Aufgaben:Aufgabe 4.19: Orthogonale mehrstufige FSK - Versionsgeschichte

Guenter am 31. August 2022 um 12:40 Uhr

2022-08-31T12:40:48Z

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2022-08-31T12:32:00Z

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2019-03-19T15:55:23Z

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2019-03-19T15:44:08Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:39:18Z

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Guenter am 27. November 2017 um 08:13 Uhr

2017-11-27T08:13:39Z

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2017-11-27T07:47:34Z

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2017-11-27T07:25:03Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Bei der Konstellation &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist die Orthogonalität nicht gegeben. Vielmehr gilt hier $M = 3$ und $N = 2$.
+*Bei der Konstellation &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist die Orthogonalität nicht gegeben.
 '''(2)'''&nbsp; Für die binäre FSK $(M = 2)$ gilt mit der Abkürzung $x = E_{\rm S}/N_0 = 6$:
 :$$p_{\rm S} =  (-1)^{2} \cdot {1 \choose 1 }  \cdot {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-x/2 } = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-3}  \hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.49 \%}
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Entsprechend erhält man für die ternäre FSK $(M = 3)$:
+*Entsprechend erhält man für die ternäre FSK&nbsp; $(M = 3)$:
 :$$p_{\rm S} = (-1)^{2} \cdot {2 \choose 1 }  \cdot {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-(1/2) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x} +
   (-1)^{3} \cdot {2 \choose 2 }  \cdot {1}/{3}\cdot {\rm e }^{-(2/3) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x}=
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    \hspace{0.05cm}.$$
-*Schließlich ergibt sich für die quaternäre FSK $(M = 4)$:
+*Schließlich ergibt sich für die quaternäre FSK&nbsp; $(M = 4)$:
 :$$p_{\rm S} = (-1)^{2} \cdot {3 \choose 1 }  \cdot \frac{{\rm e }^{-x/2}}{2}   +
   (-1)^{3} \cdot {3 \choose 2 }  \cdot \frac{{\rm e }^{-2x/3}}{3}
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-'''(3)'''&nbsp; Bei gleichem $E_{\rm S}/N_0 = 6$ gilt stets $p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S}$:
+'''(3)'''&nbsp; Bei gleichem&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 6$&nbsp; gilt stets&nbsp; $p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S}$:
 :$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}   \hspace{0.15cm}\underline{=2.49\%} = p_{\rm S} \hspace{0.05cm},$$
 :$$M =3\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}  \hspace{0.15cm}\underline{=4.98\%} > 4.37\% = p_{\rm S} \hspace{0.05cm},$$
 :$$M =4\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}  \hspace{0.15cm}\underline{=7.47\%} > {6.75\%} = p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
-Analysiert man die Gleichung &nbsp;$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$&nbsp; genauer, so erkennt man, dass diese Schranke genau die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| Union&ndash;Bound]] angibt:
+Analysiert man die Gleichung &nbsp;$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$ &nbsp; genauer,&nbsp; so erkennt man, dass diese Schranke genau die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Union&ndash;Bound"]]&nbsp; angibt:
-* Beim Binärsystem gibt $1/2 \cdot  {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$ die Verfälschungswahrscheinlichkeit an, zum Beispiel von $\boldsymbol{s}_1$ nach $\boldsymbol{s}_2$ oder umgekehrt.
+* Beim Binärsystem gibt&nbsp; $1/2 \cdot  {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$ &nbsp; die Verfälschungswahrscheinlichkeit an,&nbsp; zum Beispiel von&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; nach&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; oder umgekehrt.
-* Beim <i>M</i>&ndash;stufigen System ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ genau so groß. Aber auch die Punkte $\boldsymbol{s}_1, \ \text{... ,} \, \boldsymbol{s}_M$ liegen im gleichen Abstand zu $\boldsymbol{s}_1$ bzw. zu $\boldsymbol{s}_2$.
-* Die &bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo; berücksichtigt die Verfälschungsmöglichkeiten eines Punktes zu jedem der allgemein $M&ndash;1$ anderen Punkte durch den Faktor $M -1$.
+* Beim&nbsp; $M$&ndash;stufigen System ist der Abstand zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; genau so groß.&nbsp; Aber auch die Punkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_3, \ \text{... ,} \, \boldsymbol{s}_M$&nbsp; liegen im gleichen Abstand zu&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; bzw. zu&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$.
-'''(4)'''&nbsp; Mit &nbsp;$E_{\rm B} = E_{\rm S}/{\rm log}_2(M)$&nbsp; erhält man$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-\log_2 \ (M) E_{\rm B}/(2N_{\rm 0})}$.
+'''(4)'''&nbsp; Mit &nbsp;$E_{\rm B} = E_{\rm S}/{\rm log}_2(M)$&nbsp; erhält man&nbsp; $p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-\log_2 \ (M) E_{\rm B}/(2N_{\rm 0})}$.
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird mit zunehmender Stufenzahl kleiner, da bei konstantem $E_{\rm B}$ die Energie $E_{\rm S}$ pro Symbol um den Faktor ${\rm log}_2 \, (M)$ zunimmt.
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird mit zunehmender Stufenzahl kleiner,&nbsp; da bei konstantem&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; die Energie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; pro Symbol um den Faktor&nbsp; ${\rm log}_2 \, (M)$&nbsp; zunimmt.
 *Der Faktor $M-1$ (berücksichtigt die Verfälschungsmöglichkeiten eines Signalraumpunktes) hat weniger Einfluss als die Vergrößerung des negativen Exponenten:
 :$$M =2\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-3} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.49\%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$M =3\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm e }^{-4.755} \hspace{0.5cm}  \underline{= 0.86\%} \hspace{0.05cm},$$

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 [[Datei:P_ID2092__Dig_A_4_19.png|right|frame|Signalraumkonstellationen]]
-Wir betrachten in dieser letzten Übungsaufgabe zu diesem Kapitel &nbsp;<i>Frequency Shift Keying</i>&nbsp; (FSK) mit&nbsp; $M$&nbsp; Signalformen und setzen voraus, dass diese paarweise zueinander orthogonal sind. In diesem Fall können die äquivalenten Tiefpass&ndash;Signale&nbsp; $s_i(t)$ mit $i = 1, \ \text{...} \ , M$&nbsp; in folgender Form dargestellt werden:
+Wir betrachten in dieser letzten Übungsaufgabe zu diesem Kapitel &nbsp;"Frequency Shift Keying"&nbsp; $\rm (FSK)$&nbsp; mit&nbsp; $M$&nbsp; Signalformen und setzen voraus,&nbsp; dass diese paarweise zueinander orthogonal sind.
 :$$s_i(t)  = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_i(t) \hspace{0.05cm}.$$
-$\xi_i(t)$&nbsp; sind komplexe Basisfunktionen, für die allgemein&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , N$&nbsp; gilt. Bei orthogonaler Signalisierung ist allerdings stets&nbsp; $M = N$.
+*$\xi_i(t)$&nbsp; sind komplexe Basisfunktionen,&nbsp; für die allgemein&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , N$&nbsp; gilt.&nbsp;
 Im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; ist die exakte Formel für die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung bei AWGN&ndash;Störung angegeben:
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    \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus lässt sich sehr einfach die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit berechnen:
+*Daraus lässt sich sehr einfach die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit berechnen:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  1 - {\rm Pr}({\cal{C}}) = \sum_{i = 1}^{M-1} (-1)^{i+1} \cdot {M-1 \choose i }  \cdot \frac{1}{i+1} \cdot  {\rm e }^{ - i/(i+1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}E_{\rm S}/ N_0}
    \hspace{0.05cm}.$$
-Eine obere Schranke&nbsp; $(p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich aufgrund der alternierenden Vorzeichen, wenn man von dieser Summe nur den ersten Term&nbsp; $(i=1)$&nbsp; berücksichtigt:
+*Eine obere Schranke&nbsp; $(p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich aufgrund der alternierenden Vorzeichen,&nbsp; wenn man von dieser Summe nur den ersten Term&nbsp; $(i=1)$&nbsp; berücksichtigt:
 :$$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}
   \hspace{0.05cm}.$$
-In der Teilaufgabe '''(4)''' soll diese Schranke bei gegebenem Verhältnis&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; ausgewertet werden, wobei&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; die mittlere Signalenergie pro Bit angibt:
+*In der Teilaufgabe '''(4)''' soll diese Schranke bei gegebenem Verhältnis&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; ausgewertet werden, wobei&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; die mittlere Signalenergie pro Bit angibt:
 :$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S} }  { {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M)}
    \hspace{0.05cm}.$$
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+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Nichtkoh.C3.A4rente_Demodulation_von_mehrstufiger_FSK|"Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK"]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der obigen Signalraumkonstellationen gelten für orthogonale FSK?
+{Welche der obigen Signalraumkonstellationen gelten für eine orthogonale FSK?
 |type="[]"}
 + Konstellation &nbsp;$\rm A$,
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 + Konstellation &nbsp;$\rm C$.
-{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 6$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm S}$&nbsp; bezeichnet die Symbolenergie.
+{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 6$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK.&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; bezeichnet die Symbolenergie.
 |type="{}"}
 $M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$
@@ Zeile 58: / Zeile 61: @@
 $M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 7.47 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 = 6$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm B}$&nbsp; bezeichnet die Bitenergie.
+{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 = 6$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK.&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bezeichnet die Bitenergie.
 |type="{}"}
 $M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>. Bei der Konstellation <b>B</b> istOrthogonalität nicht gegeben. Vielmehr gilt hier $M = 3$ und $N = 2$.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 '''(2)'''&nbsp; Für die binäre FSK $(M = 2)$ gilt mit der Abkürzung $x = E_{\rm S}/N_0 = 6$:
-:$$p_{\rm S} =  (-1)^{2} \cdot {1 \choose 1 }  \cdot {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-x/2 } = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-3}  \underline{\approx 2.49 \%}
+:$$p_{\rm S} =  (-1)^{2} \cdot {1 \choose 1 }  \cdot {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-x/2 } = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-3}  \hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.49 \%}
    \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend erhält man für die ternäre FSK $(M = 3)$:
+*Entsprechend erhält man für die ternäre FSK $(M = 3)$:
 :$$p_{\rm S} = (-1)^{2} \cdot {2 \choose 1 }  \cdot {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-(1/2) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x} +
   (-1)^{3} \cdot {2 \choose 2 }  \cdot {1}/{3}\cdot {\rm e }^{-(2/3) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} x}=
-   {\rm e }^{-3} - {1}/{3} \cdot {\rm e }^{-4} \approx 0.0498 - 0.0061  \underline{ =4.37\%}
+   {\rm e }^{-3} - {1}/{3} \cdot {\rm e }^{-4} \approx 0.0498 - 0.0061  \hspace{0.15cm}\underline{ =4.37\%}
    \hspace{0.05cm}.$$
-Schließlich ergibt sich für die quaternäre FSK $(M = 4)$:
+*Schließlich ergibt sich für die quaternäre FSK $(M = 4)$:
 :$$p_{\rm S} = (-1)^{2} \cdot {3 \choose 1 }  \cdot \frac{{\rm e }^{-x/2}}{2}   +
   (-1)^{3} \cdot {3 \choose 2 }  \cdot \frac{{\rm e }^{-2x/3}}{3}
   +  (-1)^{4} \cdot {4 \choose 3 }  \cdot \frac{{\rm e }^{-3x/4 }}{4} =
-   {3}/ {2} \cdot{\rm e }^{-3} -  {\rm e }^{-4} + {\rm e }^{-4.5}  \underline{\approx 6.75\%}
+   {3}/ {2} \cdot{\rm e }^{-3} -  {\rm e }^{-4} + {\rm e }^{-4.5}  \hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.75\%}
    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Bei gleichem $E_{\rm S}/N_0 = 6$ gilt stets $p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S}$:
-:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}   \underline{=2.49\%} = p_{\rm S} \hspace{0.05cm},$$
+:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}   \hspace{0.15cm}\underline{=2.49\%} = p_{\rm S} \hspace{0.05cm},$$
-:$$M =3\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}  \underline{=4.98\%} > 4.37\% = p_{\rm S} \hspace{0.05cm},$$
+:$$M =3\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}  \hspace{0.15cm}\underline{=4.98\%} > 4.37\% = p_{\rm S} \hspace{0.05cm},$$
-:$$M =4\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}  \underline{=7.47\%} > {6.75\%} = p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$M =4\text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}  \hspace{0.15cm}\underline{=7.47\%} > {6.75\%} = p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
-Analysiert man die Gleichung $p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$ genauer, so erkennt man, dass diese Schranke genau die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| Union&ndash;Bound]] angibt:
+Analysiert man die Gleichung &nbsp;$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$&nbsp; genauer, so erkennt man, dass diese Schranke genau die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| Union&ndash;Bound]] angibt:
 * Beim Binärsystem gibt $1/2 \cdot  {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}$ die Verfälschungswahrscheinlichkeit an, zum Beispiel von $\boldsymbol{s}_1$ nach $\boldsymbol{s}_2$ oder umgekehrt.
-* Beim <i>M</i>&ndash;stufigen System ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ genau so groß. Aber auch die Punkte $\boldsymbol{s}_1, \ \text{...} \, \boldsymbol{s}_M$ liegen im gleichen Abstand zu $\boldsymbol{s}_1$ bzw. zu $\boldsymbol{s}_2$
+* Beim <i>M</i>&ndash;stufigen System ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ genau so groß. Aber auch die Punkte $\boldsymbol{s}_1, \ \text{... ,} \, \boldsymbol{s}_M$ liegen im gleichen Abstand zu $\boldsymbol{s}_1$ bzw. zu $\boldsymbol{s}_2$.
 * Die &bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo; berücksichtigt die Verfälschungsmöglichkeiten eines Punktes zu jedem der allgemein $M&ndash;1$ anderen Punkte durch den Faktor $M -1$.
-'''(4)'''&nbsp; Mit $E_{\rm B} = E_{\rm S}/{\rm log}_2(M)$ erhält man$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-\log_2 \ (M) E_{\rm B}/(2N_{\rm 0})}$.
+'''(4)'''&nbsp; Mit &nbsp;$E_{\rm B} = E_{\rm S}/{\rm log}_2(M)$&nbsp; erhält man$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-\log_2 \ (M) E_{\rm B}/(2N_{\rm 0})}$.
-*Nun wird die Fehlerwahrscheinlichkeit mit zunehmender Stufenzahl immer kleiner, da bei konstantem $E_{\rm B}$ die Energie $E_{\rm S}$ pro Symbol um den Faktor ${\rm log}_2 \, (M)$ zunimmt.
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird mit zunehmender Stufenzahl kleiner, da bei konstantem $E_{\rm B}$ die Energie $E_{\rm S}$ pro Symbol um den Faktor ${\rm log}_2 \, (M)$ zunimmt.
-*Der Faktor $M&ndash;1$ (dieser berücksichtigt die Verfälschungsmöglichkeiten eines Signalraumpunktes) hat dann weniger Einfluss als die Vergrößerung des negativen Exponenten:
+*Der Faktor $M-1$ (berücksichtigt die Verfälschungsmöglichkeiten eines Signalraumpunktes) hat weniger Einfluss als die Vergrößerung des negativen Exponenten:
 :$$M =2\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-3} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.49\%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$M =3\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm e }^{-4.755} \hspace{0.5cm}  \underline{= 0.86\%} \hspace{0.05cm},$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2092__Dig_A_4_19.png|right|frame|Vorgegebene Signalraumkonstellationen]]
+[[Datei:P_ID2092__Dig_A_4_19.png|right|frame|Signalraumkonstellationen]]
-Wir betrachten in dieser letzten Übungsaufgabe zu diesem Kapitel <i>Frequency Shift Keying</i> (FSK) mit $M$ Signalformen und setzen voraus, dass diese paarweise zueinander orthogonal sind. In diesem Fall können die äquivalenten Tiefpass&ndash;Signale $s_i(t)$ mit $i = 1, \ \text{...} \ , M$ in folgender Form dargestellt werden:
+Wir betrachten in dieser letzten Übungsaufgabe zu diesem Kapitel &nbsp;<i>Frequency Shift Keying</i>&nbsp; (FSK) mit&nbsp; $M$&nbsp; Signalformen und setzen voraus, dass diese paarweise zueinander orthogonal sind. In diesem Fall können die äquivalenten Tiefpass&ndash;Signale&nbsp; $s_i(t)$ mit $i = 1, \ \text{...} \ , M$&nbsp; in folgender Form dargestellt werden:
 :$$s_i(t)  = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_i(t) \hspace{0.05cm}.$$
-$\xi_i(t)$ sind komplexe Basisfunktionen, für die allgemein $i = 1, \ \text{...} \ , N$ gilt. Bei orthogonaler Signalisierung ist allerdings stets $M = N$.
+$\xi_i(t)$&nbsp; sind komplexe Basisfunktionen, für die allgemein&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , N$&nbsp; gilt. Bei orthogonaler Signalisierung ist allerdings stets&nbsp; $M = N$.
-Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen. Jedoch beschreiben nicht alle drei eine orthogonale FSK. Hierauf wird in der Teilaufgabe (1) Bezug genommen.
+Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen. Jedoch beschreiben nicht alle drei eine orthogonale FSK. Hierauf wird in der Teilaufgabe '''(1)''' Bezug genommen.
-Im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] ist die exakte Formel für die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung bei AWGN&ndash;Störung angegeben:
+Im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; ist die exakte Formel für die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung bei AWGN&ndash;Störung angegeben:
 :$${\rm Pr}({\cal{C}}) =\sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i }  \cdot \frac{1}{i+1} \cdot {\rm e }^{ - i/(i+1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}E_{\rm S}/ N_0}
    \hspace{0.05cm}.$$
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    \hspace{0.05cm}.$$
-Eine obere Schranke ($p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S}$) ergibt sich aufgrund der alternierenden Vorzeichen, wenn man von dieser Summe nur den ersten Term $(i=1)$ berücksichtigt:
+Eine obere Schranke&nbsp; $(p_{\rm S, \ max} &#8805; p_{\rm S})$&nbsp; ergibt sich aufgrund der alternierenden Vorzeichen, wenn man von dieser Summe nur den ersten Term&nbsp; $(i=1)$&nbsp; berücksichtigt:
 :$$p_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} =  (M-1)/2 \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_{\rm 0})}
   \hspace{0.05cm}.$$
-In der Teilaufgabe (4) soll diese Schranke bei gegebenem Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ ausgewertet werden, wobei $E_{\rm B}$ die mittlere Signalenergie pro Bit angibt:
+In der Teilaufgabe '''(4)''' soll diese Schranke bei gegebenem Verhältnis&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; ausgewertet werden, wobei&nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; die mittlere Signalenergie pro Bit angibt:
 :$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S} }  { {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M)}
    \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Nichtkoh.C3.A4rente_Demodulation_von_mehrstufiger_FSK|Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Nichtkoh.C3.A4rente_Demodulation_von_mehrstufiger_FSK|Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK]].
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 {Welche der obigen Signalraumkonstellationen gelten für orthogonale FSK?
 |type="[]"}
-+ Konstellation '''A''',
++ Konstellation &nbsp;$\rm A$,
-- Konstellation '''B''',
+- Konstellation &nbsp;$\rm B$,
-+ Konstellation '''C'''.
++ Konstellation &nbsp;$\rm C$.
-{Berechnen Sie für $E_{\rm S}/N_0 = 6$ die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm S}$ bezeichnet die Symbolenergie.
+{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 6$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm S}$&nbsp; bezeichnet die Symbolenergie.
 |type="{}"}
 $M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$
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 $M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 6.75 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie für $E_{\rm S}/N_0 = 6$ die angegebenen oberen Schranken $p_{\rm S, \ max}$ für die  Fehlerwahrscheinlichkeiten.
+{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 6$&nbsp; die angegebenen oberen Schranken&nbsp; $p_{\rm S, \ max}$ für die  Fehlerwahrscheinlichkeiten.
 |type="{}"}
 $M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$
@@ Zeile 55: / Zeile 58: @@
 $M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 7.47 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie für $E_{\rm B}/N_0 = 6$ die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm B}$ bezeichnet die Bitenergie.
+{Berechnen Sie für&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 = 6$&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm B}$&nbsp; bezeichnet die Bitenergie.
 |type="{}"}
 $M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Nichtkoh.C3.A4rente_Demodulation_von_mehrstufiger_FSK|Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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 {Berechnen Sie für $E_{\rm S}/N_0 = 6$ die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm S}$ bezeichnet die Symbolenergie.
 |type="{}"}
-$M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.0249 3% }
+$M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$
-$M = 3 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.0437 3% }
+$M = 3 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 4.37 3% } $\ \%$
-$M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.0675 3% }
+$M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 6.75 3% } $\ \%$
 {Berechnen Sie für $E_{\rm S}/N_0 = 6$ die oberen Schranken für die  Fehlerwahrscheinlichkeiten.
 |type="{}"}
-$M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.0249 3% }
+$M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$
-$M = 3 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.0498 3% }
+$M = 3 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 4.98 3% } $\ \%$
-$M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.0747 3% }
+$M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 7.47 3% } $\ \%$
 {Berechnen Sie für $E_{\rm B}/N_0 = 6$ die Fehlerwahrscheinlichkeit der binären, ternären und quaternären FSK. $E_{\rm B}$ bezeichnet die Bitenergie.
 |type="{}"}
-$M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.0249 3% }
+$M = 2 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 2.49 3% } $\ \%$
-$M = 3 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.0086 3% }
+$M = 3 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.86 3% } $\ \%$
-$M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.0037 3% }
+$M = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S, \ max} \ = \ $ { 0.37 3% } $\ \%$
 </quiz>