Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Juli 2019 um 14:50 Uhr

2019-07-04T14:50:04Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 14:46 Uhr

2019-07-04T14:46:39Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

2018-05-29T11:35:56Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:59 Uhr

2018-01-29T08:59:27Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:54 Uhr

2018-01-29T08:54:37Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:53 Uhr

2018-01-29T08:53:13Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.1Z L–Werte des BEC–Modells nach Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells

2018-01-04T06:51:07Z

Guenter verschob die Seite 4.1Z L–Werte des BEC–Modells nach Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells

Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:00 Uhr

2017-12-16T15:00:07Z

Hussain am 6. Dezember 2017 um 20:34 Uhr

2017-12-06T20:34:14Z

Hussain am 6. Dezember 2017 um 12:39 Uhr

2017-12-06T12:39:25Z

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-'''(3)'''&nbsp; Für den bedingten $L$&ndash;Wert $L(y = {\rm E} | x)$ in Vorwärtsrichtung gilt beim vorgegebenen BEC&ndash;Modell:
+'''(3)'''&nbsp; Für den bedingten $L$&ndash;Wert $L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ in Vorwärtsrichtung gilt beim vorgegebenen BEC&ndash;Modell:
 :$$L(y = {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y= {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y= {\rm E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)}
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-* Für $\lambda = 0$ (idealer Kanal) ergibt sich $L(y = {\rm E} | x) = \ln {(0/0)}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; unbestimmtes Ergebnis.
+* Für $\lambda = 0$ (idealer Kanal) ergibt sich $L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = \ln {(0/0)}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; unbestimmtes Ergebnis.
-* Für $\lambda = 1$ (vollständige Auslöschung, $y &equiv; {\rm E}$) sind $L(y = +1 | x)$ und $L(y = \, -1 | x)$ unbestimmt.
+* Für $\lambda = 1$ (vollständige Auslöschung, $y &equiv; {\rm E}$) sind $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ und $L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$ unbestimmt.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2978__KC_Z_4_1.png|right|frame|BEC–Kanalmodell]]
-Wir betrachten das so genannte [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BEC&ndash;Kanalmodell]] (<i>Binary Erasure Channel</i>) mit
+Wir betrachten das so genannte&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BEC&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>) mit
-* der Eingangsgröße $x &#8712; \{+1, \, -1\}$,
+* der Eingangsgröße&nbsp; $x &#8712; \{+1, \, -1\}$,
-* der Ausgangsgröße $y &#8712; \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$, und
+* der Ausgangsgröße&nbsp; $y &#8712; \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$, und
-* der Auslöschungswahrscheinlichket $\lambda$.
+* der Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$.
-Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (<i>Erasure</i>), dass der Ausgangswert $y$ weder als &bdquo;$+1$&rdquo; noch als &bdquo;$-1$&rdquo; entschieden werden konnte.
+Hierbei bedeutet&nbsp; $y = {\rm E}$&nbsp; (<i>Erasure</i>), dass der Ausgangswert&nbsp; $y$&nbsp; weder als &nbsp;$+1$&nbsp; noch als &nbsp;$-1$&nbsp; entschieden werden konnte.
 Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten
-:$${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Pr}(x = +1) = 3/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(x = -1) = 1/4\hspace{0.05cm}.$$
-Das '''Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis''' (kurz: $L$&ndash;Wert, englisch: <i>Log Likelihood Ratio</i>, LLR) der binären Zufallsgröße $x$ ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:
+Das&nbsp; '''Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis'''&nbsp; (kurz: &nbsp;$L$&ndash;Wert, englisch:&nbsp; <i>Log Likelihood Ratio</i>, LLR) der binären Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; ist bei bipolarer Betrachtungsweise wie folgt gegeben:
 :$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}\hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend gilt für den bedingten $L$&ndash;Wert in Vorwärtsrichtung für alle $y &#8712; \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$:
+Entsprechend gilt für den bedingten&nbsp; $L$&ndash;Wert in Vorwärtsrichtung für alle&nbsp; $y &#8712; \{+1, \, -1, \, {\rm E}\}$:
 :$$L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = +1)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = -1)} \hspace{0.05cm}. $$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]] sowie  auf die Seite [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|''Binary Erasure Channel'']].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]]&nbsp; sowie  auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|''Binary Erasure Channel'']].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet der $L$&ndash;Wert der Eingangsgröße $x$?
+{Wie lautet der&nbsp; $L$&ndash;Wert der Eingangsgröße&nbsp; $x$?
 |type="{}"}
 $L(x) \ = \ ${ 1.099 3% }
-{Welcher Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(x = \, -1)$ entspricht $L(x) = \, -2$?
+{Welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x = \, -1)$&nbsp; entspricht&nbsp; $L(x) = \, -2$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x = \, -1) \ = \ ${ 0.881 3% }
-{Berechnen Sie den bedingten $L$&ndash;Wert $L(y = {\rm E} | x)$ in Vorwärtsrichtung.
+{Berechnen Sie den bedingten&nbsp; $L$&ndash;Wert&nbsp; $L(y = {\rm E}\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$&nbsp; in Vorwärtsrichtung.
 |type="{}"}
-$L(y = {\rm E} | x) \ = \ ${ 0. }
+$L(y = {\rm E} \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) \ = \ ${ 0. }
-{Welche Aussagen gelten für die beiden anderen bedingten $L$&ndash;Wert?
+{Welche Aussagen gelten für die beiden anderen bedingten&nbsp; $L$&ndash;Wert?
 |type="[]"}
-+ $L(y = +1 | x)$ ist positiv unendlich.
++ $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$&nbsp; ist positiv unendlich.
-+ $L(y = \, -1 | x)$ ist negativ und betragsmäßig unendlich groß.
++ $L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x)$&nbsp; ist negativ und betragsmäßig unendlich groß.
-- Es gilt $L(y = +1 | x) = L(y = \, -1 | x) = 0$.
+- Es gilt&nbsp; $L(y = +1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = L(y = \, -1 \hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} x) = 0$.
-{Unter welchen Voraussetzungen gelten die Ergebnisse aus (3) und (4)?
+{Unter welchen Voraussetzungen gelten die Ergebnisse aus '''(3)''' und '''(4)'''?
 |type="()"}
-- Für $0 &#8804; \lambda &#8804; 1$.
+- Für&nbsp; $0 &#8804; \lambda &#8804; 1$.
-- Für $0 < \lambda &#8804; 1$.
+- Für&nbsp; $0 < \lambda &#8804; 1$.
-- Für $0 &#8804; \lambda < 1$.
+- Für&nbsp; $0 &#8804; \lambda < 1$.
-+ Für $0 < \lambda < 1$.
++ Für&nbsp; $0 < \lambda < 1$.
 </quiz>

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]] sowie  auf die Seite [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|''Binary Erasure Channel'']].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 {Unter welchen Voraussetzungen gelten die Ergebnisse aus (3) und (4)?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Für $0 &#8804; \lambda &#8804; 1$.
 - Für $0 < \lambda &#8804; 1$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = +1) = 3/4$ und ${\rm Pr}(x = \, &ndash;1) = 1/4$ erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = +1) = 3/4$ und ${\rm Pr}(x = -1) = 1/4$ erhält man:
 :$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}
 ={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{3/4}{1/4}\hspace{0.15cm}\underline{= 1.099}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 :$$L(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{{\rm Pr}(x = -1)}$$
-ergibt sich für $L(x) = \, &ndash;2$ die folgende Bestimmungsgleichung:
+ergibt sich für $L(x) = \, -2$ die folgende Bestimmungsgleichung:
 :$$\hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = +1)}{1-{\rm Pr}(x = +1)} \stackrel{!}{=}{\rm e}^{-2} \approx 0.135 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}
-.135 \cdot {\rm Pr}(x = +1)\stackrel{!}{=}0.135$$
+.135 \cdot {\rm Pr}(x = +1)\stackrel{!}{=}0.135\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.25cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(x = +1) = 0.119\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Pr}(x = -1)
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.881}\hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-* Für $\lambda = 0$ (idealer Kanal) ergibt sich $L(y = {\rm E} | x) = \ln {(0/0)}$ &nbsp;&#8658;&nbsp; unbestimmtes Ergebnis.
+* Für $\lambda = 0$ (idealer Kanal) ergibt sich $L(y = {\rm E} | x) = \ln {(0/0)}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; unbestimmtes Ergebnis.
-* Für $\lambda = 1$ (vollständige Auslöschung, $y &equiv; {\rm E}$) sind $L(y = +1 | x)$ und $L(y = \, &ndash;1 | x)$ unbestimmt.
+* Für $\lambda = 1$ (vollständige Auslöschung, $y &equiv; {\rm E}$) sind $L(y = +1 | x)$ und $L(y = \, -1 | x)$ unbestimmt.
 {{ML-Fuß}}

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−	Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (<i>Erasure</i>), dass der Ausgangswert $y$ weder als &bdquo;$+1$” noch als &bdquo;$&-1$” entschieden werden konnte.	+	Hierbei bedeutet $y = {\rm E}$ (<i>Erasure</i>), dass der Ausgangswert $y$ weder als &bdquo;$+1$” noch als &bdquo;$-1$” entschieden werden konnte.

	Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten		Bekannt sind zudem die Eingangswahrscheinlichkeiten

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	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder\| Soft–in Soft–out Decoder]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder\| Soft–in Soft–out Decoder]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
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