Aufgaben:Aufgabe 4.2: Fehlangepasste Leitung - Versionsgeschichte

Guenter am 6. November 2021 um 16:45 Uhr

2021-11-06T16:45:47Z

Guenter am 6. November 2021 um 16:39 Uhr

2021-11-06T16:39:35Z

Guenter am 6. November 2019 um 13:36 Uhr

2019-11-06T13:36:53Z

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2019-11-06T13:27:52Z

Guenter am 28. November 2018 um 15:25 Uhr

2018-11-28T15:25:26Z

Guenter am 28. November 2018 um 15:12 Uhr

2018-11-28T15:12:43Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 12:49 Uhr

2018-03-28T12:49:05Z

Guenter am 28. März 2018 um 12:36 Uhr

2018-03-28T12:36:35Z

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2018-03-28T12:30:47Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Der Wellenwiderstand&nbsp;  $Z_{\rm W}$&nbsp; ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
 *Der Wellenwiderstand &nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; ist unabhängig vom Ort.
-*Deshalb ist&nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; auch unabhängig von der Leitungslänge&nbsp; $l$&nbsp; und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ und $C\hspace{0.08cm}'$ bestimmt.
+*Deshalb ist&nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; auch unabhängig von der Leitungslänge&nbsp; $l$&nbsp; und wird allein durch die Leitungsbeläge&nbsp; $R\hspace{0.05cm}'$,&nbsp; $L\hspace{0.05cm}'$,&nbsp; $G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; und&nbsp; $C\hspace{0.08cm}'$&nbsp; bestimmt.
 *Die im Theorieteil angegebene Gleichung
 :$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.08cm}'}}
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-'''(2)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand&nbsp; $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
+'''(2)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand&nbsp; $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$&nbsp; ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand,&nbsp; und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
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   {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
   Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
+Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Da in der Aufgabenstellung&nbsp; $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$&nbsp; als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand&nbsp;  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$&nbsp; frequenzunabhängig.
+*Da in der Aufgabenstellung&nbsp; $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$&nbsp; als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde,&nbsp; ist auch der Eingangswiderstand&nbsp;  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$&nbsp; frequenzunabhängig.
 *Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit  reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen  vermieden werden.
 *Die Beschaltung&nbsp; $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$&nbsp; ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
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-'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise erhält man für&nbsp; $R_2 &#8594; &#8734;$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Leerlauf die Gleichung
+'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise erhält man für&nbsp; $R_2 &#8594; &#8734;$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Leerlauf:
 :$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
   =  \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
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   x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
 Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''':
-*Bei der Frequenz&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp; genügt bereits die Leitungslänge&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp; genügt bereits die Leitungslänge&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$,&nbsp; um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
 *Bei der niedrigeren Frequenz&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp; ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.

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 Ein Übertragungssystem belege den Bereich von &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; bis &nbsp;$f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.
-Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein&nbsp; (meist kleinerer)&nbsp; Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
+Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (reell),&nbsp; was nicht ganz der Realität entspricht,&nbsp; da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein&nbsp; (meist kleinerer)&nbsp; Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
 Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; gespeist und ist mit dem Widerstand&nbsp; $R_{\rm 2}$&nbsp; abgeschlossen.&nbsp; Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Das Übertragungsmaß soll &ndash; wieder sehr vereinfacht &ndash; durch eine reelle Funktion angenähert werden:
+Das Übertragungsmaß soll&nbsp; &ndash; wieder sehr vereinfacht &ndash;&nbsp; durch eine reelle Funktion angenähert werden:
 :$$\frac {\gamma(f)}{1\,{\rm Np/km}}  =  \frac {\alpha(f)}{1\,{\rm Np/km}}  = \sqrt{f/f_{\rm O}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{\rm O} =  40\,{\rm MHz}\hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
-*Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.
+*Insbesondere soll untersucht werden,&nbsp; ob es zu Reflexionen kommt.
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 + Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; ist frequenzunabhängig.
 - Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; hängt von der Leitungslänge ab.
-+ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.
++ $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$&nbsp; kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$ ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
+*Der Wellenwiderstand&nbsp;  $Z_{\rm W}$&nbsp; ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
-*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$ unabhängig vom Ort.
+*Der Wellenwiderstand &nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; ist unabhängig vom Ort.
-*Deshalb ist $Z_{\rm W}$ auch unabhängig von der Leitungslänge $l$ und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.05cm}'$ und $C\hspace{0.05cm}'$ bestimmt.
+*Deshalb ist&nbsp; $Z_{\rm W}$&nbsp; auch unabhängig von der Leitungslänge&nbsp; $l$&nbsp; und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.08cm}'$ und $C\hspace{0.08cm}'$ bestimmt.
 *Die im Theorieteil angegebene Gleichung
-:$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.05cm}'}}
+:$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.08cm}'}}
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$
 macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.
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 '''(2)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand $Z_{\rm 2}(f) = Z_{\rm W}(f)$ ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}=
@@ Zeile 88: / Zeile 89: @@
   Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Da in der Aufgabenstellung $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$ als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$ frequenzunabhängig.
+*Da in der Aufgabenstellung&nbsp; $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$&nbsp; als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand&nbsp;  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$&nbsp; frequenzunabhängig.
 *Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit  reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen  vermieden werden.
-*Die Beschaltung $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$ ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
+*Die Beschaltung&nbsp; $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$&nbsp; ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
-'''(3)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand $R_{\rm 2} = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem $x = \gamma (f) \cdot l$:
+'''(3)'''&nbsp; Mit dem Abschlusswiderstand&nbsp; $R_{\rm 2} = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Kurzschluss folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem&nbsp; $x = \gamma (f) \cdot l$:
 :$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x)
   = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
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   Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
 Das heißt:
-*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp; genügt bereits die Leitungslänge&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
-*Bei niedrigerer Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes  eine größere Kabellänge erforderlich.
+*Bei niedrigerer Frequenz&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp; ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes  eine größere Kabellänge erforderlich.
 *Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.
 *Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.
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-'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise erhält man für $R_2 &#8594; &#8734;$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Leerlauf die Gleichung
+'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise erhält man für&nbsp; $R_2 &#8594; &#8734;$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Leerlauf die Gleichung
 :$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
   =  \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
-Im Gegensatz zum Kurzschluss&ndash;Fall ergibt sich nun für den Quotienten $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
+Im Gegensatz zum Kurzschluss&ndash;Fall ergibt sich nun für den Quotienten&nbsp; $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
 :$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   {\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   x ={1}/{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
-Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe (3):
+Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''':
-*Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$&nbsp; genügt bereits die Leitungslänge&nbsp; $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
-*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.
+*Bei der niedrigeren Frequenz&nbsp; $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$&nbsp; ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1799__LZI_A_4_2.png|right|frame|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]
-Ein Übertragungssystem belege den Bereich von &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; bis &nbsp;$f_{\rm O} = 400 \ \rm MHz$.
+Ein Übertragungssystem belege den Bereich von &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; bis &nbsp;$f_{\rm O} = 40 \ \rm MHz$.
-Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
+Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein&nbsp; (meist kleinerer)&nbsp; Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
-Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; gespeist und ist mit dem Widerstand &nbsp;$R_{\rm 2}$&nbsp; abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
+Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; gespeist und ist mit dem Widerstand&nbsp; $R_{\rm 2}$&nbsp; abgeschlossen.&nbsp; Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
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-{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; und &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; im '''Kurzschlussfall''' &nbsp;$(R_{\rm 2} = 0)$&nbsp; um weniger als $1\%$?
+{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; und &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; im&nbsp; '''Kurzschlussfall''' &nbsp; $(R_{\rm 2} = 0)$&nbsp; um weniger als&nbsp; $1\%$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $  { 5.3 3% } $\ \rm km$
@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
-{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; von &nbsp;$Z_{\rm W}$ im '''Leerlauf''' &nbsp;$(R_2 &#8594; &#8734;)$ um weniger als &nbsp;$1\%$?
+{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; von &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; im&nbsp; '''Leerlauf''' &nbsp; $(R_2 &#8594; &#8734;)$ um weniger als &nbsp;$1\%$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$ ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle und ist unabhängig vom Ort.
+*Der Wellenwiderstand  $Z_{\rm W}$ ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle.
 *Deshalb ist $Z_{\rm W}$ auch unabhängig von der Leitungslänge $l$ und wird allein durch die Leitungsbeläge $R\hspace{0.05cm}'$, $L\hspace{0.05cm}'$, $G\hspace{0.05cm}'$ und $C\hspace{0.05cm}'$ bestimmt.
 *Die im Theorieteil angegebene Gleichung
@@ Zeile 73: / Zeile 74: @@
 macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist.
-Besonders anzumerken ist, dass der Wellenwiderstand keinen Widerstand im Sinne eines Verbrauchers darstellt:
+Anzumerken ist, dass der Wellenwiderstand kein Widerstand im Sinne eines Verbrauchers ist:
 *Der Wellenwiderstand charakterisiert die Leitung nicht als verlustbehaftetes Element.
-*Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand und ebenso ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle stets ein Wellenwiderstand definiert.
+*Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand.
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   Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Da in der Aufgabenstellung $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$ als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist hier auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$frequenzunabhängig.
+*Da in der Aufgabenstellung $Z_{\rm W}(f) = Z_{\rm W}$ als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist auch der Eingangswiderstand  $Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm E}$ frequenzunabhängig.
-*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit  reellem Abschluss Reflexionen nicht für alle Frequenzen vermieden werden.
+*Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit  reellem Abschluss nicht für alle Frequenzen Reflexionen  vermieden werden.
-*Die Beschaltung $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$ ist stets anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
+*Die Beschaltung $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $R_1  =Z_{\rm E}$ ist anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird.
@@ Zeile 106: / Zeile 110: @@
 Das heißt:
 *Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
-*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes dafür eine größere Kabellänge erforderlich.
+*Bei niedrigerer Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes  eine größere Kabellänge erforderlich.
 *Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen.
 *Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.
@@ Zeile 114: / Zeile 119: @@
 :$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)}
   =  \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$
-Im Gegensatz zum Kurzschluss&ndash;Fall ergibt sich für den Quotienten $Z_{\rm E}/Z_{\rm W}$ nun stets ein Wert größer 1:
+Im Gegensatz zum Kurzschluss&ndash;Fall ergibt sich nun für den Quotienten $Z_{\rm E}/Z_{\rm W} > 1$:
 :$${Z_{\rm E}(f)}/{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   {\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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 Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe (3):
 *Bei der Frequenz $f_{\rm O} = 40\ {\rm MHz}$ genügt bereits die Leitungslänge $l= 2.65 \ \rm km$, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken.
-*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes dafür eine größere Kabellänge erforderlich.
+*Bei der niedrigeren Frequenz $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}$ ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes eine größere Kabellänge erforderlich.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1799__LZI_A_4_2.png|right|frame|Nachrichtenleitung mit Beschaltung]]
-Ein Übertragungssystem belege den Frequenzbereich von $f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$ bis $f_{\rm O} = 400 \ \rm MHz$.
+Ein Übertragungssystem belege den Bereich von &nbsp;$f_{\rm U} = 10 \ \rm MHz$&nbsp; bis &nbsp;$f_{\rm O} = 400 \ \rm MHz$.
-Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand $Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
+Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand&nbsp; &nbsp;$Z_{\rm W} = 100 \ \rm \Omega$ (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (meist kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.
-Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand $R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$ gespeist und ist mit dem Widerstand $R_{\rm 2}$ abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
+Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand &nbsp;$R_{\rm 1} = 100 \ \rm \Omega$&nbsp; gespeist und ist mit dem Widerstand &nbsp;$R_{\rm 2}$&nbsp; abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu
 :$$Z_{\rm E}(f)  =  Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
   {Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}
-  \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)
+  \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x)
   = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm
   e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C}
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
 *Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für den Wellenwiderstand $Z_{\rm W}$ einer Leitung allgemein?
+{Welche Aussagen gelten für den Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; einer Leitung allgemein?
 |type="[]"}
-- $Z_{\rm W}$  ist abhängig von der Leitungslänge.
+- $Z_{\rm W}$&nbsp;  ist abhängig von der Leitungslänge.
-+ $Z_{\rm W}$  kann frequenzabhängig sein.
++ $Z_{\rm W}$&nbsp;  kann frequenzabhängig sein.
-+ $Z_{\rm W}$  kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.
++ $Z_{\rm W}$&nbsp;  kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.
-{Welche Aussagen gelten für die Beschaltung mit  $R_1 = R_2 = Z_{\rm W}$?
+{Welche Aussagen gelten für die Beschaltung mit  &nbsp;$R_1 = R_2 = Z_{\rm W}$?
 |type="[]"}
-+ Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ ist gleich dem Wellenwiderstand.
++ Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; ist gleich dem Wellenwiderstand.
-+ Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ ist frequenzunabhängig.
++ Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; ist frequenzunabhängig.
-- Der Eingangswiderstand $Z_{\rm E}(f)$ hängt von der Leitungslänge ab.
+- Der Eingangswiderstand &nbsp;$Z_{\rm E}(f)$&nbsp; hängt von der Leitungslänge ab.
 + $R_1 = R_2 =Z_{\rm W}$ kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.
-{Bei welcher Leitungslänge $l$ unterscheiden sich $Z_{\rm E}$ und $Z_{\rm W}$ im '''Kurzschlussfall''' $(R_{\rm 2} = 0)$ um weniger als $1\%$?
+{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; und &nbsp;$Z_{\rm W}$&nbsp; im '''Kurzschlussfall''' &nbsp;$(R_{\rm 2} = 0)$&nbsp; um weniger als $1\%$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $  { 5.3 3% } $\ \rm km$
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-{Bei welcher Leitungslänge $l$ unterscheiden sich $Z_{\rm E}$ von $Z_{\rm W}$ im '''Leerlauf''' $(R_2 &#8594; &#8734;)$ um weniger als $1\%$?
+{Bei welcher Leitungslänge &nbsp;$l = l_\text{min}$&nbsp; unterscheiden sich &nbsp;$Z_{\rm E}$&nbsp; von &nbsp;$Z_{\rm W}$ im '''Leerlauf''' &nbsp;$(R_2 &#8594; &#8734;)$ um weniger als &nbsp;$1\%$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm U} = 10\ {\rm MHz}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} l_\text{min}\ = \ $ { 5.3 3% } $\ \rm km$

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(kein Unterschied)