Aufgaben:Aufgabe 4.17Z: Rayleigh- und Riceverteilung - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Oktober 2022 um 11:44 Uhr

2022-10-10T11:44:28Z

Guenter am 30. August 2022 um 12:13 Uhr

2022-08-30T12:13:59Z

Guenter am 30. August 2022 um 12:09 Uhr

2022-08-30T12:09:11Z

Guenter am 19. März 2019 um 13:49 Uhr

2019-03-19T13:49:52Z

Guenter am 19. März 2019 um 13:45 Uhr

2019-03-19T13:45:03Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:38:27Z

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Hussain am 1. Dezember 2017 um 08:17 Uhr

2017-12-01T08:17:53Z

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2017-11-27T09:35:09Z

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Guenter am 26. November 2017 um 16:13 Uhr

2017-11-26T16:13:49Z

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleigh (unten)]]
+[[Datei:P_ID2079__Dig_Z_4_17_ret.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleigh (unten)]]
 Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung.&nbsp; Im Folgenden sei&nbsp; $y$&nbsp; eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und&nbsp; $\eta$&nbsp; jeweils eine Realisierung hiervon.
 * Die&nbsp; "Rayleighverteilung"&nbsp; ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; einer Zufallsgröße&nbsp; $y$,&nbsp; die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; $($beide mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; wie folgt ergibt:

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung.
-'''(2)'''&nbsp; Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$.
+'''(2)'''&nbsp; Man erkennt aus der Grafik:&nbsp; Der Mittelwert der Gaußverteilung ist&nbsp; $\underline {C = 4}$&nbsp; und die Streuung ist&nbsp; $\underline {\sigma_n = 1}$.
-*Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien.
+*Vorgegeben war ja,&nbsp; dass&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; ganzzahlig seien.&nbsp; Damit lauten die beiden Dichtefunktionen:
 :$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>,&nbsp; wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist.&nbsp; Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
 :$$\sigma_{\rm Rice}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \sigma_{\rm Rayl}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2  \cdot  ({2 - {\pi}/{2 }})  \approx 0.429
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-'''(4)'''&nbsp; Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer ist als ein Wert $y_0$, gleich
+'''(4)'''&nbsp; Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $y$&nbsp; größer ist als ein Wert&nbsp; $y_0$,&nbsp; gleich
 :$${\rm Pr}(y > y_0) = \int_{y_0}^{\infty} \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \,{\rm d} \eta
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:
+*Mit der Substitution &nbsp; $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ &nbsp; kann hierfür geschrieben werden:
 :$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x
   \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty}
   = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:
+*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt.&nbsp; Insbesondere gilt:
 :$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5}   \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0}  \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$

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 [[Datei:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleigh (unten)]]
-Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei&nbsp; $y$&nbsp; eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und&nbsp; $\eta$&nbsp; jeweils eine Realisierung hiervon.
+Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung.&nbsp; Im Folgenden sei&nbsp; $y$&nbsp; eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und&nbsp; $\eta$&nbsp; jeweils eine Realisierung hiervon.
-* Die <i>Rayleighverteilung</i>&nbsp; ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße&nbsp; $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; $($beide mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; wie folgt ergibt:
+* Die&nbsp; "Rayleighverteilung"&nbsp; ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; einer Zufallsgröße&nbsp; $y$,&nbsp; die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; $($beide mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; wie folgt ergibt:
 :$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.01cm}.$$
-* Die <i>Riceverteilung</i>&nbsp; erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante&nbsp; $C$&nbsp; addiert wird, zum Beispiel:
+* Die&nbsp; "Riceverteilung"&nbsp; erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall,&nbsp; dass zumindest bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante&nbsp; $C$&nbsp; addiert wird,&nbsp; zum Beispiel:
 :$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot  C}{ \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Gleichung bezeichnet&nbsp; ${\rm I}_0(x)$&nbsp; die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung]].
+In dieser Gleichung bezeichnet&nbsp; ${\rm I}_0(x)$&nbsp; die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| "modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung"]].
-In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; zu einer Rayleigh&ndash; oder zu einer Riceverteilung gehören.
+In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt,&nbsp; wobei allerdings nicht angegeben wird,&nbsp; ob&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; zu einer Rayleigh&ndash; oder zu einer Riceverteilung gehören.
-* Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh&ndash; und eine Riceverteilung dargestellt ist.
+* Bekannt ist nur,&nbsp; dass je eine Rayleigh&ndash; und eine Riceverteilung dargestellt ist.
 *Der Parameter&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; ist bei beiden Verteilungen gleich.
-Für Ihre Entscheidung, ob Sie&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; oder&nbsp; $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$&nbsp; der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF&ndash;Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
+Für Ihre Entscheidung,&nbsp; ob Sie&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; oder&nbsp; $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$&nbsp; der Riceverteilung zuordnen,&nbsp; und für die Ermittlung der WDF&ndash;Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
 * Für große Werte des Quotienten&nbsp; $C/\sigma_n$&nbsp; lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $C$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; annähern.
 * Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; sind ganzzahlig.
@@ Zeile 28: / Zeile 30: @@
 Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten:
 * Für beide Verteilungen ist das gleiche&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; zugrunde gelegt.
 * Für die Streuung (Wurzel aus der Varianz) der Rayleighverteilung gilt:
 :$$\sigma_y = \sigma_n  \cdot  \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n
   \hspace{0.05cm}.$$
 * Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für&nbsp; $C \gg \sigma_n$&nbsp; entsprechend der Gaußverteilung.
@@ Zeile 38: / Zeile 42: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Diese Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Diese Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation"]].
 * Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral:

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 |type="()"}
 - Die Rayleighverteilung,
-+ die Riceverteilung?.
++ die Riceverteilung?
 {Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>..:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung.
-'''(2)'''&nbsp; Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$. <br>Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien. Damit lauten die beiden Dichtefunktionen:
 :$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx
@@ Zeile 84: / Zeile 87: @@
 :$$ p_{\rm II} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 }\right ] \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:
+*Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:
 :$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x
   \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty}
   = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:
+*Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:
 :$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5}   \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0}  \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleighverteilung (unten)]]
+[[Datei:P_ID2079__Dig_Z_4_17.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleigh (unten)]]
-Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung hiervon.
+Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh&ndash; und die Rice&ndash;Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei&nbsp; $y$&nbsp; eine rayleigh&ndash; oder eine riceverteilte Zufallsgröße und&nbsp; $\eta$&nbsp; jeweils eine Realisierung hiervon.
-* Die <i>Rayleighverteilung</i> ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $\upsilon$ (beide mit der Streuung $\sigma_n$) wie folgt ergibt:
+* Die <i>Rayleighverteilung</i>&nbsp; ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße&nbsp; $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; $($beide mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n)$&nbsp; wie folgt ergibt:
 :$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.01cm}.$$
-* Die <i>Riceverteilung</i> erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird, zum Beispiel:
+* Die <i>Riceverteilung</i>&nbsp; erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante&nbsp; $C$&nbsp; addiert wird, zum Beispiel:
 :$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2}
   \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot  C}{ \sigma_n^2}\right ]
   \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung]].
+In dieser Gleichung bezeichnet&nbsp; ${\rm I}_0(x)$&nbsp; die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung]].
-In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh&ndash; oder zu einer Riceverteilung gehören. Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh&ndash; und eine Riceverteilung dargestellt ist. Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden gleich.
+In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; zu einer Rayleigh&ndash; oder zu einer Riceverteilung gehören.
 Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF&ndash;Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
-* Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern.
+Für Ihre Entscheidung, ob Sie&nbsp; $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; oder&nbsp; $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$&nbsp; der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF&ndash;Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
-* Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig.
+* Für große Werte des Quotienten&nbsp; $C/\sigma_n$&nbsp; lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $C$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; annähern.
 Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten:
-* Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt.
+* Für beide Verteilungen ist das gleiche&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; zugrunde gelegt.
 * Für die Streuung (Wurzel aus der Varianz) der Rayleighverteilung gilt:
 :$$\sigma_y = \sigma_n  \cdot  \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C \gg \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung.
+* Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für&nbsp; $C \gg \sigma_n$&nbsp; entsprechend der Gaußverteilung.
 ''Hinweise:''
-* Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Diese Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
 * Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral:
@@ Zeile 46: / Zeile 52: @@
 {Ordnen Sie die Grafiken der Rayleigh&ndash; bzw. Riceverteilung zu.
 |type="()"}
-- $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Rayleighverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung.
+- $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; entspricht der Rayleighverteilung, &nbsp;$p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; der Riceverteilung.
-+ $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Riceverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Rayleighverteilung.
++ $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$&nbsp; entspricht der Riceverteilung, &nbsp;$p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$&nbsp; der Rayleighverteilung.
 {Geben Sie die Parameter der hier dargestellten Riceverteilung an.
@@ Zeile 59: / Zeile 65: @@
 + die Riceverteilung?.
-{Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung
+{Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{0.33cm} = \ $ { 60.7 3% } $ \ \%$

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(kein Unterschied)