Aufgaben:Aufgabe 4.18: Nichtkohärente FSK–Demodulation - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.5 Inkohärente Demodulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.5 Inkohärente Demodulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.18:_Non-Coherent_FSK_Demodulation]]

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2026-02-24T13:39:44Z

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Zeile 30:		Zeile 30:

	Für die Wahrscheinlichkeit,  dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol  $m_1$  entscheidet und zudem anzeigt,  dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist  (das ist besonders verwerflich),  gilt		Für die Wahrscheinlichkeit,  dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol  $m_1$  entscheidet und zudem anzeigt,  dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist  (das ist besonders verwerflich),  gilt
	:$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
	{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 92:		Zeile 91:
	*In diesem Fall ist stets  ${\it \Gamma} ={\rm Z}$  und die Entscheidungsregel lautet:   "Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$".		*In diesem Fall ist stets  ${\it \Gamma} ={\rm Z}$  und die Entscheidungsregel lautet:   "Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$".
	*Daraus folgt:		*Daraus folgt:
	:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} =
	{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$

	*Mit  $E_{\rm S}/N_0 = 10$  erhält man  $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.		*Mit  $E_{\rm S}/N_0 = 10$  erhält man  $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.
Zeile 100:		Zeile 97:

	'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus Symmetriegründen zu		'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus Symmetriegründen zu
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = {1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} + {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_1 \} $$
	{1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} + {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_1 \} $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot{\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Da  ${\rm U}$  und  ${\rm Z}$  nach der Statistik ein  "vollständiges System"  ergeben,  gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben  '''(3)'''  und  '''(4)''':		'''(5)'''  Da  ${\rm U}$  und  ${\rm Z}$  nach der Statistik ein  "vollständiges System"  ergeben,  gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben  '''(3)'''  und  '''(4)''':
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:		*Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =		:$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =\frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler} )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.15cm} \underline{= 98 \%}\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler} )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.15cm} \underline{= 98 \%}
	\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 30. August 2022 um 14:25 Uhr

2022-08-30T14:25:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. August 2022, 16:25 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschlag 1, 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschlag 1, 2 und 4</u>:
	*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch ~~<i>~~Minimum Shift Keying~~</i> (MSK).~~		*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben,  wenn der Modulationsindex  $h$  ein Vielfaches von  $0.5$  ist.  Binäre FSK mit  $h = 0.5$  nennt man auch  "Minimum Shift Keying"  $\rm (MSK)$.
	*Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung (Laufzeit) auf dem AWGN–Übertragungskanal ausgeglichen wird   ⇒   $~~{\rm e}^{{\rm j}\phi} \cdot {~~\rm ~~e}^{-{\rm j}\phi} = 1$, gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich:   $r~~(t) ~~= s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}~~.$

			*Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung  ("Laufzeit")  auf dem AWGN–Übertragungskanal ausgeglichen wird   ⇒   ${\rm e}^{{\rm j}\phi} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\phi} = 1$,  gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich:   $r(t) = s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$


	'''(2)'''  Hier ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u> richtig, das heißt, es muss nun $h = 1, \ 2, \ 3, \text{ ...}$ ganzzahlig sein.
	*Nichtkohärente Demodulation von ~~FSK~~ ist somit nicht möglich.		'''(2)'''  Hier ist nur der  <u>erste Lösungsvorschlag</u>  richtig,  das heißt,  es muss nun  $h = 1, \ 2, \ 3, \text{ ...}$   ganzzahlig sein.
			*Nichtkohärente Demodulation von BFSK ist somit nicht möglich.

	*Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:		*Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:
	:$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t) \hspace{0.05cm}.$$
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	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\| \hspace{0.05cm}m = m_0) = {\rm Pr}(\hat{m}= m_1\| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\| \hspace{0.05cm}m = m_0) = {\rm Pr}(\hat{m}= m_1\| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$

	*Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$.		*Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit  $\gamma = 1$.
	*In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet:   Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$.
			*In diesem Fall ist stets  ${\it \Gamma} ={\rm Z}$  und die Entscheidungsregel lautet:   "Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$".
	*Daraus folgt:		*Daraus folgt:
	:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
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	{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$		{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$

	*Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.		*Mit  $E_{\rm S}/N_0 = 10$  erhält man  $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.



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			'''(5)'''  Da  ${\rm U}$  und  ${\rm Z}$  nach der Statistik ein  "vollständiges System"  ergeben,  gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben  '''(3)'''  und  '''(4)''':
	'''(5)'''  Da ${\rm U}$ und ${\rm Z}$ nach der Statistik ein vollständiges System ergeben, gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''':
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -
	{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}		{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}

Guenter am 30. August 2022 um 13:26 Uhr

2022-08-30T13:26:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. August 2022, 15:26 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der ~~FSK~~ zutreffend?		{Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der BFSK zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Orthogonalität ergibt sich, wenn  $h$  ganzzahlig ist.		+ Orthogonalität ergibt sich,  wenn  $h$  ganzzahlig ist.
	+ Auch für  $h = 0.5$  ergeben sich orthogonale Signalformen.		+ Auch für  $h = 0.5$  ergeben sich orthogonale Signalformen.
	- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.		- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
	+ Beim AWGN–Kanal gilt  $r(t) = s(t) + n(t)$.		+ Beim AWGN–Kanal gilt  $r(t) = s(t) + n(t)$.

	{Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der ~~FSK~~ zutreffend?		{Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der BFSK zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Orthogonalität ergibt sich, wenn  $h$  ganzzahlig ist.		+ Orthogonalität ergibt sich,  wenn  $h$  ganzzahlig ist.
	- Auch für  $h = 0.5$  ergeben sich orthogonale Signalformen.		- Auch für  $h = 0.5$  ergeben sich orthogonale Signalformen.
	- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.		- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
	- Beim AWGN–Kanal gilt  $r(t) = s(t) + n(t)$.		- Beim AWGN–Kanal gilt  $r(t) = s(t) + n(t)$.

	{Es sei  $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?		{Es sei  $E_{\rm S}/N_0 = 10$.  Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit,  also die Wahrscheinlichkeit,  dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.337 3% } $\ \%$		$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.337 3% } $\ \%$

	{Es sei  $\gamma = 2$  und  $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?		{Es sei  $\gamma = 2$  und  $E_{\rm S}/N_0 = 10$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 6.7 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$		${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 6.7 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$

	{Es sei weiterhin  $\gamma = 2$ und  $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei ~~einem~~ Fehler die Zusatzinformation &~~bdquo~~;unzuverlässig&~~rdquo~~; angezeigt wird?		{Es sei weiterhin  $\gamma = 2$ und  $E_{\rm S}/N_0 = 10$.  Wie groß ist die  (bedingte)  Wahrscheinlichkeit,  dass bei Fehler die Zusatzinformation  "unzuverlässig"  angezeigt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$		${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$

Guenter am 30. August 2022 um 13:05 Uhr

2022-08-30T13:05:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. August 2022, 15:05 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}

	[[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png\|right\|frame\|~~Nichtkohärente~~ Demodulation]]		[[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png\|right\|frame\|Modell für nichtkohärente Demodulation]]
	Wir betrachten ~~<i>~~Frequency Shift Keying~~</i>~~  (FSK) mit  $M = 2$   ⇒   binäre Signalisierung. Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:		Wir betrachten  "Frequency Shift Keying"  $\rm (FSK)$  mit  $M = 2$   ⇒   binäre Signalisierung.  Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:
	:$$\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$		:$$\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$
	:$$ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 11:		Zeile 11:
	:$$m_1\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1} = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_2(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (0, \sqrt{E_{\rm S}})\hspace{0.05cm}.$$		:$$m_1\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1} = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_2(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (0, \sqrt{E_{\rm S}})\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei gibt  $h$  den so genannten ~~<i>~~Modulationsindex~~</i>~~ an. Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen, damit sich orthogonale Signalformen ergeben. Diese Kriterien hängen allerdings davon ab, ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.		Hierbei gibt  $h$  den so genannten  "Modulationsindex"  an.  Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen,  damit sich orthogonale Signalformen ergeben.  Diese Kriterien hängen allerdings davon ab,  ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.

	Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres ~~<i>~~Frequency Shift Keying~~</i>~~  (~~FSK~~). Alle komplexen Signale sind blau beschriftet, komplexe Werte grün und reelle Werte rot.		Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres  "Frequency Shift Keying"  $\rm (BFSK)$.  Alle komplexen Signale sind blau beschriftet,  komplexe Werte grün und reelle Werte rot.

	Gegenüber dem im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Theorieteil]]  angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet, der außer dem Schätzwert noch ein ~~<i>~~Sicherheitsflag~~</i>~~  ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$  ausgibt. Die logischen Größen  ${\rm Z}$  ~~und~~  ${\rm U}$  ~~stehen hierbei für eine '''Z'''uverlässige bzw. eine~~ '''U'''nzuverlässige ~~Entscheidung~~. Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung, gesteuert durch den Parameter  $\gamma$:		Gegenüber dem im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| "Theorieteil"]]  angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet,  der außer dem Schätzwert noch ein  "Sicherheitsflag"  ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$  ausgibt.  Die logischen Größen stehen hierbei für
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.~~05cm~~}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$		*${\rm Z}$   ⇒   '''Z'''uverlässige Entschedung,
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.~~05cm~~}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.~~05cm~~}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$		*${\rm U}$   ⇒   '''U'''nzuverlässige Entschedung.
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.~~05cm~~}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$

			Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung,  gesteuert durch den Parameter  $\gamma$:
			:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.15cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
			:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.15cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
			:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.15cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$
			:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.15cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$

	In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte  $\gamma = 1$  und  $\gamma = 2$  betrachtet.		In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte  $\gamma = 1$  und  $\gamma = 2$  betrachtet.

	Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol  $m_1$  entscheidet und zudem anzeigt, dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist (besonders verwerflich), gilt		Für die Wahrscheinlichkeit,  dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol  $m_1$  entscheidet und zudem anzeigt,  dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist  (das ist besonders verwerflich),  gilt
	:$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] \hspace{0.05cm}.$$		{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 29:		Zeile 35:


			Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation"]].

	''Hinweis:''
	* Die Aufgabe gehört zum ~~Themengebiet des Kapitels~~  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].

Guenter am 19. März 2019 um 14:07 Uhr

2019-03-19T14:07:46Z

Guenter am 19. März 2019 um 14:00 Uhr

2019-03-19T14:00:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. März 2019, 16:00 Uhr
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	[[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png\|right\|frame\|Nichtkohärente Demodulation]]		[[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png\|right\|frame\|Nichtkohärente Demodulation]]
	Wir betrachten <i>Frequency Shift Keying</i> (FSK) mit $M = 2$   ⇒   binäre Signalisierung. Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:		Wir betrachten <i>Frequency Shift Keying</i>  (FSK) mit  $M = 2$   ⇒   binäre Signalisierung. Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:
	:$$\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$		:$$\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$
	:$$ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}.$$

	Für die zwei möglichen Signalformen im Tiefpassbereich gilt dann mit der mittleren Symbolenergie $E_{\rm S}$:		Für die zwei möglichen Signalformen im Tiefpassbereich gilt dann mit der mittleren Symbolenergie  $E_{\rm S}$:
	:$$m_0\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}0} = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_1(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (\sqrt{E_{\rm S}}, 0)\hspace{0.05cm},$$		:$$m_0\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}0} = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_1(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (\sqrt{E_{\rm S}}, 0)\hspace{0.05cm},$$
	:$$m_1\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1} = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_2(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (0, \sqrt{E_{\rm S}})\hspace{0.05cm}.$$		:$$m_1\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1} = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_2(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (0, \sqrt{E_{\rm S}})\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei gibt $h$ den so genannten <i>Modulationsindex</i> an. Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen, damit sich ~~auch nach der Demodulation~~ orthogonale Signalformen ergeben. Diese Kriterien hängen allerdings davon ab, ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.		Hierbei gibt  $h$  den so genannten <i>Modulationsindex</i> an. Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen, damit sich orthogonale Signalformen ergeben. Diese Kriterien hängen allerdings davon ab, ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.

	Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres <i>Frequency Shift Keying</i> (FSK). Alle komplexen Signale sind blau beschriftet, komplexe Werte grün und reelle Werte rot.		Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres <i>Frequency Shift Keying</i>  (FSK). Alle komplexen Signale sind blau beschriftet, komplexe Werte grün und reelle Werte rot.

	Gegenüber dem im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Theorieteil]] angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet, der außer dem Schätzwert noch ein <i>Sicherheitsflag</i> ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$ ausgibt. Die logischen Größen ${\rm Z}$ und ${\rm U}$ stehen hierbei für eine '''Z'''uverlässige bzw. eine '''U'''nzuverlässige Entscheidung. Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung, gesteuert durch den Parameter $\gamma$:		Gegenüber dem im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Theorieteil]]  angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet, der außer dem Schätzwert noch ein <i>Sicherheitsflag</i>  ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$  ausgibt. Die logischen Größen  ${\rm Z}$  und  ${\rm U}$  stehen hierbei für eine '''Z'''uverlässige bzw. eine '''U'''nzuverlässige Entscheidung. Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung, gesteuert durch den Parameter  $\gamma$:
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.~~2cm~~}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$		:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.~~2cm~~}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$		:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.~~2cm~~}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$		:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$
	:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.~~2cm~~}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$		:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$

	In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte $\gamma = 1$ und $\gamma = 2$ betrachtet.		In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte  $\gamma = 1$  und  $\gamma = 2$  betrachtet.

	Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol $m_1$ entscheidet und zudem anzeigt, dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist (besonders verwerflich), gilt		Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol  $m_1$  entscheidet und zudem anzeigt, dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist (besonders verwerflich), gilt
	:$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] \hspace{0.05cm}.$$		{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] \hspace{0.05cm}.$$

	''~~Hinweise~~:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].


			''Hinweis:''
			* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].


Zeile 37:		Zeile 41:
	{Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der FSK zutreffend?		{Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der FSK zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Orthogonalität ergibt sich, wenn $h$ ganzzahlig ist.		+ Orthogonalität ergibt sich, wenn  $h$  ganzzahlig ist.
	+ Auch für $h = 0.5$ ergeben sich orthogonale Signalformen.		+ Auch für  $h = 0.5$  ergeben sich orthogonale Signalformen.
	- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.		- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
	+ Beim AWGN–Kanal gilt $r(t) = s(t) + n(t)$.		+ Beim AWGN–Kanal gilt  $r(t) = s(t) + n(t)$.

	{Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der FSK zutreffend?		{Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der FSK zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Orthogonalität ergibt sich, wenn $h$ ganzzahlig ist.		+ Orthogonalität ergibt sich, wenn  $h$  ganzzahlig ist.
	- Auch für $h = 0.5$ ergeben sich orthogonale Signalformen.		- Auch für  $h = 0.5$  ergeben sich orthogonale Signalformen.
	- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.		- Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
	- Beim AWGN–Kanal gilt $r(t) = s(t) + n(t)$.		- Beim AWGN–Kanal gilt  $r(t) = s(t) + n(t)$.

	{Es sei $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?		{Es sei  $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.337 3% } $\ \%$		$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.337 3% } $\ \%$

	{Es sei $\gamma = 2$ und $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?		{Es sei  $\gamma = 2$  und  $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 6.7 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$		${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 6.7 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$

	{Es sei weiterhin $\gamma = 2$ und $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig” angezeigt wird?		{Es sei weiterhin  $\gamma = 2$ und  $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig” angezeigt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$		${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:18 Uhr
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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.18 Nichtkohärente FSK–Demodulation nach Aufgaben:Aufgabe 4.18: Nichtkohärente FSK–Demodulation

2018-01-04T06:38:43Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.18 Nichtkohärente FSK–Demodulation nach Aufgaben:Aufgabe 4.18: Nichtkohärente FSK–Demodulation

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 08:38 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 26. November 2017 um 17:05 Uhr

2017-11-26T17:05:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 19:05 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	{Es sei weiterhin $\gamma = 2$ und $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig” angezeigt wird?		{Es sei weiterhin $\gamma = 2$ und $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig” angezeigt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 0.98 3% } $\ \~~cdot 10^{\rm –5}~~$		${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$
	</quiz>		</quiz>

	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschlag 1, 2 und 4</u>. Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch <i>Minimum Shift Keying</i> (MSK). Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung (Laufzeit) auf dem AWGN–Übertragungskanal ausgeglichen wird ⇒ $\~~exp~~ {({\rm j}\phi)} \cdot \~~exp~~ {({\rm ~~–~~j}\phi)} = 1$, gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschlag 1, 2 und 4</u>:
	:$$r(t) = s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$$		*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch <i>Minimum Shift Keying</i> (MSK).
			*Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung (Laufzeit) auf dem AWGN–Übertragungskanal ausgeglichen wird   ⇒   ${\rm e}^{{\rm j}\phi} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\phi} = 1$, gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich:   $r(t) = s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$


	'''(2)'''  Hier ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u> richtig, das heißt, $h = 1, \ 2, \ 3, \ ...$ ~~muss man nun~~ ganzzahlig sein. Nichtkohärente Demodulation von FSK ist somit nicht möglich. Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:		'''(2)'''  Hier ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u> richtig, das heißt, es muss nun $h = 1, \ 2, \ 3, \text{ ...}$ ganzzahlig sein.
			*Nichtkohärente Demodulation von FSK ist somit nicht möglich.
			*Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:
	:$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t) \hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten gilt:		'''(3)'''  Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten gilt:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\| \hspace{0.05cm}m = m_0) = {\rm Pr}(\hat{m}= m_1\| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\| \hspace{0.05cm}m = m_0) = {\rm Pr}(\hat{m}= m_1\| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$

	Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$. In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} =~~\,&bdquo;~~{\rm Z}~~”~~$ und die Entscheidungsregel lautet ~~dann~~: Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$:		Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$. In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet:
			*Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$:
	:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} =		{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} =
	{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$		{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$

	Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot e^{\rm –5} \approx \underline {3.37 \cdot ~~10^{~~\~~rm –3}~~}$.		Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot e^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.


	'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus den Symmetriegründen zu		'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus den Symmetriegründen zu
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ~~\hspace{-0.1cm} \~~ = ~~\ \hspace{-0.1cm}~~		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =
	{1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm "Z"} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} +$$		{1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} + {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_1 \} $$
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ + \ \hspace{-0.1cm}~~ {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_1 \} =$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot
	:$$ \hspace{-0.~~1cm~~} \ = \ \hspace{-0.~~1cm~~} {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} =$$
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}~~\frac{1}{1 + 2^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Da $~~&bdquo;~~{\rm U}~~”~~$ und $~~&bdquo;~~{\rm Z}~~”~~$ nach der Statistik ein vollständiges System ergeben, gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (3) und (4):		'''(5)'''  Da ${\rm U}$ und ${\rm Z}$ nach der Statistik ein vollständiges System ergeben, gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (3) und (4):
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm "U"}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ~~\hspace{-0.1cm} \~~ = ~~\ \hspace{-0.1cm}~~ {\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -
	{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}~~, {\rm Fehler} ) =$$~~		{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}
	~~:$$~~ \hspace{-0.~~1cm~~} \ ~~= \~~ \hspace{-0.~~1cm~~} 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm ~~&bdquo;~~U~~”~~}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:		Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm "U"}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =		:$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =
	\frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm "U"}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler} )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.98}		\frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler} )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.15cm} \underline{= 98 \%}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

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	*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch <i>Minimum Shift Keying</i> (MSK).		*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch <i>Minimum Shift Keying</i> (MSK).
	*Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung (Laufzeit) auf dem AWGN–Übertragungskanal ausgeglichen wird   ⇒   ${\rm e}^{{\rm j}\phi} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\phi} = 1$, gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich:   $r(t) = s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$		*Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung (Laufzeit) auf dem AWGN–Übertragungskanal ausgeglichen wird   ⇒   ${\rm e}^{{\rm j}\phi} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\phi} = 1$, gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich:   $r(t) = s(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$



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	*Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:		*Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:
	:$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t) \hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten gilt:		'''(3)'''  Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten gilt:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\| \hspace{0.05cm}m = m_0) = {\rm Pr}(\hat{m}= m_1\| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\| \hspace{0.05cm}m = m_0) = {\rm Pr}(\hat{m}= m_1\| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$

	Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$. In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet:		*Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$.
	*Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$:		*In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet:   Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$.
			*Daraus folgt:
	:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot		:$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} =		{\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} =
	{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$		{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$

	Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot e^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.		*Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm –5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.



	'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus ~~den~~ Symmetriegründen zu		'''(4)'''  Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus Symmetriegründen zu
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =
	{1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} + {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_1 \} $$		{1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} + {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_1 \} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot
	{\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Da ${\rm U}$ und ${\rm Z}$ nach der Statistik ein vollständiges System ergeben, gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (3) und (4):
			'''(5)'''  Da ${\rm U}$ und ${\rm Z}$ nach der Statistik ein vollständiges System ergeben, gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''':
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -		:$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler} ) -
	{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}		{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:		*Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:
	:$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =		:$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) =
	\frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler} )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.15cm} \underline{= 98 \%}		\frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler} ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler} )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.15cm} \underline{= 98 \%}