Aufgaben:Aufgabe 4.2: AM/PM-Schwingungen - Versionsgeschichte

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2022-07-13T16:03:20Z

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2018-05-29T12:03:50Z

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2018-01-04T06:32:15Z

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@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Signaldauer&nbsp; $T$&nbsp; ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$,&nbsp; wobei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die Signalfrequenz&nbsp; ("Trägerfrequenz")&nbsp; angibt.
+Die Signaldauer&nbsp; $T$&nbsp; ist ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$,&nbsp; wobei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die Signalfrequenz&nbsp; ("Trägerfrequenz")&nbsp; angibt.
 *Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils&nbsp; $T = 4/f_{\rm T}$,&nbsp; das heißt,&nbsp; man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von&nbsp; $T$.
@@ Zeile 105: / Zeile 105: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass $T$ ein geradzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$ ist, so dass das zweite Integral verschwindet. Weiter gilt:
+*Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass&nbsp; $T$&nbsp; ein geradzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$&nbsp; ist,&nbsp; so dass das zweite Integral verschwindet.
 :$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: Die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ ist formgleich mit $s_1(t)$, wobei gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:&nbsp; Die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; ist formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$,&nbsp; wobei gilt:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{E}}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}} = \sqrt{{2}/{T}}
 \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da entsprechend der unter '''(2)''' angegebenen Gleichung gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>,&nbsp; da entsprechend der unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; angegebenen Gleichung gilt:
 :$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) =  \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Mit dem Signal $s_2(t)$ entsprechend der Angabe, der Basisfunktion $\varphi_1(t)$ gemäß Teilaufgabe '''(2)''' sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Mit dem Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; gemäß Angabe,&nbsp; der Basisfunktion $\varphi_1(t)$&nbsp; gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:
 :$$s_{21}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =
 \int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}}
@@ Zeile 131: / Zeile 133: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*Der zweite Anteil ergibt den Wert $0$ (Orthogonalität). Der erste Anteil liefert:
+*Der zweite Anteil ergibt den Wert&nbsp; $0$&nbsp; ("Orthogonalität").&nbsp; Der erste Anteil liefert:
 :$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 146: / Zeile 148: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ folgt daraus:
+*Mit&nbsp; $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$&nbsp; folgt daraus:
 :$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist demnach der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' ergibt sich die orthonormale Basisfunktion $\varphi_2(t)$ zu
+'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich die orthonormale Basisfunktion&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; zu
 :$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||} = - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit kann das Signal $s_2(t)$  mit $s_{21}$ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' wie folgt dargestellt werden:
+*Damit kann das Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp;  mit&nbsp; $s_{21}$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wie folgt dargestellt werden:
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )}
@@ Zeile 164: / Zeile 166: @@
-'''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale ($M \gg 2$) folgender Form:
+'''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale&nbsp; $(M \gg 2)$&nbsp; folgender Form:
 :$$s_i(t)=
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Zeile 171: / Zeile 173: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Laufvariable kann dabei die Werte $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$ annehmen. Dann gilt:
+Die Laufvariable kann dabei die Werte&nbsp; $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$&nbsp; annehmen.&nbsp; Dann gilt:
-* Alle $M$ Signale lassen sich durch nur $N = 2$ Basisfunktionen vollständig beschreiben:
+* Alle&nbsp; $M$&nbsp; Signale lassen sich durch nur&nbsp; $N = 2$&nbsp; Basisfunktionen vollständig beschreiben:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.  $$
-* Geht man nach dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren vor, so erhält man für die beiden Basisfunktionen
+* Geht man nach dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren vor,&nbsp; so erhält man für die beiden Basisfunktionen
 :$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \varphi_2(t) = \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1 \pm {\pi}/{2})\hspace{0.05cm}.$$
-* Das Vorzeichen im Argument der zweiten Cosinusfunktion ($&plusmn; \pi/2$) ist nicht eindeutig. Vielmehr hängt auch das Vorzeichen von $s_{i 2}$ davon ab, ob bei $\varphi_2(t)$ das Pluszeichen oder das Minuszeichen verwendet wurde.
+* Das Vorzeichen im Argument der zweiten Cosinusfunktion&nbsp; ($&plusmn; \pi/2$)&nbsp; ist nicht eindeutig.&nbsp; Vielmehr hängt auch das Vorzeichen von&nbsp; $s_{i 2}$&nbsp; davon ab,&nbsp; ob bei&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; das Pluszeichen oder das Minuszeichen verwendet wurde.
 * Mögliche Basisfunktionen, die dann zu anderen Koeffizienten führen, sind aber auch:
 :$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \varphi_2(t)  \pm \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
+Richtig sind also die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}}
-[[Datei:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|AM/PM-Schwingungen]]
+[[Datei:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|Zwei mögliche AM/PM-Schwingungen]]
-Wir betrachten die Signalmenge &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$. Alle Signale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; können in gleicher Weise dargestellt werden:
+Wir betrachten die Signalmenge &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$.&nbsp; Alle Signale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; können in gleicher Weise dargestellt werden:
 :$$s_i(t) =
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Signaldauer&nbsp; $T$&nbsp; ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$, wobei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.
+Die Signaldauer&nbsp; $T$&nbsp; ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$,&nbsp; wobei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die Signalfrequenz&nbsp; ("Trägerfrequenz")&nbsp; angibt.
-*Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils&nbsp; $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von&nbsp; $T$.
+*Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils&nbsp; $T = 4/f_{\rm T}$,&nbsp; das heißt,&nbsp; man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von&nbsp; $T$.
 *Die einzelnen Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; unterscheiden sich in der Amplitude &nbsp;$(A_i)$&nbsp; und/oder der Phase &nbsp;$(\phi_i)$.
-Für die beiden ersten (in der Grafik dargestellten) Signale gilt:
+Für die beiden in der Grafik dargestellten Signale gilt:
 :$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$
-Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
+Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_2(t)$,&nbsp; so kann man diese durch die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; vollständig beschreiben.&nbsp; Diese sind orthonormal zueinander,&nbsp; das heißt,&nbsp; unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
-:$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+:$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm},$$
-  \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0
+:$$  \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 29: / Zeile 30: @@
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-In der Teilaufgabe '''(7)''' soll überprüft werden, ob sich alle Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; gemäß der obigen Definition $($mit beliebiger Amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; und beliebiger Phase &nbsp;$\phi_i)$&nbsp; durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; soll überprüft werden,&nbsp; ob sich alle Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; gemäß der obigen Definition &nbsp; $($mit beliebiger Amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; und beliebiger Phase &nbsp;$\phi_i)$ &nbsp; durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-Die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; sollen hier durch das&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]]&nbsp; gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
+Die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; sollen hier durch das&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| "Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren"]]&nbsp; gefunden werden,&nbsp; das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde.&nbsp; Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
 s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t}
@@ Zeile 46: / Zeile 47: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
 * Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp;
 :$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 56: / Zeile 58: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Energie und die 2&ndash;Norm des Signals &nbsp;$s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?
+{Wie groß ist die Energie und die&nbsp; "2&ndash;Norm"&nbsp; des Signals &nbsp;$s_1(t)$,&nbsp; ausgedrückt mit&nbsp; $E$?
 |type="{}"}
 $E_1\ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot E$
@@ Zeile 88: / Zeile 90: @@
 $s_{\rm 22}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls &nbsp;$M \gg 2$?
+{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$,&nbsp; falls &nbsp;$M \gg 2$?
 |type="[]"}
 - Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = M$.

@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass $T$ ein geradzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$ ist, so dass das zweite Integral verschwindet. Weiter gilt:
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass $T$ ein geradzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$ ist, so dass das zweite Integral verschwindet. Weiter gilt:
 :$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: Die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ ist formgleich mit $s_1(t)$, wobei gilt:
@@ Zeile 112: / Zeile 113: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da entsprechend der unter (2) angegebenen Gleichung gilt:
 :$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) =  \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit dem Signal $s_2(t)$ entsprechend der Angabe, der Basisfunktion $\varphi_1(t)$ gemäß Teilaufgabe (2) sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:
 :$$s_{21}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} =
 \int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}}
@@ Zeile 126: / Zeile 129: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Der zweite Anteil ergibt den Wert $0$ (Orthogonalität). Der erste Anteil liefert:
+*Der zweite Anteil ergibt den Wert $0$ (Orthogonalität). Der erste Anteil liefert:
 :$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren erhält man
@@ Zeile 140: / Zeile 144: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ folgt daraus:
+*Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ folgt daraus:
 :$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 '''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (2) ergibt sich die orthonormale Basisfunktion $\varphi_2(t)$ zu
 :$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||} = - \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit kann das Signal $s_2(t)$  mit $s_{21}$ entsprechend Teilaufgabe (4) wie folgt dargestellt werden:
+*Damit kann das Signal $s_2(t)$  mit $s_{21}$ entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' wie folgt dargestellt werden:
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )}
 {-\sqrt{2/T}\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale ($M \gg 2$) folgender Form:

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID1997__Dig_A_4_2.png|right|frame|AM/PM-Schwingungen]]
-Wir betrachten verschiedene Signalmengen $\{s_i(t)\}$ mit der Laufvariablen $i = 1, \ ... \, M$, die alle in gleicher Weise dargestellt werden können:
+Wir betrachten die Signalmenge &nbsp;$\{s_i(t)\}$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \, M$. Alle Signale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; können in gleicher Weise dargestellt werden:
 :$$s_i(t) =
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Signaldauer $T$ ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$, wobei $f_{\rm T}$ die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.
+Die Signaldauer&nbsp; $T$&nbsp; ist dabei ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $1/f_{\rm T}$, wobei&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; die Signalfrequenz (Trägerfrequenz) angibt.
-Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von $T$. Die einzelnen Signale $s_i(t)$ unterscheiden sich in der Amplitude ($A_i$) und/oder der Phase ($\phi_i$). Für die beiden ersten (in der Grafik dargestellten) Signale gilt:
+*Für die Skizze beträgt die Dauer der energiebegrenzten Signale jeweils&nbsp; $T = 4/f_{\rm T}$, das heißt, man erkennt jeweils genau vier Schwingungen innerhalb von&nbsp; $T$.
 :$$s_1(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )  \hspace{0.05cm},$$
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \pi/4)  \hspace{0.05cm}. $$
-Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf $T$ gilt:
+Beschränkt man sich zunächst auf diese beiden Signale&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und $s_2(t)$, so kann man diese durch die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; vollständig beschreiben. Diese sind orthonormal zueinander, das heißt, unter Berücksichtigung der Zeitbegrenzung auf&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
 :$$\int_{0}^{T}\varphi_1^2(t) \, {\rm d} t = \int_{0}^{T}\varphi_2^2(t) \, {\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   \int_{0}^{T}\varphi_1(t) \cdot \varphi_2(t)\, {\rm d} t = 0
@@ Zeile 25: / Zeile 29: @@
 :$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-In der Teilaufgabe (7) soll überprüft werden, ob sich alle Signale $s_i(t)$ gemäß der obigen Definition (mit beliebiger Amplitude $A_i$ und beliebiger Phase $\phi_i$) durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
+In der Teilaufgabe '''(7)''' soll überprüft werden, ob sich alle Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; gemäß der obigen Definition $($mit beliebiger Amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; und beliebiger Phase &nbsp;$\phi_i)$&nbsp; durch die folgende Gleichung beschreiben lassen:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}. $$
-Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sollen hier durch das [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]] gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
+Die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; sollen hier durch das&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]]&nbsp; gefunden werden, das im Theorieteil ausführlich beschrieben wurde. Die erforderlichen Gleichungen sind hier nochmals zusammengestellt:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}
 s_{11} = ||s_1(t)|| = \sqrt{\int_{0}^{T}s_1^2(t) \, {\rm d} t}
@@ Zeile 37: / Zeile 41: @@
 :$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||}\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
+* Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie&nbsp; $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
-* Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp; $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$
+* Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp;
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Energie und die 2&ndash;Norm des Signals $s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?
+{Wie groß ist die Energie und die 2&ndash;Norm des Signals &nbsp;$s_1(t)$, ausgedrückt mit $E$?
 |type="{}"}
 $E_1\ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot E$
 $||s_1(t)|| \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Wie lautet die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ nach Gram&ndash;Schmidt?
+{Wie lautet die Basisfunktion&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; nach Gram&ndash;Schmidt?
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = \sqrt{E} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$,
@@ Zeile 59: / Zeile 67: @@
 + $\varphi_1(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm cos}(2\pi f_{\rm T}t)$.
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $s_1(t)$ und $\varphi_1(t)$?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_1(t)$?
 |type="[]"}
 + $s_1(t) = \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)$,
@@ Zeile 65: / Zeile 73: @@
 - $s_1(t) = \sqrt{2/T}  \cdot \varphi_1(t)$.
-{Wie lautet das innere Produkt $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
+{Wie lautet das innere Produkt&nbsp; $s_{\rm 21} = &#9001; s_2(t) \cdot \varphi_1(t)&#9002;$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21} \ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Wie lautet die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$?
+{Wie lautet die Hilfsfunktion&nbsp; $\theta_2(t)$?
 |type="[]"}
 - $\theta_2(t) = +\sqrt{2} \cdot A \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$,
@@ Zeile 75: / Zeile 83: @@
 - $\theta_2(t) = \sqrt{2/T} \cdot {\rm sin}(2\pi f_{\rm T}t)$.
-{Geben Sie die Koeffizienten von $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$ an.
+{Geben Sie die Koeffizienten von&nbsp; $s_2(t) = s_{\rm 21} \cdot \varphi_1(t) + s_{\rm 22} \cdot \varphi_2(t)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
 $s_{\rm 22}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls $M \gg 2$?
+{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls &nbsp;$M \gg 2$?
 |type="[]"}
-- Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = M$.
+- Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = M$.
-+ Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = 2$.
++ Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets&nbsp; $N = 2$.
 + Mögliche Basisfunktionen sind Cosinus und (Minus&ndash;)Sinus.
 </quiz>

@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Verwenden Sie zur Abkürzung die Energie $E = 1/2 \cdot A^2 \cdot T$.
 * Desweiteren ist folgende trigonometrische Beziehung gegeben: &nbsp; $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta)\hspace{0.05cm}.$

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:32 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 $s_{\rm 22}\ = \ $ { 1.414 3% } $\ \cdot \sqrt{E}$
-{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ ... \ , M$, falls $M \gg 2$?
+{Welche der Aussagen gelten allgemen für die Basisfunktionen der Signalmenge $\{s_i(t)\}$ mit $i = 1, \ \text{ ...} \ , M$, falls $M \gg 2$?
 |type="[]"}
 - Die Anzahl der Basisfunktionen ist stets $N = M$.
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 '''(1)'''&nbsp; Die Energie kann nach folgender Gleichung berechnet werden:
 :$$E_{1}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
-\int_{0}^{T}A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t =$$
+\int_{0}^{T}A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = \frac{A^2 \cdot T}{2}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{A^2 \cdot T}{2}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}
+\frac{A^2 }{2}\int_{0}^{T}  \cos(4\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = \frac{A^2 \cdot T}{2} \hspace{0.05cm}\underline{= 1 \cdot E}
 \hspace{0.05cm}. $$
 Hierbei ist berücksichtigt, dass $T$ ein geradzahliges Vielfaches von $1/f_{\rm T}$ ist, so dass das zweite Integral verschwindet. Weiter gilt:
-:$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}
+:$$||s_1(t)|| = \sqrt{E_1} = \sqrt{E} = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{1 \cdot\sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: Die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ ist formgleich mit $s_1(t)$, wobei gilt:
 :$$\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{E}}= \frac{A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )}{\sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}} = \sqrt{{2}/{T}}
 \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist demnach der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da entsprechend der unter (2) angegebenen Gleichung gilt:
 :$$s_1(t) = ||s_1(t)|| \cdot \varphi_1(t) =  \sqrt{E} \cdot \varphi_1(t)
-\hspace{0.05cm},$$
+\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit dem Signal $s_2(t)$ entsprechend der Angabe, der Basisfunktion $\varphi_1(t)$ gemäß Teilaufgabe (2) sowie der angegebenen trigonometrischen Beziehung erhält man:
@@ Zeile 120: / Zeile 112: @@
 \int_{0}^{T}2A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) \cdot \sqrt{{2}/{T}}
 \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t = $$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\cos({\pi}/{4})
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\cos({\pi}/{4})
-\cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t \hspace{0.1cm}- $$
+\cdot \cos^2(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t \hspace{0.1cm}-
 \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \int_{0}^{T}\sin({\pi}/{4})
 \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\, {\rm d} t
@@ Zeile 128: / Zeile 119: @@
 Der zweite Anteil ergibt den Wert $0$ (Orthogonalität). Der erste Anteil liefert:
-:$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot E^{\hspace{0.05cm}0.5}}
+:$$s_{21}  = \sqrt{\frac{8A^2}{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{T}{2} = \sqrt{A^2 \cdot T} = \sqrt{2E} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot \sqrt{E}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren erhält man
-:$$\theta_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm} = $$
+:$$\theta_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t)\hspace{0.05cm} =
 A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + {\pi}/{4}) - \sqrt{A^2 \cdot T}
 \cdot \sqrt{{2}/{T}}
-\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )= $$
+\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t ) $$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\theta_2(t) =
 A \cdot \cos({\pi}/{4})\cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}
-A \cdot \sin({\pi}/{4})\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} - $$
+A \cdot \sin({\pi}/{4})\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.1cm} -  \sqrt{2} \cdot A \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}. $$
-Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) = 2^{\rm &ndash;0.5}$ folgt daraus:
+Mit $\cos {(\pi/4)} = \sin (\pi/4) =\sqrt{0.5}$ folgt daraus:
 :$$\theta_2(t) = - \sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist demnach der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
+Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
@@ Zeile 155: / Zeile 143: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit kann das Signal $s_2(t)$ wie folgt dargestellt werden ($s_21$ entsprechend Teilaufgabe (4)):
+Damit kann das Signal $s_2(t)$  mit $s_{21}$ entsprechend Teilaufgabe (4) wie folgt dargestellt werden:
-:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot {E}^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm},$$
+:$$s_2(t)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} s_{21} \cdot \varphi_1(t) + s_{22} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{21} = \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{22}\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac{\theta_2(t)}{\varphi_2(t)} = \frac{-\sqrt{2} \cdot A \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )}
-{-\sqrt{2/T}\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} \underline{ = 1.414 \cdot {E}^{\hspace{0.05cm}0.5}}\hspace{0.05cm}.$$
+{-\sqrt{2/T}\cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1/2 \cdot A^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} \underline{ = 1.414 \cdot \sqrt {E}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale ($M >> 2$) folgender Form:
+'''(7)'''&nbsp; Wir betrachten sehr viele energiebegrenzte Signale ($M \gg 2$) folgender Form:
 :$$s_i(t)=
 \left\{ \begin{array}{c} A_i \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_i) \\
@@ Zeile 168: / Zeile 155: @@
 \\  {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Die Laufvariable kann dabei die Werte $i = 1, 2, \ ... \ , M$ annehmen. Dann gilt:
+Die Laufvariable kann dabei die Werte $i = 1, 2, \ \text{...} \ , M$ annehmen. Dann gilt:
 * Alle $M$ Signale lassen sich durch nur $N = 2$ Basisfunktionen vollständig beschreiben:
 :$$s_i(t)= s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) \hspace{0.05cm}.  $$
 * Geht man nach dem Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren vor, so erhält man für die beiden Basisfunktionen
-:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \varphi_2(t) = \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t + \phi_1 \pm {\pi}/{2})\hspace{0.05cm}.$$
-* Das Vorzeichen im Argument der zweiten Cosinusfunktion ($&plusmn; \pi/2$) ist nicht eindeutig. Dann hängt auch das Vorzeichen von $s_{\it i \rm 2}$ davon ab, ob bei $\varphi_2(t)$ das Pluszeichen oder das Minuszeichen verwendet wurde.
+* Das Vorzeichen im Argument der zweiten Cosinusfunktion ($&plusmn; \pi/2$) ist nicht eindeutig. Vielmehr hängt auch das Vorzeichen von $s_{i 2}$ davon ab, ob bei $\varphi_2(t)$ das Pluszeichen oder das Minuszeichen verwendet wurde.
 * Mögliche Basisfunktionen, die dann zu anderen Koeffizienten führen, sind aber auch:
-:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+:$$\varphi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{{2}/{T}} \cdot \cos(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \varphi_2(t)  \pm \sqrt{{2}/{T}} \cdot \sin(2\pi f_{\rm T}t )\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 07:35 Uhr
Zeile 183:		Zeile 183:


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