Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Juli 2022 um 15:41 Uhr

2022-07-13T15:41:54Z

Guenter am 13. Juli 2022 um 15:33 Uhr

2022-07-13T15:33:09Z

Guenter am 10. März 2019 um 17:32 Uhr

2019-03-10T17:32:39Z

Guenter am 10. März 2019 um 17:32 Uhr

2019-03-10T17:32:04Z

Guenter am 10. März 2019 um 17:26 Uhr

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Guenter am 10. März 2019 um 17:25 Uhr

2019-03-10T17:25:05Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:31:58Z

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Guenter am 9. November 2017 um 07:34 Uhr

2017-11-09T07:34:51Z

Guenter am 9. November 2017 um 07:27 Uhr

2017-11-09T07:27:13Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der einzige Unterschied zur Aufgabe 4.1 ist die unterschiedliche Nummerierung der Signale $s_i(t)$.
+'''(1)'''&nbsp; Der einzige Unterschied zur Aufgabe 4.1 ist die unterschiedliche Nummerierung der Signale&nbsp; $s_i(t)$.
-*Damit ist offensichtlich, dass auch hier $\underline {N = 3}$ gelten muss.
+*Damit ist offensichtlich,&nbsp; dass auch hier&nbsp; $\underline {N = 3}$&nbsp; gelten muss.
-'''(2)'''&nbsp; Die 2&ndash;Norm gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen.
+'''(2)'''&nbsp; Die&nbsp; "2&ndash;Norm"&nbsp; gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen.
-*Die ersten drei Signale haben alle die 2&ndash;Norm
+*Die ersten drei Signale haben alle die&nbsp; "2&ndash;Norm"
 :$$||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = \sqrt{A^2 \cdot T}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {  = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer:
+*Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor&nbsp; $\sqrt{2}$&nbsp; größer:
 :$$||s_4(t)|| \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die <u>erste und die letzte Aussage sind zutreffend</u> im Gegensatz zu den Aussagen 2 und 3:
+'''(3)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>erste und die letzte Aussage sind zutreffend</u>&nbsp; im Gegensatz zu den Aussagen 2 und 3:
-* Es wäre völlig unlogisch, wenn die gefundenen Basisfunktionen bei anderer Sortierung der Signale $s_i(t)$ nicht mehr gelten sollten.
+* Es wäre völlig unlogisch,&nbsp; wenn die gefundenen Basisfunktionen bei anderer Sortierung der Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; nicht mehr gelten sollten.
 * Das Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren liefert nur einen möglichen Basisfunktionssatz $\{\varphi_{\it j}(t)\}$. Bei anderer Sortierung ergibt sich (möglicherweise) ein anderer.
-*Die Anzahl der Permutationen von &nbsp;$M = 4$&nbsp; Signalen ist &nbsp;$4! = 24$. Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben &nbsp; &rArr; &nbsp; der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
+* Das Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren liefert nur einen möglichen Basisfunktionssatz&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\}$.&nbsp; Bei anderer Sortierung ergibt sich&nbsp; (möglicherweise)&nbsp; ein anderer.
 * Wahrscheinlich gibt es (wegen $N = 3$) aber nur $3! = 6$ mögliche Basisfunktionssätze. Wie aus der [[Aufgaben:4.1_Gram-Schmidt-Verfahren| Musterlösung]] zur Aufgabe 4.1 ersichtlich ist, werden sich mit der Reihenfolge $s_1(t), s_2(t), s_4(t), s_3(t)$ die gleichen Basisfunktionen ergeben wie mit $s_1(t), s_2(t), s_3(t), s_4(t)$. Dies ist aber nur eine Vermutung der Autoren; wir haben es nicht überprüft.
-* Die Aussage 3 kann allein schon wegen den unterschiedlichen Einheiten von $s_i(t)$ und $\varphi_{\it j}(t)$ nicht stimmen. Die Signale weisen wie $A$ die Einheit $\sqrt{\rm W}$ auf, die Basisfunktionen die Einheit $\sqrt{\rm 1/s}$.
+*Die Anzahl der Permutationen von &nbsp;$M = 4$&nbsp; Signalen ist &nbsp;"$4! = 24$".&nbsp; Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben &nbsp; &rArr; &nbsp; der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
 * Richtig ist somit die letzte Lösungsalternative, wobei für $K$ gilt:
 :$$K = ||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws} \hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}}
-[[Datei:P_ID1996__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Einige energiebegrenzte Signale]]
+[[Datei:P_ID1996__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Energiebegrenzte Signale]]
-Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe 4.1]]:
+Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_Gram-Schmidt-Verfahren| "Aufgabe 4.1"]]:
-Für&nbsp; $M = 4$&nbsp; energiebegrenzte Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; mit&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 4$&nbsp; sollen die&nbsp; $N$&nbsp; erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen:
+Für&nbsp; $M = 4$&nbsp; energiebegrenzte Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; mit&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 4$&nbsp; sollen die&nbsp; $N$&nbsp; erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; gefunden werden,&nbsp; die folgende Bedingung erfüllen müssen:
 :$$< \hspace{-0.1cm} \varphi_j(t), \hspace{0.1cm}\varphi_k(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t) \cdot \varphi_k(t)\, {\rm d} t = {\rm \delta}_{jk} =
 \left\{ \begin{array}{c} 1 \\
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit&nbsp; $M$&nbsp; Sendesignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; können bereits weniger Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; ausreichen, nämlich&nbsp; $N$. Allgemein gilt also&nbsp; $N &#8804; M$.
+Mit&nbsp; $M$&nbsp; Sendesignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; können bereits weniger Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; ausreichen, nämlich&nbsp; $N$.&nbsp; Allgemein gilt also&nbsp; $N &#8804; M$.
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
-* Verwenden Sie für numerische Berechnungen: &nbsp; $A = 1 \sqrt{\rm W} ,  \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm &micro; s}  \hspace{0.05cm}.  $
+* Verwenden Sie für numerische Berechnungen&nbsp; $A = 1 \sqrt{\rm W} ,  \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm &micro; s}  \hspace{0.05cm}.  $
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{In Aufgabe 4.1 hat das Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren zu&nbsp; $N = 3$&nbsp; Basisfunktionen geführt. Wieviele Basisfunktionen benötigt man hier?
+{In der Aufgabe 4.1 hat das Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren zu&nbsp; $N = 3$&nbsp; Basisfunktionen geführt.&nbsp; Wieviele Basisfunktionen benötigt man hier?
 |type="{}"}
 $N \ = \ $  { 3 3% }
-{Geben Sie die 2&ndash;Norm aller Signale an:
+{Geben Sie die&nbsp; "2&ndash;Norm"&nbsp; aller Signale an:
 |type="{}"}
 $||s_1(t)|| \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \ 10^{\rm &ndash;3} \ \rm \sqrt{Ws}$
@@ Zeile 46: / Zeile 45: @@
 |type="[]"}
 + Die in Aufgabe 4.1 berechneten Basisfunktionen sind auch hier geeignet.
-- Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für&nbsp; $\{\varphi_1(t),&nbsp; \varphi_2(t),&nbsp; \varphi_3(t)\}$.
+- Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für&nbsp; $\{\varphi_1(t),\ \varphi_2(t),\ \varphi_3(t)\}$.
-- Ein möglicher Satz lautet&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)\}$, mit&nbsp; $j = 1, 2, 3$.
+- Ein möglicher Satz lautet&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)\}$,&nbsp; mit&nbsp; $j = 1,\ 2,\ 3$.
-+ Ein möglicher Satz lautet&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$, mit&nbsp; $j = 1, 2, 3$.
++ Ein möglicher Satz lautet&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$,&nbsp; mit&nbsp; $j = 1,\ 2,\ 3$.
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_4(t)$, bezogen auf die Basisfunktionen&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$, mit&nbsp; $j = 1, 2, 3$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_4(t)$&nbsp; bezogen auf die Basisfunktionen&nbsp; $\{\varphi_{\it j}(t)\} = \{s_{\it j}(t)/K\}$,&nbsp; mit&nbsp; $j = 1,\ 2,\ 3$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 41} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \ 10^{\rm &ndash;3} \ \rm \sqrt{Ws}$

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 Mit&nbsp; $M$&nbsp; Sendesignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; können bereits weniger Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; ausreichen, nämlich&nbsp; $N$. Allgemein gilt also&nbsp; $N &#8804; M$.
-Es handelt sich hier um die genau gleichen energiebegrenzten Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; wie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.1_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe 4.1]]:
+Es handelt sich hier um die genau gleichen energiebegrenzten Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe 4.1]]:
 *Der Unterschied ist die unterschiedliche Reihenfolge der Signale&nbsp; $s_i(t)$.
 *Diese sind in dieser Aufgabe so sortiert, dass die Basisfunktionen auch ohne Anwendung des umständlicheren&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt| Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens]]&nbsp; gefunden werden können.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der einzige Unterschied zur Aufgabe 4.1 ist die unterschiedliche Nummerierung der Signale $s_i(t)$. Damit ist offensichtlich, dass auch hier $\underline {N = 3}$ gelten muss.
+'''(1)'''&nbsp; Der einzige Unterschied zur Aufgabe 4.1 ist die unterschiedliche Nummerierung der Signale $s_i(t)$.
-'''(2)'''&nbsp; Die 2&ndash;Norm gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen. Die ersten drei Signale haben alle die 2&ndash;Norm
+'''(2)'''&nbsp; Die 2&ndash;Norm gibt die Wurzel aus der Signalenergie an und ist vergleichbar mit dem Effektivwert bei leistungsbegrenzten Signalen.
 :$$||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = \sqrt{A^2 \cdot T}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {  = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer:
+*Die Norm des letzten Signals ist um den Faktor $\sqrt{2}$ größer:
 :$$||s_4(t)|| \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414 \cdot 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
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 * Es wäre völlig unlogisch, wenn die gefundenen Basisfunktionen bei anderer Sortierung der Signale $s_i(t)$ nicht mehr gelten sollten.
 * Das Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren liefert nur einen möglichen Basisfunktionssatz $\{\varphi_{\it j}(t)\}$. Bei anderer Sortierung ergibt sich (möglicherweise) ein anderer.
-*Die Anzahl der Permutationen von $M = 4$ Signalen ist $4! = 24$. Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben. Daraus folgt: der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
+*Die Anzahl der Permutationen von &nbsp;$M = 4$&nbsp; Signalen ist &nbsp;$4! = 24$. Mehr Basisfunktionssätze kann es auf keinen Fall geben &nbsp; &rArr; &nbsp; der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
 * Wahrscheinlich gibt es (wegen $N = 3$) aber nur $3! = 6$ mögliche Basisfunktionssätze. Wie aus der [[Aufgaben:4.1_Gram-Schmidt-Verfahren| Musterlösung]] zur Aufgabe 4.1 ersichtlich ist, werden sich mit der Reihenfolge $s_1(t), s_2(t), s_4(t), s_3(t)$ die gleichen Basisfunktionen ergeben wie mit $s_1(t), s_2(t), s_3(t), s_4(t)$. Dies ist aber nur eine Vermutung der Autoren; wir haben es nicht überprüft.
 * Die Aussage 3 kann allein schon wegen den unterschiedlichen Einheiten von $s_i(t)$ und $\varphi_{\it j}(t)$ nicht stimmen. Die Signale weisen wie $A$ die Einheit $\sqrt{\rm W}$ auf, die Basisfunktionen die Einheit $\sqrt{\rm 1/s}$.
 * Richtig ist somit die letzte Lösungsalternative, wobei für $K$ gilt:
 :$$K = ||s_1(t)|| = ||s_2(t)|| = ||s_3(t)|| = 10^{-3}\sqrt{\rm Ws} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Aus dem Vergleich der Diagramme auf der Angabenseite erkennt man:
 :$$s_{4}(t)  = s_{1}(t) - s_{2}(t) = K \cdot \varphi_1(t) - K \cdot \varphi_2(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Weiterhin gilt:
+*Weiterhin gilt:
 :$$s_{4}(t)  = s_{41}\cdot \varphi_1(t) + s_{42}\cdot \varphi_2(t) + s_{43}\cdot \varphi_3(t)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{41} = K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}s_{42} = -K \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= -10^{-3}\sqrt{\rm Ws}}\hspace{0.05cm},

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID1996__Dig_Z_4_1.png|right|frame|Einige energiebegrenzte Signale]]
-Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die&nbsp; [[Aufgaben:4.1_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe 4.1]]:
+Diese Aufgabe verfolgt das genau gleiche Ziel wie die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_Gram-Schmidt-Verfahren| Aufgabe 4.1]]:
 Für&nbsp; $M = 4$&nbsp; energiebegrenzte Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; mit&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 4$&nbsp; sollen die&nbsp; $N$&nbsp; erforderlichen orthonormalen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; gefunden werden, die folgende Bedingung erfüllen müssen:

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Verwenden Sie für numerische Berechnungen: $A = 1 \sqrt{\rm W} ,  \hspace{0.2cm} T = 1\,{\rm \mu s}  \hspace{0.05cm}.  $

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(kein Unterschied)

@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 $s_{\rm 41} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot \ 10^{\rm &ndash;3} \ \rm \sqrt{Ws}$
 $s_{\rm 42} \ = \ $ { -1.03--0.97 } $\ \cdot \ 10^{\rm &ndash;3} \ \rm \sqrt{Ws}$
-$s_{\rm 43} \ = \ $ { 3 3% } $\  \rm \sqrt{Ws}$
+$s_{\rm 43} \ = \ $ { 0. } $\ \cdot \ 10^{\rm &ndash;3} \ \rm \sqrt{Ws}$
 </quiz>
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
-[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.1 Signale, Basisfunktionen, Vektorräume^]]
+[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.1 Basisfunktionen & Vektorräume^]]

Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Juli 2022 um 15:41 Uhr

Guenter am 13. Juli 2022 um 15:33 Uhr

Guenter am 10. März 2019 um 17:32 Uhr

Guenter am 10. März 2019 um 17:32 Uhr

Guenter am 10. März 2019 um 17:26 Uhr

Guenter am 10. März 2019 um 17:25 Uhr

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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Guenter am 9. November 2017 um 07:34 Uhr

Guenter am 9. November 2017 um 07:27 Uhr

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