Aufgaben:Aufgabe 4.2: Rechteckförmige Spektren - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Mai 2021 um 15:17 Uhr

2021-05-05T15:17:42Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:07 Uhr

2021-05-03T16:07:39Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 15:58 Uhr

2021-05-03T15:58:14Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 15:53 Uhr

2021-05-03T15:53:43Z

Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:56 Uhr

2019-10-02T15:56:38Z

Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:48 Uhr

2019-10-02T15:48:18Z

Guenter am 25. Juli 2018 um 16:05 Uhr

2018-07-25T16:05:24Z

Guenter am 25. Juli 2018 um 15:57 Uhr

2018-07-25T15:57:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 23. Januar 2018 um 15:53 Uhr

2018-01-23T15:53:14Z

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 Die Grafik zeigt
 *oben das Tiefpass&ndash;Signal $u(t)$,
-*dann die Schwingung $c(t) = 2 · \cos(2 \pi fTt$ ),
+*dann die Schwingung $c(t) = 2 · \cos(2 \pi f_{\rm T}t$ ),
 *unten das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t) = u(t) \cdot c(t)$.

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP~~- ~~und BP~~-Signalen	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen
	}}		}}

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	'''(1)'''  Die Zeit  $T_u$   ⇒   erste Nullstelle des TP–Signals  $u(t)$  – ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also  $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$.		'''(1)'''  Die Zeit  $T_u$   ⇒   erste Nullstelle des TP–Signals  $u(t)$  – ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also  $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$.
−	*Die Impulsamplitude ist wie in der Musterlösung zur  [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale\|Aufgabe 4.1]]  dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche. Daraus folgt  $u_0\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \, \text{V}}$.	+	*Die Impulsamplitude ist wie in der Musterlösung zur  [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale\|Aufgabe 4.1]]  dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche.  Daraus folgt  $u_0\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \, \text{V}}$.

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 }}
-[[Datei:P_ID695__Sig_A_4_2_neu.png|250px|right|frame|Rechteckförmige Tiefpass&ndash; und Bandpass&ndash;Spektren]]
+[[Datei:P_ID695__Sig_A_4_2_neu.png|250px|right|frame|Rechteckförmige Tiefpass&ndash; <br>und Bandpass&ndash;Spektren]]
 Wir betrachten zwei Signale&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; mit jeweils rechteckförmigen Spektren&nbsp; $U(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $W(f)$.
 *Es ist offensichtlich, dass
-:$$u(t)  =   u_0  \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}})$$
+:$$u(t)  =   u_0  \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}}),\hspace{0.3cm} \text{mit}\hspace{0.3cm}{\rm si}(x)=\sin(x)/x,$$
 :ein Tiefpass–Signal ist, dessen zwei Parameter&nbsp; $u_0$&nbsp; und&nbsp; $T_u$&nbsp; in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zu bestimmen sind.
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 - 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2\hspace{0.05cm} t)$$
-Bezug genommen, dessen Spektrum in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]]&nbsp; ermittelt wurde. Es sei&nbsp; $f_2 = 2 \ \rm kHz.$
+Bezug genommen, dessen Spektrum in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]]&nbsp; ermittelt wurde.&nbsp; Es sei&nbsp; $f_2 = 2 \ \rm kHz.$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass&ndash; und Bandpass&ndash;Signalen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
 *Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung:
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 $T_u\ = \ $  { 0.5 3% } &nbsp;$\text{ms}$
-{Berechnen Sie das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t)$. Wie groß sind die Signalwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 62.5 \, {\rm &micro;}\text{s}$?
+{Berechnen Sie das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t)$.&nbsp; Wie groß sind die Signalwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 62.5 \, {\rm &micro;}\text{s}$?
 |type="{}"}
 $w(t=0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $w(t=62.5 \,{\rm &micro;}  \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass&ndash;Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zutreffend? Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.
+{Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass&ndash;Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zutreffend?&nbsp; Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.
 |type="[]"}
 + Die Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; sind identisch.

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Die Zeit $T_u$ &nbsp; &rArr; &nbsp; erste Nullstelle des TP&ndash;Signals $u(t)$ &ndash; ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$. Die Impulsamplitude ist wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]] dargelegt wurde, gleich der Rechteckfläche. Daraus folgt $u_0\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \, \text{V}}$.
+'''(1)'''&nbsp;  Die Zeit&nbsp; $T_u$ &nbsp; &rArr; &nbsp; erste Nullstelle des TP&ndash;Signals&nbsp; $u(t)$&nbsp; &ndash; ist gleich dem Kehrwert der Breite des Rechteckspektrums, also&nbsp; $1/(2\, \text{kHz} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5 \, \text{ms}}$.
 [[Datei:P_ID704__Sig_A_4_2_b_neu.png|250px|right|frame|Multiplikation mit Cosinus]]
-'''(2)'''&nbsp;  Das Bandpass&ndash;Spektrum kann mit $f_{\rm T} = 4\, \text{kHz}$  wie folgt dargestellt werden:
+'''(2)'''&nbsp;  Das Bandpass&ndash;Spektrum kann mit&nbsp; $f_{\rm T} = 4\, \text{kHz}$&nbsp;  wie folgt dargestellt werden:
 :$$ W(f)   = U(f- f_{\rm T}) + U(f+ f_{\rm T}) =   U(f)\star \left[
 \delta(f- f_{\rm T})+ \delta(f+ f_{\rm T})\right].$$
-Entsprechend dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]] gilt dann für das dazugehörige Zeitsignal:
+Entsprechend dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; gilt dann für das dazugehörige Zeitsignal:
 :$$w(t) = 2 \cdot u(t) \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm T} t) =   2 u_0
@@ Zeile 76: / Zeile 78: @@
 Die Grafik zeigt
-*oben das TP&ndash;Signal $u(t)$,
+*oben das Tiefpass&ndash;Signal $u(t)$,
 *dann die Schwingung $c(t) = 2 · \cos(2 \pi fTt$ ),
-*unten das BP&ndash;Signal $w(t) = u(t) \cdot c(t)$.
+*unten das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t) = u(t) \cdot c(t)$.
-Insbesondere erhält man zum Zeitpunkt $t = 0$:
+Insbesondere erhält man zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$w(t = 0)  =   2 \cdot u_0 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \hspace{0.05cm}{\rm V}}.$$
-Der Zeitpunkt $t=62.5 \,{\rm &micro;} \text{s}$ entspricht genau einer viertel Periodendauer des Signals $c(t)$:
+Der Zeitpunkt&nbsp; $t=62.5 \,{\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; entspricht genau einer viertel Periodendauer des Signals&nbsp; $c(t)$:
 :$$ w(t = 62.5 \hspace{0.05cm}{\rm &micro; s})  =  2 u_0 \cdot  {\rm si} ( \pi \cdot \frac{62.5 \hspace{0.05cm}{\rm &micro;  s}}
@@ Zeile 93: / Zeile 95: @@
 :$$ \Rightarrow  \hspace{0.3cm}w(t =
 \hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot{\rm si} ( {\pi}/{8}) \cdot \cos ( {\pi}/{4})\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Vergleicht man die Spektralfunktion $W(f)$ dieser Aufgabe mit dem Spektrum $D(f)$ in der Musterlösung zu  [[Aufgaben:4.1_TP-_und_BP-Signale|Aufgabe 4.1]] , so erkennt man, dass $w(t)$ und $d(t)$ identische Signale sind.
+*Vergleicht man die Spektralfunktion&nbsp; $W(f)$&nbsp; dieser Aufgabe mit dem Spektrum&nbsp; $D(f)$&nbsp; in der Musterlösung zu&nbsp;  [[Aufgaben:4.1_TP-_und_BP-Signale|Aufgabe 4.1]], so erkennt man, dass&nbsp; $w(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$&nbsp; identische Signale sind.
-*Etwas aufwändiger ist dieser Beweis im Zeitbereich. Mit $f_2 = 2 \,\text{kHz}$ kann für das hier betrachtete Signal geschrieben werden:
+*Etwas aufwändiger ist dieser Beweis im Zeitbereich. Mit&nbsp; $f_2 = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; kann für das hier betrachtete Signal geschrieben werden:
 :$$w(t )  =  4\hspace{0.05cm}{\rm V}
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 :$$w(t )  =
-  \frac{2\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\pi f_2 t}\cdot \big[\sin (5\pi f_2 t) + \sin (-3\pi f_2 t)\big]
+  \frac{2\hspace{0.05cm}{\rm V}}{\pi f_2 t}\cdot \big [\sin (5\pi f_2 t) + \sin (-3\pi f_2 t)\big ]
   = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (5\pi f_2 t)}{5\pi f_2 t}-
 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{\sin (3\pi f_2 t)}{3\pi f_2 t}.$$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID695__Sig_A_4_2_neu.png|250px|right|frame|Rechteckförmige Tiefpass&ndash; und Bandpass&ndash;Spektren]]
-Wir betrachten zwei Signale $u(t)$ und $w(t)$ mit jeweils rechteckförmigen Spektren $U(f)$ bzw. $W(f)$.
+Wir betrachten zwei Signale&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; mit jeweils rechteckförmigen Spektren&nbsp; $U(f)$&nbsp; bzw.&nbsp; $W(f)$.
 *Es ist offensichtlich, dass
 :$$u(t)  =   u_0  \cdot {\rm si} ( \pi \cdot {t}/{T_{ u}})$$
-:ein TP–Signal ist, dessen zwei Parameter $u_0$ und $T_u$ in der Teilaufgabe '''(1)''' zu bestimmen sind.
+:ein Tiefpass–Signal ist, dessen zwei Parameter&nbsp; $u_0$&nbsp; und&nbsp; $T_u$&nbsp; in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zu bestimmen sind.
-*Dagegen zeigt das Spektrum $W(f)$, dass $w(t)$ ein BP–Signal beschreibt.
+*Dagegen zeigt das Spektrum&nbsp; $W(f)$, dass&nbsp; $w(t)$&nbsp; ein Bandpass–Signal beschreibt.
-In dieser Aufgabe wird außerdem auf das BP–Signal
+In dieser Aufgabe wird außerdem auf das Bandpass–Signal
 :$$d(t)  =   10 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 5 \pi f_2 \hspace{0.05cm}t)
 - 6 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( 3 \pi f_2\hspace{0.05cm} t)$$
-Bezug genommen, dessen Spektrum in [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]] ermittelt wurde. Es sei $f_2 = 2 \ \rm kHz.$
+Bezug genommen, dessen Spektrum in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Tiefpass-_und_Bandpass-Signale|Aufgabe 4.1]]&nbsp; ermittelt wurde. Es sei&nbsp; $f_2 = 2 \ \rm kHz.$
@@ Zeile 24: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass&ndash; und Bandpass&ndash;Signalen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass&ndash; und Bandpass&ndash;Signalen]].
 *Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung:
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Werte besitzen die Parameter $u_0$ und $T_u$ des TP&ndash;Signals?
+{Welche Werte besitzen die Parameter&nbsp; $u_0$&nbsp; und&nbsp; $T_u$&nbsp; des Tiefpass&ndash;Signals?
 |type="{}"}
 $u_0\ = \ $  { 2 3% }  &nbsp;$\text{V}$
 $T_u\ = \ $  { 0.5 3% } &nbsp;$\text{ms}$
-{Berechnen Sie das Bandpass&ndash;Signal $w(t)$. Wie groß sind die Signalwerte bei $t = 0$ und $t = 62.5 \, {\rm &micro;}\text{s}$?
+{Berechnen Sie das Bandpass&ndash;Signal&nbsp; $w(t)$. Wie groß sind die Signalwerte bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 62.5 \, {\rm &micro;}\text{s}$?
 |type="{}"}
 $w(t=0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $w(t=62.5 \,{\rm &micro;}  \text{s})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass&ndash;Signale $d(t)$ und $w(t)$ zutreffend? Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.
+{Welche Aussagen sind bezüglich der Bandpass&ndash;Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zutreffend? Begründen Sie Ihr Ergebnis im Zeitbereich.
 |type="[]"}
-+ Die Signale $d(t)$ und $w(t)$ sind identisch.
++ Die Signale&nbsp; $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; sind identisch.
-- $d(t)$ und $w(t)$ unterscheiden sich durch einen konstanten Faktor.
+- $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; unterscheiden sich durch einen konstanten Faktor.
-- $d(t)$ und $w(t)$ haben unterschiedliche Form.
+- $d(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; haben unterschiedliche Form.
 </quiz>

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgende trigonometrische Beziehung: