Aufgaben:Aufgabe 4.1Z: Übertragungsmaß - Versionsgeschichte

Guenter am 6. November 2021 um 16:36 Uhr

2021-11-06T16:36:02Z

Guenter am 6. November 2021 um 16:03 Uhr

2021-11-06T16:03:36Z

Guenter am 6. November 2021 um 15:56 Uhr

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Guenter am 6. November 2019 um 13:16 Uhr

2019-11-06T13:16:31Z

Guenter am 6. November 2019 um 13:02 Uhr

2019-11-06T13:02:53Z

Guenter am 28. November 2018 um 15:02 Uhr

2018-11-28T15:02:01Z

Guenter am 28. November 2018 um 14:50 Uhr

2018-11-28T14:50:13Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 12:28 Uhr

2018-03-28T12:28:16Z

Änderungen zeigen

Guenter am 28. März 2018 um 11:49 Uhr

2018-03-28T11:49:57Z

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 :$$\gamma(f)  =  \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot 2\pi f \cdot  L\hspace{0.05cm}')  \cdot  (G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}  \cdot  2\pi f \cdot   C\hspace{0.08cm}')} =
   \alpha (f) + {\rm j}   \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$
 Der Realteil von &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ergibt
-*das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$,&nbsp; und
+*Der Realteil von &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ergibt das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$,&nbsp; und
 *der Imaginärteil das Phasenmaß &nbsp;$\beta(f)$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein, so erhält man
+'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein,&nbsp; so erhält man
 :$$\alpha(f = 0)    =  [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{{1}/{2}\hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  G\hspace{0.03cm}'+ {1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}
   G\hspace{0.03cm}'} =  [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  \sqrt{ R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  G\hspace{0.03cm}'} =   [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  \sqrt{ 100\,{\rm \Omega/km} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  10^{-6}\,{\rm (\Omega \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  km})^{-1}}
@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 Die Gleichsignaldämpfung wird relevant,
-*wenn das Nutzsignal im Basisband übertragen werden soll und einen Gleichanteil besitzt, oder
+*wenn das Nutzsignal im Basisband übertragen werden soll und einen Gleichanteil besitzt,&nbsp; oder
-*wenn der Netzabschluss beim Teilnehmer von der Ortsvermittlungsstelle aus mit Leistung versorgt werden muss (Fernspeisung).
+*wenn der Netzabschluss beim Teilnehmer von der Ortsvermittlungsstelle aus mit Leistung versorgt werden muss&nbsp; ("Fernspeisung").
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-'''(3)'''&nbsp; Der Grenzübergang für&nbsp; $f  &#8594; \infty$&nbsp; ergibt sich, wenn man im Zähler&nbsp; $R\hspace{0.03cm}'$&nbsp; und im Nenner&nbsp; $G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt:
+'''(3)'''&nbsp; Der Grenzübergang für&nbsp; $f  &#8594; \infty$&nbsp; ergibt sich,&nbsp; wenn man im Zähler&nbsp; $R\hspace{0.03cm}'$&nbsp; und im Nenner&nbsp; $G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt:
 :$$\lim_{f \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} Z_{\rm W}(f)
   = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm}  \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' + {\rm j}   \cdot \omega L'}{G' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.03cm}'}}
@@ Zeile 136: / Zeile 136: @@
   \left [-1 +\sqrt{1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2}} \hspace{0.1cm}
   \right].$$
-*Über die für kleine&nbsp; $x$&nbsp; gültige Näherung&nbsp; $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$&nbsp; kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen:
+*Über die für kleine&nbsp; $x$&nbsp; gültige Näherung &nbsp; $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$ &nbsp; kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen:
 :$$2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty)    =   R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.05cm}' + \omega^2 \cdot L'
   C\hspace{0.05cm}'\cdot
@@ Zeile 168: / Zeile 168: @@
    {1}/{2} \cdot f \cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; außer bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; vernachlässigt werden kann.
+*Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; außer bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; vernachlässigt werden kann.
 *Für die Frequenz&nbsp; $f = 1 \ \rm kHz$&nbsp; ergibt sich die Näherung
 :$$\alpha(f = 1\,{\rm kHz})   = \sqrt{

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 [[Datei:P_ID1798__LZI_Z_4_1.png|right|frame|Kurzer Leitungsabschnitt]]
-Wir gehen von einer homogenen und reflektionsfrei abgeschlossenen Leitung der Länge&nbsp; $l$&nbsp; aus, so dass für die Spektralfunktion am Ausgang gilt:
+Wir gehen von einer homogenen und reflektionsfrei abgeschlossenen Leitung der Länge&nbsp; $l$&nbsp; aus,&nbsp; so dass für die Spektralfunktion am Ausgang gilt:
 :$$U_2(f)  =  U_1(f) \cdot  {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}  \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei beschreibt &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge &nbsp;$dx$, das man mit den Belägen &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$ (siehe Grafik) wie folgt darstellen kann:
+Hierbei beschreibt &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge &nbsp;$dx$,&nbsp; das man mit den Belägen &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$ (siehe Grafik) wie folgt darstellen kann:
 :$$\gamma(f)  =  \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot 2\pi f \cdot  L\hspace{0.05cm}')  \cdot  (G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}  \cdot  2\pi f \cdot   C\hspace{0.08cm}')} =
   \alpha (f) + {\rm j}   \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$
 Der Realteil von &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ergibt
-*das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp;, und
+*das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$,&nbsp; und
 *der Imaginärteil das Phasenmaß &nbsp;$\beta(f)$.
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
    {1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2)}}
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
-Bei der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist zusätzlich die Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo;&nbsp; (Np) hinzuzufügen und bei der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp;  &bdquo;Radian&rdquo; (rad).&nbsp;  Da die Leitungsbeläge jeweils auf die Leitungslänge bezogen sind, weisen &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$\beta(f)$&nbsp; die Einheiten &bdquo;Np/km&rdquo; bzw. &bdquo;rad/km&rdquo; auf.
+*Bei der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist zusätzlich die Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo;&nbsp; (Np) hinzuzufügen und bei der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp;  &bdquo;Radian&rdquo; (rad).&nbsp;
 Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße neben &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ist der Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$, der an jedem Ort den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom der beiden laufenden Wellen angibt. Es gilt:
 :$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.08cm}'}}
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie &nbsp;$\alpha(f)$, &nbsp;$\beta(f)$ und &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; für die Frequenz &nbsp;$f  = 0$ (Gleichstrom) an.
+{Geben Sie &nbsp;$\alpha(f)$, &nbsp;$\beta(f)$ und &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; für die Frequenz &nbsp;$f  = 0$&nbsp; ("Gleichstrom")&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $\alpha(f =0) \ =$  { 0.01 3% } $\ \rm Np/km$
@@ Zeile 66: / Zeile 68: @@
-{Leiten Sie mit &nbsp;$\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und  &nbsp;$\omega C\hspace{0.08cm}' \gg G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; eine &nbsp;$\alpha(f)$&ndash; Näherung für (nicht zu) kleine Frequenzen ab. <br>Welches Dämpfungsmaß ergibt sich für &nbsp;$ f = 1 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$ f = 4 \ \rm kHz$.
+{Leiten Sie mit &nbsp;$\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und  &nbsp;$\omega C\hspace{0.08cm}' \gg G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; eine &nbsp;$\alpha(f)$&ndash; Näherung für&nbsp; (nicht zu)&nbsp; kleine Frequenzen ab. <br>Welches Dämpfungsmaß ergibt sich für &nbsp;$ f = 1 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$ f = 4 \ \rm kHz$.
 |type="{}"}
 $\alpha(f = 1\  \rm kHz) \ = \ $  { 0.1 3% } $\ \rm Np/km$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz $f = 0$ ein, so erhält man
+'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebenen Gleichungen die Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ein, so erhält man
 :$$\alpha(f = 0)    =  [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \sqrt{{1}/{2}\hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  G\hspace{0.03cm}'+ {1}/{2}\cdot R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}
   G\hspace{0.03cm}'} =  [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  \sqrt{ R\hspace{0.03cm}' \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  G\hspace{0.03cm}'} =   [1\,{\rm Np}] \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  \sqrt{ 100\,{\rm \Omega/km} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  10^{-6}\,{\rm (\Omega \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  km})^{-1}}
@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
-'''(2)'''&nbsp; Mit $f = 10^{5} \ \rm  Hz$ und den angegebenen Werten gilt
+'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $f = 10^{5} \ \rm  Hz$&nbsp; und den angegebenen Werten gilt
 :$$f \cdot  2\pi  L'  =  10^5\,\frac{1}{ {\rm s}} \cdot 2 \cdot
 ^{-3}\,\frac{\rm \Omega \cdot s}{ {\rm km}}= 200 \,\frac{\rm
@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
-'''(3)'''&nbsp; Der Grenzübergang bezüglich des Wellenwiderstands für $f  &#8594; \infty$ ergibt sich, wenn man im Zähler $R\hspace{0.03cm}'$ und im Nenner $G\hspace{0.03cm}'$ gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt:
+'''(3)'''&nbsp; Der Grenzübergang für&nbsp; $f  &#8594; \infty$&nbsp; ergibt sich, wenn man im Zähler&nbsp; $R\hspace{0.03cm}'$&nbsp; und im Nenner&nbsp; $G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; gegenüber den jeweils zweiten Term vernachlässigt:
 :$$\lim_{f \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm} Z_{\rm W}(f)
   = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \hspace{0.1cm}  \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' + {\rm j}   \cdot \omega L'}{G' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.03cm}'}}
   =\sqrt{\frac {2 \pi L\hspace{0.03cm}' }{2 \pi C\hspace{0.03cm}'}}=\sqrt{\frac {2 \cdot 10^{-3}\,{\rm \Omega \cdot s} }
   {2 \cdot 10^{-73}\,{\rm s/\Omega} }} \hspace{0.15cm}\underline{= 100\,{\rm \Omega }}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Näherung für die Dämpfungsfunktion ist schwieriger herzuleiten. Ausgehend von
+*Die Näherung für die Dämpfungsfunktion ist schwieriger herzuleiten. Ausgehend von
 :$$\alpha(\omega)  =  \sqrt{ {1}/{2}\cdot \left (R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'  C\hspace{0.03cm}'\right)+
    {1}/{2}\sqrt{(R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2) \cdot (G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}'^2)}}$$
-gilt dann ebenfalls:
+:gilt dann ebenfalls:
-:$$2 \cdot \alpha^2(\omega)    =   R' G' + \omega^2 \cdot L'
+:$$2 \cdot \alpha^2(\omega)    =   R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' + \omega^2 \cdot L'
   C'\cdot
-  \left [-1 +\sqrt{(1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}) \cdot (1 + \frac{G'^2}{ \omega^2 \cdot C'^2})} \hspace{0.1cm}
+  \left [-1 +\sqrt{(1 + \frac{R\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'^2}) \cdot (1 + \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2})} \hspace{0.1cm}
   \right]$$
-:$$\Rightarrow \; \; 2 \cdot \alpha^2(\omega)      \approx   R' G' + \omega^2 \cdot L'
+:$$\Rightarrow \; \; 2 \cdot \alpha^2(\omega)      \approx   R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' + \omega^2 \cdot L'
-  C'\cdot
+  C\hspace{0.03cm}'\cdot
-  \left [-1 +\sqrt{1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G'^2}{ \omega^2 \cdot C'^2}} \hspace{0.1cm}
+  \left [-1 +\sqrt{1 + \frac{R'^2}{ \omega^2 \cdot L'^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'^2}} \hspace{0.1cm}
   \right].$$
-Über die für kleine $x$ gültige Näherung $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$ kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen:
+*Über die für kleine&nbsp; $x$&nbsp; gültige Näherung&nbsp; $\sqrt{1 + x}\approx 1+x/2$&nbsp; kommt man zum Zwischenergebnis für (unendlich) große Frequenzen:
-:$$2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty)    =   R' G' + \omega^2 \cdot L'
+:$$2 \cdot \alpha^2(\omega \rightarrow \infty)    =   R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.05cm}' + \omega^2 \cdot L'
-  C'\cdot
+  C\hspace{0.05cm}'\cdot
   \left [ -1 +1 + {1}/{2} \cdot  \left ( \frac{R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{ \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}+ \frac{G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}{ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2}
   \right) \hspace{0.1cm}
@@ Zeile 146: / Zeile 146: @@
     {1}/{2}\cdot \frac{R\hspace{0.03cm}' C\hspace{0.03cm}' + G\hspace{0.03cm}'  L\hspace{0.03cm}'}{\sqrt{ C\hspace{0.03cm}'  L\hspace{0.03cm}' }}=
     {1}/{2}\cdot \left [R\hspace{0.03cm}' \cdot \sqrt{\frac{C\hspace{0.03cm}'}{L\hspace{0.03cm}'}}+G\hspace{0.03cm}' \cdot \sqrt{\frac{L\hspace{0.03cm}'}{C\hspace{0.03cm}'}}\right]\hspace{0.05cm}.$$
-Mit den eingesetzten Zahlenwerten ergibt sich
+*Mit den eingesetzten Zahlenwerten ergibt sich
 :$$\alpha(f \rightarrow \infty)   =  \alpha(\omega \rightarrow \infty)
   =  {0.5\,{\rm Np/km}}\cdot \left [100 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot10^{-3}}}+10^{-6} \cdot
@@ Zeile 154: / Zeile 154: @@
-'''(4)'''&nbsp; Für kleine Frequenzen gilt &nbsp;$\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.03cm}'$&nbsp; und &nbsp;$ \omega C\hspace{0.03cm}' \gg G\hspace{0.03cm}'$. Unter Vernachlässigung des $\omega^2$&ndash;Anteils erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Für kleine Frequenzen gilt &nbsp;$\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.03cm}'$&nbsp; und &nbsp;$ \omega C\hspace{0.03cm}' \gg G\hspace{0.03cm}'$.
 :$$\alpha(f)    =  \sqrt{\frac {1}{2}\cdot \left (R\hspace{0.03cm}' G\hspace{0.03cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'  C\hspace{0.03cm}'\right)+
   \frac {1}{2}\sqrt{(R\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2) \cdot (G\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2+ \omega^2 \cdot C\hspace{0.03cm}'\hspace{0.03cm}^2)}}
@@ Zeile 165: / Zeile 166: @@
    {1}/{2} \cdot f \cdot R\hspace{0.03cm}' \cdot 2 \pi C\hspace{0.03cm}'}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe '''(1)''' außer bei der Frequenz $f = 0$ direkt vernachlässigt werden kann.
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass der erste Anteil gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; außer bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; vernachlässigt werden kann.
-*Für die Frequenz $f = 1 \ \rm kHz$ ergibt sich die Näherung
+*Für die Frequenz&nbsp; $f = 1 \ \rm kHz$&nbsp; ergibt sich die Näherung
 :$$\alpha(f = 1\,{\rm kHz})   = \sqrt{
    {1}/{2} \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 100\,\frac{\rm \Omega }{ {\rm km}} \cdot 2 \cdot 10^{-7}
@@ Zeile 172: / Zeile 173: @@
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm Np }/{ {\rm km}}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Für die Frequenz $f = 1 \ \rm kHz$ ist das Dämpfungsmaß doppelt so groß:
+*Für die Frequenz&nbsp; $f = 4 \ \rm kHz$&nbsp; ist das Dämpfungsmaß doppelt so groß:
 :$$\alpha(f = 4\,{\rm kHz})  \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.2\,{\rm Np }/{ {\rm km}}}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 183: / Zeile 184: @@
   C\hspace{0.03cm}'}}= (1 - {\rm j})\cdot \sqrt{\frac {R\hspace{0.03cm}' }{  2 \cdot f \cdot 2 \pi
   C\hspace{0.03cm}'}}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit den angegebenen Leitungsbeschlägen erhält man:
+*Mit den angegebenen Leitungsbeschlägen erhält man:
 :$${\rm Re}\{Z_{\rm W}(f= 1\,{\rm kHz})\}  =   \sqrt{\frac {100\,{\rm \Omega/km }}{  2 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} \cdot 2 \cdot 10^{-7}
   \,{\rm s/(\Omega \cdot km) }}} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\,{\rm

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 Wir gehen von einer homogenen und reflektionsfrei abgeschlossenen Leitung der Länge&nbsp; $l$&nbsp; aus, so dass für die Spektralfunktion am Ausgang gilt:
 :$$U_2(f)  =  U_1(f) \cdot  {\rm e}^{-\hspace{0.02cm}\gamma(f) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}  \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei beschreibt &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge &nbsp;$dx$, das man mit den Belägen &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.05cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$ (siehe Grafik) wie folgt darstellen kann:
+Hierbei beschreibt &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; das Übertragungsmaß einer extrem kurzen Leitung der infinitesimalen Länge &nbsp;$dx$, das man mit den Belägen &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$ (siehe Grafik) wie folgt darstellen kann:
-:$$\gamma(f)  =  \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot 2\pi f \cdot  L\hspace{0.05cm}')  \cdot  (G\hspace{0.05cm}' + {\rm j}  \cdot  2\pi f \cdot   C\hspace{0.05cm}')} =
+:$$\gamma(f)  =  \sqrt{(R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot 2\pi f \cdot  L\hspace{0.05cm}')  \cdot  (G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}  \cdot  2\pi f \cdot   C\hspace{0.08cm}')} =
   \alpha (f) + {\rm j}   \cdot \beta (f)\hspace{0.05cm}.$$
-Der Realteil von &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ergibt das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; und der Imaginärteil das Phasenmaß &nbsp;$\beta(f)$. Nach einiger Rechnung kann man für diese Größen schreiben:
+Der Realteil von &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ergibt
-:$$\alpha(f)  =  \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.05cm}' - \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'  \cdot C\hspace{0.05cm}'\right)+
+*das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp;, und
-   {1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2)}}
+*der Imaginärteil das Phasenmaß &nbsp;$\beta(f)$.
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi
   f},$$
-:$$\beta(f)  =  \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (-R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.05cm}' + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'  C\hspace{0.05cm}'\right)+
+:$$\beta(f)  =  \sqrt{{1}/{2}\cdot \left (-R\hspace{0.05cm}' \cdot G\hspace{0.08cm}' + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'  C\hspace{0.08cm}'\right)+
-   {1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2)}}
+   {1}/{2}\cdot \sqrt{(R\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot L\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^2) \cdot (G\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2 + \omega^2 \cdot C\hspace{0.08cm}'\hspace{0.05cm}^2)}}
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm}\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
-Bei der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist zusätzlich die Pseudoeinheit &bdquo;Neper (Np)&rdquo; hinzuzufügen und bei der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp;  &bdquo;Radian (rad)&rdquo;.  Da die Leitungsbeläge jeweils auf die Leitungslänge bezogen sind, weisen &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$\beta(f)$&nbsp; die Einheiten &bdquo;Np/km&rdquo; bzw. &bdquo;rad/km&rdquo; auf.
+Bei der Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist zusätzlich die Pseudoeinheit &bdquo;Neper&rdquo;&nbsp; (Np) hinzuzufügen und bei der Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp;  &bdquo;Radian&rdquo; (rad).&nbsp;  Da die Leitungsbeläge jeweils auf die Leitungslänge bezogen sind, weisen &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$\beta(f)$&nbsp; die Einheiten &bdquo;Np/km&rdquo; bzw. &bdquo;rad/km&rdquo; auf.
 Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße neben &nbsp;$\gamma(f)$&nbsp; ist der Wellenwiderstand &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$, der an jedem Ort den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom der beiden laufenden Wellen angibt. Es gilt:
-:$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.05cm}'}}
+:$$Z_{\rm W}(f)  =  \sqrt{\frac {R\hspace{0.05cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  L\hspace{0.05cm}'}{G\hspace{0.08cm}' + {\rm j}   \cdot \omega  C\hspace{0.08cm}'}}
   \hspace{0.1cm}\bigg |_{\hspace{0.05cm} \omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}.$$
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 *Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen jeweils die Zahlenwerte
-:$$R\hspace{0.03cm}' = 100\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$R\hspace{0.05cm}' = 100\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+  G\hspace{0.08cm}' = 1\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 \pi  L\hspace{0.03cm}' = 2\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}}  \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-\pi  C\hspace{0.03cm}' = 200\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
+\pi  C\hspace{0.08cm}' = 200\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
   \hspace{0.05cm}.$$
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-{Geben Sie für &nbsp;$f  &#8594; \infty$&nbsp; gültige Näherungen für &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; und &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; an.
+{Geben Sie die für &nbsp;$f  &#8594; \infty$&nbsp; gültigen Näherungen von &nbsp;$Z_{\rm W}(f)$&nbsp; und &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $ Z_{\rm W}(f &#8594; \infty) \ = \ $  { 100 3% } $\ \rm \Omega$
@@ Zeile 61: / Zeile 66: @@
-{Leiten Sie mit &nbsp;$\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.03cm}'$&nbsp; und  &nbsp;$\omega C\hspace{0.03cm}' \gg G\hspace{0.03cm}'$&nbsp; eine &nbsp;$\alpha(f)$&ndash; Näherung für (nicht zu) kleine Frequenzen ab. <br>Welches Dämpfungsmaß ergibt sich für &nbsp;$ f = 1 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$ f = 4 \ \rm kHz$.
+{Leiten Sie mit &nbsp;$\omega L\hspace{0.03cm}' \ll R\hspace{0.05cm}'$&nbsp; und  &nbsp;$\omega C\hspace{0.08cm}' \gg G\hspace{0.08cm}'$&nbsp; eine &nbsp;$\alpha(f)$&ndash; Näherung für (nicht zu) kleine Frequenzen ab. <br>Welches Dämpfungsmaß ergibt sich für &nbsp;$ f = 1 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$ f = 4 \ \rm kHz$.
 |type="{}"}
 $\alpha(f = 1\  \rm kHz) \ = \ $  { 0.1 3% } $\ \rm Np/km$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen jeweils die Zahlenwerte
 :$$R\hspace{0.03cm}' = 100\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}

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 {Geben Sie $\alpha(f)$, $\beta(f)$ und $Z_{\rm W}(f)$ für die Frequenz $f  = 0$ (Gleichstrom) an.
 |type="{}"}
-$\alpha(f = f_0) \ =$  { 0.01 3% } $\ \rm Np/km$
+$\alpha(f =0) \ =$  { 0.01 3% } $\ \rm Np/km$
-$\beta(f = f_0) \ =$ { 0. } $\ \rm rad/km$
+$\beta(f = 0) \ =$ { 0. } $\ \rm rad/km$
-$Z_{\rm W}(f = f_0) \ =$  { 10 3% } $\ \rm k \Omega$
+$Z_{\rm W}(f = 0) \ =$  { 10 3% } $\ \rm k \Omega$