Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Gemischte Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Februar 2020 um 16:38 Uhr

2020-02-10T16:38:13Z

Guenter am 10. Februar 2020 um 16:29 Uhr

2020-02-10T16:29:06Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 09:52 Uhr

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Guenter am 16. Oktober 2018 um 09:38 Uhr

2018-10-16T09:38:08Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:09:46Z

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Guenter am 9. Juni 2017 um 10:42 Uhr

2017-06-09T10:42:01Z

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2017-04-06T12:44:45Z

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2017-04-06T12:09:00Z

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, weil das Integral über die WDF $1$ ergeben  muss:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, weil das Integral über die WDF&nbsp; $1$&nbsp; ergeben  muss:
 :$$f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
 .25 \cdot 2 + (A - 0.25) \cdot \varepsilon \stackrel{!}{=} 1 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm}(A - 0.25) \cdot \varepsilon \stackrel{!}{=} 0.5
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 0.5/\varepsilon +0.25\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 86: / Zeile 87: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
 Insbesondere erhält man
-* für $\varepsilon = 0.1$:
+* für&nbsp; $\varepsilon = 0.1$:
 :$$h(X) =1.9 - 0.525 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(5.25) = 1.9 - 1.256
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.644\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm},$$
-* für $\varepsilon = 0.01$:
+* für&nbsp; $\varepsilon = 0.01$:
 :$$h(X) =1.99 - 0.5025 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(50.25)= 1.99 - 2.84
 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.850\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}$$
-* für $\varepsilon = 0.001$:
+* für&nbsp; $\varepsilon = 0.001$:
 :$$h(X) =1.999 - 0.50025 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(500.25) = 1.999 - 8.967
 \hspace{0.15cm}\underline{= -6.968\,{\rm bit}}
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
 '''(3)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
-*Nach dem Grenzübergang &nbsp;$\varepsilon &#8594; 0$&nbsp; erhält man für die differentielle Entropie
+*Nach dem Grenzübergang &nbsp; $\varepsilon &#8594; 0$ &nbsp; erhält man für die differentielle Entropie
-:$$h(X) = \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0} \hspace{0.1cm}[(2-\varepsilon) - (0.5 + 0.25 \cdot \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon +0.25)]
+:$$h(X) = \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0} \hspace{0.1cm}\big[(2-\varepsilon) - (0.5 + 0.25 \cdot \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon +0.25)\big]
     = 2\,{\rm bit} - 0.5 \cdot \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0}\hspace{0.1cm}{\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon)
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} - \infty
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2871__Inf_Z_4_2c_neu.png|right|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße $X$]]
+[[Datei:P_ID2871__Inf_Z_4_2c_neu.png|right|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße&nbsp; $X$]]
 *Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ergibt sich in diesem Fall zu
 :$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 0.25 + 0.5 \cdot \delta (x-1) \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 2, \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
 \hspace{0.05cm}.$$
 Es handelt sich demzufolge um eine &bdquo;gemischte&rdquo; Zufallsgröße mit
-* einem stochastischen, gleichverteilten Anteil im Bereich $0 \le x \le 2$, und
+* einem stochastischen, gleichverteilten Anteil im Bereich&nbsp; $0 \le x \le 2$, und
-* einem diskreten Anteil bei $x = 1$ mit der Wahrscheinlichkeit $0.5$.
+* einem diskreten Anteil bei&nbsp; $x = 1$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $0.5$.
 Die Grafik zeigt links die WDF &nbsp;$f_X(x)$&nbsp; und rechts die Verteilungsfunktion &nbsp;$F_X(x)$.
 <br clear=all>
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 5</u>. Die untere Grafik zeigt die WDF und die VTF der Zufallsgröße $Y$. Man erkennt:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 5</u>.
 [[Datei:P_ID2872__Inf_Z_4_2d_neu.png|right|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße $Y$]]
-* $Y$ beinhaltet wie $X$ einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
+* $Y$&nbsp; beinhaltet wie&nbsp; $X$&nbsp; einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
-* Der diskrete Anteil tritt mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = 1) = 0.1$ auf.
+* Der diskrete Anteil tritt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 1) = 0.1$ auf.
 * Da &nbsp;$F_Y(y)= {\rm Pr}(Y \le y)$&nbsp; gilt,  ergibt sich  der rechtsseitige Grenzwert:
 :$$F_Y(y = 1) = 0.55.$$
-* Der kontinuierliche Anteil ist nicht gleichverteilt; vielmehr liegt eine Dreieckverteilung vor.
+* Der kontinuierliche Anteil ist nicht gleichverteilt;&nbsp; vielmehr liegt eine Dreieckverteilung vor.
 *Richtig ist auch der letzte Vorschlag: &nbsp; $h(Y) = h(X) = - \infty$.
-<br>Denn: &nbsp; '''Bei jeder Zufallsgröße mit einem diskreten Anteil &ndash; und ist er auch noch so klein, ist die differentielle Entropie gleich minus unendlich'''.
+<br clear=all>
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2868__Inf_Z_4_2_neu.png|right|frame|WDF von $X$ und VTF von $Y$]]
+[[Datei:P_ID2868__Inf_Z_4_2_neu.png|right|frame|WDF von&nbsp; $X$&nbsp; (oben),&nbsp; und <br>VTF von&nbsp; $Y$&nbsp; (unten)]]
 Man spricht von einer &bdquo;gemischten Zufallsgröße&rdquo;, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.
-*Die Zufallsgröße $Y$ mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] $F_Y(y)$ gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
+*Die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; mit der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]&nbsp; $F_Y(y)$&nbsp; gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
-*Die [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] $f_Y(y)$ erhält man aus $F_Y(y)$ durch Differentiation.
+*Die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; $f_Y(y)$&nbsp; erhält man aus&nbsp; $F_Y(y)$&nbsp; durch Differentiation.
-*Aus dem Sprung bei $y= 1$ in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein &bdquo;Dirac&rdquo; in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).
+*Aus dem Sprung bei&nbsp; $y= 1$&nbsp; in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein &bdquo;Dirac&rdquo; in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).
-*In der Teilaufgabe '''(4)''' soll die differentielle Entropie $h(Y)$ der Zufallsgröße $Y$ ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist:
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; soll die differentielle Entropie&nbsp; $h(Y)$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist:
 :$$h(Y) =
 \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm}  f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y
 \hspace{0.05cm}.$$
-*In der Teilaufgabe '''(2)'''  ist die differentielle Entropie  $h(X)$ der Zufallsgröße $X$ zu berechnen, deren WDF $f_X(x)$ oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße $X$ eine gemischte Zufallsgröße.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp;  ist die differentielle Entropie&nbsp;  $h(X)$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; zu berechnen, deren WDF&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; oben skizziert ist.&nbsp; Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; eine gemischte Zufallsgröße.
@@ Zeile 31: / Zeile 34: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die WDF&ndash;Höhe $A$ von &nbsp;$f_X(x)$&nbsp; um &nbsp;$x = 1$?
+{Wie groß ist die WDF&ndash;Höhe&nbsp; $A$&nbsp; von &nbsp;$f_X(x)$&nbsp; um &nbsp;$x = 1$?
 |type="[]"}
 - $A = 0.5/\varepsilon$,
@@ Zeile 45: / Zeile 48: @@
 {Welches Ergebnis liefert der Grenzwert &nbsp;$ε \to 0$?
 |type="[]"}
-+ $f_X(x)$ hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
++ $f_X(x)$&nbsp; hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
 + Die differentielle Energie &nbsp;$h(X)$&nbsp; ist negativ.
 +  Der Betrag &nbsp;$|h(X)|$&nbsp; ist unendlich groß.
-{Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße $Y$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- Der VTF&ndash;Wert an der Stelle &nbsp;$y = 1$&nbsp; ist $0.5$.
+- Der VTF&ndash;Wert an der Stelle &nbsp;$y = 1$&nbsp; ist&nbsp; $0.5$.
-+ $Y$ beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil.
++ $Y$&nbsp; beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil.
-+  Der diskrete Anteil bei &nbsp;$Y = 1$&nbsp;  tritt mit &nbsp;$10\%$&nbsp; Wahrscheinlichkeit auf.
++  Der diskrete Anteil bei&nbsp; &nbsp;$Y = 1$&nbsp;  tritt mit &nbsp;$10\%$&nbsp; Wahrscheinlichkeit auf.
-- Der kontinuierliche Anteil von $Y$ ist gleichverteilt.
+- Der kontinuierliche Anteil von&nbsp; $Y$&nbsp; ist gleichverteilt.
-+ Die differentiellen Entropien von $X$ und $Y$ sind gleich.
++ Die differentiellen Entropien von&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; sind gleich.

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 \Rightarrow\hspace{0.3cm}(A - 0.25) \cdot \varepsilon \stackrel{!}{=} 0.5
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 0.5/\varepsilon +0.25\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die differentielle Entropie (in &bdquo;bit&rdquo;) ist wie folgt gegeben:
@@ Zeile 78: / Zeile 79: @@
   \hspace{-0.25cm} \int\limits_{0}^{1-\varepsilon/2} \hspace{-0.15cm}  0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x +
 \hspace{-0.25cm}\int\limits_{1+\varepsilon/2}^{2} \hspace{-0.15cm}  0.25 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x
-   +  \hspace{-0.25cm}\int\limits_{1-\varepsilon/2}^{1+\varepsilon/2} \hspace{-0.15cm}  [0.5/\varepsilon + 0.25] \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.5/\varepsilon + 0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$
+   +  \hspace{-0.25cm}\int\limits_{1-\varepsilon/2}^{1+\varepsilon/2} \hspace{-0.15cm}  \big [0.5/\varepsilon + 0.25 \big ] \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.5/\varepsilon + 0.25} \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$
 :$$   \Rightarrow \hspace{0.3cm} h(X) = 2 \cdot 0.25 \cdot 2 \cdot (2-\varepsilon) - (0.5 + 0.25 \cdot \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon +0.25)
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 95: / Zeile 96: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind hier zutreffend:
-*Nach dem Grenzübergang <i>&epsilon;</i> &#8594; 0 erhält man für die differentielle Entropie
+'''(3)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
 :$$h(X) = \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0} \hspace{0.1cm}[(2-\varepsilon) - (0.5 + 0.25 \cdot \varepsilon) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon +0.25)]
     = 2\,{\rm bit} - 0.5 \cdot \lim\limits_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} 0}\hspace{0.1cm}{\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(0.5/\varepsilon)
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} - \infty
 \hspace{0.05cm}.$$
 *Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ergibt sich in diesem Fall zu
 :$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 0.25 + 0.5 \cdot \delta (x-1) \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 2, \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
@@ Zeile 108: / Zeile 111: @@
 * einem diskreten Anteil bei $x = 1$ mit der Wahrscheinlichkeit $0.5$.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 5</u>. Die untere Grafik zeigt die WDF und die VTF der Zufallsgröße $Y$. Man erkennt:
-* $Y$ beinhaltet wie $X$ sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
+[[Datei:P_ID2872__Inf_Z_4_2d_neu.png|right|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße $Y$]]
 * Der diskrete Anteil tritt mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = 1) = 0.1$ auf.
-* Da $F_Y(y)= Pr({\rm Pr}(Y \le y)$ gilt,  ergibt sich  der rechtsseitige Grenzwert: &nbsp; $F_Y(y = 1) = 0.55$.
+* Da &nbsp;$F_Y(y)= {\rm Pr}(Y \le y)$&nbsp; gilt,  ergibt sich  der rechtsseitige Grenzwert:
 * Der kontinuierliche Anteil ist nicht gleichverteilt; vielmehr liegt eine Dreieckverteilung vor.
-[[Datei:P_ID2872__Inf_Z_4_2d_neu.png|center|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße <i>Y</i>]]
+*Richtig ist auch der letzte Vorschlag: &nbsp; $h(Y) = h(X) = - \infty$.
+<br>Denn: &nbsp; '''Bei jeder Zufallsgröße mit einem diskreten Anteil &ndash; und ist er auch noch so klein, ist die differentielle Entropie gleich minus unendlich'''.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2868__Inf_Z_4_2_neu.png|right|frame|WDF von <i>X</i> und VTF von <i>Y</i>]]
+[[Datei:P_ID2868__Inf_Z_4_2_neu.png|right|frame|WDF von $X$ und VTF von $Y$]]
-Man spricht von einer <i>gemischten Zufallsgröße</i>, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.
+Man spricht von einer &bdquo;gemischten Zufallsgröße&rdquo;, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.
 *Die Zufallsgröße $Y$ mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] $F_Y(y)$ gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 *Aus dem Sprung bei $y= 1$ in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein &bdquo;Dirac&rdquo; in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).
-*In der Teilaufgabe $(4)$ soll die differentielle Entropie $h(Y)$ der Zufallsgröße $Y$ ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist:
+*In der Teilaufgabe '''(4)''' soll die differentielle Entropie $h(Y)$ der Zufallsgröße $Y$ ermittelt werden (in bit), wobei von folgender Gleichung auszugehen ist:
 :$$h(Y) =
-\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm}  f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y
+\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm}  f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y
 \hspace{0.05cm}.$$
-*In der Teilaufgabe $(2)$  ist die differentielle Entropie  $h(X)$ der Zufallsgröße $X$ zu berechnen, deren WDF $f_X(x)$ oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße $X$ eine gemischte Zufallsgröße.
+*In der Teilaufgabe '''(2)'''  ist die differentielle Entropie  $h(X)$ der Zufallsgröße $X$ zu berechnen, deren WDF $f_X(x)$ oben skizziert ist. Führt man einen geeigneten Grenzübergang durch, so wird auch aus der Zufallsgröße $X$ eine gemischte Zufallsgröße.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
-*Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
+*Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
@@ Zeile 28: / Zeile 31: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die WDF&ndash;Höhe $A$ von $f_X(x)$ um $x = 1$?
+{Wie groß ist die WDF&ndash;Höhe $A$ von &nbsp;$f_X(x)$&nbsp; um &nbsp;$x = 1$?
 |type="[]"}
 - $A = 0.5/\varepsilon$,
@@ Zeile 34: / Zeile 37: @@
 - $A = 1/\varepsilon$.
-{Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene $\varepsilon$&ndash;Werte.
+{Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene &nbsp;$\varepsilon$&ndash;Werte.
 |type="{}"}
 $ε = 10^{-1}\text{:} \ \    h(X) \ = \ $ { 0.644 3% } $\ \rm bit$
@@ Zeile 40: / Zeile 43: @@
 $ε = 10^{-3}\text{:} \ \    h(X) \ = \ $ { -7.2--6.8 } $\ \rm bit$
-{Welches Ergebnis liefert der Grenzwert $ε \to 0$?
+{Welches Ergebnis liefert der Grenzwert &nbsp;$ε \to 0$?
 |type="[]"}
 + $f_X(x)$ hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
-+ Die differentielle Energie $h(X)$ ist negativ.
++ Die differentielle Energie &nbsp;$h(X)$&nbsp; ist negativ.
-+  Der Betrag $|h(X)|$ ist unendlich groß.
++  Der Betrag &nbsp;$|h(X)|$&nbsp; ist unendlich groß.
 {Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße $Y$ zu?
 |type="[]"}
-- Der VTF&ndash;Wert an der Stelle $y = 1$ ist $0.5$.
+- Der VTF&ndash;Wert an der Stelle &nbsp;$y = 1$&nbsp; ist $0.5$.
-+ $Y$ beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil..
++ $Y$ beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil.
-+  Der diskrete Anteil bei $Y = 1$ = 1 tritt mit $10\%$ Wahrscheinlichkeit auf.
++  Der diskrete Anteil bei &nbsp;$Y = 1$&nbsp;  tritt mit &nbsp;$10\%$&nbsp; Wahrscheinlichkeit auf.
 - Der kontinuierliche Anteil von $Y$ ist gleichverteilt.
 + Die differentiellen Entropien von $X$ und $Y$ sind gleich.

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
 *Weitere Informationen zu gemischten Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2868__Inf_Z_4_2_neu.png|right|WDF von <i>X</i> und VTF von <i>Y</i>]]
+[[Datei:P_ID2868__Inf_Z_4_2_neu.png|right|frame|WDF von <i>X</i> und VTF von <i>Y</i>]]
 Man spricht von einer <i>gemischten Zufallsgröße</i>, wenn die Zufallsgröße neben einem kontinuierlichen Anteil auch noch diskrete Anteile beinhaltet.
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 {Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene $\varepsilon$&ndash;Werte.
 |type="{}"}
-$ε = 10^{-1}\text{:} \ \    h(X) \ = $ { 0.644 3% } $\ \rm bit$
+$ε = 10^{-1}\text{:} \ \    h(X) \ = \ $ { 0.644 3% } $\ \rm bit$
-$ε = 10^{-2}\text{:} \ \    h(X) \ = $ { -0.87--0.83 } $\ \rm bit$
+$ε = 10^{-2}\text{:} \ \    h(X) \ = \ $ { -0.87--0.83 } $\ \rm bit$
-$ε = 10^{-3}\text{:} \ \    h(X) \ = $ { -7.2--6.8 } $\ \rm bit$
+$ε = 10^{-3}\text{:} \ \    h(X) \ = \ $ { -7.2--6.8 } $\ \rm bit$
 {Welches Ergebnis liefert der Grenzwert $ε \to 0$?
@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 Die Grafik zeigt links die WDF $f_X(x)$ und rechts die Verteilungsfunktion (kurz VTF) $F_X(x)$.
-[[Datei:P_ID2871__Inf_Z_4_2c_neu.png|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße <i>X</i>]]
+[[Datei:P_ID2871__Inf_Z_4_2c_neu.png|center|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße <i>X</i>]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 5</u>. Die untere Grafik zeigt die WDF und die VTF der Zufallsgröße $Y$. Man erkennt:
@@ Zeile 113: / Zeile 113: @@
 * Da $F_Y(y)= Pr({\rm Pr}(Y \le y)$ gilt,  ergibt sich  der rechtsseitige Grenzwert: &nbsp; $F_Y(y = 1) = 0.55$.
 * Der kontinuierliche Anteil ist nicht gleichverteilt; vielmehr liegt eine Dreieckverteilung vor.
-[[Datei:P_ID2872__Inf_Z_4_2d_neu.png|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße <i>Y</i>]]
+[[Datei:P_ID2872__Inf_Z_4_2d_neu.png|center|frame|WDF und VTF der gemischten Zufallsgröße <i>Y</i>]]
 Richtig ist auch der letzte Vorschlag: $h(Y) = h(X) = - \infty$.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 *Die Zufallsgröße $Y$ mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] $F_Y(y)$ gemäß der unteren Skizze besitzt beispielsweise sowohl einen kontinuierlichen als auch einen diskreten Anteil.
-*Die [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion] $f_Y(y)$ erhält man aus $F_Y(y)$ durch Differentiation.
+*Die [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] $f_Y(y)$ erhält man aus $F_Y(y)$ durch Differentiation.
 *Aus dem Sprung bei $y= 1$ in der Verteilungsfunktion (VTF) wird somit ein &bdquo;Dirac&rdquo; in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF).
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die WDF&ndash;Höhe <i>A</i> von <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) um <i>X</i> = 1?
+{Wie groß ist die WDF&ndash;Höhe $A$ von $f_X(x)$ um $x = 1$?
 |type="[]"}
-- <i>A</i> = 0.5/<i>&epsilon;</i>,
+- $A = 0.5/\varepsilon$,
-+ <i>A</i> = 0.5/<i>&epsilon;</i> + 0.25,
++ $A = 0.5/\varepsilon+0.25$,
-- <i>A</i> = 1/<i>&epsilon;</i>.
+- $A = 1/\varepsilon$.
-{Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene <i>&epsilon;</i>&ndash;Werte.
+{Berechnen Sie die differentielle Entropie für verschiedene $\varepsilon$&ndash;Werte.
 |type="{}"}
-$ε = 0.1:   h(X)$ = { 0.644 3% }
+$ε = 10^{-1}\text{:} \ \    h(X) \ = $ { 0.644 3% } $\ \rm bit$
-$ε = 0.01:   h(X)$ = { 0.85 3% }
+$ε = 10^{-2}\text{:} \ \    h(X) \ = $ { 0.85 3% } $\ \rm bit$
-$ε = 0.001:   h(X))$ = { 6.968 3% }
+$ε = 10^{-3}\text{:} \ \    h(X) \ = $ { 6.968 3% } $\ \rm bit$
-{Welches Ergebnis liefert der Grenzwert <i>&epsilon;</i> &#8594; 0?
+{Welches Ergebnis liefert der Grenzwert $ε \to 0$?
 |type="[]"}
-+ <i>f<sub>X</sub></i>(<i>x</i>) hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
++ $f_X(x)$ hat nun einen kontinuierlichen und einen diskreten Anteil.
-+ Die differentielle Energie <i>h</i>(<i>X</i>) ist negativ.
++ Die differentielle Energie $h(X)$ ist negativ.
-+  Der Betrag |<i>h</i>(<i>X</i>)| ist unendlich groß.
++  Der Betrag $|h(X)|$ ist unendlich groß.
-{Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße <i>Y</i> zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Zufallsgröße $Y$ zu?
 |type="[]"}
-- Der VTF&ndash;Wert an der Stelle <i>y</i> = 1 ist 0.5.
+- Der VTF&ndash;Wert an der Stelle $y = 1$ ist $0.5$.
-+ <i>Y</i> beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil..
++ $Y$ beinhaltet einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil..
-+  Der diskrete Anteil <i>Y</i> = 1 tritt mit 10% Wahrscheinlichkeit auf.
++  Der diskrete Anteil bei $Y = 1$ = 1 tritt mit $10\%$ Wahrscheinlichkeit auf.
-- Der kontinuierliche Anteil von <i>Y</i> ist gleichverteilt.
+- Der kontinuierliche Anteil von $Y$ ist gleichverteilt.
-+ Die differentiellen Entropien von <i>X</i> und <i>Y</i> sind gleich.
++ Die differentiellen Entropien von $X$ und $Y$ sind gleich.