Aufgaben:Aufgabe 4.2: Dreieckförmige WDF - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.2:_Triangular_PDF]]

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	Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $($kurz $\rm WDF)$  mit dreieckförmigem Verlauf.		Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $($kurz $\rm WDF)$  mit dreieckförmigem Verlauf.
	* Die Zufallsgröße  $X$  ist auf den Wertebereich von  $0$  bis  $1$  begrenzt,  und es gilt für die WDF (obere Skizze):		* Die Zufallsgröße  $X$  ist auf den Wertebereich von  $0$  bis  $1$  begrenzt,  und es gilt für die WDF (obere Skizze):
	:$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}		:$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	* Die Zufallsgröße  $Y$  besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:		* Die Zufallsgröße  $Y$  besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:
	:$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \|\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}\| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} \|\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}\| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}		:$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \|\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}\| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} \|\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}\| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|differentielle Entropie]]  ermittelt werden.		Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|differentielle Entropie]]  ermittelt werden.

	Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße  $X$:		Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße  $X$:
	:$$h(X) =		:$$h(X) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x
	\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Verwendet man den  &bdquo;natürlichen Logarithmus”,  so ist die Pseudo–Einheit  &bdquo;nat”  anzufügen.		*Verwendet man den  &bdquo;natürlichen Logarithmus”,  so ist die Pseudo–Einheit  &bdquo;nat”  anzufügen.
	*Ist das Ergebnis dagegen in  &bdquo;bit”  gefragt, so ist der  &bdquo;Logarithmus dualis”   ⇒   &bdquo;$\log_2$”  zu verwenden.		*Ist das Ergebnis dagegen in  &bdquo;bit”  gefragt, so ist der  &bdquo;Logarithmus dualis”   ⇒   &bdquo;$\log_2$”  zu verwenden.
Zeile 37:		Zeile 32:

	*Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:		*Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
	:$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =		:$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = \xi^2 \cdot \big [1/2 \cdot {{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)} - {1}/{4}\big ] \hspace{0.05cm}.$$
	\xi^2 \cdot \big [1/2 \cdot {{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)} -
	{1}/{4}\big ] \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 68:		Zeile 61:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich  $0 \le X \le 1$  vereinbarungsgemäß:		'''(1)'''  Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich  $0 \le X \le 1$  vereinbarungsgemäß:
	:$$f_X(x) = 2x = C \cdot x		:$$f_X(x) = 2x = C \cdot x\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Wir haben hierbei &bdquo;2” durch  $C$  ersetzt   ⇒   Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe  $(3)$  die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.		*Wir haben hierbei &bdquo;2” durch  $C$  ersetzt   ⇒   Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe  $(3)$  die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.

	*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat” gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus.  Mit der Substitution  $\xi = C \cdot x$  erhalten wir:		*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat” gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus.  Mit der Substitution  $\xi = C \cdot x$  erhalten wir:
	:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm} C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =		:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm} C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x = \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm} \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = - \hspace{0.1cm}\frac{\xi^2}{C} \cdot \left [ \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)}{2} - \frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C} \hspace{0.05cm}$$
	\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm} \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi
	= - \hspace{0.1cm}\frac{\xi^2}{C} \cdot
	\left [ \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)}{2} -
	\frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}
	\hspace{0.05cm}$$
	*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt.  Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von  $C=2$:		*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt.  Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von  $C=2$:
	:$$h_{\rm nat}(X) =		:$$h_{\rm nat}(X) =- C/2 \cdot \big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2\big ]= - {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2) + 1/2 =- {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)+ 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm} = - 0.193\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}h(X) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}} \hspace{0.05cm}.$$
	- C/2 \cdot
	\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
	\big ]
	= - {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2) + 1/2 =
	- {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)
	+ 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})
	= {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm} = - 0.193
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
	h(X)
	\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}
	\hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Allgemein gilt:		'''(2)'''  Allgemein gilt:
	:$$h_{\rm bit}(X) = \frac{h_{\rm nat}(X)}{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)\,{\rm nat/bit}} = - 0.279		:$$h_{\rm bit}(X) = \frac{h_{\rm nat}(X)}{{\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)\,{\rm nat/bit}} = - 0.279\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}h(X) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.279\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
	h(X)
	\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.279\,{\rm bit}}
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Diese Umrechnung kann man sich sparen, wenn man bereits im analytischen Ergebnis der Teilaufgabe  $(1)$  direkt &bdquo;ln” durch &bdquo;log<sub>2</sub>” ersetzt:		*Diese Umrechnung kann man sich sparen, wenn man bereits im analytischen Ergebnis der Teilaufgabe  $(1)$  direkt &bdquo;ln” durch &bdquo;log<sub>2</sub>” ersetzt:
	:$$h(X) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.3cm}		:$$h(X) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.3cm}{\rm Pseudo-Einheit\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} bit} \hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Pseudo-Einheit\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} bit}
	\hspace{0.05cm}.$$


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	[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von  $h(Y)$]]		[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von  $h(Y)$]]
	'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:		'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:
	:$$h(Y) =		:$$h(Y) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}( \hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y = I_{\rm neg} + I_{\rm pos} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}
	\hspace{0.03cm}( \hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y = I_{\rm neg} + I_{\rm pos}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Das erste Integral für den Bereich  $-1 \le y \le 0$  ist formgleich mit dem der Teilaufgabe  $(1)$  und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst.		*Das erste Integral für den Bereich  $-1 \le y \le 0$  ist formgleich mit dem der Teilaufgabe  $(1)$  und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst.
	*Zu berücksichtigen ist nun die Höhe  $C = 1$  anstelle von  $C = 2$:		*Zu berücksichtigen ist nun die Höhe  $C = 1$  anstelle von  $C = 2$:
	:$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot		:$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot \big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2\big ] = -1/2 \cdot \big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1) - 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \big ]= 1/4 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \hspace{0.05cm}.$$
	\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
	\big ] = -1/2 \cdot
	\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1) - 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \big ]= 1/4 \cdot
	{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Der zweite Integrand ist bis auf eine Verschiebung und Spiegelung identisch mit dem ersten.  Außerdem überlappen sich die Integrationsintervalle nicht   ⇒   $I_{\rm pos} = I_{\rm neg}$:		*Der zweite Integrand ist bis auf eine Verschiebung und Spiegelung identisch mit dem ersten.  Außerdem überlappen sich die Integrationsintervalle nicht   ⇒   $I_{\rm pos} = I_{\rm neg}$:
	:$$h_{\rm nat}(Y) = 2 \cdot I_{\rm neg} = 1/2 \cdot		:$$h_{\rm nat}(Y) = 2 \cdot I_{\rm neg} = 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}h_{\rm bit}(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1.649)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow\hspace{0.3cm}h_{\rm bit}(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e})
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
	h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1.649)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 136:		Zeile 94:
	:$$h(Z) = h(A \cdot Y) = h(Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) \hspace{0.05cm}.$$		:$$h(Z) = h(A \cdot Y) = h(Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) \hspace{0.05cm}.$$
	*Aus der Forderung  $h(Z) = 1 \ \rm bit$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe  $(3)$  folgt somit:		*Aus der Forderung  $h(Z) = 1 \ \rm bit$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe  $(3)$  folgt somit:
	:$${\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} - 0.721 \,{\rm bit} = 0.279 \,{\rm bit}		:$${\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} - 0.721 \,{\rm bit} = 0.279 \,{\rm bit}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 2^{0.279}\hspace{0.15cm}\underline{= 1.213} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 2^{0.279}\hspace{0.15cm}\underline
	{= 1.213}
	\hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 25. September 2021 um 09:26 Uhr

2021-09-25T09:26:05Z

Guenter am 10. Februar 2020 um 16:21 Uhr

2020-02-10T16:21:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Februar 2020, 18:21 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich $0 \le X \le 1$ vereinbarungsgemäß:		'''(1)'''  Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich  $0 \le X \le 1$  vereinbarungsgemäß:
	:$$f_X(x) = 2x = C \cdot x		:$$f_X(x) = 2x = C \cdot x
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Wir haben hierbei &bdquo;2” durch $C$ ersetzt   ⇒   Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe $(3)$ die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.		*Wir haben hierbei &bdquo;2” durch  $C$  ersetzt   ⇒   Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe  $(3)$  die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.

	*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat” gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus. Mit der Substitution $\xi = C \cdot x$ erhalten wir:		*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat” gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus.  Mit der Substitution  $\xi = C \cdot x$  erhalten wir:
	:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm} C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =		:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm} C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
	\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm} \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi		\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm} \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi
Zeile 79:		Zeile 79:
	\frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}		\frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
	*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von $C=2$:		*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt.  Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von  $C=2$:
	:$$h_{\rm nat}(X) =		:$$h_{\rm nat}(X) =
	- C/2 \cdot		- C/2 \cdot
Zeile 92:		Zeile 92:
	\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}		\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



Zeile 100:		Zeile 101:
	\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.279\,{\rm bit}}		\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.279\,{\rm bit}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Diese Umrechnung kann man sich sparen, wenn man bereits im analytischen Ergebnis der Teilaufgabe (1) direkt &bdquo;ln” durch &bdquo;log<sub>2</sub>” ersetzt:		*Diese Umrechnung kann man sich sparen, wenn man bereits im analytischen Ergebnis der Teilaufgabe  $(1)$  direkt &bdquo;ln” durch &bdquo;log<sub>2</sub>” ersetzt:
	:$$h(X) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.3cm}		:$$h(X) = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.3cm}
	{\rm Pseudo-Einheit\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} bit}		{\rm Pseudo-Einheit\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} bit}
Zeile 106:		Zeile 107:


	[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von $h(Y)$]]
			[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von  $h(Y)$]]
	'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:		'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:
	:$$h(Y) =		:$$h(Y) =
Zeile 113:		Zeile 115:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Das erste Integral für den Bereich $-1 \le y \le 0$ ist formgleich mit dem der Teilaufgabe $(1)$ und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst. Zu berücksichtigen ist nun die Höhe $C = 1$ anstelle von $C = 2$:		*Das erste Integral für den Bereich  $-1 \le y \le 0$  ist formgleich mit dem der Teilaufgabe  $(1)$  und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst.
			*Zu berücksichtigen ist nun die Höhe  $C = 1$  anstelle von  $C = 2$:
	:$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot		:$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot
	\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2		\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
Zeile 121:		Zeile 124:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Der zweite Integrand ist bis auf eine Verschiebung und Spiegelung identisch mit dem ersten. Außerdem überlappen sich die Integrationsintervalle nicht   ⇒   $I_{\rm pos} = I_{\rm neg}$:		*Der zweite Integrand ist bis auf eine Verschiebung und Spiegelung identisch mit dem ersten.  Außerdem überlappen sich die Integrationsintervalle nicht   ⇒   $I_{\rm pos} = I_{\rm neg}$:
	:$$h_{\rm nat}(Y) = 2 \cdot I_{\rm neg} = 1/2 \cdot		:$$h_{\rm nat}(Y) = 2 \cdot I_{\rm neg} = 1/2 \cdot
	{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}) \hspace{0.3cm}		{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}) \hspace{0.3cm}
Zeile 129:		Zeile 132:


	'''(4)'''  Für die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ gilt allgemein:
			'''(4)'''  Für die differentielle Entropie der Zufallsgröße  $Z = A \cdot Y$  gilt allgemein:
	:$$h(Z) = h(A \cdot Y) = h(Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) \hspace{0.05cm}.$$		:$$h(Z) = h(A \cdot Y) = h(Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) \hspace{0.05cm}.$$
	Aus der Forderung $h(Z) = 1 \ \rm bit$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe $(3)$ folgt somit:		*Aus der Forderung  $h(Z) = 1 \ \rm bit$  und dem Ergebnis der Teilaufgabe  $(3)$  folgt somit:
	:$${\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} - 0.721 \,{\rm bit} = 0.279 \,{\rm bit}		:$${\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} - 0.721 \,{\rm bit} = 0.279 \,{\rm bit}
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 2^{0.279}\hspace{0.15cm}\underline		\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 2^{0.279}\hspace{0.15cm}\underline

Guenter am 10. Februar 2020 um 16:14 Uhr

2020-02-10T16:14:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Februar 2020, 18:14 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png\|right\|frame\|Zweimal dreieckförmige WDF]]		[[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png\|right\|frame\|Zweimal dreieckförmige WDF]]
	Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.		Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.
	* Die Zufallsgröße $X$ ist auf den Wertebereich von $0$ ~~und~~ $1$ begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze):		* Die Zufallsgröße  $X$  ist auf den Wertebereich von  $0$  bis  $1$  begrenzt,  und es gilt für die WDF (obere Skizze):
	:$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}		:$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Die Zufallsgröße $Y$ besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:		* Die Zufallsgröße  $Y$  besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:
	:$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \|y\| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} \|y\| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}		:$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \|\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}\| \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} \|\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}\| \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Der Zusammenhang zwischen den zwei Zufallsgrößen ist durch die Gleichung $X = \|Y\|$ gegeben.

			Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|differentielle Entropie]]  ermittelt werden.

	~~Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|differentielle Entropie]] ermittelt werden.~~		Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße  $X$:

	Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße $X$:
	:$$h(X) =		:$$h(X) =
	\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x		\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x
	\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}		\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Verwendet man den ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo–Einheit &bdquo;nat” anzufügen.		*Verwendet man den  ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo–Einheit  &bdquo;nat”  anzufügen.
	*Ist das Ergebnis dagegen in &bdquo;bit” gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i>   ⇒   &bdquo;~~log<sub>2</sub>~~” zu verwenden.		*Ist das Ergebnis dagegen in  &bdquo;bit”  gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i>   ⇒   &bdquo;$\log_2$”  zu verwenden.


	In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße  $Z = A \cdot Y$  betrachtet. Der WDF–Parameter $A$ ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße $Z$~~</i>~~ genau $1$ bit ergibt:<br>		In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße  $Z = A \cdot Y$  betrachtet. Der WDF–Parameter  $A$  ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße  $Z$  genau  $1$ bit ergibt:<br>
	:$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$		:$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$





Zeile 44:		Zeile 45:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $X$ in &bdquo;nat”.		{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße  $X$  in  &bdquo;nat”.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(X) \ = \ $ { -0.199--0.187 } $\ \rm nat$		$h(X) \ = \ $ { -0.199--0.187 } $\ \rm nat$


	{Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit &bdquo;bit”?		{Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit  &bdquo;bit”?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(X) \ = \ $ { -0.288--0.270 } $\ \rm bit$		$h(X) \ = \ $ { -0.288--0.270 } $\ \rm bit$

	{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Y$.		{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße  $Y$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$		$h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$

	{Bestimmen Sie den WDF–Parameter $A$, so dass $\underline{h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit}$ gilt.		{Bestimmen Sie den WDF–Parameter  $A$  derart, dass  $\underline{h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit}$  gilt.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A\ = $ { 1.213 3% }		$A\ = $ { 1.213 3% }

Guenter am 16. Oktober 2018 um 09:25 Uhr

2018-10-16T09:25:44Z

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Zeile 66:		Zeile 66:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich $ \le X \le 1$ vereinbarungsgemäß: ~~ ~~ $f_X(x) = 2x = C \cdot x		'''(1)'''  Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich $0 \le X \le 1$ vereinbarungsgemäß:
	\hspace{0.05cm}.$ Wir haben hierbei &bdquo;2” durch $C$ ersetzt   ⇒   Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe $(3)$ die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.		:$$f_X(x) = 2x = C \cdot x
			\hspace{0.05cm}.$$
			*Wir haben hierbei &bdquo;2” durch $C$ ersetzt   ⇒   Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe $(3)$ die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.

	Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat” gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus. Mit der Substitution $\xi = C \cdot x$ erhalten wir:		*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat” gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus. Mit der Substitution $\xi = C \cdot x$ erhalten wir:
	:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm} C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ C \cdot x ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =		:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm} C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
	\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm} \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi		\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm} \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi
	= - \hspace{0.1cm}\frac{\xi^2}{C} \cdot		= - \hspace{0.1cm}\frac{\xi^2}{C} \cdot
Zeile 76:		Zeile 78:
	\frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}		\frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
	Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von $C=2$:		*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von $C=2$:
	:$$h_{\rm nat}(X) =		:$$h_{\rm nat}(X) =
	- C/2 \cdot		- C/2 \cdot
	\~~left~~ [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2		\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
	\~~right~~ ]		\big ]
	= - {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2) + 1/2 =		= - {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2) + 1/2 =
	- {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)		- {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)
Zeile 89:		Zeile 91:
	\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}		\hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Allgemein gilt:		'''(2)'''  Allgemein gilt:
Zeile 101:		Zeile 104:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von ~~<i>~~h~~</i>~~(~~<i>~~Y~~</i>~~)]]
			[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von $h(Y)$]]
	'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:		'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:
	:$$h(Y) =		:$$h(Y) =
	\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}		\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}
	\hspace{0.03cm}( \hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y = I_{\rm neg} + I_{\rm pos}		\hspace{0.03cm}( \hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm} f_Y(y) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y = I_{\rm neg} + I_{\rm pos}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Das erste Integral (Bereich $-1 \le y \le 0$) ist formgleich mit dem der Teilaufgabe $(1)$ und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst. Zu berücksichtigen ist nun die Höhe $C = 1$ anstelle von $C = 2$:		*Das erste Integral für den Bereich $-1 \le y \le 0$ ist formgleich mit dem der Teilaufgabe $(1)$ und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst. Zu berücksichtigen ist nun die Höhe $C = 1$ anstelle von $C = 2$:
	:$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot		:$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot
	\~~left~~ [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2		\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
	\~~right~~ ] = -1/2 \cdot		\big ] = -1/2 \cdot
	\~~left~~ [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1) - 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \~~right~~ ]= 1/4 \cdot		\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1) - 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \big ]= 1/4 \cdot
	{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})		{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 122:		Zeile 126:
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
	h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1.649)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$		h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1.649)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Für die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ gilt allgemein:		'''(4)'''  Für die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ gilt allgemein:

Guenter am 16. Oktober 2018 um 09:16 Uhr

2018-10-16T09:16:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2018, 11:16 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:


	Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|differentielle Entropie]] ermittelt werden. Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße $X$:		Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|differentielle Entropie]] ermittelt werden.

			Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße $X$:
	:$$h(X) =		:$$h(X) =
	\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x		\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x
	\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x: f_X(x) > 0 \}		\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Verwendet man den ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo–Einheit &bdquo;nat” anzufügen.		*Verwendet man den ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo–Einheit &bdquo;nat” anzufügen.
	*Ist das Ergebnis dagegen in &bdquo;bit” gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i>  ⇒  &bdquo;log<sub>2</sub>” zu verwenden.		*Ist das Ergebnis dagegen in &bdquo;bit” gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i>   ⇒   &bdquo;log<sub>2</sub>” zu verwenden.


	In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ betrachtet. Der WDF–Parameter $A$ ist so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße $Z$</i> genau 1 bit ergibt:<br>		In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße  $Z = A \cdot Y$  betrachtet. Der WDF–Parameter $A$ ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße $Z$</i> genau $1$ bit ergibt:<br>
	:$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$		:$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].
	*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].		*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].

	*Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:		*Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
	:$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =		:$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =
	\xi^2 \cdot \~~left~~ [1/2 \cdot {{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)} -		\xi^2 \cdot \big [1/2 \cdot {{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)} -
	{1}/{4}\~~right~~ ] \hspace{0.05cm}.$$		{1}/{4}\big ] \hspace{0.05cm}.$$



Zeile 51:		Zeile 57:
	$h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$		$h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$

	{Bestimmen Sie den WDF–Parameter $A$, so dass $h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit$ gilt.		{Bestimmen Sie den WDF–Parameter $A$, so dass $\underline{h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit}$ gilt.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~h(Z) = 1 \ \rm bit\text{:} \ \~~ A\ = $ { 1.213 3% }		$A\ = $ { 1.213 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].
	*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].		*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:		*Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
	:$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =		:$$\int \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.2 Dreieckförmige WDF nach Aufgaben:Aufgabe 4.2: Dreieckförmige WDF

2018-01-03T14:09:11Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.2 Dreieckförmige WDF nach Aufgaben:Aufgabe 4.2: Dreieckförmige WDF

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(kein Unterschied)

Guenter am 9. Juni 2017 um 10:39 Uhr

2017-06-09T10:39:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juni 2017, 12:39 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png\|right\|Zweimal dreieckförmige WDF]]		[[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png\|right\|frame\|Zweimal dreieckförmige WDF]]
	Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.		Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.
	* Die Zufallsgröße $X$ ist auf den Wertebereich von $0$ und $1$ begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze):		* Die Zufallsgröße $X$ ist auf den Wertebereich von $0$ und $1$ begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze):
Zeile 40:		Zeile 40:
	{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $X$ in &bdquo;nat”.		{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $X$ in &bdquo;nat”.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(X) \ = $ { -0.199--0.187 } $\ \rm nat$		$h(X) \ = \ $ { -0.199--0.187 } $\ \rm nat$


	{Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit &bdquo;bit”?		{Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit &bdquo;bit”?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(X) \ = $ { -0.288--0.270 } $\ \rm bit$		$h(X) \ = \ $ { -0.288--0.270 } $\ \rm bit$

	{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Y$.		{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Y$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(Y) \ = $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$		$h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$

	{Bestimmen Sie den WDF–Parameter $A$, so dass $h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit$ gilt.		{Bestimmen Sie den WDF–Parameter $A$, so dass $h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit$ gilt.
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|Zur Berechnung von <i>h</i>(<i>Y</i>)]]		[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png\|right\|frame\|Zur Berechnung von <i>h</i>(<i>Y</i>)]]
	'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:		'''(3)'''  Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:
	:$$h(Y) =		:$$h(Y) =

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2021, 11:26 Uhr
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	[[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png\|right\|frame\|Zweimal dreieckförmige WDF]]		[[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png\|right\|frame\|Zweimal dreieckförmige WDF]]
	Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.		Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $($kurz $\rm WDF)$  mit dreieckförmigem Verlauf.
	* Die Zufallsgröße  $X$  ist auf den Wertebereich von  $0$  bis  $1$  begrenzt,  und es gilt für die WDF (obere Skizze):		* Die Zufallsgröße  $X$  ist auf den Wertebereich von  $0$  bis  $1$  begrenzt,  und es gilt für die WDF (obere Skizze):
	:$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}		:$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\ {\rm sonst} \\ \end{array}
Zeile 18:		Zeile 18:
	\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}		\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Verwendet man den  ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo–Einheit  &bdquo;nat”  anzufügen.		*Verwendet man den  &bdquo;natürlichen Logarithmus”,  so ist die Pseudo–Einheit  &bdquo;nat”  anzufügen.
	*Ist das Ergebnis dagegen in  &bdquo;bit”  gefragt, so ist der ~~<i>~~Logarithmus dualis~~</i>~~   ⇒   &bdquo;$\log_2$”  zu verwenden.		*Ist das Ergebnis dagegen in  &bdquo;bit”  gefragt, so ist der  &bdquo;Logarithmus dualis”   ⇒   &bdquo;$\log_2$”  zu verwenden.


	In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße  $Z = A \cdot Y$  betrachtet. Der WDF–Parameter  $A$  ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße  $Z$  genau  $1$ bit ergibt:<br>		In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße  $Z = A \cdot Y$  betrachtet. Der WDF–Parameter  $A$  ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße  $Z$  genau  $1$  (bit) ergibt:<br>
	:$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$		:$$h(Z) = h (A \cdot Y) = h (Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$

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	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].
	*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].		*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].