Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Hochpass-System - Versionsgeschichte

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Guenter am 3. Mai 2021 um 16:08 Uhr

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	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP~~- ~~und BP~~-Signalen		{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen
	}}		}}

Guenter am 3. Mai 2021 um 15:45 Uhr

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Guenter am 3. Mai 2021 um 15:17 Uhr

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	eines LZI-Systems.  Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang.  Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare zeitinvariante Systeme]].		eines LZI-Systems.  Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang.  Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort\|Lineare zeitinvariante Systeme]].

	Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:		Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:

Guenter am 3. Mai 2021 um 15:15 Uhr

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	[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Realisierungsbeispiele für Tiefpass und Hochpass]]		[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Realisierungsbeispiele für Tiefpass und Hochpass]]
	Die auf der Seite  [[Signaldarstellung/~~Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP~~-~~_und_BP~~-Signalen#~~Eigenschaften_von_BP~~-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]  dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für		Die auf der Seite  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen#Eigenschaften_von_Bandpass-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]  dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
	*den Frequenzgang  $H(f)$  und		*den Frequenzgang  $H(f)$  und
	*die Impulsantwort  $h(t)$		*die Impulsantwort  $h(t)$

Guenter am 3. Mai 2021 um 15:14 Uhr

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png\|right\|frame\|~~Beispiele~~ für Tiefpass und Hochpass]]		[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Realisierungsbeispiele für Tiefpass und Hochpass]]
	Die auf der Seite  [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]  dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für		Die auf der Seite  [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]  dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
	*den Frequenzgang  $H(f)$  und		*den Frequenzgang  $H(f)$  und
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	eines LZI-Systems. Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang. Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare zeitinvariante Systeme]].		eines LZI-Systems.  Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang.  Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare zeitinvariante Systeme]].

	Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:		Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:
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	:$$h_{\rm TP}(t) = \frac{1}{\tau} \cdot {\rm e}^{-t / \tau} .$$		:$$h_{\rm TP}(t) = \frac{1}{\tau} \cdot {\rm e}^{-t / \tau} .$$

	Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang  $H_{\rm HP}(f)$  und Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$  in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen. Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.		Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang  $H_{\rm HP}(f)$  und Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$  in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen.  Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.


Zeile 35:		Zeile 35:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/~~Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP~~-~~_und_BP~~-Signalen\|~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von~~ Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen\|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].


Zeile 43:		Zeile 43:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche der folgenden Aussagen sind beim TP-System zutreffend?		{Welche der folgenden Aussagen sind beim Tiefpass-System zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt  $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.		- Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt  $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.
Zeile 50:		Zeile 50:


	{Begründen Sie, warum stets  $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$  gelten muss. Berechnen Sie  $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei  $f = 0$.		{Begründen Sie, warum stets  $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$  gelten muss.  Berechnen Sie  $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei  $f = 0$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_{\rm HP}(f = 0)\ = \ $ { 0. }		$H_{\rm HP}(f = 0)\ = \ $ { 0. }
Zeile 62:		Zeile 62:


	{Berechnen Sie die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?		{Berechnen Sie die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$.  Interpretieren Sie das Ergebnis.  Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt  $h_{\rm HP}(t) = \tau/t \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.		- Es gilt  $h_{\rm HP}(t) = \tau/t \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.

Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:29 Uhr

2019-10-02T15:29:25Z

Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:13 Uhr

2019-10-02T15:13:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2019, 17:13 Uhr
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	[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Beispiele für Tiefpass und Hochpass]]		[[Datei:P_ID692__Sig_Z_4_1.png\|right\|frame\|Beispiele für Tiefpass und Hochpass]]
	Die auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für		Die auf der Seite  [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]  dargestellten Beziehungen gelten nicht nur für Signale und Spektren, sondern in gleicher Weise auch für
	*den Frequenzgang $H(f)$ und		*den Frequenzgang  $H(f)$  und
	*die Impulsantwort $h(t)$		*die Impulsantwort  $h(t)$


	eines LZI-Systems. Auch diese stehen über die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]] im Zusammenhang. Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch [[Lineare zeitinvariante Systeme]].		eines LZI-Systems. Auch diese stehen über die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation\|Fouriertransformation]]  im Zusammenhang. Nähere Informationen hierzu finden Sie im Buch  [[Lineare zeitinvariante Systeme]].

	Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:		Die Schaltung gemäß der oberen Grafik ist die einfachste Realisierung eines Tiefpasses:
	*Für sehr hohe Frequenzen wirkt die Kapazität $C$ als Kurzschluss, so dass hochfrequente Anteile im Ausgangssignal nicht mehr enthalten sind.		*Für sehr hohe Frequenzen wirkt die Kapazität  $C$  als Kurzschluss, so dass hochfrequente Anteile im Ausgangssignal nicht mehr enthalten sind.
	*Dagegen werden niederfrequente Signalanteile durch den Spannungsteiler nur unmerklich abgeschwächt.		*Dagegen werden niederfrequente Signalanteile durch den Spannungsteiler nur unmerklich abgeschwächt.
	*Mit der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gilt für den Frequenzgang:		*Mit der 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  gilt für den Frequenzgang:
	:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =		:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =
	\|H_{\rm TP}(f)\|\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_{\rm TP}(f)} .$$		\|H_{\rm TP}(f)\|\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_{\rm TP}(f)} .$$

	Im zweiten Gleichungsteil ist der Frequenzgang $H_{\rm TP}(f)$ nach Betrag und Phase aufgespalten.		Im zweiten Gleichungsteil ist der Frequenzgang  $H_{\rm TP}(f)$  nach Betrag und Phase aufgespalten.

	Die Impulsantwort $h_{\rm TP}(t)$ erhält man durch Fouriertransformation von $H_{\rm TP}(f)$, wobei die Zeitkonstante $\tau = R \cdot C = {1}/({2\pi \cdot f_{\rm G}}) $ zu setzen ist.		Die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  erhält man durch Fouriertransformation von  $H_{\rm TP}(f)$, wobei die Zeitkonstante  $\tau = R \cdot C = {1}/({2\pi \cdot f_{\rm G}}) $  zu setzen ist.

	Für $t < 0$ ist die Impulsantwort identisch ~~$0$~~, für positive Zeiten gilt:		Für  $t < 0$  ist die Impulsantwort identisch Null, für positive Zeiten gilt:
	:$$h_{\rm TP}(t) = \frac{1}{\tau} \cdot {\rm e}^{-t / \tau} .$$		:$$h_{\rm TP}(t) = \frac{1}{\tau} \cdot {\rm e}^{-t / \tau} .$$

	Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang $H_{\rm HP}(f)$ und Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen. Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.		Die unten dargestellte Schaltung beschreibt einen Hochpass, dessen Frequenzgang  $H_{\rm HP}(f)$  und Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$  in dieser Aufgabe ermittelt werden sollen. Ein solcher Hochpass kann auch als Grenzfall eines Bandpasses interpretiert werden.





Zeile 32:		Zeile 35:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].


Zeile 42:		Zeile 45:
	{Welche der folgenden Aussagen sind beim TP-System zutreffend?		{Welche der folgenden Aussagen sind beim TP-System zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.		- Der Gleichsignalübertragungsfaktor beträgt  $H_{\rm TP}(f = 0) = 2$.
	+ $\|H_{\rm TP}(f)\|$ ist bei $f = f_{\rm G}$ um $\sqrt{2}$ kleiner als bei $f = 0$.		+ $\|H_{\rm TP}(f)\|$  ist bei  $f = f_{\rm G}$  um  $\sqrt{2}$  kleiner als bei  $f = 0$.
	+ Die Phasenfunktion lautet:   $\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan(f/f_{\rm G})$.		+ Die Phasenfunktion lautet:   $\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan(f/f_{\rm G})$.


	{Begründen Sie, warum stets $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$ gelten muss. Berechnen Sie $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei $f = 0$.		{Begründen Sie, warum stets  $H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f)$  gelten muss. Berechnen Sie  $H_{\rm HP}(f)$, insbesondere den Wert bei  $f = 0$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_{\rm HP}(f = 0)\ = \ $ { 0. }		$H_{\rm HP}(f = 0)\ = \ $ { 0. }
Zeile 59:		Zeile 62:


	{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_{\rm TP}(t)$. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?		{Berechnen Sie die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$. Interpretieren Sie das Ergebnis. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt  $h_{\rm HP}(t) = \tau/t \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.		- Es gilt  $h_{\rm HP}(t) = \tau/t \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.
	+ Es gilt  $h_{\rm HP}(t) = \delta (t) - 1/\tau \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.		+ Es gilt  $h_{\rm HP}(t) = \delta (t) - 1/\tau \cdot {\rm e}^{-t/\tau}$.
	+ Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist die Impulsantwort unendlich groß.		+ Zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist die Impulsantwort unendlich groß.
	- Zum Zeitpunkt $t = \tau$ ist die Impulsantwort gleich ${\rm e}/\tau$.		- Zum Zeitpunkt  $t = \tau$  ist die Impulsantwort gleich ${\rm e}/\tau$.

Guenter am 25. Juli 2018 um 15:53 Uhr

2018-07-25T15:53:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	*Somit ist der Wert bei  $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion  $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$  ist daher bei  $f = f_{\rm G}$  nur halb so groß als bei  $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für  $f_{\rm G}$  zurückzuführen ist.		*Somit ist der Wert bei  $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion  $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$  ist daher bei  $f = f_{\rm G}$  nur halb so groß als bei  $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für  $f_{\rm G}$  zurückzuführen ist.
	*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:		*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:
	:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\~~rmTP~~}(f)\right]}{{\rm Re}\left[H_{\rm TP}(f)\right]} .$$		:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm TP}(f)\right]}{{\rm Re}\left[H_{\rm TP}(f)\right]} .$$
	*Mit der konjugiert–komplexen Erweiterung erhält man:		*Mit der konjugiert–komplexen Erweiterung erhält man:
	:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 - ( f / f_{\rm G})^2} - \frac{{\rm j}\cdot f / f_{\rm G}}{1 - ( f / f_{\rm G})^2}.$$		:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 - ( f / f_{\rm G})^2} - \frac{{\rm j}\cdot f / f_{\rm G}}{1 - ( f / f_{\rm G})^2}.$$
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	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
	*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass.  Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:		*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass.  Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\~~rmG~~}} .$$		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} .$$
	*Für  $f = 0$  ergibt sich  $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion  $H_{\rm TP}(f)$  und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.		*Für  $f = 0$  ergibt sich  $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion  $H_{\rm TP}(f)$  und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.

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	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Die Betragsfunktion des Hochpasses lautet:		*Die Betragsfunktion des Hochpasses lautet:
	:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\~~rmG~~})^2}} .$$		:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
	*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.		*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.
	*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.		*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.
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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.1Z:_High-Pass_System]]

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	*Dagegen werden niederfrequente Signalanteile durch den Spannungsteiler nur unmerklich abgeschwächt.		*Dagegen werden niederfrequente Signalanteile durch den Spannungsteiler nur unmerklich abgeschwächt.
	*Mit der 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  gilt für den Frequenzgang:		*Mit der 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  gilt für den Frequenzgang:
	:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =		:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =\|H_{\rm TP}(f)\|\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_{\rm TP}(f)} .$$
	\|H_{\rm TP}(f)\|\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi_{\rm TP}(f)} .$$

	Im zweiten Gleichungsteil ist der Frequenzgang  $H_{\rm TP}(f)$  nach Betrag und Phase aufgespalten.		Im zweiten Gleichungsteil ist der Frequenzgang  $H_{\rm TP}(f)$  nach Betrag und Phase aufgespalten.
Zeile 80:		Zeile 79:
	*Somit ist der Wert bei  $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion  $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$  ist daher bei  $f = f_{\rm G}$  nur halb so groß als bei  $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für  $f_{\rm G}$  zurückzuführen ist.		*Somit ist der Wert bei  $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion  $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$  ist daher bei  $f = f_{\rm G}$  nur halb so groß als bei  $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für  $f_{\rm G}$  zurückzuführen ist.
	*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:		*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:
	:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm		:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rmTP}(f)\right]}{{\rm Re}\left[H_{\rm TP}(f)\right]} .$$
	TP}(f)\right]}{{\rm Re}\left[H_{\rm TP}(f)\right]} .$$
	*Mit der konjugiert–komplexen Erweiterung erhält man:		*Mit der konjugiert–komplexen Erweiterung erhält man:
	:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 - ( f / f_{\rm G})^2} - \frac{{\rm j}		:$$H_{\rm TP}(f) = \frac{1}{1 - ( f / f_{\rm G})^2} - \frac{{\rm j}\cdot f / f_{\rm G}}{1 - ( f / f_{\rm G})^2}.$$
	\cdot f / f_{\rm G}}{1 - ( f / f_{\rm G})^2}.$$
	*Setzt man dieses Ergebnis in obige Gleichung ein, so ergibt sich:		*Setzt man dieses Ergebnis in obige Gleichung ein, so ergibt sich:
	:$$\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan\left(f / f_{\rm G}\right) .$$		:$$\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan\left(f / f_{\rm G}\right) .$$
Zeile 100:		Zeile 97:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
	*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass.  Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:		*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass.  Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rmG}} .$$
	\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm
	G}} .$$
	*Für  $f = 0$  ergibt sich  $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion  $H_{\rm TP}(f)$  und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.		*Für  $f = 0$  ergibt sich  $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion  $H_{\rm TP}(f)$  und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.


	Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite.  Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen  $R$  und  $1/(j\omega C)$  gilt:		Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite.  Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen  $R$  und  $1/(j\omega C)$  gilt:
	:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =		:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =\frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega\cdot C \cdot R} = \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j}\cdot f / f_{\rm G}}.$$
	\frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega
	\cdot C \cdot R} = \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j}
	\cdot f / f_{\rm G}}.$$


Zeile 116:		Zeile 108:
	'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Die Betragsfunktion des Hochpasses lautet:		*Die Betragsfunktion des Hochpasses lautet:
	:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm		:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rmG})^2}} .$$
	G})^2}} .$$
	*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.		*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.
	*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.		*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.
	[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Grün: Tiefpass–Phasengang<br>Violett:  Hochpass–Phasengang]]		[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Grün: Tiefpass–Phasengang<br>Violett:  Hochpass–Phasengang]]
	*Der unter  '''(2)'''  berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		*Der unter  '''(2)'''  berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /		:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /f_{\rm G}}{{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
	f_{\rm G}}{{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
	:Damit ergibt sich für die Phasenfunktion:		:Damit ergibt sich für die Phasenfunktion:
	:$$\varphi_{\rm HP}(f) =-\arctan\frac{f / f_{\rm G}}{( f /		:$$\varphi_{\rm HP}(f) =-\arctan\frac{f / f_{\rm G}}{( f /f_{\rm G})^2}= -{\rm arcctg} ({f}/{f_{\rm G}}) $$
	f_{\rm G})^2}=
	-{\rm arcctg} ({f}/{f_{\rm G}}) $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f) = {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f) = {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$

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	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Aufgrund der Linearität der Fourier(rück)transformation gilt für den Zeitverlauf für  $t > 0$:		*Aufgrund der Linearität der Fourier(rück)transformation gilt für den Zeitverlauf für  $t > 0$:
	:$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot		:$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot{\rm e}^{-t / \tau} .$$
	{\rm e}^{-t / \tau} .$$
	*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.		*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.
	*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.		*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.
	*Die Diracfunktion bewirkt, dass  $h_{\rm HP}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  unendlich groß ist.  Dagegen gilt für  $t = \tau$:		*Die Diracfunktion bewirkt, dass  $h_{\rm HP}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  unendlich groß ist.  Dagegen gilt für  $t = \tau$:
	:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -		:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$
	{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$
	*Die letzte Aussage ist somit aufgrund des Vorzeichens ebenfalls falsch.		*Die letzte Aussage ist somit aufgrund des Vorzeichens ebenfalls falsch.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

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	'''(2)'''  Auf der Seite [[Signaldarstellung/~~Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP~~-~~_und_BP~~-Signalen#~~Eigenschaften_von_BP~~-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass–Signal als Differenz zweier Tiefpass–Signale dargestellt werden kann.		'''(2)'''  Auf der Seite  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen#Eigenschaften_von_Bandpass-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]]  wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass–Signal als Differenz zweier Tiefpass–Signale dargestellt werden kann.

	[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png\|right\|frame\|Tiefpass– ~~und~~ Hochpass–Spektrum]]		[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png\|right\|frame\|Rot: Tiefpass–Spektrum<br>Blau:  Hochpass–Spektrum]]
	Gleiches gilt für Frequenzgänge:		Gleiches gilt für Frequenzgänge:
	:$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$		:$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$
	*Setzt man  $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$  und betrachtet  $H_1(f) = 1$  als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:		*Setzt man  $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$  und betrachtet  $H_1(f) = 1$  als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
	*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:		*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass.  Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =
	\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm		\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm
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	Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite. Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen  $R$  und  $1/(j\omega C)$  gilt:		Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite.  Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen  $R$  und  $1/(j\omega C)$  gilt:
	:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =		:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =
	\frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega		\frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega
Zeile 120:		Zeile 120:
	*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.		*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.
	*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.		*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.
	[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Tiefpass– ~~und~~ Hochpass–Phasengang]]		[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Grün: Tiefpass–Phasengang<br>Violett:  Hochpass–Phasengang]]
	*Der unter  '''(2)'''  berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		*Der unter  '''(2)'''  berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /		:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /
Zeile 130:		Zeile 130:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f) = {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f) = {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$

	*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um  $\pi /2$  nach unten der gleiche Verlauf wie beim Tiefpass-System. Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um  $\pi /2$  nach oben.		*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um  $\pi /2$  nach unten der gleiche Verlauf wie beim Tiefpass-System.  Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um  $\pi /2$  nach oben.


Zeile 141:		Zeile 141:
	*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.		*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.
	*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.		*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.
	*Die Diracfunktion bewirkt, dass  $h_{\rm HP}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  unendlich groß ist. Dagegen gilt für  $t = \tau$:		*Die Diracfunktion bewirkt, dass  $h_{\rm HP}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  unendlich groß ist.  Dagegen gilt für  $t = \tau$:
	:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -		:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -
	{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$		{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2019, 17:29 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$.		*Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist  $H_{\rm TP}(f = 0) = 1$.
	*Für den Betragsfrequenzgang gilt:		*Für den Betragsfrequenzgang gilt:
	:$$\|H_{\rm TP}(f)\| = \frac{1}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$		:$$\|H_{\rm TP}(f)\| = \frac{1}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
	*Somit ist der Wert bei $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$ ist daher bei $f = f_{\rm G}$ nur halb so groß als bei $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für $f_{\rm G}$ zurückzuführen ist.		*Somit ist der Wert bei  $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion  $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$  ist daher bei  $f = f_{\rm G}$  nur halb so groß als bei  $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für  $f_{\rm G}$  zurückzuführen ist.
	*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:		*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:
	:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm		:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm
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	*Setzt man dieses Ergebnis in obige Gleichung ein, so ergibt sich:		*Setzt man dieses Ergebnis in obige Gleichung ein, so ergibt sich:
	:$$\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan\left(f / f_{\rm G}\right) .$$		:$$\varphi_{\rm TP}(f) = \arctan\left(f / f_{\rm G}\right) .$$
	*Der Verlauf ist ausgehend von $0$ (bei $f = 0$) über $\pi/2$ (bei $f = f_{\rm G}$) bis zu $\pi$ (bei $f \rightarrow \infty$) monoton steigend.		*Der Verlauf ist ausgehend von  $0$  $($bei  $f = 0)$  über  $\pi/2$  $($bei  $f = f_{\rm G})$  bis zu  $\pi$  $($bei  $f \rightarrow \infty)$  monoton steigend.


	'''(2)'''  Auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass–Signal als Differenz zweier TP–Signale dargestellt werden kann. ~~Gleiches gilt für Frequenzgänge:~~

			'''(2)'''  Auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass–Signal als Differenz zweier Tiefpass–Signale dargestellt werden kann.

	[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Spektrum]]		[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Spektrum]]
			Gleiches gilt für Frequenzgänge:
	:$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$		:$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$
	Setzt man $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$ und betrachtet $H_1(f) = 1$ als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:		*Setzt man  $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$  und betrachtet  $H_1(f) = 1$  als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
	Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen $H_1(f) = 1$ nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion $H_{\rm TP}(f)$ erhält man weiter:		*Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen  $H_1(f) = 1$  nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion  $H_{\rm TP}(f)$  erhält man weiter:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =
	\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm		\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm
	G}} .$$		G}} .$$
	Für $f = 0$ ergibt sich $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion $H_{\rm TP}(f)$ und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.		*Für  $f = 0$  ergibt sich  $H_{\rm HP}(f = 0) \;\underline{= 0}$. Anzumerken ist, dass die tatsächliche (komplexe) Funktion  $H_{\rm TP}(f)$  und nicht deren Betrag zu substrahieren ist. Daher ist die obige Skizze nur qualitativ zu verstehen.


	Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite. Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen $R$ und $1/(j\omega C)$ gilt:		Zum genau gleichen Ergebnis kommt man ausgehend von der konkreten Schaltung auf der Angabenseite. Entsprechend einem frequenzabhängigen Spannungsteiler mit den Widerständen  $R$  und  $1/(j\omega C)$  gilt:
	:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =		:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{R}{R + 1/({\rm j}\cdot \omega \cdot C)} =
	\frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega		\frac{{\rm j}\cdot \omega \cdot C \cdot R}{1+{\rm j} \cdot \omega
	\cdot C \cdot R} = \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j}		\cdot C \cdot R} = \frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j}
	\cdot f / f_{\rm G}}.$$		\cdot f / f_{\rm G}}.$$



Zeile 112:		Zeile 118:
	:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm		:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm
	G})^2}} .$$		G})^2}} .$$
	*Bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils $0.707$.		*Bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils  $0.707$.
	*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch: ~~demnach~~ müsste sich nämlich der Wert $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$ ergeben.		*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch:  Demnach müsste sich nämlich der Wert  $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$  ergeben.
	[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Phasengang]]		[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Phasengang]]
	*Der unter (2) berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		*Der unter  '''(2)'''  berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /		:$$H_{\rm HP}(f) = \frac{( f / f_{\rm G})^2 + {\rm j} \cdot f /
	f_{\rm G}}{{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$		f_{\rm G}}{{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
Zeile 124:		Zeile 130:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f) = {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm HP}(f) = {\rm arctan} (\frac{f}{f_{\rm G}}) - \frac{\pi}{2}= \varphi_{\rm TP}(f)- \frac{\pi}{2}.$$

	*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um $\pi /2$ nach unten der gleiche Verlauf wie beim TP-System. Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um $\pi /2$ nach oben.		*Bei positiven Frequenzen ergibt sich also bis auf eine Verschiebung um  $\pi /2$  nach unten der gleiche Verlauf wie beim Tiefpass-System. Da die Phasenfunktion ungerade ist, gibt es bei negativen Frequenzen eine Verschiebung um  $\pi /2$  nach oben.




	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Aufgrund der Linearität der Fourier(rück)transformation gilt für den Zeitverlauf für $t > 0$:		*Aufgrund der Linearität der Fourier(rück)transformation gilt für den Zeitverlauf für  $t > 0$:
	:$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot		:$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot
	{\rm e}^{-t / \tau} .$$		{\rm e}^{-t / \tau} .$$
	*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.		*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.
	*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.		*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.
	*Die Diracfunktion bewirkt, dass $h_{\rm HP}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ unendlich groß ist. Dagegen gilt für $t = \tau$:		*Die Diracfunktion bewirkt, dass  $h_{\rm HP}(t)$  zum Zeitpunkt  $t = 0$  unendlich groß ist. Dagegen gilt für  $t = \tau$:
	:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -		:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -
	{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$		{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$
	*Die letzte Aussage ist somit ebenfalls falsch.		*Die letzte Aussage ist somit aufgrund des Vorzeichens ebenfalls falsch.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2018, 17:53 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	*Für den Betragsfrequenzgang gilt:		*Für den Betragsfrequenzgang gilt:
	:$$\|H_{\rm TP}(f)\| = \frac{1}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$		:$$\|H_{\rm TP}(f)\| = \frac{1}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm G})^2}} .$$
	*Somit ist der Wert bei $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$ ist daher bei $f = f_{\rm G}$ nur halb so groß als bei $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB-Grenzfrequenz” für $f_{\rm G}$ zurückzuführen ist.		*Somit ist der Wert bei $f_{\rm G}$ gleich $\sqrt{1/2}$. Die Leistungsübertragungsfunktion $\|H_{\rm TP}(f)\|^2$ ist daher bei $f = f_{\rm G}$ nur halb so groß als bei $f = 0$, worauf die Bezeichnung &bdquo;3dB–Grenzfrequenz” für $f_{\rm G}$ zurückzuführen ist.
	*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:		*Die Phasenfunktion wird allgemein nach folgender Gleichung berechnet:
	:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm		:$$\varphi_{\rm TP}(f) = -\arctan\frac{{\rm Im}\left[H_{\rm
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	'''(2)'''  Auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass-Signal als Differenz zweier TP-Signale dargestellt werden kann. Gleiches gilt für Frequenzgänge:		'''(2)'''  Auf der Seite [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen#Eigenschaften_von_BP-Signalen\|Eigenschaften von Bandpass-Signalen]] wurde gezeigt, dass ein jedes Bandpass–Signal als Differenz zweier TP–Signale dargestellt werden kann. Gleiches gilt für Frequenzgänge:
	[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Spektrum]]		[[Datei:P_ID703__Sig_Z_4_1_b.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Spektrum]]
	:$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$		:$$H_{\rm BP}(f) = H_1(f) - H_2(f).$$
	Setzt man $H_2(f) = H_{TP}(f)$ und betrachtet $H_1(f) = 1$ als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit ~~unendlicher~~ Bandbreite, so ergibt sich:		Setzt man $H_2(f) = H_{\rm TP}(f)$ und betrachtet $H_1(f) = 1$ als Grenzfall einer Tiefpassfunktion mit unendlich großer Bandbreite, so ergibt sich:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_{\rm TP}(f).$$
	Wie die ~~obere~~ Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen $H_1(f) = 1$ nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion $H_{\rm TP}(f)$ erhält man weiter:		Wie die Grafik zeigt, ist das Ergebnis wegen $H_1(f) = 1$ nun ein Hochpass. Mit der vorgegebenen Tiefpassfunktion $H_{\rm TP}(f)$ erhält man weiter:
	:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =		:$$H_{\rm HP}(f) = 1 - \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm G}} =
	\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm		\frac{{\rm j} \cdot f / f_{\rm G}}{1 + {\rm j} \cdot f / f_{\rm
Zeile 109:		Zeile 109:
	:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm		:$$\|H_{\rm HP}(f)\| = \frac{\|f / f_{\rm G}\|}{\sqrt{1 + ( f / f_{\rm
	G})^2}} .$$		G})^2}} .$$
	*Bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ sind somit die Beträge von Hochpass- und Tiefpass-Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils $0.707$. Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch: demnach müsste sich nämlich der Wert $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$ ergeben.		*Bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ sind somit die Beträge von Hochpass– und Tiefpass–Frequenzgang gleich groß, und zwar jeweils $0.707$.
			*Dagegen ist die erste Aussage offensichtlich falsch: demnach müsste sich nämlich der Wert $\|H_{HP}(f = f_{\rm G})\| = 1 – 0.707 \approx 0.293$ ergeben.
	[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Phasengang]]		[[Datei:P_ID919__Sig_Z_4_1_c.png\|right\|frame\|Tiefpass– und Hochpass–Phasengang]]
	*Der unter (2) berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:		*Der unter (2) berechnete Frequenzgang kann auch wie folgt dargestellt werden:
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	:$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot		:$$h_{\rm HP}(t) = h_1(t) - h_2(t)= \delta(t) - \frac{1}{\tau}\cdot
	{\rm e}^{-t / \tau} .$$		{\rm e}^{-t / \tau} .$$
	*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”. Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP-Impulsantwort. Die Diracfunktion bewirkt, dass $h_{\rm HP}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ unendlich groß ist. Dagegen gilt für $t = \tau$:		*Die Diracfunktion ist die Fourierrücktransformierte der konstanten Frequenzfunktion „1”.
			*Der zweite Anteil ist bis auf das Vorzeichen identisch mit der TP–Impulsantwort.
			*Die Diracfunktion bewirkt, dass $h_{\rm HP}(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ unendlich groß ist. Dagegen gilt für $t = \tau$:
	:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -		:$$h_{\rm HP}(t = \tau) = - \frac{1}{\tau}\cdot {\rm e}^{-1} = -
	{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$		{{\rm e}\cdot \tau}^{-1}.$$