ_3 = π/4$]]
+[[Datei:P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|right|frame|Abgetastete harmonische Schwingung <br>mit Phase&nbsp; $φ_3 = π/4$]]
-'''(5)'''&nbsp;  <u>Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen</u> ist richtig:
+'''(5)'''&nbsp;  <u>Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen</u>&nbsp; ist richtig:
-*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
+*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$,&nbsp; so addieren sich zwar die Realteile,&nbsp; aber die Imaginärteile löschen sich aus.
-*Das heißt, dass nun&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; und&nbsp; $V_3(f)$&nbsp; reelle Spektren sind.&nbsp; Das heißt weiter: &nbsp;
+*Das heißt,&nbsp; dass nun&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; und&nbsp; $V_3(f)$&nbsp; reelle Spektren sind.&nbsp; Das heißt weiter: &nbsp;
 *Die Phaseninformation geht verloren&nbsp; $(φ = 0)$&nbsp; und das Ausgangssignal&nbsp; $v_3(t)$&nbsp; ist ein Cosinussignal.
-*Die Signale&nbsp; $q_3(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_3(t)$&nbsp; unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase. Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.
+*Die Signale&nbsp; $q_3(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_3(t)$&nbsp; unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase.&nbsp; Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.
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-Man erkennt, dass der Tiefpass genau das Ergebnis liefert, für das wahrscheinlich auch Sie sich entscheiden würden, wenn Sie durch die Abtastwerte (Kreise) einen Kurvenzug einzeichnen sollten.
+Man erkennt, dass der Tiefpass genau das Ergebnis liefert, für das wahrscheinlich auch Sie sich entscheiden würden,&nbsp; wenn Sie durch die Abtastwerte (Kreise) einen Kurvenzug einzeichnen sollten.

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 [[Datei:P_ID1610__Mod_Z_4_2.png|right|frame|Harmonische Schwingungen unterschiedlicher Phase]]
-Das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; besagt, dass die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz&nbsp; $f_\text {N, max}$:
+Das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; besagt,&nbsp; dass die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz&nbsp; $f_\text {N, max}$:
 :$$f_{\rm A} \ge 2 \cdot f_{\rm N,\hspace{0.05cm}max}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm A} \le \frac{1}{2 \cdot f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.05cm}.$$
-Wird diese Bedingung erfüllt, so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen (idealen) Tiefpass mit dem Frequenzgang
+Wird diese Bedingung erfüllt,&nbsp; so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen&nbsp; (idealen)&nbsp; Tiefpass mit dem Frequenzgang
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| = f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm G}} \\ \end{array}$$
-vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann&nbsp; $v(t) = q(t)$.
+vollständig rekonstruiert werden.&nbsp; Das heißt,&nbsp; es gilt dann&nbsp; $v(t) = q(t)$.
 *Die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen.
-*Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum&nbsp; $Q(f)$&nbsp; keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz&nbsp; $f_\text {N, max}$&nbsp; beinhaltet.
+*Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann,&nbsp; wenn das Spektrum&nbsp; $Q(f)$&nbsp; keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz&nbsp; $f_\text {N, max}$&nbsp; beinhaltet.
-In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet, die sich jeweils als harmonische Schwingung
+In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet,&nbsp; die sich jeweils als harmonische Schwingung
 :$$q(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t - \varphi)$$
 mit der Amplitude&nbsp; $A = 1\ \rm  V$&nbsp; und der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N}= 5 \ \rm  kHz$&nbsp; darstellen lassen.&nbsp; Für die Spektralfunktion&nbsp; $Q(f)$&nbsp; aller dargestellten Zeitsignale gilt allgemein:
 :$$Q(f) = \frac{A}{2} \cdot \delta (f- f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}+ \frac{A}{2} \cdot \delta (f+ f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}\hspace{0.05cm}.$$
 Die in der Grafik skizzierten Schwingungen unterscheiden sich allein durch die Phase&nbsp; $φ$:
-* $φ_1 = 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Cosinussignal $q_1(t)$,
+* $φ_1 = 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Cosinussignal&nbsp; $q_1(t)$,
-* $φ_2 = π/2 \  (= 90^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Sinussignal $q_2(t)$,
+* $φ_2 = π/2 \  (= 90^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Sinussignal&nbsp; $q_2(t)$,
-* $φ_3 = π/4 \  (= 45^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Signal $q_3(t)$.
+* $φ_3 = π/4 \  (= 45^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Signal&nbsp; $q_3(t)$.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
-*Das abgetastete Quellensignal wird mit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$.&nbsp;
+*Das abgetastete Quellensignal wird mit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$.&nbsp; Die Abtastung erfolgt stets bei&nbsp; $ν · T_{\rm A}$.

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 '''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Aussagen</u> sind zutreffend:
 [[Datei:P_ID1611__Mod_Z_4_2a.png|P_ID1611__Mod_Z_4_2a.png|right|frame|Spektralfunktion des abgetasteten Signals]]
-* Das Abtasttheorem wird mit $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz > 2 · 5 \ \rm  kHz$ erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
+* Das Abtasttheorem wird mit&nbsp; $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz > 2 · 5 \ \rm  kHz$&nbsp; erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
-*Das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ ergibt sich aus $Q(f)$ durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand $f_{\rm A}$, was in der ersten Grafik am Beispiel der Spektralfunktion $Q_3(f)$ allgemein verdeutlicht wird.
+*Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $Q(f)$&nbsp; durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand&nbsp; $f_{\rm A}$, was in der Grafik für die Spektralfunktion&nbsp; $Q_3(f)$&nbsp; allgemein verdeutlicht wird.
-*Durch einen rechteckförmigen Tiefpass mit Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm  kHz$ erhält man das ursprüngliche Spektrum $Q(f)$.
+*Durch einen Rechteck&ndash;Tiefpass mit&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm  kHz$&nbsp; erhält man das ursprüngliche Spektrum&nbsp; $Q(f)$.
 Die Verschiebung um
-* $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $+6 \ \rm  kHz$ und $+16 \ \rm  kHz$,
+* $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $+6 \ \rm  kHz$ und $+16 \ \rm  kHz$,
-* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $-6 \ \rm  kHz$ und $-16 \ \rm  kHz$,
+* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $-6 \ \rm  kHz$ und $-16 \ \rm  kHz$,
-* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $+17 \ \rm  kHz$ und $+27 \ \rm  kHz$,
+* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $+17 \ \rm  kHz$ und $+27 \ \rm  kHz$,
-* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $-17 \ \rm  kHz$, $-27 \ \rm  kHz$.
+* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm  kHz$&nbsp; liefert die Linien bei&nbsp; $-17 \ \rm  kHz$, $-27 \ \rm  kHz$.
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 '''(2)'''&nbsp;  Der Abtastabstand ist gleich dem Kehrwert der Abtastfrequenz:
 :$$ T_{\rm A} = {1}/{f_{\rm A} }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$ das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$: &nbsp; Alle Spektrallinien sind reell.
+*Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$:&nbsp; &nbsp; Alle Spektrallinien sind reell.
-*Die Periodifizierung von $Q(f)$ mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$ führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei $±f_{\rm N}$, $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$, $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ...
+*Die Periodifizierung von&nbsp; $Q(f)$&nbsp; mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$&nbsp; führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei&nbsp; $±f_{\rm N}$,&nbsp; $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$,&nbsp; $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ...
-*Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht $A$, während die beiden Spektrallinien von $Q(f)$ nur jeweils mit $A/2$ gewichtet sind.
+*Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht&nbsp; $A$, während die beiden Spektrallinien von&nbsp; $Q(f)$&nbsp; nur jeweils mit&nbsp; $A/2$&nbsp; gewichtet sind.
-*Wegen $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$ ist das Spektrum $V_1(f)$ nach dem Tiefpass identisch mit $Q_1(f)$ und dementsprechend gilt auch $v_1(t) = q_1(t)$.
+*Wegen&nbsp; $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$&nbsp; ist das Spektrum&nbsp; $V_1(f)$&nbsp; nach dem Tiefpass identisch mit&nbsp; $Q_1(f)$&nbsp; und dementsprechend gilt auch&nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$.
-*Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: &nbsp; Die Abtastwerte von $q_1(t)$ liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. &nbsp;  Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase.
+*Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: &nbsp; Die Abtastwerte von&nbsp; $q_1(t)$&nbsp; liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. &nbsp;
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 [[Datei:P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|right|frame|Abgetastetes Sinussignal]]
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Alle Abtastwerte von $q_2(t)$ liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier $q_{\rm A}(t) \equiv 0$ gilt.
+*Alle Abtastwerte von&nbsp; $q_2(t)$&nbsp; liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier&nbsp; $q_{\rm A}(t) \equiv 0$&nbsp; gilt.&nbsp; Damit ergibt sich aber natürlich auch&nbsp; $v_2(t) \equiv 0$.
-*Damit ergibt sich aber natürlich auch $v_2(t) \equiv 0$.
+*Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; herleiten. &nbsp; $Q(f)$&nbsp; ist rein imaginär und die Imaginärteile bei&nbsp; $±f_{\rm N}$&nbsp; haben unterschiedliche Vorzeichen. &nbsp;
-*Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe '''(1)''' herleiten. &nbsp; $Q(f)$ ist rein imaginär und die Imaginärteile bei $±f_{\rm N}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. &nbsp; Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf ⇒ $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $V_2(f) \equiv 0$.
+*Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf &nbsp; ⇒ &nbsp; $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $V_2(f) \equiv 0$.
 <br clear=all>
-[[Datei:P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|right|frame|Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase $φ_3 = π/4$]]
+[[Datei:P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|right|frame|Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase&nbsp; $φ_3 = π/4$]]
 '''(5)'''&nbsp;  <u>Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen</u> ist richtig:
-*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe '''(1)''' die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$ durch $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
+*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$&nbsp; durch&nbsp; $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
-*Das heißt, dass nun $Q_{\rm A}(f)$ und $V_3(f)$ reelle Spektren sind. Das heißt weiter: &nbsp; Die Phaseninformation geht verloren $(φ = 0)$ und das Ausgangssignal $v_3(t)$ ist ein Cosinussignal.
+*Das heißt, dass nun&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$&nbsp; und&nbsp; $V_3(f)$&nbsp; reelle Spektren sind.&nbsp; Das heißt weiter: &nbsp;
-*Die Signale $q_3(t)$ und $v_3(t)$ unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase. Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.
+*Die Phaseninformation geht verloren&nbsp; $(φ = 0)$&nbsp; und das Ausgangssignal&nbsp; $v_3(t)$&nbsp; ist ein Cosinussignal.
 Die Grafik zeigt
-*türkisfarben das Signal $q_3(t)$ und dessen Abtastwerte (Kreise) sowie
+*türkisfarben das Signal&nbsp; $q_3(t)$&nbsp; und dessen Abtastwerte (Kreise) sowie
-*rot gestrichelt das Ausgangssignal $v_3(t)$ des Tiefpasses.
+*rot gestrichelt das Ausgangssignal&nbsp; $v_3(t)$&nbsp; des Tiefpasses.

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 [[Datei:P_ID1610__Mod_Z_4_2.png|right|frame|Harmonische Schwingungen unterschiedlicher Phase]]
-Das [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]] besagt, dass die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal $q(t)$ enthaltene Frequenz $f_\text {N, max}$:
+Das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; besagt, dass die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; mindestens doppelt so groß sein muss wie die größte im Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz&nbsp; $f_\text {N, max}$:
 :$$f_{\rm A} \ge 2 \cdot f_{\rm N,\hspace{0.05cm}max}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm A} \le \frac{1}{2 \cdot f_{\rm N, \hspace{0.05cm}max}}\hspace{0.05cm}.$$
 Wird diese Bedingung erfüllt, so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen (idealen) Tiefpass mit dem Frequenzgang
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| = f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm G}} \\ \end{array}$$
-vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann $v(t) = q(t)$.
+vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann&nbsp; $v(t) = q(t)$.
-*Die Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen.
+*Die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen.
-*Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum $Q(f)$ keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz $f_\text {N, max}$ beinhaltet.
+*Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum&nbsp; $Q(f)$&nbsp; keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz&nbsp; $f_\text {N, max}$&nbsp; beinhaltet.
 In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet, die sich jeweils als harmonische Schwingung
 :$$q(t) = A \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t - \varphi)$$
-mit der Amplitude $A = 1\ \rm  V$ und der Frequenz $f_{\rm N}= 5 \ \rm  kHz$ darstellen lassen. Für die Spektralfunktion $Q(f)$ aller dargestellten Zeitsignale gilt allgemein:
+mit der Amplitude&nbsp; $A = 1\ \rm  V$&nbsp; und der Frequenz&nbsp; $f_{\rm N}= 5 \ \rm  kHz$&nbsp; darstellen lassen.&nbsp; Für die Spektralfunktion&nbsp; $Q(f)$&nbsp; aller dargestellten Zeitsignale gilt allgemein:
 :$$Q(f) = \frac{A}{2} \cdot \delta (f- f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}+ \frac{A}{2} \cdot \delta (f+ f_{\rm N}) \cdot {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\varphi}\hspace{0.05cm}.$$
-Die in der Grafik skizzierten Schwingungen unterscheiden sich allein durch die Phase $φ$:
+Die in der Grafik skizzierten Schwingungen unterscheiden sich allein durch die Phase&nbsp; $φ$:
 * $φ_1 = 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; Cosinussignal $q_1(t)$,
 * $φ_2 = π/2 \  (= 90^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Sinussignal $q_2(t)$,
 * $φ_3 = π/4 \  (= 45^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Signal $q_3(t)$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
-*Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
+*Das abgetastete Quellensignal wird mit&nbsp; $q_{\rm A}(t)$&nbsp; bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit&nbsp; $Q_{\rm A}(f)$.&nbsp;
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 + Das Abtasttheorem wird stets erfüllt.
 + Alle Signale können durch einen Tiefpass rekonstruiert werden.
-+ Es gilt stets &nbsp;$Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm  kHz) = Q(f = 5 \ \rm  kHz)$.
++ Es gilt stets &nbsp;$Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm  kHz}) = Q(f = 5 \ \rm  kHz)$.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  <u>Alle Aussagen</u> sind zutreffend:
 * Das Abtasttheorem wird mit $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz > 2 · 5 \ \rm  kHz$ erfüllt, so dass eine vollständige Signalrekonstruktion immer möglich ist.
 *Das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ ergibt sich aus $Q(f)$ durch periodische Fortsetzung im jeweiligen Frequenzabstand $f_{\rm A}$, was in der ersten Grafik am Beispiel der Spektralfunktion $Q_3(f)$ allgemein verdeutlicht wird.
 *Durch einen rechteckförmigen Tiefpass mit Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5.5 \ \rm  kHz$ erhält man das ursprüngliche Spektrum $Q(f)$.
 Die Verschiebung um
-* $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$ liefert Spektrallinien bei $+6 \ \rm  kHz$ und $+16 \ \rm  kHz$,
+* $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $+6 \ \rm  kHz$ und $+16 \ \rm  kHz$,
-* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm  kHz$ liefert Spektrallinien bei $-6 \ \rm  kHz$ und $-16 \ \rm  kHz$,
+* $-f_{\rm A} = -11 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $-6 \ \rm  kHz$ und $-16 \ \rm  kHz$,
-* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm  kHz$ liefert Spektrallinien bei $+17 \ \rm  kHz$ und $+27 \ \rm  kHz$,
+* $2 · f_{\rm A} = 22 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $+17 \ \rm  kHz$ und $+27 \ \rm  kHz$,
-* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm  kHz$ liefert Spektrallinien bei $-17 \ \rm  kHz$ und $-27 \ \rm  kHz$.
+* $-2 · f_{\rm A}= -22 \ \rm  kHz$ liefert die Linien bei $-17 \ \rm  kHz$, $-27 \ \rm  kHz$.
 '''(2)'''&nbsp;  Der Abtastabstand ist gleich dem Kehrwert der Abtastfrequenz:
 :$$ T_{\rm A} = {1}/{f_{\rm A} }\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$ das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$: Alle Spektrallinien sind reell.
+*Beim cosinusförmigen Signal ergibt sich entsprechend der nächsten Grafik mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$ das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$: &nbsp; Alle Spektrallinien sind reell.
 *Die Periodifizierung von $Q(f)$ mit $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$ führt zu einem Diracpuls mit Spektrallinien bei $±f_{\rm N}$, $±f_{\rm N}± f_{\rm A}$, $±f_{\rm N}± 2f_{\rm A}$, ...
 *Durch die Überlagerungen haben alle Diracfunktionen das Gewicht $A$, während die beiden Spektrallinien von $Q(f)$ nur jeweils mit $A/2$ gewichtet sind.
 *Wegen $H(f = f_{\rm N}) = H(f = f_{\rm G}) = 0.5$ ist das Spektrum $V_1(f)$ nach dem Tiefpass identisch mit $Q_1(f)$ und dementsprechend gilt auch $v_1(t) = q_1(t)$.
-*Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: Die Abtastwerte von $q_1(t)$ liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase.
+*Im Zeitbereich kann man sich die Signalrekonstruktion wie folgt vorstellen: &nbsp; Die Abtastwerte von $q_1(t)$ liegen genau bei den Signalmaxima und –minima. &nbsp;  Der Tiefpass formt daraus das Cosinussignal mit richtiger Amplitude, Frequenz und Phase.
 [[Datei:P_ID1612__Mod_Z_4_2c.png|P_ID1612__Mod_Z_4_2c.png|center|frame|Spektralfunktion des abgetasteten Cosinussignals]]
 [[Datei:P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|P_ID1613__Mod_Z_4_2d.png|right|frame|Abgetastetes Sinussignal]]
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 *Alle Abtastwerte von $q_2(t)$ liegen nun genau bei den Nulldurchgängen des Sinussignals, das heißt, dass hier $q_{\rm A}(t) \equiv 0$ gilt.
 *Damit ergibt sich aber natürlich auch $v_2(t) \equiv 0$.
-*Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe (1) herleiten. $Q(f)$ ist rein imaginär und die Imaginärteile bei $±f_{\rm N}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf ⇒ $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $V_2(f) \equiv 0$.
+*Im Spektralbereich kann man das Ergebnis mit Hilfe der Grafik zur Teilaufgabe '''(1)''' herleiten. &nbsp; $Q(f)$ ist rein imaginär und die Imaginärteile bei $±f_{\rm N}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. &nbsp; Somit heben sich bei der Periodifizierung jeweils ein positiver und ein negativer Anteil auf ⇒ $Q_{\rm A}(f) \equiv 0$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $V_2(f) \equiv 0$.
+<br clear=all>
 [[Datei:P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|P_ID1614__Mod_Z_4_2e.png|right|frame|Abgetastete harmonische Schwingung mit Phase $φ_3 = π/4$]]
 '''(5)'''&nbsp;  <u>Keiner der vorgegebenen Lösungsvorschlägen</u> ist richtig:
-*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe (1) die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$ durch $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
+*Ersetzt man in der Grafik zur Teilaufgabe '''(1)''' die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 11 \ \rm  kHz$ durch $f_{\rm A} = 10 \ \rm  kHz$, so addieren sich zwar die Realteile, aber die Imaginärteile löschen sich aus.
-*Das heißt, dass nun $Q_{\rm A}(f)$ und $V_3(f)$ reelle Spektren sind. Das heißt weiter: Die Phaseninformation geht verloren ($φ = 0$) und das Ausgangssignal $v_3(t)$ ist ein Cosinussignal.
+*Das heißt, dass nun $Q_{\rm A}(f)$ und $V_3(f)$ reelle Spektren sind. Das heißt weiter: &nbsp; Die Phaseninformation geht verloren $(φ = 0)$ und das Ausgangssignal $v_3(t)$ ist ein Cosinussignal.
 *Die Signale $q_3(t)$ und $v_3(t)$ unterscheiden sich somit sowohl in der Amplitude als auch in der Phase. Lediglich die Frequenz bleibt erhalten.
-Die Grafik zeigt türkisfarben das Signal $q_3(t)$, dessen Abtastwerte (Kreise) sowie rot gestrichelt das Ausgangssignal $v_3(t)$ des Tiefpasses. Man erkennt, dass der Tiefpass genau das Ergebnis liefert, für das wahrscheinlich auch Sie sich entscheiden würden, wenn Sie durch die (roten) Abtastwerte einen Kurvenzug einzeichnen sollten.
+Die Grafik zeigt

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 Wird diese Bedingung erfüllt, so kann beim Empfänger das Nachrichtensignal durch einen rechteckförmigen (idealen) Tiefpass mit dem Frequenzgang
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| = f_{\rm G},} \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm G}} \\ \end{array}$$
-vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann $v(t) = q(t)$. Die Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist dabei gleich der halben Abtastfrequenz zu wählen. Das Gleichheitszeichen gilt allgemein nur dann, wenn das Spektrum $Q(f)$ keine diskrete Spektrallinie bei der Frequenz $f_\text {N, max}$ beinhaltet.
+vollständig rekonstruiert werden, das heißt, es gilt dann $v(t) = q(t)$.
 In dieser Aufgabe werden drei verschiedene Quellensignale betrachtet, die sich jeweils als harmonische Schwingung
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 * $φ_2 = π/2 \  (= 90^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Sinussignal $q_2(t)$,
 * $φ_3 = π/4 \  (= 45^\circ)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  Signal $q_3(t)$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
 *Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten mit $f_{\rm A} = 11\ \rm  kHz$?
+{Welche Aussagen gelten mit &nbsp;$f_{\rm A} = 11\ \rm  kHz$?
 |type="[]"}
 + Das Abtasttheorem wird stets erfüllt.
 + Alle Signale können durch einen Tiefpass rekonstruiert werden.
-+ Es gilt stets $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm  kHz) = Q(f = 5 \ \rm  kHz)$.
++ Es gilt stets &nbsp;$Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm  kHz) = Q(f = 5 \ \rm  kHz)$.
-{Welcher Abtastabstand ergibt sich mit $f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
+{Welcher Abtastabstand ergibt sich mit &nbsp;$f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
 |type="{}"}
 $T_{\rm A} \ = \ $ { 0.1 3% } $\ \rm ms$
-{Welche Aussagen gelten für das Signal $q_1(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
+{Welche Aussagen gelten für das Signal &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
 |type="[]"}
-- Es gilt $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm  kHz) = Q_1(f = 5 \ \rm  kHz)$.
+- Es gilt &nbsp;$Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm  kHz)} = Q_1(f = 5 \ \rm  kHz)$.
 + Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$.
-- Das rekonstruierte Signal ist $v_1(t) \equiv  0$.
+- Das rekonstruierte Signal ist &nbsp;$v_1(t) \equiv  0$.
-{Welche Aussagen gelten für das Signal $q_2(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
+{Welche Aussagen gelten für das Signal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
 |type="[]"}
-- Es gilt  $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm  kHz) = Q_2(f = 5 \ \rm  kHz)$.
+- Es gilt  &nbsp;$Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm  kHz)} = Q_2(f = 5 \ \rm  kHz)$.
 - Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich &nbsp; ⇒ &nbsp;  $v_2(t) = q_2(t)$.
-+ Das rekonstruierte Signal ist $v_2(t) \equiv 0$.
++ Das rekonstruierte Signal ist &nbsp;$v_2(t) \equiv 0$.
-{Welche Aussagen gelten für das Signal $q_3(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
+{Welche Aussagen gelten für das Signal &nbsp;$q_3(t)$ und $f_{\rm A} = 10\ \rm  kHz$?
 |type="[]"}
-- Es gilt  $Q_{\rm A}(f = 5 \ \rm  kHz) = Q_3(f = 5 \ \rm  kHz)$.
+- Es gilt  &nbsp;$Q_{\rm A}(f = 5 \ {\rm  kHz)} = Q_3(f = 5 \ \rm  kHz)$.
 - Eine vollständige Signalrekonstruktion ist möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; $v_3(t) = q_3(t)$.
-- Das rekonstruierte Signal ist $v_3(t) \equiv 0$.
+- Das rekonstruierte Signal ist &nbsp;$v_3(t) \equiv 0$.

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
 *Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 ===Fragebogen===