Aufgaben:Aufgabe 4.2: Fehlangepasste Leitung - Versionsgeschichte

Maintenance script: Fix LaTeX typos: \rmNp, {\rme}

2026-03-16T14:04:00Z

Fix LaTeX typos: \rmNp, {\rme}

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Zeile 9:		Zeile 9:

	Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu		Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\~~rme~~}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}\hspace{0.05cm}.$$		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}\hspace{0.05cm}.$$

	Das Übertragungsmaß soll  – wieder sehr vereinfacht –  durch eine reelle Funktion angenähert werden:		Das Übertragungsmaß soll  – wieder sehr vereinfacht –  durch eine reelle Funktion angenähert werden:
Zeile 87:		Zeile 87:

	'''(3)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $R_{\rm 2} = 0$   ⇒   Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem  $x = \gamma (f) \cdot l$:		'''(3)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $R_{\rm 2} = 0$   ⇒   Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem  $x = \gamma (f) \cdot l$:
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\~~rme~~}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}.$$		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}.$$
	Insbesondere gilt:		Insbesondere gilt:
	:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x ={1}/{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(199) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x ={1}/{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(199) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$f_{\rm U} = 10\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 0.5\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{0.5\,{\~~rmNp~~/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 5.3\,{\rm km}} \hspace{0.05cm},$$		:$$f_{\rm U} = 10\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 0.5\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{0.5\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 5.3\,{\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ f_{\rm O} = 40\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 1.0\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{1.0\,{\~~rmNp~~/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ f_{\rm O} = 40\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 1.0\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{1.0\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
	Das heißt:		Das heißt:
	*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.

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2026-03-16T12:37:30Z

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Zeile 113:		Zeile 113:

	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^4.1 Einige Ergebnisse der Leitungstheorie^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^4.1 Einige Ergebnisse der Leitungstheorie^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.2:_Mismatched_Line]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:48Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu		Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rme}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}\hspace{0.05cm}.$$
	{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)
	= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
	e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}
	\hspace{0.05cm}.$$

	Das Übertragungsmaß soll  – wieder sehr vereinfacht –  durch eine reelle Funktion angenähert werden:		Das Übertragungsmaß soll  – wieder sehr vereinfacht –  durch eine reelle Funktion angenähert werden:
Zeile 70:		Zeile 65:
	*Deshalb ist  $Z_{\rm W}$  auch unabhängig von der Leitungslänge  $l$  und wird allein durch die Leitungsbeläge  $R\hspace{0.05cm}'$,  $L\hspace{0.05cm}'$,  $G\hspace{0.08cm}'$  und  $C\hspace{0.08cm}'$  bestimmt.		*Deshalb ist  $Z_{\rm W}$  auch unabhängig von der Leitungslänge  $l$  und wird allein durch die Leitungsbeläge  $R\hspace{0.05cm}'$,  $L\hspace{0.05cm}'$,  $G\hspace{0.08cm}'$  und  $C\hspace{0.08cm}'$  bestimmt.
	*Die im Theorieteil angegebene Gleichung		*Die im Theorieteil angegebene Gleichung
	:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}}		:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}}\hspace{0.1cm}\bigg \|_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$
	\hspace{0.1cm}\bigg \|_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$
	macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.		macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.

Zeile 83:		Zeile 77:

	'''(2)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$  ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand,  und zwar unabhängig von der Leitungslänge:		'''(2)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$  ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand,  und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm W}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
	{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
	Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm W}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
	Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:		Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
	*Da in der Aufgabenstellung  $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$  als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde,  ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$  frequenzunabhängig.		*Da in der Aufgabenstellung  $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$  als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde,  ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$  frequenzunabhängig.
Zeile 97:		Zeile 87:

	'''(3)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $R_{\rm 2} = 0$   ⇒   Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem  $x = \gamma (f) \cdot l$:		'''(3)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $R_{\rm 2} = 0$   ⇒   Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem  $x = \gamma (f) \cdot l$:
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rme}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}.$$
	= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
	e}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}.$$
	Insbesondere gilt:		Insbesondere gilt:
	:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x ={1}/{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(199) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$f_{\rm U} = 10\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 0.5\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{0.5\,{\rmNp/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 5.3\,{\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
	x ={1}/{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(199) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ f_{\rm O} = 40\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 1.0\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{1.0\,{\rmNp/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
	:$$f_{\rm U} = 10\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 0.5\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{0.5\,{\rm
	Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 5.3\,{\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ f_{\rm O} = 40\,\text {MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 1.0\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{1.0\,{\rm
	Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
	Das heißt:		Das heißt:
	*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
Zeile 119:		Zeile 101:

	'''(4)'''  In gleicher Weise erhält man für  $R_2 → ∞$   ⇒   Leerlauf:		'''(4)'''  In gleicher Weise erhält man für  $R_2 → ∞$   ⇒   Leerlauf:
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
	= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
	Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich nun für den Quotienten  $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:		Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich nun für den Quotienten  $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
	:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe  '''(3)''':		Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe  '''(3)''':
	*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$,  um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$,  um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.

Guenter am 6. November 2021 um 16:45 Uhr

2021-11-06T16:45:47Z

Guenter am 6. November 2021 um 16:39 Uhr

2021-11-06T16:39:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2021, 18:39 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Ein Übertragungssystem belege den Bereich von  $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$  bis  $f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.		Ein Übertragungssystem belege den Bereich von  $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$  bis  $f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.

	Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand   $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$  (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein  (meist kleinerer)  Imaginärteil zu berücksichtigen ist.		Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand   $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$  (reell),  was nicht ganz der Realität entspricht,  da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein  (meist kleinerer)  Imaginärteil zu berücksichtigen ist.

	Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu		Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
Zeile 16:		Zeile 16:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Das Übertragungsmaß soll – wieder sehr vereinfacht – durch eine reelle Funktion angenähert werden:		Das Übertragungsmaß soll  – wieder sehr vereinfacht –  durch eine reelle Funktion angenähert werden:
	:$$\frac {\gamma(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \frac {\alpha(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \sqrt{f/f_{\rm O}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{\rm O} = 40\,{\rm MHz}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\frac {\gamma(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \frac {\alpha(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \sqrt{f/f_{\rm O}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{\rm O} = 40\,{\rm MHz}\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 24:		Zeile 24:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie\|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie\|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
	*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.		*Insbesondere soll untersucht werden,  ob es zu Reflexionen kommt.


Zeile 45:		Zeile 45:
	+ Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  ist frequenzunabhängig.		+ Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  ist frequenzunabhängig.
	- Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  hängt von der Leitungslänge ab.		- Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  hängt von der Leitungslänge ab.
	+ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.		+ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.

Guenter am 6. November 2019 um 13:36 Uhr

2019-11-06T13:36:53Z

Guenter am 6. November 2019 um 13:27 Uhr

2019-11-06T13:27:52Z

Guenter am 28. November 2018 um 15:25 Uhr

2018-11-28T15:25:26Z

Guenter am 28. November 2018 um 15:12 Uhr

2018-11-28T15:12:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2018, 17:12 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1799__LZI_A_4_2.png\|right\|frame\|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]		[[Datei:P_ID1799__LZI_A_4_2.png\|right\|frame\|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]
	Ein Übertragungssystem belege den ~~Frequenzbereich~~ von $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$ bis $f_{\rm O} = 400 \ \rm MHz$.		Ein Übertragungssystem belege den Bereich von  $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$  bis  $f_{\rm O} = 400 \ \rm MHz$.

	Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.		Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand   $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.

	Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$ gespeist und ist mit dem Widerstand $R_{\rm 2}$ abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu		Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	\hspace{0.05cm},~~\hspace{0.3cm}{\rm mit}~~\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)		\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)
	= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm		= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
	e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}		e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}
Zeile 25:		Zeile 25:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie\|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie\|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
	*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.		*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.

Zeile 33:		Zeile 33:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Aussagen gelten für den Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ einer Leitung allgemein?		{Welche Aussagen gelten für den Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$  einer Leitung allgemein?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $Z_{\rm W}$ ist abhängig von der Leitungslänge.		- $Z_{\rm W}$  ist abhängig von der Leitungslänge.
	+ $Z_{\rm W}$ kann frequenzabhängig sein.		+ $Z_{\rm W}$  kann frequenzabhängig sein.
	+ $Z_{\rm W}$ kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.		+ $Z_{\rm W}$  kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.


	{Welche Aussagen gelten für die Beschaltung mit $R_1 = R_2 = Z_{\rm W}$?		{Welche Aussagen gelten für die Beschaltung mit  $R_1 = R_2 = Z_{\rm W}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ ist gleich dem Wellenwiderstand.		+ Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  ist gleich dem Wellenwiderstand.
	+ Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ ist frequenzunabhängig.		+ Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  ist frequenzunabhängig.
	- Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ hängt von der Leitungslänge ab.		- Der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f)$  hängt von der Leitungslänge ab.
	+ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.		+ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.


	{Bei welcher Leitungslänge $l$ unterscheiden sich $Z_{\rm E}$ und $Z_{\rm W}$ im '''Kurzschlussfall''' $(R_{\rm 2} = 0)$ um weniger als $1\%$?		{Bei welcher Leitungslänge  $l = l_\text{min}$  unterscheiden sich  $Z_{\rm E}$  und  $Z_{\rm W}$  im '''Kurzschlussfall'''  $(R_{\rm 2} = 0)$  um weniger als $1\%$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$		$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$
Zeile 54:		Zeile 54:


	{Bei welcher Leitungslänge $l$ unterscheiden sich $Z_{\rm E}$ von $Z_{\rm W}$ im '''Leerlauf''' $(R_2 → ∞)$ um weniger als $1\%$?		{Bei welcher Leitungslänge  $l = l_\text{min}$  unterscheiden sich  $Z_{\rm E}$  von  $Z_{\rm W}$ im '''Leerlauf'''  $(R_2 → ∞)$ um weniger als  $1\%$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$		$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie\|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie\|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
	*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.		*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2021, 18:45 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$  ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.		*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$  ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
	*Der Wellenwiderstand   $Z_{\rm W}$  ist unabhängig vom Ort.		*Der Wellenwiderstand   $Z_{\rm W}$  ist unabhängig vom Ort.
	*Deshalb ist  $Z_{\rm W}$  auch unabhängig von der Leitungslänge  $l$  und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ und $C\hspace{0.08cm}'$ bestimmt.		*Deshalb ist  $Z_{\rm W}$  auch unabhängig von der Leitungslänge  $l$  und wird allein durch die Leitungsbeläge  $R\hspace{0.05cm}'$,  $L\hspace{0.05cm}'$,  $G\hspace{0.08cm}'$  und  $C\hspace{0.08cm}'$  bestimmt.
	*Die im Theorieteil angegebene Gleichung		*Die im Theorieteil angegebene Gleichung
	:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}}		:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}}
Zeile 82:		Zeile 82:


	'''(2)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$  ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:		'''(2)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$  ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand,  und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=		{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
Zeile 88:		Zeile 88:
	{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=		{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
	Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$		Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:		Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
	*Da in der Aufgabenstellung  $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$  als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$  frequenzunabhängig.		*Da in der Aufgabenstellung  $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$  als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde,  ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$  frequenzunabhängig.
	*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen vermieden werden.		*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen vermieden werden.
	*Die Beschaltung  $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$   ⇒   $R_1 =Z_{\rm E}$  ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.		*Die Beschaltung  $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$   ⇒   $R_1 =Z_{\rm E}$  ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
Zeile 118:		Zeile 118:


	'''(4)'''  In gleicher Weise erhält man für  $R_2 → ∞$   ⇒   Leerlauf ~~die Gleichung~~		'''(4)'''  In gleicher Weise erhält man für  $R_2 → ∞$   ⇒   Leerlauf:
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
	= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$		= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 126:		Zeile 126:
	x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe  '''(3)''':		Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe  '''(3)''':
	*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$,  um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
	*Bei der niedrigeren Frequenz  $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$  ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.		*Bei der niedrigeren Frequenz  $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$  ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 15:36 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.		*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$  ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
	*Der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ unabhängig vom Ort.		*Der Wellenwiderstand   $Z_{\rm W}$  ist unabhängig vom Ort.
	*Deshalb ist $Z_{\rm W}$ auch unabhängig von der Leitungslänge $l$ und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.~~05cm~~}'$ und $C\hspace{0.~~05cm~~}'$ bestimmt.		*Deshalb ist  $Z_{\rm W}$  auch unabhängig von der Leitungslänge  $l$  und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ und $C\hspace{0.08cm}'$ bestimmt.
	*Die im Theorieteil angegebene Gleichung		*Die im Theorieteil angegebene Gleichung
	:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.~~05cm~~}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.~~05cm~~}'}}		:$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j} \cdot \omega L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j} \cdot \omega C\hspace{0.08cm}'}}
	\hspace{0.1cm}\bigg \|_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$		\hspace{0.1cm}\bigg \|_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$
	macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.		macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.
Zeile 81:		Zeile 81:


	'''(2)'''  Mit dem Abschlusswiderstand $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$ ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
			'''(2)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$  ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=		{Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
Zeile 88:		Zeile 89:
	Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$		Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:		Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
	*Da in der Aufgabenstellung $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$ als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$ frequenzunabhängig.		*Da in der Aufgabenstellung  $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$  als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$  frequenzunabhängig.
	*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen vermieden werden.		*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen vermieden werden.
	*Die Beschaltung $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$   ⇒   $R_1 =Z_{\rm E}$ ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.		*Die Beschaltung  $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$   ⇒   $R_1 =Z_{\rm E}$  ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.




	'''(3)'''  Mit dem Abschlusswiderstand $R_{\rm 2} = 0$   ⇒   Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem $x = \gamma (f) \cdot l$:		'''(3)'''  Mit dem Abschlusswiderstand  $R_{\rm 2} = 0$   ⇒   Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem  $x = \gamma (f) \cdot l$:
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)
	= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm		= \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
Zeile 109:		Zeile 111:
	Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$		Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
	Das heißt:		Das heißt:
	*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
	*Bei niedrigerer Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.		*Bei niedrigerer Frequenz  $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$  ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.
	*Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.		*Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.
	*Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.		*Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.
Zeile 116:		Zeile 118:


	'''(4)'''  In gleicher Weise erhält man für $R_2 → ∞$   ⇒   Leerlauf die Gleichung		'''(4)'''  In gleicher Weise erhält man für  $R_2 → ∞$   ⇒   Leerlauf die Gleichung
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
	= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$		= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
	Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich nun für den Quotienten $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:		Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich nun für den Quotienten  $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
	:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	{\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		{\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$		x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
	Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe (3):		Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe  '''(3)''':
	*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz  $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$  genügt bereits die Leitungslänge  $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
	*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.		*Bei der niedrigeren Frequenz  $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$  ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2019, 15:27 Uhr
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	[[Datei:P_ID1799__LZI_A_4_2.png\|right\|frame\|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]		[[Datei:P_ID1799__LZI_A_4_2.png\|right\|frame\|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]
	Ein Übertragungssystem belege den Bereich von  $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$  bis  $f_{\rm O} = ~~400~~ \ \rm MHz$.		Ein Übertragungssystem belege den Bereich von  $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$  bis  $f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.

	Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand   $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.		Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand   $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$  (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein  (meist kleinerer)  Imaginärteil zu berücksichtigen ist.

	Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu		Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand  $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$  gespeist und ist mit dem Widerstand  $R_{\rm 2}$  abgeschlossen.  Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
	:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		:$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
	{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}		{Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
Zeile 48:		Zeile 48:


	{Bei welcher Leitungslänge  $l = l_\text{min}$  unterscheiden sich  $Z_{\rm E}$  und  $Z_{\rm W}$  im '''Kurzschlussfall'''  $(R_{\rm 2} = 0)$  um weniger als $1\%$?		{Bei welcher Leitungslänge  $l = l_\text{min}$  unterscheiden sich  $Z_{\rm E}$  und  $Z_{\rm W}$  im  '''Kurzschlussfall'''   $(R_{\rm 2} = 0)$  um weniger als  $1\%$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$		$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$
Zeile 54:		Zeile 54:


	{Bei welcher Leitungslänge  $l = l_\text{min}$  unterscheiden sich  $Z_{\rm E}$  von  $Z_{\rm W}$ im '''Leerlauf'''  $(R_2 → ∞)$ um weniger als  $1\%$?		{Bei welcher Leitungslänge  $l = l_\text{min}$  unterscheiden sich  $Z_{\rm E}$  von  $Z_{\rm W}$  im  '''Leerlauf'''   $(R_2 → ∞)$ um weniger als  $1\%$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$		$f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2018, 17:25 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle ~~und ist~~ unabhängig vom Ort.		*Der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
			*Der Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ unabhängig vom Ort.
	*Deshalb ist $Z_{\rm W}$ auch unabhängig von der Leitungslänge $l$ und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.05cm}'$ und $C\hspace{0.05cm}'$ bestimmt.		*Deshalb ist $Z_{\rm W}$ auch unabhängig von der Leitungslänge $l$ und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.05cm}'$ und $C\hspace{0.05cm}'$ bestimmt.
	*Die im Theorieteil angegebene Gleichung		*Die im Theorieteil angegebene Gleichung
Zeile 73:		Zeile 74:
	macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.		macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.

	~~Besonders anzumerken~~ ist, dass der Wellenwiderstand ~~keinen~~ Widerstand im Sinne eines Verbrauchers ~~darstellt~~:		Anzumerken ist, dass der Wellenwiderstand kein Widerstand im Sinne eines Verbrauchers ist:
	*Der Wellenwiderstand charakterisiert die Leitung nicht als verlustbehaftetes Element.		*Der Wellenwiderstand charakterisiert die Leitung nicht als verlustbehaftetes Element.
	*Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand ~~und ebenso~~ ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle stets ein Wellenwiderstand definiert.		*Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand.
			*Ebenso ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle stets ein Wellenwiderstand definiert.



Zeile 85:		Zeile 88:
	Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$		Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:		Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
	*Da in der Aufgabenstellung $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$ als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist ~~hier~~ auch der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$frequenzunabhängig.		*Da in der Aufgabenstellung $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$ als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$ frequenzunabhängig.
	*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit reellem Abschluss ~~Reflexionen~~ nicht für alle Frequenzen vermieden werden.		*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen vermieden werden.
	*Die Beschaltung $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$   ⇒   $R_1 =Z_{\rm E}$ ist ~~stets~~ anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.		*Die Beschaltung $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$   ⇒   $R_1 =Z_{\rm E}$ ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.



Zeile 106:		Zeile 110:
	Das heißt:		Das heißt:
	*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
	*Bei ~~der niedrigeren~~ Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes ~~dafür~~ eine größere Kabellänge erforderlich.		*Bei niedrigerer Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.
	*Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.		*Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.
	*Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.		*Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.



Zeile 114:		Zeile 119:
	:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}		:$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
	= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$		= \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
	Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich für den Quotienten $Z_{\rm E}/Z_{\rm W}$ ~~nun stets ein Wert größer 1~~:		Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich nun für den Quotienten $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
	:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	{\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		{\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 120:		Zeile 125:
	Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe (3):		Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe (3):
	*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.		*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
	*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes ~~dafür~~ eine größere Kabellänge erforderlich.		*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}