Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Multiplikation mit Sinussignal - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:15 Uhr

2021-05-03T16:15:11Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:10 Uhr

2021-05-03T16:10:36Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:07 Uhr

2021-05-03T16:07:08Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:06 Uhr

2021-05-03T16:06:17Z

Guenter am 2. Oktober 2019 um 16:08 Uhr

2019-10-02T16:08:34Z

Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:59 Uhr

2019-10-02T15:59:49Z

Guenter am 25. Juli 2018 um 16:13 Uhr

2018-07-25T16:13:26Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 23. Januar 2018 um 16:09 Uhr

2018-01-23T16:09:21Z

Guenter am 23. Januar 2018 um 15:58 Uhr

2018-01-23T15:58:08Z

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
-[[Datei:P_ID706__Sig_Z_4_2_c.png|right|frame|Diskretes Bandpass&ndasH;Spektrum]]
+[[Datei:P_ID706__Sig_Z_4_2_c.png|right|frame|Diskretes Bandpass&ndash;Spektrum]]
 '''(3)'''&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $S(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$. Man erhält:
 :$$S(f)  = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 0.125\, \text{ms}$?
+{Geben Sie das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in analytischer Form an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 0.125\, \text{ms}$?
 |type="{}"}
 $q(t = 0)\ = \ $  { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
-{Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal&nbsp; $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert?
+{Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal&nbsp; $z(t)$?&nbsp; Wie groß ist dessen Maximalwert?
 |type="{}"}
 $z_{\rm max}\ = \ $ { 6 3% }
-{Berechnen Sie die Spektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null?
+{Berechnen Sie die Spektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; getrennt nach Real– und Imaginärteil.&nbsp; Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null?
 |type="[]"}
 + $3\ \text{kHz},$

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 16:07 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

−	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP~~- ~~und BP~~-Signalen	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen
	}}		}}

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 16:06 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
−	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/~~Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP~~-~~_und_BP~~-Signalen\|~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von~~ Tiefpass~~–~~ und Bandpass~~–~~Signalen]].	+	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen\|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 {Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal&nbsp; $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert?
 |type="{}"}
-$z_{max}\ = \ $ { 6 3% }
+$z_{\rm max}\ = \ $ { 6 3% }
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen $f_1 = 1\ \text{kHz}$ und $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$ wie folgt darstellen (es gilt $f_2 = 2f_1$):
+'''(1)'''&nbsp;  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen&nbsp; $f_1 = 1\ \text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$&nbsp; wie folgt darstellen&nbsp; $($es gilt&nbsp; $f_2 = 2f_1)$:
 :$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi {t}/{T_1}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\sin} ( 4 \pi {t}/{T_1}) .$$
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; verschwindet der zweite Anteil und es ergibt sich&nbsp; $q(t = 0)\; \underline{= 4 \ \text{V}}$.
-*Dagegen erhält man für $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:
+*Dagegen erhält man für&nbsp; $t = 0.125 \ \text{ms} = T_1/8$:
 :$$q(t = 0.125{\rm ms})  =  4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( {\pi}/{4}) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 .828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten:
 :$$z(t )  = 6 \cdot  {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm
 kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$
 [[Datei:P_ID706__Sig_Z_4_2_c.png|right|frame|Diskretes Bandpass&ndasH;Spektrum]]
-'''(3)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält:
+'''(3)'''&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $S(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung zwischen&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$. Man erhält:
 :$$S(f)  = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+
 f_{\rm T}).$$
@@ Zeile 93: / Zeile 95: @@
 Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.
-Linien mit reellen Gewichten bei $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.
+Linien mit reellen Gewichten bei&nbsp; $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$&nbsp; <u>und</u>&nbsp; $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.
 '''(4)'''&nbsp;  Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.
 Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen.
-Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:
+Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel&nbsp; $f_5 = 5 \text{ kHz}$. Dann gilt:
 :$$4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3
@@ Zeile 111: / Zeile 115: @@
   t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$
-Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:
+*Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:
-:* bei $+f_4$ bzw. $-f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
+:* bei&nbsp; $+f_6$&nbsp; bzw.&nbsp; $-f_6$&nbsp; mit den Gewichten&nbsp; $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$&nbsp; bzw.&nbsp; $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
-:* bei $+f_6$ bzw. $-f_6$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
+*Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien&nbsp; (alle&nbsp; $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei&nbsp; $\pm f_3$&nbsp; und&nbsp; $\pm f_7$.
 Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID697__Sig_Z_4_2_neu.png|right|frame|Spektralfunktionen $Q(f)$ und $Z(f)$]]
+[[Datei:P_ID697__Sig_Z_4_2_neu.png|right|frame|Spektralfunktionen&nbsp; $Q(f)$&nbsp; und&nbsp; $Z(f)$]]
-Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal $q(t)$, dessen Spektralfunktion $Q(f)$ in der oberen Grafik zu sehen ist.
+Betrachtet wird ein periodisches Nachrichtensignal&nbsp; $q(t)$, dessen Spektralfunktion&nbsp; $Q(f)$&nbsp; in der oberen Grafik zu sehen ist.
-Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger $z(t)$, dessen Spektrum $Z(f)$ ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal $s(t) = q(t) \cdot z(t).$
+Eine Multiplikation mit dem dimensionslosen Träger&nbsp; $z(t)$, dessen Spektrum&nbsp; $Z(f)$&nbsp; ebenfalls dargestellt ist, führt zum Signal&nbsp; $s(t) = q(t) \cdot z(t).$
-In dieser Aufgabe soll die Spektralfunktion $S(f)$ dieses Signals ermittelt werden, wobei die Lösung entweder im Zeit&ndash; oder im Frequenzbereich erfolgen kann.
+In dieser Aufgabe soll die Spektralfunktion&nbsp; $S(f)$&nbsp; dieses Signals ermittelt werden, wobei die Lösung entweder im Zeit&ndash; oder im Frequenzbereich erfolgen kann.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass&ndash; und Bandpass&ndash;Signalen]].
@@ Zeile 23: / Zeile 26: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das Quellensignal $q(t)$ in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für $t = 0$ und $t = 0.125\, \text{ms}$?
+{Geben Sie das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; in analytischer Form an. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 0.125\, \text{ms}$?
 |type="{}"}
 $q(t = 0)\ = \ $  { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 29: / Zeile 32: @@
-{Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert?
+{Wie lautet das (dimensionslose) Trägersignal&nbsp; $z(t)$? Wie groß ist dessen Maximalwert?
 |type="{}"}
 $z_{max}\ = \ $ { 6 3% }
-{Berechnen Sie die Spektrum $S(f)$ getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil $\neq 0$?
+{Berechnen Sie die Spektrum&nbsp; $S(f)$&nbsp; getrennt nach Real– und Imaginärteil. Bei welchen Frequenzen gibt es Linien mit einem Realteil ungleich Null?
 |type="[]"}
 + $3\ \text{kHz},$

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen $f_1 = 1\ \text{kHz}$ und $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$ wie folgt darstellen (beachten Sie, dass $f_2 = 2f_1$ gilt):
+'''(1)'''&nbsp;  Das Nachrichtensignal lässt sich mit den Abkürzungen $f_1 = 1\ \text{kHz}$ und $T_1 = 1/f_1 = 1 \ \text{ms}$ wie folgt darstellen (es gilt $f_2 = 2f_1$):
 :$$q(t ) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V}
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 .828 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
-'''2.'''  Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten:
+'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem rein imaginären Spektrum $Z(f)$ und den Impulsgewichten $\pm 3$ muss gelten:
 :$$z(t )  = 6 \cdot  {\sin} ( 2 \pi \cdot 5\hspace{0.05cm}{\rm
 kHz})\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} z_{\rm max}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 6} .$$
-[[Datei:P_ID706__Sig_Z_4_2_c.png|right|Diskretes BP-Spektrum]]
+[[Datei:P_ID706__Sig_Z_4_2_c.png|right|frame|Diskretes BP-Spektrum]]
-'''3.''' Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält:
+'''(3)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen $Q(f)$ und $Z(f)$. Man erhält:
 :$$S(f)  = - 3{\rm j} \cdot Q(f- f_{\rm T}) + 3{\rm j} \cdot Q(f+
 f_{\rm T}).$$
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 *$4\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
 *$6\ \text{kHz} (–{\rm j} \cdot 6\ {\rm V})$,
 * $7\ \text{kHz}\ (–3\ {\rm V})$.
 Dazu noch die konjugiert–komplexen Anteile bei negativen Frequenzen.
 Linien mit reellen Gewichten bei $\underline{\pm 3 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 7 \ \text{kHz}}$.
-'''4.'''  Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.
+'''(4)'''&nbsp;  Imaginäre Linien treten bei $\underline{\pm 4 \ \text{kHz}}$ <u>und</u> $\underline{\pm 6 \ \text{kHz}}$ auf.
 Eine alternative Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgabe ist die Anwendung trigonometrischer Gleichungen. Im Folgenden bezeichnet zum Beispiel $f_5 = 5 \text{kHz}$. Dann gilt:
 :$$4\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_1 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3
   \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)=
-  \frac{12\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \left[{\sin} ( 2 \pi f_4 \hspace{0.03cm}
+  \frac{12\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\sin} ( 2 \pi f_4 \hspace{0.03cm}
-  t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\right],$$
+  t)+ {\sin} ( 2 \pi f_6 \hspace{0.03cm} t)\big],$$
 :$$-2\hspace{0.05cm}{\rm V}
   \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_2 \hspace{0.03cm}t) \cdot 3
   \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_5 \hspace{0.03cm} t)=
-  \frac{-6\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \left[{\cos} ( 2 \pi f_3 \hspace{0.03cm}
+  \frac{-6\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2}\cdot \big[{\cos} ( 2 \pi f_3 \hspace{0.03cm}
-  t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\right].$$
+  t)+ {\cos} ( 2 \pi f_7 \hspace{0.03cm} t)\big].$$
 Aus der ersten Gleichung ergeben sich folgende Spektrallinien:
-:* bei $f_4$ bzw. $–f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
+:* bei $+f_4$ bzw. $–f_4$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3\ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j}\cdot 3 \ {\rm V}$,
-:* bei $f_6$ bzw. $–f_6$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
+:* bei $+f_6$ bzw. $–f_6$ mit den Gewichten $–{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$ bzw. $+{\rm j} \cdot 3 \ {\rm V}$.
 Die zweite Gleichung liefert insgesamt vier Diraclinien (alle $6 \ {\rm V}$, reell und negativ) bei $\pm f_3$ und $\pm f_7$. Ein Vergleich mit obiger Skizze zeigt, dass beide Lösungswege zum gleichen Ergebnis führen.