Aufgaben:Aufgabe 4.2: Kanal–LLR bei AWGN - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Juli 2019 um 15:19 Uhr

2019-07-04T15:19:29Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 15:05 Uhr

2019-07-04T15:05:09Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 29. Januar 2018 um 09:40 Uhr

2018-01-29T09:40:07Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 09:20 Uhr

2018-01-29T09:20:35Z

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2018-01-29T09:13:16Z

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2018-01-04T06:51:25Z

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:00 Uhr

2017-12-16T15:00:29Z

Hussain am 6. Dezember 2017 um 20:33 Uhr

2017-12-06T20:33:33Z

Hussain am 6. Dezember 2017 um 20:10 Uhr

2017-12-06T20:10:22Z

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig:
-* Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x &#8712; \{+1, \, -1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz $\sigma^2$ angibt &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]].
+* Die Übertragungsgleichung lautet stets $y = x + n$, mit $x &#8712; \{+1, \, -1\}$; $n$ gibt eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz $\sigma^2$ an &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]].
 * Die [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Gau.C3.9Fschem_Rauschen|AWGN&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit]] berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] bezeichnet.
-* Für jeden AWGN&ndash;Kanal ergibt sich entsprechend dem [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] das Kanal&ndash;LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle allerdings unterschiedlich.
+* Für jeden AWGN&ndash;Kanal ergibt sich entsprechend dem [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] das Kanal&ndash;LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$.
 '''(2)'''&nbsp; Beim AWGN&ndash;Kanal gilt $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ mit der Konstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$. Die Streuung $\sigma$ kann aus der Grafik auf der Angabenseite als der Abstand der Wendepunkte innerhalb der Gaußkurven von ihren jeweiligen Mittelpunkten abgelesen werden. Beim '''Kanal A''' ergibt sich $\sigma = 1$.
-Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Auswertung der Gaußfunktion
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Auswertung der Gaußfunktion
 :$$\frac{f_{\rm G}( y = \sigma)}{f_{\rm G}( y = 0)} = {\rm e} ^{ -  y^2/(2\sigma^2) } \Bigg |_{\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \sigma} = {\rm e} ^{ -0.5} \approx 0.6065\hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim '''Kanal A''': &nbsp; $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.
+*Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim '''Kanal A''': &nbsp; $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.
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 L_{\rm K}(y_3 = -1.5) = -3\hspace{0.05cm}. $$
 *Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:
-:* Die Entscheidung für das (wahrscheinlichste) Codebit $x_i$ wird aufgrund des Vorzeichens von $L_{\rm K}(y_i)$ getroffen: $x_1 = +1, \ x_2 = +1, \ x_3 = \, -1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u> sind richtig.
+# Die Entscheidung für das (wahrscheinlichste) Codebit $x_i$ wird aufgrund des Vorzeichens von $L_{\rm K}(y_i)$ getroffen: $x_1 = +1, \ x_2 = +1, \ x_3 = \, -1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3</u> sind richtig.
-:* Die Entscheidung &bdquo;$x_1 = +1$&rdquo; ist wegen $|L_{\rm K}(y_1)| > |L_{\rm K}(y_3)|$ zuverlässiger als die Entscheidung &bdquo;$x_2 = +1$&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u> ist ebenfalls richtig.
+# Die Entscheidung &bdquo;$x_1 = +1$&rdquo; ist wegen $|L_{\rm K}(y_1)| > |L_{\rm K}(y_3)|$ zuverlässiger als die Entscheidung &bdquo;$x_2 = +1$&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u> ist ebenfalls richtig.
-:* Die Entscheidung &bdquo;$x_1 = +1$&rdquo; ist aber weniger zuverlässig als die Entscheidung &bdquo;$x_3 = \, &ndash;1$&rdquo;, da $|L_{\rm K}(y_1)|$ kleiner als $|L_{\rm K}(y_3)|$ ist &nbsp; &#8658; &nbsp; Lösungsvorschlag 5 ist falsch.
+# Die Entscheidung &bdquo;$x_1 = +1$&rdquo; ist aber weniger zuverlässig als die Entscheidung &bdquo;$x_3 = \, &ndash;1$&rdquo;, da $|L_{\rm K}(y_1)|$ kleiner als $|L_{\rm K}(y_3)|$ ist &nbsp; &#8658; &nbsp; Lösungsvorschlag 5 ist falsch.
 Dies kann man auch so interpretieren: Der Quotient zwischen dem roten und dem blauen WDF&ndash;Wert ist bei $y_3 = \, -1.5$ größer als der Quotient zwischen dem blauen und dem roten WDF&ndash;Wert bei $y_1 = +1$.
 '''(4)'''&nbsp; Nach gleichen Überlegungen wie bei der Teilaufgabe (2) ergibt sich für die Streuung von '''Kanal B''': &nbsp; $\sigma = 1/2 \ \Rightarrow \ K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 8}$.
 '''(5)'''&nbsp; Für den '''Kanal B''' gilt: &nbsp; $L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +8, \ L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +4$ und $L_{\rm K}(y_3 = \, -1.5) = \, -12$.
-Damit ist offensichtlich, dass <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u> zutreffen, nicht aber der dritte, weil
+*Damit ist offensichtlich, dass <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u> zutreffen, nicht aber der dritte, weil
 :$$|L_{\rm K}(y_3 = -1.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} A)}| = 3
 \hspace{0.5cm} <\hspace{0.5cm}

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 [[Datei:P_ID2980__KC_A_4_2_v2.png|right|frame|Bedingte Gaußfunktionen]]
-Wir betrachten zwei Kanäle '''A''' und '''B''', jeweils mit
+Wir betrachten zwei Kanäle&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp;, jeweils mit
-* binärem bipolaren Eingang $x &#8712; \{+1, \, -1\}$, und
+* binärem bipolaren Eingang&nbsp; $x &#8712; \{+1, \, -1\}$, und
-* wertkontinuierlichem Ausgang $y &#8712; {\rm \mathcal{R}}$ (reelle Zahl).
+* wertkontinuierlichem Ausgang&nbsp; $y &#8712; {\rm \mathcal{R}}$&nbsp; (reelle Zahl).
 Die Grafik zeigt für beide Kanäle
-* als blaue Kurve die Dichtefunktionen $f_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1}$,
+* als blaue Kurve die Dichtefunktionen&nbsp; $f_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1}$,
-* als rote Kurve die Dichtefunktionen $f_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=-1}$.
+* als rote Kurve die Dichtefunktionen&nbsp; $f_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=-1}$.
-Im [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Theorieteil]] wurde für diese AWGN&ndash;Konstellation der Kanal&ndash;$L$&ndash;Wert (englisch: <i>Channel Log Likelihood Ratio</i>, oder kurz <i>Channel LLR</i>) wie folgt hergeleitet:
+Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Theorieteil]]&nbsp; wurde für diese AWGN&ndash;Konstellation der Kanal&ndash;$L$&ndash;Wert (englisch:&nbsp; <i>Channel Log Likelihood Ratio</i>, oder kurz&nbsp; <i>Channel LLR</i>&nbsp;) wie folgt hergeleitet:
 :$$L_{\rm K}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=+1) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Wertet man diese Gleichung analytisch aus, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$:
+Wertet man diese Gleichung analytisch aus, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten&nbsp; $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$:
 :$$L_{\rm K}(y) =
 K_{\rm L} \cdot y
 \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]] sowie   [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal bei binärem Eingang]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]]&nbsp; sowie&nbsp;   [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal bei binärem Eingang]].
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 |type="[]"}
 + Sie beschreiben die Binärübertragung bei Gaußscher Störung.
-+ Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung ist ${\rm Q}(1/\sigma)$.
++ Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ohne Codierung ist&nbsp; ${\rm Q}(1/\sigma)$.
-+ Das Kanal&ndash;LLR ist als $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ darstellbar.
++ Das Kanal&ndash;LLR ist als&nbsp; $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$&nbsp; darstellbar.
-{Welche Konstante $K_{\rm L}$ kennzeichnet den '''Kanal A'''?
+{Welche Konstante $K_{\rm L}$ kennzeichnet den Kanal&nbsp; $\rm A$?
 |type="{}"}
 $K_{\rm L} \ = \ ${ 2 3% }
-{Welche Informationen liefern bei <b>Kanal A</b> die Empfangswerte $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$, $y_3 = \, -1.5$ über die gesendeten Binärsymbole $x_1, \ x_2$ bzw. $x_3$?
+{Welche Informationen liefern bei Kanal&nbsp; $\rm A$&nbsp; die Empfangswerte&nbsp; $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$,&nbsp; $y_3 = \, -1.5$&nbsp; über die gesendeten Binärsymbole&nbsp; $x_1, \ x_2$&nbsp; bzw.&nbsp; $x_3$?
 |type="[]"}
-+ $y_1 = 1.0$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_1 = +1$ gesendet wurde.
++ $y_1 = 1.0$&nbsp; sagt aus, dass wahrscheinlich&nbsp; $x_1 = +1$&nbsp; gesendet wurde.
-+ $y_2 = 0.5$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_2 = +1$ gesendet wurde.
++ $y_2 = 0.5$&nbsp; sagt aus, dass wahrscheinlich&nbsp; $x_2 = +1$&nbsp; gesendet wurde.
-+ $y_3 = \, -1.5$ sagt aus, dass wahrscheinlich $x_3 = \, -1$ gesendet wurde.
++ $y_3 = \, -1.5$&nbsp; sagt aus, dass wahrscheinlich&nbsp; $x_3 = \, -1$&nbsp; gesendet wurde.
-+ Die Entscheidung &bdquo;$y_1 &#8594; x_1$&rdquo; ist sicherer als &bdquo;$y_2 &#8594; x_2$&rdquo;.
++ Die Entscheidung&nbsp; &bdquo;$y_1 &#8594; x_1$&rdquo;&nbsp; ist sicherer als&nbsp; &bdquo;$y_2 &#8594; x_2$&rdquo;.
-- Die Entscheidung &bdquo;$y_1 &#8594; x_1$&rdquo; ist sicherer als &bdquo;$y_3 &#8594; x_3$&rdquo;.
+- Die Entscheidung&nbsp; &bdquo;$y_1 &#8594; x_1$&rdquo;&nbsp; ist sicherer als&nbsp; &bdquo;$y_3 &#8594; x_3$&rdquo;.
-{Welche $K_{\rm L}$ kennzeichnet den '''Kanal B'''?
+{Welches&nbsp; $K_{\rm L}$&nbsp; kennzeichnet den Kanal&nbsp; $\rm B$?
 |type="{}"}
 $K_{\rm L} \ = \ ${ 8 3% }
-{Welche Informationen liefern bei <b>Kanal B</b> die Empfangswerte $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$, $y_3 = -1.5$ über die gesendeten Binärsymbole $x_1, \ x_2$ bzw. $x_3$?
+{Welche Informationen liefern bei Kanal&nbsp; $\rm B$&nbsp; die Empfangswerte&nbsp; $y_1 = 1, \ y_2 = 0.5$,&nbsp; $y_3 = -1.5$&nbsp; über die gesendeten Binärsymbole&nbsp; $x_1, \ x_2$&nbsp; bzw.&nbsp; $x_3$?
 |type="[]"}
-+ Für $x_1, \ x_2, \ x_3$ wird gleich entschieden wie bei '''Kanal A'''.
++ Für&nbsp; $x_1, \ x_2, \ x_3$&nbsp; wird gleich entschieden wie bei Kanal&nbsp; $\rm A$.
-+ Die Schätzung &bdquo;$x_2 = +1$&rdquo; ist viermal sicherer als bei '''Kanal A'''.
++ Die Schätzung&nbsp; &bdquo;$x_2 = +1$&rdquo;&nbsp; ist viermal sicherer als bei Kanal&nbsp; $\rm A$.
-- Die Schätzung &bdquo;$x_3 = \, -1$&rdquo; bei '''Kanal A''' ist zuverlässiger als die Schätzung &bdquo;$x_2 = +1$&rdquo; bei '''Kanal B'''.
+- Die Schätzung&nbsp; &bdquo;$x_3 = \, -1$&rdquo;&nbsp; bei Kanal&nbsp; $\rm A$&nbsp; ist zuverlässiger als die Schätzung&nbsp; &bdquo;$x_2 = +1$&rdquo; bei Kanal&nbsp; $\rm B$.
 </quiz>

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]] sowie   [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal bei binärem Eingang]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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-'''(2)'''&nbsp; Beim AWGN&ndash;Kanal gilt $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ mit der Konstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$. Die Streuung $\sigma$ kann aus der Grafik auf der Angabenseite als der Abstand der Wendepunkte innerhalb der Gaußkurven von ihren jeweiligen Mittelpunkten abgelesen werden. Beim Kanal A ergibt sich $\sigma = 1$.
+'''(2)'''&nbsp; Beim AWGN&ndash;Kanal gilt $L_{\rm K}(y) = K_{\rm L} \cdot y$ mit der Konstanten $K_{\rm L} = 2/\sigma^2$. Die Streuung $\sigma$ kann aus der Grafik auf der Angabenseite als der Abstand der Wendepunkte innerhalb der Gaußkurven von ihren jeweiligen Mittelpunkten abgelesen werden. Beim '''Kanal A''' ergibt sich $\sigma = 1$.
 Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Auswertung der Gaußfunktion
 :$$\frac{f_{\rm G}( y = \sigma)}{f_{\rm G}( y = 0)} = {\rm e} ^{ -  y^2/(2\sigma^2) } \Bigg |_{\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm} \sigma} = {\rm e} ^{ -0.5} \approx 0.6065\hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim <u>Kanal A</u>: $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.
+Das bedeutet: Beim Abszissenwert $y = \sigma$ ist die mittelwertfreie Gaußfunktion $f_{\rm G}(y)$ auf $60.65\%$ ihres Maximalwertes abgeklungen. Somit gilt für die Konstante beim '''Kanal A''': &nbsp; $K_{\rm L} = 2/\sigma^2 \ \underline{= 2}$.
-'''(3)'''&nbsp; Wir geben zunächst die jeweiligen $L$&ndash;Werte von Kanal A an:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 bis 4</u>:
 :$$L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 L_{\rm K}(y_3 = -1.5) = -3\hspace{0.05cm}. $$
-'''(5)'''&nbsp; Für den Kanal B gilt: $\hspace{0.2cm} L_{\rm K}(y_1 = +1.0) = +8, \ L_{\rm K}(y_2 = +0.5) = +4$ und $L_{\rm K}(y_3 = \, &ndash;1.5) = \, &ndash;12$. Damit ist offensichtlich, dass <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u> zutreffen, nicht aber der dritte, weil
+Damit ist offensichtlich, dass <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u> zutreffen, nicht aber der dritte, weil
 :$$|L_{\rm K}(y_3 = -1.5, {\rm Kanal\hspace{0.15cm} A)}| = 3
 \hspace{0.5cm} <\hspace{0.5cm}

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig:
-* Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x &#8712; \{+1, \, &ndash;1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Varianz $\sigma^2$ angibt &nbsp;&#8658;&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]].
+* Die Übergangsgleichung lautet stets $y = x + n$, wobei $x &#8712; \{+1, \, -1\}$ gilt und $n$ eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Varianz $\sigma^2$ angibt &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]].
-* Die [[AWGN&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit]] berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die [[komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] bezeichnet.
+* Die [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Gau.C3.9Fschem_Rauschen|AWGN&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit]] berechnet sich mit der Streuung $\sigma$ zu ${\rm Q}(1/\sigma)$ wobei ${\rm Q}(x)$ die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] bezeichnet.
-* Für jeden AWGN&ndash;Kanal ergibt sich entsprechend dem [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] das Kanal&ndash;LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle unterschiedlich.
+* Für jeden AWGN&ndash;Kanal ergibt sich entsprechend dem [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] das Kanal&ndash;LLR stets zu $L_{\rm K}(y) = L(y|x) = K_{\rm L} \cdot y$. Die Konstante $K_{\rm L}$ ist für die beiden Kanäle allerdings unterschiedlich.

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	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder\| Soft–in Soft–out Decoder]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder\| Soft–in Soft–out Decoder]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
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+''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].