Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Achtstufiges Phase Shift Keying - Versionsgeschichte

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2022-07-13T16:33:32Z

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2022-07-13T16:26:45Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:51Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Signal $s_0(t)$ lautet:
+'''(1)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; lautet:
 :$$s_0(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) = s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
-*Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist, ist $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$.
+*Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist,&nbsp; ist&nbsp; $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$.
 *Weiter gilt mit der angegebenen Abkürzung:
 :$$A = s_{01} \cdot \sqrt{{2}/{T}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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-'''(2)'''&nbsp; Das Signal $s_2(t)$ lautet mit $i = 2$ (beachten Sie, dass die zweite Basisfunktion minus&ndash;sinusförmig ist):
+'''(2)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; lautet mit&nbsp; $i = 2$&nbsp; $($beachten Sie,&nbsp; dass die zweite Basisfunktion minus&ndash;sinusförmig ist$)$:
 :$$s_2(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{2})= -  A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{21}\hspace{0.05cm} \underline{= 0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{22}=  \sqrt{E}  \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline {=1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' gilt nun:
+'''(3)'''&nbsp; Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt nun:
 :$$s_{51}= s_{52}= - \sqrt{E/2} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = -0.707 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{5}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )=A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_5)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\phi_5 = -0.75 \cdot \pi
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 *Dabei gilt folgender Zusammenhang: &nbsp;
 :$$\xi_1 (t) = \varphi_1 (t) + {\rm j} \cdot \psi_1 (t)\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Alternativen 2 und 3</u>:
 *Die Basisfunktion muss energienormiert sein.
 * $\psi_1(t)$ ist wie $\varphi_1(t)$ eine reelle, nicht etwa eine imaginäre Funktion:
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-'''(6)'''&nbsp; Aus dem Tiefpass&ndash;Signal $s_{\rm TP0}(t)$ kann man auch das Bandpass&ndash;Signal $s_0(t)$ berechnen.
+'''(6)'''&nbsp; Aus dem Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; $s_{\rm TP0}(t)$&nbsp; kann man auch das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $s_0(t)$&nbsp; berechnen.
-*Im Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$ erhält man mit dem Ergebnis aus '''(5)''' das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe '''(1)''' :
+*Im Bereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; erhält man mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(5)'''&nbsp; das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''' :
 :$$s_0(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\left[s_{{\rm TP}0}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right]
   = {\rm Re}\left[\sqrt{E} /{\sqrt{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \right]=  \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm},$$
-*Daraus folgt: Die Energie $E$ bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich auf das Bandpass&ndash;Signal.
+*Daraus folgt:&nbsp; Die Energie&nbsp; $E$&nbsp; bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich auf das Bandpass&ndash;Signal.
-*Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal $s_2(t)$ im interessierenden Bereich:
+*Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; im interessierenden Bereich:
 :$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big]
   = {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \big]
@@ Zeile 128: / Zeile 129: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Schließlich kann für das (grüne) Signal $s_5(t)$ im Bereich $0 &#8804; t < T$ geschrieben werden:
+*Schließlich kann für das&nbsp; (grüne)&nbsp; Signal&nbsp; $s_5(t)$&nbsp; im Bereich&nbsp; $0 &#8804; t < T$&nbsp; geschrieben werden:
 :$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = \text{...}
   =  - \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)+ \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)=\sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + 1.25 \cdot \pi)
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben '''(2)''' bzw. '''(3)''' überein. Zutreffend ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; bzw.&nbsp; '''(3)'''&nbsp; überein.&nbsp; Zutreffend ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 Außerhalb der Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; sind die Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; alle Null.
-In der&nbsp; [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]&nbsp; wurde gezeigt, dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen
+In der&nbsp; [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]&nbsp; wurde gezeigt,&nbsp; dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen
 :$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},$$
 :$$\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}$$
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; lautet entsprechend dem Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_Tiefpass.E2.80.93Signal| Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal]]&nbsp; des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo;:
+Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; lautet entsprechend dem Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_Tiefpass.E2.80.93Signal| "Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal"]]&nbsp; des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo;:
 :$$s_{{\rm TP}i}(t)= a_{i} \cdot g_s(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}a_{i} = a_{{\rm I}i} + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i}
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}i = 0,\text{...} \hspace{0.1cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
-wobei&nbsp; $a_i$&nbsp; komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; im Tiefpassbereich&nbsp; $E_{\it g_s}$&nbsp; beträgt. Im hier dargestellten Fall beschreibt&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; einen Rechteckimpuls, doch kann für&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.
+wobei&nbsp; $a_i$&nbsp; komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; im Tiefpassbereich&nbsp; $E_{\it g_s}$&nbsp; beträgt.&nbsp; Im hier dargestellten Fall beschreibt&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; einen Rechteckimpuls,&nbsp; doch kann für&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.
-Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8&ndash;PSK für das Bandpass&ndash;Signal (oben) sowie für das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal (unten):
+Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8&ndash;PSK für das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; (oben)&nbsp; sowie für das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal&nbsp; (unten):
-*Man erkennt daraus, dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden, wobei&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
+*Man erkennt daraus,&nbsp; dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden,&nbsp; wobei&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
 *In der Tiefpassdarstellung gilt&nbsp; $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
@@ Zeile 28: / Zeile 29: @@
+*Auf die farblich markierten Signalraumpunkte in der Grafik&nbsp; (blau,&nbsp; rot,&nbsp; grün)&nbsp; wird im Fragebogen Bezug genommen.&nbsp; Diese sehen für die Signale&nbsp; $s_0(t)$,&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_5(t)$.
@@ Zeile 68: / Zeile 70: @@
 - $\psi_1(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
-{Es gelte&nbsp; $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$. Was trifft zu:
+{Es gelte&nbsp; $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$.&nbsp; Was trifft zu?
 |type="()"}
 - Die Energie&nbsp; $E$&nbsp; bezieht sich auf das Tiefpass&ndash;Signal.

@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 :$$s_0(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) = s_{01} \cdot \varphi_1(t) + s_{02} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist, ist $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$. Weiter gilt mit der angegebenen Abkürzung:
+*Da dieses Signal keinen Sinusteil aufweist, ist $s_{\rm 02} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}$.
 :$$A = s_{01} \cdot \sqrt{{2}/{T}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 s_{01}=\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T} =  \sqrt{E}\hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Das Signal $s_2(t)$ lautet mit $i = 2$ (beachten Sie, dass die zweite Basisfunktion minus&ndash;sinusförmig ist):
@@ Zeile 87: / Zeile 89: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{21}\hspace{0.05cm} \underline{= 0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} s_{22}=  \sqrt{E}  \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline {=1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Entsprechend den Musterlösungen zu den Teilaufgaben (1) und (2) gilt nun:
 :$$s_{51}= s_{52}= - \sqrt{E/2} \hspace{0.05cm} \hspace{0.15cm}\underline { = -0.707 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{5}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) - {A}/{ \sqrt{2}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )=A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_5)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}\phi_5 = -0.75 \cdot \pi
@@ Zeile 93: / Zeile 96: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>. Dabei gilt folgender Zusammenhang: &nbsp; $\xi_1 (t) = \varphi_1 (t) + {\rm j} \cdot \psi_1 (t)\hspace{0.05cm}.$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>:
@@ Zeile 104: / Zeile 111: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-'''(6)'''&nbsp; Aus dem Tiefpass&ndash;Signal $s_{\rm TP0}(t)$ kann man auch das Bandpass&ndash;Signal $s_0(t)$ berechnen. Im Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$ gilt mit dem Ergebnis aus (5):
-:$$s_0(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}[s_{{\rm TP}0}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ]
+'''(6)'''&nbsp; Aus dem Tiefpass&ndash;Signal $s_{\rm TP0}(t)$ kann man auch das Bandpass&ndash;Signal $s_0(t)$ berechnen.
-  = {\rm Re}[\sqrt{E} \cdot \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ]=  \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
+*Im Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$ erhält man mit dem Ergebnis aus '''(5)''' das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe '''(1)''' :
 \hspace{0.05cm},$$
-also das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (1). Daraus folgt: Die Energie $E$ bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich auf das Bandpass&ndash;Signal.
+*Daraus folgt: Die Energie $E$ bezieht sich auch bei Betrachtung im äquivalenten Tiefpass&ndash;Bereich auf das Bandpass&ndash;Signal.
-Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal $s_2(t)$ im interessierenden Bereich:
+*Entsprechend gilt für das mit blauem Punkt markierte Signal $s_2(t)$ im interessierenden Bereich:
-:$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ]
+:$$s_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big]
-  = {\rm Re}[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) ]
+  = {\rm Re}\big[\hspace{0.05cm}{\rm j} \cdot \sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)- \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t) \big]
   = - \sqrt{E/T} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)
 \hspace{0.05cm}.$$
-Schließlich kann für das (grüne) Signal $s_5(t)$ im Bereich $0 &#8804; t < T$ geschrieben werden:
+*Schließlich kann für das (grüne) Signal $s_5(t)$ im Bereich $0 &#8804; t < T$ geschrieben werden:
-:$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} ] = \text{...}
+:$$s_5(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Re}\big[\frac{-1 - {\rm j}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{{E}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi f_{\rm T}t} \big] = \text{...}
   =  - \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t)+ \sqrt{\frac{E}{2T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t)=\sqrt{E/T} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + 1.25 \cdot \pi)
 \hspace{0.05cm}.$$
-Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben (2) bzw. (3) überein. Zutreffend ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Auch diese Ergebnisse stimmen mit denen der Teilaufgaben '''(2)''' bzw. '''(3)''' überein. Zutreffend ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID1998__Dig_Z_4_2.png|right|frame|Signalraumpunkte bei 8-PSK]]
-Die $M = 8$ möglichen Sendesignale bei 8&ndash;PSK lauten mit $i = 0, \ \text{...} \ , 7$ im Bereich $0 &#8804; t < T$:
+Die&nbsp; $M = 8$&nbsp; möglichen Sendesignale bei 8&ndash;PSK lauten mit&nbsp; $i = 0, \ \text{...} \ , 7$&nbsp; im Bereich&nbsp; $0 &#8804; t < T$:
 :$$s_i(t)=  A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + i \cdot {\pi}/{4}) \hspace{0.05cm}.$$
-Außerhalb der Symboldauer $T$ sind die Signale $s_i(t)$ alle gleich $0$.
+Außerhalb der Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; sind die Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; alle Null.
-In der [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]] wurde gezeigt, dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen
+In der&nbsp; [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]&nbsp; wurde gezeigt, dass diese Signalmenge durch die Basisfunktionen
 :$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},$$
 :$$\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}$$
-wie folgt dargestellt werden kann ($i = 0, \ \text{...} \ , 7$):
+wie folgt dargestellt werden kann&nbsp; $(i = 0, \ \text{...} \ , 7)$:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale $s_i(t)$ lautet entsprechend dem Abschnitt [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_Tiefpass.E2.80.93Signal| Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo;:
+Die äquivalente Tiefpassdarstellung der Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; lautet entsprechend dem Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Systembeschreibung_durch_das_.C3.A4quivalente_Tiefpass.E2.80.93Signal| Systembeschreibung durch das äquivalente Tiefpass–Signal]]&nbsp; des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo;:
 :$$s_{{\rm TP}i}(t)= a_{i} \cdot g_s(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}a_{i} = a_{{\rm I}i} + {\rm j} \cdot a_{{\rm Q}i}
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}i = 0,\text{...} \hspace{0.1cm} , 7 \hspace{0.05cm},$$
-wobei $a_i$ komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses $g_s(t)$ im Tiefpassbereich $E_{\it gs}$ beträgt. Im hier dargestellten Fall beschreibt $g_s(t)$ einen Rechteckimpuls, doch kann für $g_s(t)$ auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.
+wobei&nbsp; $a_i$&nbsp; komplexe dimensionslose Koeffizienten sind und die Energie des Sendegrundimpulses&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; im Tiefpassbereich&nbsp; $E_{\it g_s}$&nbsp; beträgt. Im hier dargestellten Fall beschreibt&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; einen Rechteckimpuls, doch kann für&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; auch ein jeder andere energiebegrenzte Impuls verwendet werden.
 Die Grafik zeigt die Signalraumdarstellung der 8&ndash;PSK für das Bandpass&ndash;Signal (oben) sowie für das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal (unten):
-*Man erkennt daraus, dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden, wobei $\varphi_1(t)$ in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
+*Man erkennt daraus, dass sich die beiden Darstellungen nur duch die verwendeten Basisfunktionen unterscheiden, wobei&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; in der oberen und der unteren Grafik für unterschiedliche Funktionen steht.
-*In der Tiefpassdarstellung gilt $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
+*In der Tiefpassdarstellung gilt&nbsp; $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
+* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie&nbsp; $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
-* Im Gegensatz zum Theorieteil und zur [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]] kann hier die Laufvariable $i$ die Werte $0, \ \text{...} \, ,M&ndash;1$ annehmen.
+* Im Gegensatz zum Theorieteil und zur&nbsp; [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]]&nbsp; kann hier die Laufvariable&nbsp; $i$&nbsp; die Werte &nbsp;$0, \ \text{...} \, ,M-1$&nbsp; annehmen.
@@ Zeile 36: / Zeile 40: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_0(t)$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_0(t)$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 01} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
 $s_{\rm 02} \ = \ $ { 0. } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_2(t)$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_2(t)$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21} \ = \ $ { 0. } $\ \cdot \sqrt{E}$
 $s_{\rm 22} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_5(t)$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_5(t)$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 51} \ = \ $ { -0.72821--0.68579 } $\ \cdot \sqrt{E}$
 $s_{\rm 52} \ = \ $ { -0.72821--0.68579 } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Durch welche Basisfunktionen sind die Tiefpass&ndash;Signale $s_{\rm TP \it i}(t)$ darstellbar? Durch
+{Durch welche Basisfunktionen sind die Tiefpass&ndash;Signale&nbsp; $s_{\rm TP \it i}(t)$&nbsp; darstellbar? Durch
 |type="[]"}
-+ eine komplexe Basisfunktion $\xi_1(t)$,
++ eine komplexe Basisfunktion&nbsp; $\xi_1(t)$,
-- zwei komplexe Basisfunktionen $\xi_1(t)$ und $\xi_2(t)$,
+- zwei komplexe Basisfunktionen&nbsp; $\xi_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$\xi_2(t)$,
-+ zwei reelle Funktionen $\varphi_1(t)$ und $\psi_1(t)$.
++ zwei reelle Funktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$\psi_1(t)$.
 {Wie lauten im vorliegenden Fall die reellen Basisfunktionen?
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = g_s(t)$,
-+ $\varphi_1(t) = g_s(t)/\sqrt{E_{\rm gs}}$,
++ $\varphi_1(t) = g_s(t)/\sqrt{E_{\rm g_s}}$,
 + $\psi_1(t) = \varphi_1(t)$,
 - $\psi_1(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.
-{Es gelte $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$. Was trifft zu:
+{Es gelte&nbsp; $s_{\rm TP0}(t) = \sqrt{E}$. Was trifft zu:
 |type="()"}
-- Die Energie $E$ bezieht sich auf das Tiefpass&ndash;Signal.
+- Die Energie&nbsp; $E$&nbsp; bezieht sich auf das Tiefpass&ndash;Signal.
-+ Die Energie $E$ bezieht sich auf das Bandpass&ndash;Signal.
++ Die Energie&nbsp; $E$&nbsp; bezieht sich auf das Bandpass&ndash;Signal.
 </quiz>

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
 * Im Gegensatz zum Theorieteil und zur [[Aufgaben:4.2_AM/PM-Schwingungen| Aufgabe 4.2]] kann hier die Laufvariable $i$ die Werte $0, \ \text{...} \, ,M&ndash;1$ annehmen.

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(kein Unterschied)