Aufgaben:Aufgabe 4.2: Dreieckförmige WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 25. September 2021 um 09:26 Uhr

2021-09-25T09:26:05Z

Guenter am 10. Februar 2020 um 16:21 Uhr

2020-02-10T16:21:55Z

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2020-02-10T16:14:34Z

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2018-10-16T09:25:44Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 09:16 Uhr

2018-10-16T09:16:46Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:09:11Z

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2017-06-09T10:39:11Z

Guenter am 6. April 2017 um 11:43 Uhr

2017-04-06T11:43:54Z

Guenter am 6. April 2017 um 11:19 Uhr

2017-04-06T11:19:29Z

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 [[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png|right|frame|Zweimal dreieckförmige WDF]]
-Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.
+Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $($kurz $\rm WDF)$&nbsp; mit dreieckförmigem Verlauf.
 * Die Zufallsgröße&nbsp;  $X$&nbsp;  ist auf den Wertebereich von&nbsp;  $0$&nbsp;  bis&nbsp;  $1$&nbsp;  begrenzt,&nbsp;  und es gilt für die WDF (obere Skizze):
 :$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \  f_X(x) > 0 \}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Verwendet man den&nbsp;  ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo&ndash;Einheit&nbsp;  &bdquo;nat&rdquo;&nbsp;  anzufügen.
+*Verwendet man den&nbsp;  &bdquo;natürlichen Logarithmus&rdquo;,&nbsp; so ist die Pseudo&ndash;Einheit&nbsp;  &bdquo;nat&rdquo;&nbsp;  anzufügen.
-*Ist das Ergebnis dagegen in&nbsp;  &bdquo;bit&rdquo;&nbsp;  gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;$\log_2$&rdquo;&nbsp; zu verwenden.
+*Ist das Ergebnis dagegen in&nbsp;  &bdquo;bit&rdquo;&nbsp;  gefragt, so ist der&nbsp;  &bdquo;Logarithmus dualis&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;$\log_2$&rdquo;&nbsp; zu verwenden.
-In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße &nbsp;$Z = A \cdot Y$&nbsp; betrachtet. Der WDF&ndash;Parameter&nbsp; $A$&nbsp; ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße&nbsp; $Z$&nbsp; genau&nbsp; $1$ bit ergibt:<br>
+In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße &nbsp;$Z = A \cdot Y$&nbsp; betrachtet. Der WDF&ndash;Parameter&nbsp; $A$&nbsp; ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße&nbsp; $Z$&nbsp; genau&nbsp; $1$&nbsp; (bit) ergibt:<br>
 :$$h(Z) = h (A \cdot Y) =  h (Y)  + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
 *Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches&nbsp;  [[Stochastische Signaltheorie]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich $0 \le X \le 1$ vereinbarungsgemäß:
+'''(1)'''&nbsp; Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich&nbsp; $0 \le X \le 1$&nbsp; vereinbarungsgemäß:
 :$$f_X(x) = 2x = C \cdot x
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Wir haben hierbei &bdquo;2&rdquo; durch $C$ ersetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe $(3)$ die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.
+*Wir haben hierbei &bdquo;2&rdquo; durch&nbsp; $C$&nbsp; ersetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe&nbsp; $(3)$&nbsp; die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.
-*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat&rdquo; gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus. Mit der Substitution $\xi = C \cdot x$ erhalten wir:
+*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat&rdquo; gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus.&nbsp; Mit der Substitution&nbsp; $\xi = C \cdot x$&nbsp; erhalten wir:
 :$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm}   C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm}   \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi
@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
 \frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}
 \hspace{0.05cm}$$
-*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von $C=2$:
+*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt.&nbsp; Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von&nbsp; $C=2$:
 :$$h_{\rm nat}(X) =
 - C/2 \cdot
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 100: / Zeile 101: @@
 \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.279\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Umrechnung kann man sich sparen, wenn man bereits im analytischen Ergebnis der Teilaufgabe (1) direkt &bdquo;ln&rdquo; durch &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; ersetzt:
+*Diese Umrechnung kann man sich sparen, wenn man bereits im analytischen Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; $(1)$&nbsp; direkt &bdquo;ln&rdquo; durch &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; ersetzt:
 :$$h(X) = \  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}/2)\hspace{0.05cm}, \hspace{1.3cm}
 {\rm Pseudo-Einheit\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.15cm} bit}
@@ Zeile 106: / Zeile 107: @@
 [[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png|right|frame|Zur Berechnung von $h(Y)$]]
 '''(3)'''&nbsp; Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:
 :$$h(Y) =
@@ Zeile 113: / Zeile 115: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Das erste Integral für den Bereich $-1 \le y \le 0$ ist formgleich mit dem der Teilaufgabe $(1)$ und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst. Zu berücksichtigen ist nun die Höhe $C = 1$ anstelle von $C = 2$:
+*Das erste Integral für den Bereich&nbsp; $-1 \le y \le 0$&nbsp; ist formgleich mit dem der Teilaufgabe&nbsp; $(1)$&nbsp; und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst.
 :$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot
 \big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
@@ Zeile 121: / Zeile 124: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der zweite Integrand ist bis auf eine Verschiebung und Spiegelung identisch mit dem ersten. Außerdem überlappen sich die Integrationsintervalle nicht &nbsp; &#8658; &nbsp; $I_{\rm pos} = I_{\rm neg}$:
+*Der zweite Integrand ist bis auf eine Verschiebung und Spiegelung identisch mit dem ersten.&nbsp; Außerdem überlappen sich die Integrationsintervalle nicht &nbsp; &#8658; &nbsp; $I_{\rm pos} = I_{\rm neg}$:
 :$$h_{\rm nat}(Y)  = 2 \cdot I_{\rm neg} =  1/2 \cdot
 {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) = {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\sqrt{\rm e}) \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 129: / Zeile 132: @@
 '''(4)'''&nbsp; Für die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ gilt allgemein:
 :$$h(Z)  = h(A \cdot Y)  = h(Y) + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) \hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Forderung $h(Z) = 1 \ \rm bit$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe $(3)$ folgt somit:
+*Aus der Forderung&nbsp; $h(Z) = 1 \ \rm bit$&nbsp; und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; $(3)$&nbsp; folgt somit:
 :$${\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} - 0.721 \,{\rm bit} = 0.279 \,{\rm bit}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 2^{0.279}\hspace{0.15cm}\underline

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID2865__Inf_A_4_2.png|right|frame|Zweimal dreieckförmige WDF]]
 Betrachtet werden zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (kurz WDF) mit dreieckförmigem Verlauf.
-* Die Zufallsgröße $X$ ist auf den Wertebereich von $0$ und $1$ begrenzt, und es gilt für die WDF (obere Skizze):
+* Die Zufallsgröße&nbsp;  $X$&nbsp;  ist auf den Wertebereich von&nbsp;  $0$&nbsp;  bis&nbsp;  $1$&nbsp;  begrenzt,&nbsp;  und es gilt für die WDF (obere Skizze):
 :$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2x \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} 0 \le x \le 1 \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
 \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Zufallsgröße $Y$ besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:
+* Die Zufallsgröße&nbsp;  $Y$&nbsp;  besitzt gemäß der unteren Skizze die folgende WDF:
-:$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - |y| \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |y| \le 1 \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
+:$$f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - |\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}| \\  0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm} |\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}| \le 1 \\     {\rm sonst} \\ \end{array}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|differentielle Entropie]] ermittelt werden.
+Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße&nbsp;  $X$:
 :$$h(X) =
 \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm}  f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x
 \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \  f_X(x) > 0 \}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Verwendet man den ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;nat&rdquo; anzufügen.
+*Verwendet man den&nbsp;  ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo&ndash;Einheit&nbsp;  &bdquo;nat&rdquo;&nbsp;  anzufügen.
-*Ist das Ergebnis dagegen in &bdquo;bit&rdquo; gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; zu verwenden.
+*Ist das Ergebnis dagegen in&nbsp;  &bdquo;bit&rdquo;&nbsp;  gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;$\log_2$&rdquo;&nbsp; zu verwenden.
-In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße &nbsp;$Z = A \cdot Y$&nbsp; betrachtet. Der WDF&ndash;Parameter $A$ ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße $Z$</i> genau $1$ bit ergibt:<br>
+In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße &nbsp;$Z = A \cdot Y$&nbsp; betrachtet. Der WDF&ndash;Parameter&nbsp; $A$&nbsp; ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße&nbsp; $Z$&nbsp; genau&nbsp; $1$ bit ergibt:<br>
 :$$h(Z) = h (A \cdot Y) =  h (Y)  + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 44: / Zeile 45: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $X$ in &bdquo;nat&rdquo;.
+{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; in&nbsp; &bdquo;nat&rdquo;.
 |type="{}"}
 $h(X) \ = \ $ { -0.199--0.187 } $\ \rm nat$
-{Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit &bdquo;bit&rdquo;?
+{Welches Ergebnis erhält man mit der Pseudoeinheit&nbsp; &bdquo;bit&rdquo;?
 |type="{}"}
 $h(X) \ = \ $ { -0.288--0.270 } $\ \rm bit$
-{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Y$.
+{Berechnen Sie die differentielle Entropie der Zufallsgröße&nbsp; $Y$.
 |type="{}"}
 $h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$
-{Bestimmen Sie den WDF&ndash;Parameter $A$, so dass $\underline{h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit}$ gilt.
+{Bestimmen Sie den WDF&ndash;Parameter&nbsp; $A$&nbsp; derart, dass&nbsp; $\underline{h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit}$&nbsp; gilt.
 |type="{}"}
 $A\ = $ { 1.213 3% }

@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich $ \le X \le 1$ vereinbarungsgemäß: &nbsp; $f_X(x) = 2x = C \cdot x
+'''(1)'''&nbsp; Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gilt im Bereich $0 \le X \le 1$ vereinbarungsgemäß:
-\hspace{0.05cm}.$ Wir haben hierbei &bdquo;2&rdquo; durch $C$ ersetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; Verallgemeinerung, um in der Teilaufgabe $(3)$ die nachfolgende Berechnung nochmals nutzen zu können.
+:$$f_X(x) = 2x = C \cdot x
-Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat&rdquo; gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus. Mit der Substitution $\xi = C \cdot x$ erhalten wir:
+*Da die differentielle Entropie in &bdquo;nat&rdquo; gesucht ist, verwenden wir den natürlichen Logarithmus. Mit der Substitution $\xi = C \cdot x$ erhalten wir:
-:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm}   C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ C \cdot x ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
+:$$h_{\rm nat}(X) = \hspace{0.1cm} - \int_{0}^{1} \hspace{0.1cm}   C \cdot x \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ C \cdot x \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x =
 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\frac{1}{C} \cdot \int_{0}^{C} \hspace{0.1cm}   \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ \xi ] \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi
    =  - \hspace{0.1cm}\frac{\xi^2}{C} \cdot
@@ Zeile 76: / Zeile 78: @@
 \frac{1}{4}\right ]_{\xi = 0}^{\xi = C}
 \hspace{0.05cm}$$
-Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von $C=2$:
+*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Nach Einsetzen der Grenzen erhält man unter Berücksichtigung von $C=2$:
 :$$h_{\rm nat}(X) =
 - C/2 \cdot
-\left [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
+\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
-\right ]
+\big ]
   = - {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2) + 1/2 =
 - {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2)
@@ Zeile 89: / Zeile 91: @@
 \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.193\,{\rm nat}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Allgemein gilt:
@@ Zeile 101: / Zeile 104: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2866__Inf_A_4_2c.png|right|frame|Zur Berechnung von <i>h</i>(<i>Y</i>)]]
 '''(3)'''&nbsp; Wir verwenden wieder den natürlichen Logarithmus und teilen das Integral in zwei Teilintegrale auf:
 :$$h(Y) =
 \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}
-  \hspace{0.03cm}( \hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm}  f_Y(y) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} [ f_Y(y) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}y = I_{\rm neg} + I_{\rm pos}
+  \hspace{0.03cm}( \hspace{-0.03cm}f_Y)} \hspace{-0.35cm}  f_Y(y) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ f_Y(y) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}y = I_{\rm neg} + I_{\rm pos}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Das erste Integral (Bereich $-1 \le y \le 0$) ist formgleich mit dem der Teilaufgabe $(1)$ und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst. Zu berücksichtigen ist nun die Höhe $C = 1$ anstelle von $C = 2$:
+*Das erste Integral für den Bereich $-1 \le y \le 0$ ist formgleich mit dem der Teilaufgabe $(1)$ und gegenüber diesem nur verschoben, was das Ergebnis nicht beeinflusst. Zu berücksichtigen ist nun die Höhe $C = 1$ anstelle von $C = 2$:
 :$$I_{\rm neg} =- C/2 \cdot
-\left [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
+\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (C) - 1/2
-\right ] = -1/2 \cdot
+\big ] = -1/2 \cdot
-\left [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1) - 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \right ]= 1/4 \cdot
+\big [ {\rm ln} \hspace{0.1cm} (1) - 1/2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e}) \big ]= 1/4 \cdot
 {\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 122: / Zeile 126: @@
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
 h(Y)  = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1.649)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.721\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Für die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ gilt allgemein:

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
-Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|differentielle Entropie]] ermittelt werden. Beispielsweise lautet die entsprechende Gleichung für die Zufallsgröße $X$:
+Für beide Zufallsgrößen soll jeweils die [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|differentielle Entropie]] ermittelt werden.
 :$$h(X) =
-\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm}  f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} [ f_X(x) ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x
+\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_X)} \hspace{-0.35cm}  f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big [ f_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x
-\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x: f_X(x) > 0 \}
+\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \  f_X(x) > 0 \}
 \hspace{0.05cm}.$$
 *Verwendet man den ''natürlichen Logarithmus'', so ist die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;nat&rdquo; anzufügen.
-*Ist das Ergebnis dagegen in &bdquo;bit&rdquo; gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; zu verwenden.
+*Ist das Ergebnis dagegen in &bdquo;bit&rdquo; gefragt, so ist der <i>Logarithmus dualis</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; zu verwenden.
-In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße $Z = A \cdot Y$ betrachtet. Der WDF&ndash;Parameter $A$ ist so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße $Z$</i> genau 1 bit ergibt:<br>
+In der vierten Teilaufgabe wird die neue Zufallsgröße &nbsp;$Z = A \cdot Y$&nbsp; betrachtet. Der WDF&ndash;Parameter $A$ ist dabei so zu bestimmen, dass die differentielle Entropie der neuen Zufallsgröße $Z$</i> genau $1$ bit ergibt:<br>
 :$$h(Z) = h (A \cdot Y) =  h (Y)  + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (A) = 1\,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
-*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].
+*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches&nbsp;  [[Stochastische Signaltheorie]].
 *Vorgegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
 :$$\int   \xi \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)\hspace{0.1cm}{\rm d}\xi =
-  \xi^2 \cdot \left [1/2 \cdot {{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)} -
+  \xi^2 \cdot \big [1/2 \cdot {{\rm ln} \hspace{0.1cm} (\xi)} -
-{1}/{4}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
+{1}/{4}\big ] \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 51: / Zeile 57: @@
 $h(Y) \ = \ $ { 0.721 3% } $\ \rm bit$
-{Bestimmen Sie den WDF&ndash;Parameter $A$, so dass $h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit$ gilt.
+{Bestimmen Sie den WDF&ndash;Parameter $A$, so dass $\underline{h(Z) = h (A \cdot Y) = 1 \ \rm bit}$ gilt.
 |type="{}"}
-$h(Z) = 1 \ \rm bit\text{:} \ \   A\ = $ { 1.213 3% }
+$A\ = $ { 1.213 3% }

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(kein Unterschied)