Aufgaben:Aufgabe 4.2: Tiefpass zur Signalrekonstruktion - Versionsgeschichte

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2017-07-19T15:44:55Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur die&nbsp; <u>erste Aussage</u>:
-*Die Abtastung von&nbsp; $q_{\rm dis}(t)$&nbsp; mit der Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$&nbsp; führt zu einem irreversiblen Fehler, da&nbsp; $Q_{\rm dis}(f)$&nbsp; einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei&nbsp; $f_4 = 4\ \rm  kHz$&nbsp; beinhaltet und der Phasenwert&nbsp; $φ_4 ≠ 0$&nbsp; ist.
+*Die Abtastung von&nbsp; $q_{\rm dis}(t)$&nbsp; mit der Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$&nbsp; führt zu einem irreversiblen Fehler,&nbsp; da&nbsp; $Q_{\rm dis}(f)$&nbsp; einen diskreten Spektralanteil&nbsp; ("Diraclinie")&nbsp; bei&nbsp; $f_4 = 4\ \rm  kHz$&nbsp; beinhaltet und der Phasenwert&nbsp; $φ_4 ≠ 0$&nbsp; ist.
 *Mit dem hier angegebenen Phasenwert&nbsp; $φ_4 = 90^\circ$&nbsp; $(4 \ \rm kHz$– Sinuskomponente$)$&nbsp; gilt&nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm  V · \sin(2π · f_4 · t)$.&nbsp; Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z.
 *Dagegen kann das Signal&nbsp; $q_{\rm kon}(t)$&nbsp; mit dem kontinuierlichen Spektrum&nbsp; $Q_{\rm kon}(f)$&nbsp; auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass&nbsp; $($mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = 4\ \rm   kHz)$&nbsp; vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 8\ \rm   kHz$&nbsp; verwendet wurde.&nbsp; Für alle Frequenzen ungleich&nbsp; $f_4$&nbsp; ist das Abtasttheorem erfüllt.
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-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$&nbsp; wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
 * Mit&nbsp; $f_{\rm G}  = f_{\rm A} /2$&nbsp; sind beide Fehlersignale&nbsp; $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
-*Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange&nbsp; $f_{\rm G} > 4 \ \rm   kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm G} < 6 \ \rm  kHz$&nbsp; gilt.
+*Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann,&nbsp; solange&nbsp; $f_{\rm G} > 4 \ \rm   kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm G} < 6 \ \rm  kHz$&nbsp; gilt.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Mit&nbsp; $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$&nbsp; entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den&nbsp; $4\ \rm   kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
+*Mit&nbsp; $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$&nbsp; entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den&nbsp; $4\ \rm   kHz$–Anteil,&nbsp; das heißt dann gilt:
 :$$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
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 [[Datei:P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|right|frame|Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz]]
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 *Durch die Abtastung mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$&nbsp; ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum.
 *Der Tiefpass mit&nbsp; $f_{\rm G} = 6.5 \ \rm  kHz$&nbsp; entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit&nbsp; $|f| ≥ 7\ \rm    kHz$, nicht aber den&nbsp; $6\ \rm    kHz$–Anteil.

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 }}
-[[Datei:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliches und diskretes Spektrum&nbsp; (Beispiele)]]
+[[Datei:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Beispiele für kontinuierliches und diskretes Spektrum]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale&nbsp; $q_{\rm kon}(t)$&nbsp; und&nbsp; $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren&nbsp; $|Q_{\rm kon}(f)|$&nbsp; und&nbsp; $|Q_{\rm dis}(f)|$&nbsp; grafisch dargestellt sind.&nbsp; Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils&nbsp; $4 \ \rm kHz$.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale&nbsp; $q_{\rm kon}(t)$&nbsp; und&nbsp; $q_{\rm dis}(t)$,&nbsp; deren Betragsspektren&nbsp; $|Q_{\rm kon}(f)|$&nbsp; und&nbsp; $|Q_{\rm dis}(f)|$&nbsp; grafisch dargestellt sind.&nbsp; Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils&nbsp; $4 \ \rm kHz$.
-* Von der Spektralfunktion&nbsp; $Q_{\rm kon}(f)$&nbsp; ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:
+* Von der Spektralfunktion&nbsp; $Q_{\rm kon}(f)$&nbsp; ist nicht mehr bekannt,&nbsp; als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt,&nbsp; wobei gilt:
 :$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$
 * Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm dis}(f)$&nbsp; beinhaltet Spektrallinien bei&nbsp; $±1  \ \rm kHz$,&nbsp; $±2 \ \rm  kHz$,&nbsp; $±3  \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $±4  \ \rm kHz$.&nbsp; Somit gilt:
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 :Amplitudenwerte: &nbsp;  $C_1 = 1.0 \ \rm  V$, $C_2 = 1.8 \ \rm  V$, $C_3 = 0.8  \ \rm V$, $C_4 = 0.4  \ \rm V.$
-:Die Phasenwerte&nbsp; $φ_1$,&nbsp; $φ_2$&nbsp; und&nbsp; $φ_3$&nbsp; liegen jeweils im Bereich&nbsp; $±18^\circ$&nbsp; und es gilt&nbsp; $φ_4 = 90^\circ$.
+:Die Phasenwerte&nbsp; $φ_1$,&nbsp; $φ_2$&nbsp; und&nbsp; $φ_3$&nbsp; liegen jeweils im Bereich&nbsp; $±180^\circ$&nbsp; und es gilt&nbsp; $φ_4 = 90^\circ$.
-Die Signale werden jeweils mit der Frequenz&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; zugeführt.&nbsp; Dieses Szenario gilt zum Beispiel für
+Die Signale werden jeweils mit der Frequenz&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; abgetastet und sofort einem idealen,&nbsp; rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; zugeführt.&nbsp; Dieses Szenario gilt zum Beispiel für
-* die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
+* die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation&nbsp; $\rm (PAM)$,&nbsp; und
-* die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M$.
+* die störungsfreie Pulscodemodulation&nbsp; $\rm (PCM)$&nbsp; bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M$.
-Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt&nbsp;
+Das Ausgangssignal des&nbsp; (rechteckförmigen)&nbsp; Tiefpasses wird als Sinkensignal&nbsp; $v(t)$&nbsp; bezeichnet,&nbsp; und für das Fehlersignal gilt&nbsp;
 :$$ε(t) = v(t) - q(t).$$
-Dieses ist nur dann von Null verschieden, wenn die Parameter der Abtastung&nbsp; $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$&nbsp; und/oder der Signalrekonstruktion&nbsp; $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$&nbsp; nicht bestmöglich dimensioniert sind.
+Dieses ist nur dann von Null verschieden,&nbsp; wenn die Parameter der Abtastung&nbsp; $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$&nbsp; und/oder der Signalrekonstruktion&nbsp; $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$&nbsp; nicht bestmöglich dimensioniert sind.
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|"Abtastung und Signalrekonstruktion"]].

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>:
-*Die Abtastung von $q_{\rm dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da $Q_{\rm dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei $f_4 = 4\ \rm  kHz$ beinhaltet und der Phasenwert $φ_4 ≠ 0$ ist.
+*Die Abtastung von&nbsp; $q_{\rm dis}(t)$&nbsp; mit der Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$&nbsp; führt zu einem irreversiblen Fehler, da&nbsp; $Q_{\rm dis}(f)$&nbsp; einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei&nbsp; $f_4 = 4\ \rm  kHz$&nbsp; beinhaltet und der Phasenwert&nbsp; $φ_4 ≠ 0$&nbsp; ist.
-*Mit dem hier angegebenen Phasenwert $φ_4 = 90^\circ$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm  V · \sin(2π · f_4 · t)$. Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z.
+*Mit dem hier angegebenen Phasenwert&nbsp; $φ_4 = 90^\circ$&nbsp; $(4 \ \rm kHz$– Sinuskomponente$)$&nbsp; gilt&nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm  V · \sin(2π · f_4 · t)$.&nbsp; Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z.
-*Dagegen kann das Signal $q_{\rm kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 4\ \rm   kHz$) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8\ \rm   kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt.
+*Dagegen kann das Signal&nbsp; $q_{\rm kon}(t)$&nbsp; mit dem kontinuierlichen Spektrum&nbsp; $Q_{\rm kon}(f)$&nbsp; auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass&nbsp; $($mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = 4\ \rm   kHz)$&nbsp; vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz&nbsp; $f_{\rm A} = 8\ \rm   kHz$&nbsp; verwendet wurde.&nbsp; Für alle Frequenzen ungleich&nbsp; $f_4$&nbsp; ist das Abtasttheorem erfüllt.
-*Der Anteil der $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei $f_4$ keine Diraclinie aufweist.
+*Der Anteil der&nbsp; $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum&nbsp; $Q_{\rm kon}(f)$&nbsp; ist aber nur verschwindend klein &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei&nbsp; $f_4$&nbsp; keine Diraclinie aufweist.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Mit $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
+*Mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$&nbsp; wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
-* Mit $f_{\rm G}  = f_{\rm A} /2$ sind beide Fehlersignale $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
+* Mit&nbsp; $f_{\rm G}  = f_{\rm A} /2$&nbsp; sind beide Fehlersignale&nbsp; $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
-*Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_{\rm G} > 4 \ \rm   kHz$ und $f_{\rm G} < 6 \ \rm  kHz$ gilt.
+*Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange&nbsp; $f_{\rm G} > 4 \ \rm   kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm G} < 6 \ \rm  kHz$&nbsp; gilt.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4\ \rm   kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
+*Mit&nbsp; $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$&nbsp; entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den&nbsp; $4\ \rm   kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
 :$$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|right|frame|Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum.
+*Durch die Abtastung mit&nbsp; $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$&nbsp; ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum.
-*Der Tiefpass mit $f_{\rm G} = 6.5 \ \rm  kHz$ entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm    kHz$, nicht aber den $6\ \rm    kHz$–Anteil.
+*Der Tiefpass mit&nbsp; $f_{\rm G} = 6.5 \ \rm  kHz$&nbsp; entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit&nbsp; $|f| ≥ 7\ \rm    kHz$, nicht aber den&nbsp; $6\ \rm    kHz$–Anteil.
-Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit
+Das Fehlersignal&nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist dann eine harmonische Schwingung mit
-* der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} - f_4 = 6\  \rm kHz$,
+* der Frequenz&nbsp; $f_6 = f_{\rm A} - f_4 = 6\  \rm kHz$,
-* der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,
+* der Amplitude&nbsp; $A_4$ des&nbsp; $f_4$–Anteils,
-* der Phase $φ_{-4} = -φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = -f_4$.
+* der Phase&nbsp; $φ_{-4} = -φ_4$&nbsp; des&nbsp; $Q(f)$–Anteils bei&nbsp; $f = -f_4$.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliche und diskrete Spektren (Beispiele)]]
+[[Datei:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliches und diskretes Spektrum&nbsp; (Beispiele)]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale&nbsp; $q_{\rm kon}(t)$&nbsp; und&nbsp; $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren&nbsp; $|Q_{\rm kon}(f)|$&nbsp; und&nbsp; $|Q_{\rm dis}(f)|$&nbsp; grafisch dargestellt sind.&nbsp; Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils&nbsp; $4 \ \rm kHz$.
-* Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:
+* Von der Spektralfunktion&nbsp; $Q_{\rm kon}(f)$&nbsp; ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:
 :$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$
-* Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1  \ \rm kHz$, $±2 \ \rm  kHz$, $±3  \ \rm kHz$ und $±4  \ \rm kHz$. Somit gilt:
+* Das Spektrum&nbsp; $Q_{\rm dis}(f)$&nbsp; beinhaltet Spektrallinien bei&nbsp; $±1  \ \rm kHz$,&nbsp; $±2 \ \rm  kHz$,&nbsp; $±3  \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $±4  \ \rm kHz$.&nbsp; Somit gilt:
 :$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i),$$
 :Amplitudenwerte: &nbsp;  $C_1 = 1.0 \ \rm  V$, $C_2 = 1.8 \ \rm  V$, $C_3 = 0.8  \ \rm V$, $C_4 = 0.4  \ \rm V.$
-:Die Phasenwerte $φ_1$, $φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.
+:Die Phasenwerte&nbsp; $φ_1$,&nbsp; $φ_2$&nbsp; und&nbsp; $φ_3$&nbsp; liegen jeweils im Bereich&nbsp; $±18^\circ$&nbsp; und es gilt&nbsp; $φ_4 = 90^\circ$.
-Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_{\rm A}$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für
+Die Signale werden jeweils mit der Frequenz&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; zugeführt.&nbsp; Dieses Szenario gilt zum Beispiel für
 * die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
-* die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl $M$.
+* die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M$.
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 {Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 5\  \rm kHz$&nbsp; zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
 - $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
@@ Zeile 48: / Zeile 53: @@
 {Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 3.5\  \rm kHz$&nbsp; zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
 + $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
@@ Zeile 54: / Zeile 59: @@
 {Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 6.5\  \rm kHz$ zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
 - $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.

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 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4 kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
+*Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm  kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4\ \rm   kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
 :$$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|P_ID1609__Mod_A_4_2d.png|right|frame|Signalrekonstruktion mit zu großer Grenzfrequenz]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum:
+*Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm   kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum.
-*Der Tiefpass entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm    kHz$, nicht aber den $6\ \rm    kHz$–Anteil.
+*Der Tiefpass mit $f_{\rm G} = 6.5 \ \rm  kHz$ entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm    kHz$, nicht aber den $6\ \rm    kHz$–Anteil.
-Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) – q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit
+Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit
-* der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} – f_4 = 6\  \rm kHz$,
+* der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} - f_4 = 6\  \rm kHz$,
 * der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,
 * der Phase $φ_{-4} = -φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = -f_4$.

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 }}
-[[Datei:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliches und diskretes Spektrum]]
+[[Datei:P_ID1608__Mod_A_4_2.png|right|frame|Kontinuierliche und diskrete Spektren (Beispiele)]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betrags-Spektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.
 * Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:
 :$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$
 * Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1  \ \rm kHz$, $±2 \ \rm  kHz$, $±3  \ \rm kHz$ und $±4  \ \rm kHz$. Somit gilt:
-:$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i)$$
+:$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i),$$
-:mit $C_1 = 1.0 \ \rm  V$, $C_2 = 1.8 \ \rm  V$, $C_3 = 0.8  \ \rm V$, $C_4 = 0.4  \ \rm V$. Die Phasenwerte $φ_1$,$φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.
+:Amplitudenwerte: &nbsp;  $C_1 = 1.0 \ \rm  V$, $C_2 = 1.8 \ \rm  V$, $C_3 = 0.8  \ \rm V$, $C_4 = 0.4  \ \rm V.$
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-Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = v(t) - q(t)$. Dieses ist nur dann von $0$ verschieden, wenn die Parameter der Abtastung (Abtastfrequenz $f_{\rm A}$) und/oder der Signalrekonstruktion (Grenzfrequenz $f_{\rm G}$) nicht bestmöglich dimensioniert sind.
+Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = v(t) - q(t)$. Dieses ist nur dann von Null verschieden, wenn die Parameter der Abtastung $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$ und/oder der Signalrekonstruktion $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$ nicht bestmöglich dimensioniert sind.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Abtastung_und_Signalrekonstruktion|Abtastung und Signalrekonstruktion]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 8\  \rm kHz$ und für $f_{\rm G} = 4\  \rm  kHz$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 8\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 4\  \rm  kHz$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Das Signal $q_{\rm kon}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm kon}(t) = 0$.
++ Das Signal &nbsp;$q_{\rm kon}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm kon}(t) = 0$.
-- Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
+- Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
-{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$ und $f_{\rm G} = 5\  \rm kHz$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 5\  \rm kHz$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
++ Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
-- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \  \rm kHz$.
+- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
-- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \  \rm kHz$.
+- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$6 \  \rm kHz$.
-{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$ und $f_{\rm G} = 3.5\  \rm kHz$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 3.5\  \rm kHz$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
+- Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
-+ $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \  \rm kHz$.
++ $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
-- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \  \rm kHz$.
+- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$6 \  \rm kHz$.
-{Welche Aussagen treffen für $f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$ und $f_{\rm G} = 6.5\  \rm kHz$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$f_{\rm A} = 10\  \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G} = 6.5\  \rm kHz$ zu?
 |type="[]"}
-- Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
+- Das Signal &nbsp;$q_{\rm dis}(t)$&nbsp; lässt sich vollständig rekonstruieren: &nbsp; $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
-- $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \  \rm kHz$.
+- $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$4 \  \rm kHz$.
-+ $ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \  \rm kHz$.
++ $ε_{\rm dis}(t)$&nbsp; ist eine harmonische Schwingung mit &nbsp;$6 \  \rm kHz$.
 </quiz>