Aufgaben:Aufgabe 4.17: Nichtkohärentes On-Off-Keying - Versionsgeschichte

Guenter am 29. August 2022 um 14:55 Uhr

2022-08-29T14:55:32Z

Guenter am 29. August 2022 um 14:24 Uhr

2022-08-29T14:24:27Z

Guenter am 29. August 2022 um 14:23 Uhr

2022-08-29T14:23:17Z

Guenter am 19. März 2019 um 13:26 Uhr

2019-03-19T13:26:45Z

Guenter am 19. März 2019 um 13:16 Uhr

2019-03-19T13:16:45Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.17 Nichtkohärentes On-Off-Keying nach Aufgaben:Aufgabe 4.17: Nichtkohärentes On-Off-Keying

2018-01-04T06:38:11Z

Guenter verschob die Seite 4.17 Nichtkohärentes On-Off-Keying nach Aufgabe 4.17: Nichtkohärentes On-Off-Keying

Guenter am 26. November 2017 um 15:47 Uhr

2017-11-26T15:47:19Z

Guenter am 26. November 2017 um 15:30 Uhr

2017-11-26T15:30:52Z

Guenter am 26. November 2017 um 14:36 Uhr

2017-11-26T14:36:23Z

@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig istder  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die Energie ist gleich dem Wert $\boldsymbol{s}_0 = C$ in der Signalraumkonstellation zum Quadrat, geteilt durch $2$.
+*Die Energie ist gleich dem Wert&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; in der Signalraumkonstellation zum Quadrat,&nbsp; geteilt durch&nbsp; $2$.
-*Der Faktor $1/2$ berücksichtigt hierbei, dass die Nachricht $m_1$ keinen Energiebeitrag liefert ($\boldsymbol{s}_1 = 0$).
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Die optimale Entscheidergrenze $G$ liegt beim Schnittpunkt der beiden dargestellten Kurven.
+*Die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G$&nbsp; liegt beim Schnittpunkt der beiden dargestellten Kurven.
-*Der Faktor $1/2$ berücksichtigt die gleichwahrscheinlichen Nachrichten $m_0$ und $m_1$. Damit erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
+*Der Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; berücksichtigt die gleichwahrscheinlichen Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$.&nbsp; Damit erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
 :$${G}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - {G^2 }/{2 }\right ] = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac{G^2 - 2 C \cdot G + C^2}{2 }\right ]$$
@@ Zeile 91: / Zeile 92: @@
-'''(3)'''&nbsp; Mit $C = 4$ lautet die unter (2) angegebene Bestimmungsgleichung
+'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $C = 4$&nbsp; lautet die unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; angegebene Bestimmungsgleichung:
 :$$f(G) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - C/2 - {1}/({2C}) \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi})=  G - 0.25 \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - 2 -  {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi})/8
   \approx G - 0.25 \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - 2.23 = 0
@@ Zeile 102: / Zeile 103: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Die optimale Entscheidergrenze liegt demnach bei $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
+*Die optimale Entscheidergrenze liegt demnach bei&nbsp; $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
@@ Zeile 109: / Zeile 110: @@
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1)+{1}/{ 2}\cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$
-*Der erste Anteil (Verfälschung von $m_1$ nach $m_0$) ergibt sich aus der Überschreitung der Grenze $G$ durch die Rayleighverteilung
+*Der erste Anteil&nbsp; $($Verfälschung von&nbsp; $m_1$&nbsp; nach&nbsp; $m_0)$&nbsp; ergibt sich aus der Überschreitung der Grenze&nbsp; $G$&nbsp; durch die Rayleighverteilung:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1) =   \int_{G}^{\infty} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_1) \,{\rm d} \eta = {\rm e }^{-G^2/2}= {\rm e }^{-3.125}\approx 0.044
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Der zweite Anteil (Verfälschung von $m_0$ nach $m_1$) ergibt sich aus der Riceverteilung, die hier durch die Gaußverteilung angenähert ist:
+*Der zweite Anteil&nbsp; $($Verfälschung von&nbsp; $m_0$&nbsp; nach&nbsp; $m_1)$&nbsp; ergibt sich aus der Riceverteilung,&nbsp; die hier durch die Gaußverteilung angenähert ist:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}| m = m_0) =   \int_{0}^{G} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_0) \,{\rm d} \eta =
     \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{G} {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2} \,{\rm d} \eta
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Anteil lässt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ angeben:
+*Dieser Anteil lässt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral&nbsp;  ${\rm Q}(x)$&nbsp;  angeben:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0) =  {\rm Pr}(y < G-C) = {\rm Pr}(y > C-G) = {\rm Q }(\frac{C-G}{\sigma_n})= {\rm Q }(\frac{4-2.5}{1})= {\rm Q }(1.5) \approx 0.0688
   \hspace{0.05cm}.  $$
@@ Zeile 125: / Zeile 126: @@
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 +{1}/{ 2} \cdot 0.0668 \approx \underline{5.54\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweis'': &nbsp; Eine Systemsimulation hat ergeben, dass sich eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt, wenn man anstelle der Gaußnäherung die tatsächliche Riceverteilung ansetzt. Dann gilt mit $G = 2.5$:
+<u>Hinweise:</u> &nbsp;
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 + {1}/{ 2} \cdot 0.0484 \approx \underline{4.62\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $C = 6$&nbsp; lautet die unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; angegebene Bestimmungsgleichung:
 :$$f(G)=  G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - C/2 - \frac{1}{2C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi}) \approx G -  {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G)/6 - 3.153 = 0
    \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 142: / Zeile 143: @@
-'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(4)''' erhält man mit $G = 3.5$:
+'''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man mit&nbsp; $G = 3.5$:
 :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-G^2/2} +{1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(C-G)=  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-6.125} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.5)=
   {1}/{ 2} \cdot 2.2 \cdot 10^{-3} + {1}/{ 2} \cdot 6.2 \cdot 10^{-3} \underline{= 0.42 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Für&nbsp; $C = 6$&nbsp; ergibt sich mit der hierfür optimalen Entscheidergrenze ($G_{\rm opt} = 3.35$) eine etwa um den Faktor $10$ kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit $C = 4$:
+*Für&nbsp; $C = 6$&nbsp; ergibt sich mit der hierfür optimalen Entscheidergrenze&nbsp; $(G_{\rm opt} = 3.35)$&nbsp; eine etwa um den Faktor&nbsp; $10$&nbsp; kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit&nbsp; $C = 4$:
 :$$p_{\rm S} = {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-5.61} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.65)=
 {1}/{ 2} \cdot 3.6 \cdot 10^{-3} +{1}/{ 2} \cdot 4 \cdot 10^{-3}= {0.38 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung der Riceverteilung (keine Gaußnäherung) liefert einen etwas kleineren Wert: &nbsp; $0.33\%$.
+*Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung der Riceverteilung&nbsp; (keine Gaußnäherung)&nbsp; liefert einen etwas kleineren Wert: &nbsp; $0.33\%$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
   {\rm Q }(2.65) \approx 0.0040
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Sie können Ihre Ergebnisse mit dem HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp;  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|"Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying"]]&nbsp; überprüfen.
+* Sie können Ihre Ergebnisse mit dem HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp;  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|"Kohärentes und inkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying"]]&nbsp; überprüfen.

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2078__Dig_A_4_17.png|right|frame|Rayleigh– und Riceverteilung]]
+[[Datei:P_ID2078__Dig_A_4_17.png|right|frame|Rayleigh– und Rice-WDF]]
-Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i>&nbsp; (OOK) ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK&ndash;Signalraumpunkte bei&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_0)$&nbsp; und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_1)$&nbsp; liegen.
+Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen,&nbsp; die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying" &nbsp;$\rm (OOK)$&nbsp; ergeben.&nbsp; Dabei wird vorausgesetzt,&nbsp; dass die zwei OOK&ndash;Signalraumpunkte bei&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_0)$&nbsp; und bei&nbsp; $\boldsymbol{s}_1 = 0$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_1)$&nbsp; liegen.
 Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit dieses Systems wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für&nbsp; $m = m_1$&nbsp; ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):
+*Mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n = 1$,&nbsp; die im Folgenden vorausgesetzt wird,&nbsp; lautet die sich für&nbsp; $m = m_1$&nbsp; ergebende Rayleighverteilung&nbsp; (blaue Kurve):
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}| m_1) = \eta \cdot {\rm e }^{-\eta^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Riceverteilung (rote Kurve) kann man im vorliegenden Fall $($wegen &nbsp;$C\gg \sigma_n)$&nbsp; durch eine Gaußkurve annähern:
+*Die Riceverteilung&nbsp; (rote Kurve)&nbsp; kann man im vorliegenden Fall&nbsp; $($wegen &nbsp;$C\gg \sigma_n)$&nbsp; durch eine Gaußkurve annähern:
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} m_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve.
+Die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve:
-*Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; von&nbsp; $C$&nbsp; abhängt.
+*Aus den beiden Skizzen erkennt man,&nbsp; dass&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; von&nbsp; $C$&nbsp; abhängt.
 *Für die obere Grafik gilt&nbsp; $C = 4$, für die untere&nbsp; $C = 6$.
 *Alle Größen sind normiert und es wird stets&nbsp; $\sigma_n = 1$&nbsp; vorausgesetzt.
@@ Zeile 27: / Zeile 29: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation"]].
 * Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende Näherungen verwenden:
 :$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
   {\rm Q }(2.65) \approx 0.0040
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:On-Off-Keying|Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying]]&nbsp; überprüfen.
+* Sie können Ihre Ergebnisse mit dem HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp;  [[Applets:Kohärentes_und_inkohärentes_On-Off-Keying|"Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying"]]&nbsp; überprüfen.
@@ Zeile 44: / Zeile 47: @@
 - $E_{\rm S} = C$,
 - $E_{\rm S} = C^2$,
-+ $E_{\rm S} = C^2/2$.
++ $E_{\rm S} = C^2\hspace{-0.1cm}/2$.
 {Welche Bestimmungsgleichung gilt für die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$?
@@ Zeile 64: / Zeile 67: @@
 $G_{\rm opt} \ = \ $ { 3.35 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $C = 6$&nbsp; und &nbsp;$G = 3.5\approx G_{\rm opt}$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; $C = 6$&nbsp; und &nbsp;$G = 3.5\approx G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.42 3% } $\ \% $

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig istder  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die Energie ist gleich dem Wert $\boldsymbol{s}_0 = C$ in der Signalraumkonstellation zum Quadrat, geteilt durch $2$. Der Faktor $1/2$ berücksichtigt hierbei, dass die Nachricht $m_1$ keinen Energiebeitrag liefert ($\boldsymbol{s}_1 = 0$).
+*Die Energie ist gleich dem Wert $\boldsymbol{s}_0 = C$ in der Signalraumkonstellation zum Quadrat, geteilt durch $2$.
@@ Zeile 83: / Zeile 85: @@
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C \cdot G - {\rm ln }\hspace{0.15cm} (\sqrt{2\pi} \cdot G) - C^2/2 = 0$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) = C/2 + {1}/({2C}) \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} (\sqrt{2\pi}) = C/2 + {1}/({2C}) \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi})\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 90: / Zeile 93: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden:
+*Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden:
 :$$G = 2.0\text{:}\hspace{0.15cm}f(G) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.403 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}G = 3.0\text{:}\hspace{0.15cm}f(G) = 0.495
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}G = 2.5\text{:}\hspace{0.15cm}f(G) = 0.041\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 96: / Zeile 99: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Die optimale Entscheidergrenze liegt demnach bei $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
+*Die optimale Entscheidergrenze liegt demnach bei $G_{\rm opt} \underline {= 2.46 \approx 2.5}$.
@@ Zeile 102: / Zeile 106: @@
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1)+{1}/{ 2}\cdot {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Anteil (Verfälschung von $m_1$ nach $m_0$) ergibt sich aus der Überschreitung der Grenze $G$ durch die Rayleighverteilung
+*Der erste Anteil (Verfälschung von $m_1$ nach $m_0$) ergibt sich aus der Überschreitung der Grenze $G$ durch die Rayleighverteilung
 :$${\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1) =   \int_{G}^{\infty} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_1) \,{\rm d} \eta = {\rm e }^{-G^2/2}= {\rm e }^{-3.125}\approx 0.044
   \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Anteil (Verfälschung von $m_0$ nach $m_1$) ergibt sich aus der Riceverteilung, die hier durch die Gaußverteilung angenähert ist:
+*Der zweite Anteil (Verfälschung von $m_0$ nach $m_1$) ergibt sich aus der Riceverteilung, die hier durch die Gaußverteilung angenähert ist:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}| m = m_0) =   \int_{0}^{G} p_{y\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m_0) \,{\rm d} \eta =
     \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{G} {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2} \,{\rm d} \eta
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Anteil lässt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ angeben:
+*Dieser Anteil lässt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ angeben:
 :$${\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0) =  {\rm Pr}(y < G-C) = {\rm Pr}(y > C-G) = {\rm Q }(\frac{C-G}{\sigma_n})= {\rm Q }(\frac{4-2.5}{1})= {\rm Q }(1.5) \approx 0.0688
   \hspace{0.05cm}.  $$
-Damit erhält man insgesamt:
+*Damit erhält man insgesamt:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 +{1}/{ 2} \cdot 0.0668 \approx \underline{5.54\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
-Eine Systemsimulation hat ergeben, dass sich eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt, wenn man anstelle der Gaußnäherung die tatsächliche Riceverteilung ansetzt. Dann gilt mit $G = 2.5$:
+''Hinweis'': &nbsp; Eine Systemsimulation hat ergeben, dass sich eine etwas kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt, wenn man anstelle der Gaußnäherung die tatsächliche Riceverteilung ansetzt. Dann gilt mit $G = 2.5$:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot 0.0440 + {1}/{ 2} \cdot 0.0484 \approx \underline{4.62\, \%}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 124: / Zeile 128: @@
 '''(5)'''&nbsp; Mit $C = 6$ lautet die unter (3) angegebene Bestimmungsgleichung
 :$$f(G)=  G - {1}/{C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G) - C/2 - \frac{1}{2C} \cdot {\rm ln }\hspace{0.15cm} ({2\pi}) \approx G -  {\rm ln }\hspace{0.15cm} ( G)/6 - 3.153 = 0
    \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 133: / Zeile 138: @@
 '''(6)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (4) erhält man mit $G = 3.5$:
 :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-G^2/2} +{1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(C-G)=  {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-6.125} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.5)=
   {1}/{ 2} \cdot 2.2 \cdot 10^{-3} + {1}/{ 2} \cdot 6.2 \cdot 10^{-3} \underline{= 0.42 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Für $C = 6$ ergibt sich mit der hierfür optimalen Entscheidergrenze ($G_{\rm opt} = 3.35$) eine etwa um den Faktor $10$ kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit $C = 4$:
+*Für&nbsp; $C = 6$&nbsp; ergibt sich mit der hierfür optimalen Entscheidergrenze ($G_{\rm opt} = 3.35$) eine etwa um den Faktor $10$ kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit $C = 4$:
 :$$p_{\rm S} = {1}/{ 2} \cdot {\rm e }^{-5.61} + {1}/{ 2} \cdot {\rm Q }(2.65)=
 {1}/{ 2} \cdot 3.6 \cdot 10^{-3} +{1}/{ 2} \cdot 4 \cdot 10^{-3}= {0.38 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung der Riceverteilung (keine Gaußnäherung) liefert einen etwas kleineren Wert: $0.33\%$.
+*Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung der Riceverteilung (keine Gaußnäherung) liefert einen etwas kleineren Wert: &nbsp; $0.33\%$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2078__Dig_A_4_17.png|right|frame|Rayleigh– und Riceverteilung]]
-Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i> (OOK) ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK&ndash;Signalraumpunkte bei $\boldsymbol{s}_0 = C$ (Nachricht $m_0$) und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$ (Nachricht $m_1$) liegen.
+Die Abbildung zeigt die beiden Dichtefunktionen, die sich bei einer nichtkohärenten Demodulation von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i>&nbsp; (OOK) ergeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zwei OOK&ndash;Signalraumpunkte bei&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = C$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_0)$&nbsp; und bei $\boldsymbol{s}_1 = 0$&nbsp; $($Nachricht &nbsp;$m_1)$&nbsp; liegen.
 Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit dieses Systems wird durch die folgende Gleichung beschrieben:
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Streuung $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für $m = m_1$ ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):
+Mit der Streuung&nbsp; $\sigma_n = 1$, die im Folgenden vorausgesetzt wird, lautet die sich für&nbsp; $m = m_1$&nbsp; ergebende Rayleighverteilung (blaue Kurve):
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}| m_1) = \eta \cdot {\rm e }^{-\eta^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Riceverteilung (rote Kurve) kann im vorliegenden Fall (wegen $C\gg \sigma_n$) durch eine Gaußverteilung angenähert werden:
+Die Riceverteilung (rote Kurve) kann man im vorliegenden Fall $($wegen &nbsp;$C\gg \sigma_n)$&nbsp; durch eine Gaußkurve annähern:
 :$$p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} m_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\rm e }^{-(\eta-C)^2/2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve. Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass $G_{\rm opt}$ von $C$ abhängt. Für die obere Grafik gilt $C = 4$, für die untere $C = 6$. Alle Größen sind normiert und es wird stets $\sigma_n = 1$ vorausgesetzt.
+Die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$&nbsp; ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
 * Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende Näherungen verwenden:
-:$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+:$${\rm Q }(1.5) \approx 0.0668\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm Q }(2.5) \approx 0.0062\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
   {\rm Q }(2.65) \approx 0.0040
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Berechnungstool  [[Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying]] überprüfen.
+* Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp;  [[Applets:On-Off-Keying|Nichtkohärentes On&ndash;Off&ndash;Keying]]&nbsp; überprüfen.
@@ Zeile 34: / Zeile 40: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der mittleren Symbolenergie $E_{\rm S}$ und der Konstanten $C$ der Riceverteilung? Es gilt:
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der mittleren Symbolenergie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; und der Konstanten&nbsp; $C$&nbsp; der Riceverteilung?
 |type="[]"}
 - $E_{\rm S} = C$,
@@ Zeile 40: / Zeile 46: @@
 + $E_{\rm S} = C^2/2$.
-{Geben Sie eine Bestimmungsgleichung für die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ an. Es gilt:
+{Welche Bestimmungsgleichung gilt für die optimale Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm opt}$?
 |type="[]"}
 - $G = C/2$,
@@ Zeile 46: / Zeile 52: @@
 - $G \, &ndash;1/C \cdot {\rm ln} \, (G)$.
-{Bestimmen Sie die optimale Entscheidergrenze für $C = 4$.
+{Bestimmen Sie die optimale Entscheidergrenze für&nbsp; $C = 4$.
 |type="{}"}
 $G_{\rm opt} \ = \ $ { 2.46 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $C = 4$ und $G = 2.5 \approx G_{\rm opt}$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; $C = 4$&nbsp; und&nbsp; $G = 2.5 \approx G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 5.54 3% } $\ \% $
-{Bestimmen Sie die optimale Entscheiderschwelle für $C = 6$.
+{Bestimmen Sie die optimale Entscheiderschwelle für&nbsp; $C = 6$.
 |type="{}"}
 $G_{\rm opt} \ = \ $ { 3.35 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $C = 6$ und $G = 3.5\approx G_{\rm opt}$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $C = 6$&nbsp; und &nbsp;$G = 3.5\approx G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.42 3% } $\ \% $

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 14:36 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:

	Die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve. Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass $G_{\rm opt}$ von $C$ abhängt. Für die obere Grafik gilt $C = 4$, für die untere $C = 6$. Alle Größen sind normiert und es wird stets $\sigma_n = 1$ vorausgesetzt.		Die optimale Entscheidergrenze $G_{\rm opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt von roter und blauer Kurve. Aus den beiden Skizzen erkennt man, dass $G_{\rm opt}$ von $C$ abhängt. Für die obere Grafik gilt $C = 4$, für die untere $C = 6$. Alle Größen sind normiert und es wird stets $\sigma_n = 1$ vorausgesetzt.
		+
		+
		+
		+	''Hinweise:''
		+	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
		+	* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Frequency_Shift_Keying_.282.E2.80.93FSK.29\|'' Binary_Frequency_Shift_Keying'']](BPSK) und [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Minimum_Shift_Keying_.28MSK.29\|''Minimum Shift Keying'']] (MSK).
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
		+

	''Hinweise:''		''Hinweise:''