Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Hochpass-System - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:08 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP~~- ~~und BP~~-Signalen	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen
	}}		}}

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-'''(2)'''&nbsp; Auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass&ndash;Signal als Differenz zweier Tiefpass&ndash;Signale dargestellt werden kann.
+'''(2)'''&nbsp; Auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen#Eigenschaften_von_Bandpass-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]&nbsp; wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass&ndash;Signal als Differenz zweier Tiefpass&ndash;Signale dargestellt werden kann.
-[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png|right|frame|Tiefpass&ndash; und Hochpass&ndash;Spektrum]]
+[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png|right|frame|Rot:&nbsp;Tiefpass&ndash;Spektrum<br>Blau:&nbsp; Hochpass&ndash;Spektrum]]
 Gleiches gilt für Frequenzgänge:
 :$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$
 *Setzt man&nbsp; $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$&nbsp; und betrachtet&nbsp; $H_1(f) = 1$&nbsp; als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
-*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen&nbsp; $H_1(f) = 1$&nbsp; nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$&nbsp; erhält man weiter:
+*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen&nbsp; $H_1(f) = 1$&nbsp; nun ein Hochpass.&nbsp; Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$&nbsp; erhält man weiter:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}  =
 \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm
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-Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite. Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $1/(j\omega C)$&nbsp; gilt:
+Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite.&nbsp; Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $1/(j\omega C)$&nbsp; gilt:
 :$$H_{\rm HP}(f) =  \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =
 \frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega
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 *Bei der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; sind somit die Beträge von Hochpass&ndash; und Tiefpass&ndash;Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils&nbsp; $0.707$.
 *Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:&nbsp; Demnach müsste sich nämlich der Wert&nbsp; $|H_{HP}(f = f_{\rm G})| = 1 – 0.707 \approx 0.293$&nbsp; ergeben.
-[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png|right|frame|Tiefpass&ndash; und Hochpass&ndash;Phasengang]]
+[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png|right|frame|Grün:&nbsp;Tiefpass&ndash;Phasengang<br>Violett:&nbsp; Hochpass&ndash;Phasengang]]
 *Der unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f)  =  {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$
-*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um&nbsp; $\pi /2$&nbsp; nach unten der gleiche Verlauf wie beim Tiefpass-System. Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um&nbsp; $\pi /2$&nbsp; nach oben.
+*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um&nbsp; $\pi /2$&nbsp; nach unten der gleiche Verlauf wie beim Tiefpass-System.&nbsp; Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um&nbsp; $\pi /2$&nbsp; nach oben.
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 *Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.
 *Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP&ndash;Impulsantwort.
-*Die Diracfunktion bewirkt, dass&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; unendlich groß ist. Dagegen gilt für&nbsp; $t = \tau$:
+*Die Diracfunktion bewirkt, dass&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; unendlich groß ist.&nbsp; Dagegen gilt für&nbsp; $t = \tau$:
 :$$h_{\rm HP}(t = \tau) =  - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} =  -
 {{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$

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−	eines LZI-Systems.  Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang.  Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare zeitinvariante Systeme]].	+	eines LZI-Systems.  Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang.  Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|Lineare zeitinvariante Systeme]].

	Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:		Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:

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 [[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png|right|frame|Realisierungsbeispiele für Tiefpass und Hochpass]]
-Die auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]&nbsp; dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
+Die auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen#Eigenschaften_von_Bandpass-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]&nbsp; dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
 *den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; und
 *die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$

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 }}
-[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png|right|frame|Beispiele für Tiefpass und Hochpass]]
+[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png|right|frame|Realisierungsbeispiele für Tiefpass und Hochpass]]
 Die auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]&nbsp; dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
 *den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; und
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-eines LZI-Systems. Auch diese stehen über die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation]]&nbsp; im Zusammenhang. Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch&nbsp; [[Lineare zeitinvariante Systeme]].
+eines LZI-Systems.&nbsp; Auch diese stehen über die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation]]&nbsp; im Zusammenhang.&nbsp; Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch&nbsp; [[Lineare zeitinvariante Systeme]].
 Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:
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 :$$h_{\rm TP}(t) = \frac{1}{\tau} \cdot {\rm e}^{-t / \tau} .$$
-Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HP}(f)$&nbsp; und Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen. Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.
+Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HP}(f)$&nbsp; und Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen.&nbsp; Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.
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 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen sind beim TP-System zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind beim Tiefpass-System zutreffend?
 |type="[]"}
 - Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
-{Begründen Sie, warum stets&nbsp; $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$&nbsp; gelten muss. Berechnen Sie&nbsp; $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei&nbsp; $f = 0$.
+{Begründen Sie, warum stets&nbsp; $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$&nbsp; gelten muss.&nbsp; Berechnen Sie&nbsp; $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei&nbsp; $f = 0$.
 |type="{}"}
 $H_{\rm HP}(f = 0)\ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
-{Berechnen Sie die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm  TP}(t)$. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
+{Berechnen Sie die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm  TP}(t)$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 |type="[]"}
 - Es gilt &nbsp;$h_{\rm HP}(t) = \tau/t \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$.
+*Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$.
 *Für den Betragsfrequenzgang gilt:
 :$$|H_{\rm TP}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
-*Somit ist der Wert bei $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion $|H_{\rm TP}(f)|^2$ ist daher bei $f = f_{\rm G}$ nur halb so groß als bei $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB&ndash;Grenzfrequenz&rdquo; für $f_{\rm G}$ zurückzuführen ist.
+*Somit ist der Wert bei&nbsp; $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion&nbsp; $|H_{\rm TP}(f)|^2$&nbsp; ist daher bei&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; nur halb so groß als bei&nbsp; $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB&ndash;Grenzfrequenz&rdquo; für&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; zurückzuführen ist.
 *Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:
 :$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 *Setzt man dieses Ergebnis in obige Gleichung ein, so ergibt sich:
 :$$\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan\left(f / f_{\rm G}\right) .$$
-*Der Verlauf ist ausgehend von $0$ (bei $f = 0$) über $\pi/2$ (bei $f = f_{\rm G}$) bis zu $\pi$ (bei $f \rightarrow \infty$) monoton steigend.
+*Der Verlauf ist ausgehend von&nbsp; $0$&nbsp; $($bei&nbsp; $f = 0)$&nbsp; über&nbsp; $\pi/2$&nbsp; $($bei&nbsp; $f = f_{\rm G})$&nbsp; bis zu&nbsp; $\pi$&nbsp; $($bei&nbsp; $f \rightarrow \infty)$&nbsp; monoton steigend.
-'''(2)'''&nbsp; Auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass&ndash;Signal als Differenz zweier TP&ndash;Signale dargestellt werden kann. Gleiches gilt für Frequenzgänge:
 [[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png|right|frame|Tiefpass&ndash; und Hochpass&ndash;Spektrum]]
 :$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$
-Setzt man $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$ und betrachtet $H_1(f) = 1$ als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:
+*Setzt man&nbsp; $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$&nbsp; und betrachtet&nbsp; $H_1(f) = 1$&nbsp; als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
-Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen $H_1(f) = 1$ nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion $H_{\rm TP}(f)$ erhält man weiter:
+*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen&nbsp; $H_1(f) = 1$&nbsp; nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$&nbsp; erhält man weiter:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}  =
 \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm
 G}} .$$
-Für $f = 0$ ergibt sich $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion $H_{\rm TP}(f)$ und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.
+*Für&nbsp; $f = 0$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$&nbsp; und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.
-Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite. Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen $R$ und $1/(j\omega C)$ gilt:
+Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite. Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $1/(j\omega C)$&nbsp; gilt:
 :$$H_{\rm HP}(f) =  \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =
 \frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega
 \cdot C \cdot R} = \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j}
 \cdot f / f_{\rm G}}.$$
@@ Zeile 112: / Zeile 118: @@
 :$$|H_{\rm HP}(f)| = \frac{|f / f_{\rm G}|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm
 G})^2}} .$$
-*Bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ sind somit die Beträge von Hochpass&ndash; und Tiefpass&ndash;Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils $0.707$.
+*Bei der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; sind somit die Beträge von Hochpass&ndash; und Tiefpass&ndash;Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils&nbsp; $0.707$.
-*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch: demnach müsste sich nämlich der Wert $|H_{HP}(f = f_{\rm G})| = 1 – 0.707 \approx 0.293$ ergeben.
+*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:&nbsp; Demnach müsste sich nämlich der Wert&nbsp; $|H_{HP}(f = f_{\rm G})| = 1 – 0.707 \approx 0.293$&nbsp; ergeben.
 [[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png|right|frame|Tiefpass&ndash; und Hochpass&ndash;Phasengang]]
-*Der unter (2) berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
+*Der unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /
 f_{\rm G}}{{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
@@ Zeile 124: / Zeile 130: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f)  =  {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$
-*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um $\pi /2$ nach unten der gleiche Verlauf wie beim TP-System. Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um $\pi /2$ nach oben.
+*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um&nbsp; $\pi /2$&nbsp; nach unten der gleiche Verlauf wie beim Tiefpass-System. Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um&nbsp; $\pi /2$&nbsp; nach oben.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Aufgrund der Linearität der Fourier(rück)transformation gilt für den Zeitverlauf für $t > 0$:
+*Aufgrund der Linearität der Fourier(rück)transformation gilt für den Zeitverlauf für&nbsp; $t > 0$:
 :$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot
 {\rm e}^{-t / \tau} .$$
 *Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.
 *Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP&ndash;Impulsantwort.
-*Die Diracfunktion bewirkt, dass $h_{\rm HP}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ unendlich groß ist. Dagegen gilt für $t = \tau$:
+*Die Diracfunktion bewirkt, dass&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; unendlich groß ist. Dagegen gilt für&nbsp; $t = \tau$:
 :$$h_{\rm HP}(t = \tau) =  - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} =  -
 {{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$
-*Die letzte Aussage ist somit ebenfalls falsch.
+*Die letzte Aussage ist somit aufgrund des Vorzeichens ebenfalls falsch.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png|right|frame|Beispiele für Tiefpass und Hochpass]]
-Die auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
+Die auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]&nbsp; dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
-*den Frequenzgang $H(f)$ und
+*den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; und
-*die Impulsantwort $h(t)$
+*die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$
-eines LZI-Systems. Auch diese stehen über die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation]] im Zusammenhang. Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch [[Lineare zeitinvariante Systeme]].
+eines LZI-Systems. Auch diese stehen über die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation]]&nbsp; im Zusammenhang. Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch&nbsp; [[Lineare zeitinvariante Systeme]].
 Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:
-*Für sehr hohe Frequenzen wirkt die Kapazität $C$ als Kurzschluss, so dass hochfrequente Anteile im Ausgangssignal nicht mehr enthalten sind.
+*Für sehr hohe Frequenzen wirkt die Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Kurzschluss, so dass hochfrequente Anteile im Ausgangssignal nicht mehr enthalten sind.
 *Dagegen werden niederfrequente Signalanteile durch den Spannungsteiler nur unmerklich abgeschwächt.
-*Mit der 3dB&ndash;Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gilt für den Frequenzgang:
+*Mit der 3dB&ndash;Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; gilt für den Frequenzgang:
 :$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}  =
 |H_{\rm TP}(f)|\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_{\rm TP}(f)} .$$
-Im zweiten Gleichungsteil ist der Frequenzgang $H_{\rm TP}(f)$ nach Betrag und Phase aufgespalten.
+Im zweiten Gleichungsteil ist der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$&nbsp; nach Betrag und Phase aufgespalten.
-Die Impulsantwort $h_{\rm TP}(t)$ erhält man durch Fouriertransformation von $H_{\rm TP}(f)$, wobei die Zeitkonstante $\tau = R \cdot C = {1}/({2\pi \cdot f_{\rm G}}) $ zu setzen ist.
+Die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm TP}(t)$&nbsp; erhält man durch Fouriertransformation von&nbsp; $H_{\rm TP}(f)$, wobei die Zeitkonstante&nbsp; $\tau = R \cdot C = {1}/({2\pi \cdot f_{\rm G}}) $&nbsp; zu setzen ist.
-Für $t < 0$ ist die Impulsantwort identisch $0$, für positive Zeiten gilt:
+Für&nbsp; $t < 0$&nbsp; ist die Impulsantwort identisch Null, für positive Zeiten gilt:
 :$$h_{\rm TP}(t) = \frac{1}{\tau} \cdot {\rm e}^{-t / \tau} .$$
-Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang $H_{\rm HP}(f)$ und Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen. Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.
+Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm HP}(f)$&nbsp; und Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen. Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.
@@ Zeile 32: / Zeile 35: @@
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
@@ Zeile 42: / Zeile 45: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind beim TP-System zutreffend?
 |type="[]"}
-- Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.
+- Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt&nbsp; $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.
-+ $|H_{\rm TP}(f)|$ ist bei $f = f_{\rm G}$ um $\sqrt{2}$ kleiner als bei $f = 0$.
++ $|H_{\rm TP}(f)|$&nbsp; ist bei&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; um&nbsp; $\sqrt{2}$&nbsp; kleiner als bei&nbsp; $f = 0$.
 + Die Phasenfunktion lautet: &nbsp; $\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan(f/f_{\rm G})$.
-{Begründen Sie, warum stets $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$ gelten muss. Berechnen Sie $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei $f = 0$.
+{Begründen Sie, warum stets&nbsp; $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$&nbsp; gelten muss. Berechnen Sie&nbsp; $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei&nbsp; $f = 0$.
 |type="{}"}
 $H_{\rm HP}(f = 0)\ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 59: / Zeile 62: @@
-{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_{\rm  TP}(t)$. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
+{Berechnen Sie die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm  TP}(t)$. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 |type="[]"}
 - Es gilt &nbsp;$h_{\rm HP}(t) = \tau/t \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.
 + Es gilt &nbsp;$h_{\rm HP}(t) = \delta (t) - 1/\tau \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.
-+ Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist die Impulsantwort unendlich groß.
++ Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist die Impulsantwort unendlich groß.
-- Zum Zeitpunkt $t = \tau$ ist die Impulsantwort gleich ${\rm e}/\tau$.
+- Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = \tau$&nbsp; ist die Impulsantwort gleich ${\rm e}/\tau$.