Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Momentenberechnung - Versionsgeschichte

Guenter am 24. September 2021 um 15:41 Uhr

2021-09-24T15:41:59Z

Guenter am 24. September 2021 um 15:36 Uhr

2021-09-24T15:36:02Z

Guenter am 10. Februar 2020 um 15:47 Uhr

2020-02-10T15:47:38Z

Guenter am 10. Februar 2020 um 15:26 Uhr

2020-02-10T15:26:45Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 09:09 Uhr

2018-10-16T09:09:46Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 08:58 Uhr

2018-10-16T08:58:52Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 08:54 Uhr

2018-10-16T08:54:50Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:08:57Z

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Guenter am 9. Juni 2017 um 10:36 Uhr

2017-06-09T10:36:31Z

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-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>, obwohl für&nbsp; $z \ne 0$&nbsp; stets &nbsp;$f_X(z) = f_Y(z)$&nbsp; gilt. Betrachten wir nun den Sonderfall&nbsp; $z= 0$:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>, obwohl für&nbsp; $z \ne 0$&nbsp; stets &nbsp;$f_X(z) = f_Y(z)$&nbsp; gilt.&nbsp; Betrachten wir nun den Sonderfall&nbsp; $z= 0$:
 * Für die Laplaceverteilung gilt&nbsp; $f_Y(y = 0) = \lambda/2$.
 * Bei der Exponentialverteilung unterscheiden sich der links- und der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $x \to 0$.
@@ Zeile 116: / Zeile 116: @@
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Der quadratische Mittelwert der Laplaceverteilung ist aufgrund der symmetrischen WDF genau so groß wie bei der Exponentialverteilung:
 :$$m_2 = \frac{\lambda}{2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|y|}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = \lambda \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = {2}/{\lambda^2} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 146: / Zeile 146: @@
   = -  {\rm e}^{-\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.243}\hspace{0.05cm}.$$
-Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ: <br> &nbsp; &nbsp;  Die blauen Flächen sind zusammen etwas größer als die rote Fläche.
+Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ: <br> &rArr; &nbsp;  Die blauen Flächen sind zusammen etwas größer als die rote Fläche.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2863__Inf_Z_4_1.png|right|frame|Exponentialverteilung (oben) und Laplaceverteilung (unten)]]
+[[Datei:P_ID2863__Inf_Z_4_1.png|right|frame|Exponentialverteilung (oben), Laplaceverteilung (unten)]]
-Die Grafik zeigt oben die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilung]]:
+Die Grafik zeigt oben die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilung]]:
 :$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} A_{ X} \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \\ A_{ X}/2 \\ 0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x>0, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x=0,  \\    {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x<0. \\ \end{array}$$
-Darunter gezeichnet ist die WDF der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]], die für alle&nbsp; $y$&ndash;Werte wie folgt angegeben werden kann:
+Darunter gezeichnet ist die WDF der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]],&nbsp; die für alle&nbsp; $y$&ndash;Werte wie folgt angegeben werden kann:
 :$$f_Y(y) =  A_{ Y} \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}|}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
-{Gibt es ein Argument&nbsp; $z$, so dass &nbsp;$f_X(z) =  f_Y(z)$&nbsp; gilt?
+{Gibt es ein Argument&nbsp; $z$,&nbsp; so dass &nbsp;$f_X(z) =  f_Y(z)$&nbsp; gilt?
 |type="()"}
 + Ja.
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 - Die Varianz ist&nbsp; $\sigma^2 = 1/\lambda^2$.
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße&nbsp; $(X$&nbsp; bzw.&nbsp; $Y)$&nbsp; vom jeweiligen Mittelwert  betragsmäßig um mehr als die Streuung &nbsp;$\sigma$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit unterscheidet sich die Zufallsgröße&nbsp; $(X$&nbsp; bzw.&nbsp; $Y)$&nbsp; vom jeweiligen Mittelwert  betragsmäßig um mehr als die Streuung &nbsp;$\sigma$?
 |type="{}"}
 $\text{Exponential:}\; \;{\rm Pr}( |X   -   m_X| > \sigma_X) \ = \ $  { 0.135 3% }

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Die Fläche unter der WDF muss immer 1 sein. Daraus folgt für die Exponentialverteilung:
+*Die Fläche unter der WDF muss immer&nbsp; $1$&nbsp; sein.&nbsp; Daraus folgt für die Exponentialverteilung:
 :$$A_{X} \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm}  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = A_{X} \cdot (-1/\lambda)\cdot\big [{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\big ]_{0}^{\infty} = A_{X} \cdot (1/\lambda) \stackrel{!}{=} 1
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A_{X} = \lambda \hspace{0.05cm}. $$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die Höhe $A_Y$ der Laplaceverteilung nur halb so groß ist wie das Maximum der Exponentialverteilung &nbsp; &#8658; &nbsp; $A_Y = \lambda/2$.
+*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die Höhe&nbsp; $A_Y$&nbsp; der Laplaceverteilung nur halb so groß ist wie das Maximum der Exponentialverteilung:
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>, obwohl für $z \ne 0$ stets &nbsp;$f_X(z) = f_Y(z)$&nbsp; gilt. Betrachten wir nun den Sonderfall $z= 0$:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>, obwohl für&nbsp; $z \ne 0$&nbsp; stets &nbsp;$f_X(z) = f_Y(z)$&nbsp; gilt. Betrachten wir nun den Sonderfall&nbsp; $z= 0$:
 * Für die Laplaceverteilung gilt&nbsp; $f_Y(y = 0) = \lambda/2$.
-* Bei der Exponentialverteilung unterscheiden sich der links- und der rechtsseitige Grenzwert für $x \to 0$.
+* Bei der Exponentialverteilung unterscheiden sich der links- und der rechtsseitige Grenzwert für&nbsp; $x \to 0$.
-*Der WDF&ndash;Wert an der Stelle $x= 0$ ist der Mittelwert dieser beiden Grenzwerte:
+*Der WDF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $x= 0$&nbsp; ist der Mittelwert dieser beiden Grenzwerte:
 :$$f_X(0) = \frac{1}{2} \cdot \big [ 0 + \lambda \big] = \lambda/2 =  f_Y(0)\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig sind <u>alle Lösungsvorschläge</u>. Bei der Exponentialverteilung berechnet sich das Moment $k$&ndash;ter Ordnung allgemein zu
 :$$m_k = \frac{k!}{\lambda^k} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} m_1 = \frac{1}{\lambda}, \hspace{0.3cm} m_2 = \frac{2}{\lambda^2}, \hspace{0.3cm} m_3 = \frac{6}{\lambda^3}, \ \text{...}$$
 Somit erhält man für
@@ Zeile 107: / Zeile 113: @@
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
 \sigma = {1}/{\lambda}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Der quadratische Mittelwert der Laplaceverteilung ist aufgrund der symmetrischen WDF genau so groß wie bei der Exponentialverteilung:
-[[Datei:P_ID2864__Inf_Z_4_1f_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(5)''']]
+[[Datei:P_ID2864__Inf_Z_4_1f_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Musterlösung zur Aufgabe&nbsp; '''(5)''']]
 :$$m_2 = \frac{\lambda}{2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|y|}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = \lambda \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = {2}/{\lambda^2} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 119: / Zeile 126: @@
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
 \sigma = {\sqrt{2}}/{\lambda}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 137: / Zeile 146: @@
   = -  {\rm e}^{-\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.243}\hspace{0.05cm}.$$
-Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ: &nbsp; Die blauen Flächen sind zusammen etwas größer als die rote Fläche.
+Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ: <br> &nbsp; &nbsp;  Die blauen Flächen sind zusammen etwas größer als die rote Fläche.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID2863__Inf_Z_4_1.png|right|frame|Exponentialverteilung (oben) und Laplaceverteilung (unten)]]
-Die Grafik zeigt oben die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilung]]:
+Die Grafik zeigt oben die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilung]]:
 :$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} A_{ X} \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}x} \\ A_{ X}/2 \\ 0 \\  \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x>0, \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x=0,  \\    {\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.1cm}x<0. \\ \end{array}$$
-Darunter gezeichnet ist die WDF der [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]], die für alle $y$&ndash;Werte wie folgt angegeben werden kann:
+Darunter gezeichnet ist die WDF der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Zweiseitige_Exponentialverteilung_.E2.80.93_Laplaceverteilung|Laplaceverteilung]], die für alle&nbsp; $y$&ndash;Werte wie folgt angegeben werden kann:
-:$$f_Y(y) =  A_{ Y} \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |y|}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_Y(y) =  A_{ Y} \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |\hspace{0.03cm}y\hspace{0.03cm}|}\hspace{0.05cm}.$$
-Die zwei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ sollen hinsichtlich der folgenden Kenngrößen verglichen werden:
+Die zwei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; sollen hinsichtlich der folgenden Kenngrößen verglichen werden:
-*dem linearen Mittelwert&nbsp; $m_1$ (Moment erster Ordnung),
+*dem linearen Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; (Moment erster Ordnung),
 *dem Moment zweiter Ordnung &nbsp; &#8658; &nbsp; $m_2$,
 *der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = m_2 - m_1^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Satz von Steiner,
 *der Streuung&nbsp; $\sigma$.
@@ Zeile 33: / Zeile 36: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist der Maximalwert $A_X$ der WDF $f_X(x)$?
+{Wie groß ist der Maximalwert&nbsp; $A_X$&nbsp; der WDF&nbsp; $f_X(x)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $A_X = \lambda/2$,
 + $A_X = \lambda$,
 - $A_X = 1/\lambda$.
-{Wie groß ist der Maximalwert $A_Y$ der WDF $f_Y(y)$?
+{Wie groß ist der Maximalwert&nbsp; $A_Y$&nbsp; der WDF&nbsp; $f_Y(y)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $A_Y = \lambda/2$,
 - $A_Y = \lambda$,
@@ Zeile 46: / Zeile 49: @@
-{Gibt es ein Argument $z$, so dass &nbsp;$f_X(z) =  f_Y(z)$&nbsp; gilt?
+{Gibt es ein Argument&nbsp; $z$, so dass &nbsp;$f_X(z) =  f_Y(z)$&nbsp; gilt?
 |type="()"}
 + Ja.
@@ Zeile 64: / Zeile 67: @@
 - Die Varianz ist&nbsp; $\sigma^2 = 1/\lambda^2$.
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße ($X$ bzw. $Y$) vom jeweiligen Mittelwert  betragsmäßig um mehr als die Streuung &nbsp;$\sigma$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße&nbsp; $(X$&nbsp; bzw.&nbsp; $Y)$&nbsp; vom jeweiligen Mittelwert  betragsmäßig um mehr als die Streuung &nbsp;$\sigma$?
 |type="{}"}
 $\text{Exponential:}\; \;{\rm Pr}( |X   -   m_X| > \sigma_X) \ = \ $  { 0.135 3% }

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Die Fläche unter der WDF muss immer 1 sein. Daraus folgt für die Exponentialverteilung:
-:$$A_{X} \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm}  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = A_{X} \cdot (-1/\lambda)\cdot\left [{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\right ]_{0}^{\infty} = A_{X} \cdot (1/\lambda) \stackrel{!}{=} 1
+:$$A_{X} \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm}  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = A_{X} \cdot (-1/\lambda)\cdot\big [{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\big ]_{0}^{\infty} = A_{X} \cdot (1/\lambda) \stackrel{!}{=} 1
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A_{X} = \lambda \hspace{0.05cm}. $$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist hierder <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die Höhe $A_Y$ der Laplaceverteilung nur halb so groß ist wie das Maximum der Exponentialverteilung &nbsp; &#8658; &nbsp; $A_Y = \lambda/2$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>, obwohl für $z \ne 0$ stets $f_X(z) = f_Y(z)$ gilt. Betrachten wir nun den Sonderfall $z= 0$:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>, obwohl für $z \ne 0$ stets &nbsp;$f_X(z) = f_Y(z)$&nbsp; gilt. Betrachten wir nun den Sonderfall $z= 0$:
-* Für die Laplaceverteilung gilt $f_Y(y = 0) = \lambda/2$.
+* Für die Laplaceverteilung gilt&nbsp; $f_Y(y = 0) = \lambda/2$.
-* Bei der Exponentialverteilung unterscheiden sich der links- und der rechtsseitige Grenzwert für $x \to 0$. Der WDF&ndash;Wert an der Stelle $x= 0$ ist der Mittelwert dieser beiden Grenzwerte:
+* Bei der Exponentialverteilung unterscheiden sich der links- und der rechtsseitige Grenzwert für $x \to 0$.
-:$$f_X(0) = \frac{1}{2} \cdot [ 0 + \lambda] = \lambda/2 =  f_Y(0)\hspace{0.05cm}.$$
+*Der WDF&ndash;Wert an der Stelle $x= 0$ ist der Mittelwert dieser beiden Grenzwerte:
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig sind <u>alle Lösungsvorschläge</u>. Bei der Exponentialverteilung berechnet sich das Moment $k$&ndash;ter Ordnung allgemein zu
@@ Zeile 101: / Zeile 104: @@
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
 \sigma = {1}/{\lambda}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Der quadratische Mittelwert der Laplaceverteilung ist aufgrund der symmetrischen WDF genau so groß wie bei der Exponentialverteilung:
 :$$m_2 = \frac{\lambda}{2} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|y|}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = \lambda \cdot\int_{0}^{\infty} \hspace{-0.01cm} y^2 \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y}\hspace{0.1cm}{\rm d}y = {2}/{\lambda^2} \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2864__Inf_Z_4_1f_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Musterlösung]]
-*Der Mittelwert  der Laplaceverteilung ist dagegen $m_1 = 0$.
+*Der Mittelwert  der Laplaceverteilung ist dagegen&nbsp; $m_1 = 0$.
 *Damit ist die Varianz der Laplaceverteilung doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung:
 :$$\sigma^2 = m_2 - m_1^2 = {2}/{\lambda^2} - 0 ={2}/{\lambda^2}
@@ Zeile 112: / Zeile 117: @@
 \sigma = {\sqrt{2}}/{\lambda}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Für die Exponentialverteilung ergibt sich  entsprechend der oberen Grafik mit $m_X = \sigma_X = 1/\lambda$:
 :$${\rm Pr}( |X   -   m_X| > \sigma_X)  \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm}
 {\rm Pr}( X > 2/\lambda)
@@ Zeile 119: / Zeile 125: @@
 \right ]_{2/\lambda}^{\infty}
    =  {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135}.$$
-Für die Laplaceverteilung (untere Grafik) erhält man mit $m_Y = 0$ und $\sigma_Y = \sqrt{2}/\lambda$:
+Für die Laplaceverteilung (untere Grafik) erhält man mit &nbsp;$m_Y = 0$&nbsp; und &nbsp;$\sigma_Y = \sqrt{2}/\lambda$:
 :$${\rm Pr}( |Y   -   m_Y| > \sigma_Y) =
 \cdot {\rm Pr}( Y > \sqrt{2}/\lambda)
@@ Zeile 128: / Zeile 134: @@
   = -  {\rm e}^{-\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.243}\hspace{0.05cm}.$$
-Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ:
+Ein Vergleich der schraffierten Flächen in nebenstehender Grafik bestätigt das Ergebnis qualitativ: &nbsp; Die blauen Flächen sind zusammen etwas größer als die rote Fläche.

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
-*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches&nbsp;  [[Stochastische Signaltheorie]].
+*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches&nbsp;  [[Stochastische Signaltheorie]].
 *Gegeben sind außerdem die beiden unbestimmten Integrale:
@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist der Maximalwert $A_X$ der WDF$f_X(x)$?
+{Wie groß ist der Maximalwert $A_X$ der WDF $f_X(x)$?
 |type="[]"}
 - $A_X = \lambda/2$,
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 - $A_X = 1/\lambda$.
-{Wie groß ist der Maximalwert $A_Y$ der WDF$f_Y(y)$?
+{Wie groß ist der Maximalwert $A_Y$ der WDF $f_Y(y)$?
 |type="[]"}
 + $A_Y = \lambda/2$,
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
-{Gibt es ein Argument $z$, so dass $f_X(z) =  f_Y(z)$ gilt?
+{Gibt es ein Argument $z$, so dass &nbsp;$f_X(z) =  f_Y(z)$&nbsp; gilt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Ja.
 - Nein.
@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 {Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Exponentialverteilung?
 |type="[]"}
-+ Der lineare Mittelwert ist $m_1 = 1/\lambda$.
++ Der lineare Mittelwert ist&nbsp; $m_1 = 1/\lambda$.
-+ Der quadratische Mittelwert ist $m_2 = 2/\lambda^2$.
++ Der quadratische Mittelwert ist&nbsp; $m_2 = 2/\lambda^2$.
-+ Die Varianz ist $\sigma^2 = 1/\lambda^2$.
++ Die Varianz ist&nbsp; $\sigma^2 = 1/\lambda^2$.
 {Welche Aussagen gelten für die Kenngrößen der Laplaceverteilung?
 |type="[]"}
-- Der lineare Mittelwert ist $m_1 = 1/\lambda$.
+- Der lineare Mittelwert ist&nbsp; $m_1 = 1/\lambda$.
-+ Der quadratische Mittelwert ist $m_2 = 2/\lambda^2$.
++ Der quadratische Mittelwert ist&nbsp; $m_2 = 2/\lambda^2$.
-- Die Varianz ist $\sigma^2 = 1/\lambda^2$.
+- Die Varianz ist&nbsp; $\sigma^2 = 1/\lambda^2$.
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße ($X$ bzw. $Y$) vom Mittelwert $m$ betragsmäßig um mehr als die Streuung $\sigma$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich die Zufallsgröße ($X$ bzw. $Y$) vom jeweiligen Mittelwert  betragsmäßig um mehr als die Streuung &nbsp;$\sigma$?
 |type="{}"}
 $\text{Exponential:}\; \;{\rm Pr}( |X   -   m_X| > \sigma_X) \ = \ $  { 0.135 3% }

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
 *Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Gegeben sind außerdem die beiden unbestimmten Integrale:
 :$$\int \hspace{-0.01cm} x \cdot  {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{{\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x}}{(-\lambda)^2}\cdot(-\lambda \cdot x-1)\hspace{0.05cm}, $$

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(kein Unterschied)