Aufgaben:Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion - Versionsgeschichte

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2026-02-24T13:39:43Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Bedingung   $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$   folgt:		'''(1)'''  Aus der Bedingung   $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$   folgt:
	:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}		:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}1- \lambda & 1/3 \\1/3 & 1- \lambda\end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$
	1- \lambda & 1/3 \\
	1/3 & 1- \lambda
	\end{array} \right] = (1-\lambda)^2 -{1}/{9} = 0
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 -2\lambda+ {8}/{9}= 0
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda_{1/2}= 1 \pm
	\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$

	*Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit   $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$   und   $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.		*Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit   $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$   und   $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.
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	'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.		'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.
	*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes,  dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\cdot\sigma_1$  bis  $+4\cdot\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\cdot\sigma_2$  bis  $+4\cdot\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind,  erhält man		*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes,  dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\cdot\sigma_1$  bis  $+4\cdot\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\cdot\sigma_2$  bis  $+4\cdot\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind,  erhält man
	:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8		:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot\sigma_2 .$$
	\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
	\sigma_2 .$$

	*Der Quotient lautet somit mit   $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und   $\sigma_2^2 = \lambda_2$:		*Der Quotient lautet somit mit   $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und   $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
	:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}		:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$
	\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$



	'''(3)'''  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:		'''(3)'''  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:
	:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}		:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}1-\lambda & 1/3 & 1/3\\1/3 & 1-\lambda & 1/3\\1/3 & 1/3 & 1-\lambda\end{array}\right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 -\frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) -\frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} -\frac{1}{3}(1- \lambda)\right] = 0$$
	1-\lambda & 1/3 & 1/3\\		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+\frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} (\lambda - \frac{2}{3})= 0$$
	1/3 & 1-\lambda & 1/3\\		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} -\lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} +\frac{2}{9}\lambda = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 +\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$
	1/3 & 1/3 & 1-\lambda
	\end{array}\right] = 0 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) \left[(1- \lambda)^2 -
	\frac{1}{9} \right]- \frac{1}{3} \left[\frac{1}{3}(1- \lambda) -
	\frac{1}{9} \right] + \frac{1}{3} \left[\frac{1}{9} -
	\frac{1}{3}(1- \lambda)
	\right] = 0$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda) (\lambda^2 -2\lambda+
	\frac{8}{9})- \frac{1}{9} (\frac{2}{3}- \lambda )+ \frac{1}{9} (
	\lambda - \frac{2}{3})= 0$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^2 - 2\lambda + \frac{8}{9} -
	\lambda^3 + 2 \lambda^2 - \frac{8}{9}\lambda - \frac{4}{27} +
	\frac{2}{9}\lambda = 0 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda^3 - 3 \lambda^2 +
	\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

	*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben,  ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.		*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben,  ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.
	*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu		*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu
	:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -		:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$
	{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -
	{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

	*Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$		*Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$
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	'''(4)'''  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe  '''(2)'''  ergibt sich hier:		'''(4)'''  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe  '''(2)'''  ergibt sich hier:
	:$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot		:$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}= \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$
	\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}
	= \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. März 2022 um 15:37 Uhr

2022-03-29T15:37:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 17:37 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Bedingung  $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$  folgt:		'''(1)'''  Aus der Bedingung   $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$   folgt:
	:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}		:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}
	1- \lambda & 1/3 \\		1- \lambda & 1/3 \\
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	\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$		\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$

	*Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit  $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$  und  $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.		*Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit   $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$   und   $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.



	'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.		'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.
	*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\sigma_1$  bis  $+4\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\sigma_2$  bis  $+4\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind, erhält man		*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes,  dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\cdot\sigma_1$  bis  $+4\cdot\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\cdot\sigma_2$  bis  $+4\cdot\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind,  erhält man
	:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8		:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
	\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot		\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
	\sigma_2 .$$		\sigma_2 .$$

	*Der Quotient lautet somit mit  $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und  $\sigma_2^2 = \lambda_2$:		*Der Quotient lautet somit mit   $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und   $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
	:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}		:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
	\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$		\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$
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	\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$		\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

	*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.		*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben,  ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.
	*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu		*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu
	:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -		:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -

Guenter am 29. März 2022 um 15:20 Uhr

2022-03-29T15:20:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 17:20 Uhr
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	* Die eindimensionale Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  ist durch die Varianz  $\sigma^2 = 1$  bzw. die Streuung  $\sigma = 1$  charakterisiert. <br>Wegen der Dimension  $N= 1$  gilt  $\mathbf{x} = x$.		* Die eindimensionale Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  ist durch die Varianz  $\sigma^2 = 1$  bzw. die Streuung  $\sigma = 1$  charakterisiert. <br>Wegen der Dimension  $N= 1$  gilt  $\mathbf{x} = x$.

	* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten  $y_1$  und  $y_2$  der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  beträgt  $\rho = 1/3$  $($siehe Matrix  $\mathbf{K_y})$. <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.		* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten  $y_1$  und  $y_2$  der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  beträgt  $\rho = 1/3$  $($siehe Matrix  $\mathbf{K_y})$. <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung  $\sigma = 1$  auf.

	* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  ist durch die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$  vollständig bestimmt.		* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  ist durch die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$  vollständig bestimmt.


	Quantisiert man die Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  im Bereich zwischen  $-4$  und  $+4$  mit Intervallbreite  $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.		Quantisiert man die Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  im Bereich zwischen  $-4$  und  $+4$  mit Intervallbreite  $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte,  für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.

	Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen  $y_1$  und  $y_2$  nicht berücksichtigt.		Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare,  wenn man die Korrelation zwischen  $y_1$  und  $y_2$  nicht berücksichtigt.

	Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem  $(y_1, y_2)$  zum neuen System  $(\eta_1, \eta_2)$  – ergibt sich eine geringere Zahl  $N_2\hspace{0.01cm}'$  quantisierter Wertepaare.		Durch Ausnutzung dieser Korrelation  – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem  $(y_1,\ y_2)$  zum neuen System  $(\eta_1,\ \eta_2)$  –  ergibt sich eine geringere Zahl  $N_2\hspace{0.01cm}'$  quantisierter Wertepaare.

	*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung  $(\sigma_1$  bzw.  $\sigma_2)$  im Bereich von  $-4$  bis  $+4$  zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.		*Hierbei ist zu berücksichtigen,  dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung  $(\sigma_1$  bzw.  $\sigma_2)$  im Bereich von  $-4$  bis  $+4$  zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

	*Den Quotienten  $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$  bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$.		*Den Quotienten  $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$  bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$.
	*In analoger Definition ist  $N_3'/N_3$  der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  für  $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$		*In analoger Definition ist  $N_3'/N_3$  der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  für  $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
	*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.		*Anzumerken ist,  dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.


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			Hinweise:



	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
	*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren\|Eigenwerte und Eigenvektoren]]  Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren\|Eigenwerte und Eigenvektoren]]  Bezug genommen.
	*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  ~~sowie  ~~[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten
			**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]],
			**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].

	*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$		*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$. Es gelte  $\lambda_1 \ge \lambda_2$.		{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$.  Es gelte  $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
Zeile 51:		Zeile 49:


	{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der ~~2D-~~Zufallsgröße  $\mathbf{y}$?		{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der zweidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{y}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }		$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }


	{Es gelte  $\lambda_1 = 5/3$.  Berechnen Sie die Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3 \le \lambda_2$  von  $\mathbf{K_z}$.		{Es gelte  $\lambda_1 = 5/3$.  Berechnen Sie die Eigenwerte   $\lambda_2$   und   $\lambda_3 \le \lambda_2$   von  $\mathbf{K_z}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$		$\lambda_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$
Zeile 62:		Zeile 60:


	{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der ~~3D-~~Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?		{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }		$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }

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2022-03-19T15:29:09Z

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(kein Unterschied)

Guenter am 5. Dezember 2019 um 15:31 Uhr

2019-12-05T15:31:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2019, 17:31 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Bedingung $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$ folgt:		'''(1)'''  Aus der Bedingung  $\mathbf{K_y} - \lambda \cdot\mathbf{E} = 0$  folgt:
	:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}		:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}
	1- \lambda & 1/3 \\		1- \lambda & 1/3 \\
Zeile 81:		Zeile 81:
	\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$		\sqrt{1-{8}/{9}}= 1 \pm {1}/{3}.$$

	Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$ und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.		*Die Eigenwerte dieser  $2\times2$-Matrix sind somit  $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$  und  $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.


	'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare.
	*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man		'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es  $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$  verschiedene Wertepaare.
			*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten  $\eta_1$  und  $\eta_2$  jeweils im Bereich von  $-4\sigma_1$  bis  $+4\sigma_1$  $($bzw. von  $-4\sigma_2$  bis  $+4\sigma_2)$ ) zu quantisieren sind, erhält man
	:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8		:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
	\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot		\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
	\sigma_2 .$$		\sigma_2 .$$

	*Der Quotient lautet somit mit $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und  $\sigma_2^2 = \lambda_2$:		*Der Quotient lautet somit mit  $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und  $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
	:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}		:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
	\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$		\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$


	'''(3)'''  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:
			'''(3)'''  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:
	:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}		:$${\rm det} \left[ \begin{array}{ccc}
	1-\lambda & 1/3 & 1/3\\		1-\lambda & 1/3 & 1/3\\
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	*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.		*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.
	*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu		*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3$  zu
	:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -		:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
	{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -		{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -
	{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$		{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

	Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$		*Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$

			*Die weiteren Eigenwerte neben  $\lambda_1= 5/3$  sind somit gleich und ergeben sich zu   $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

	~~Die weiteren Eigenwerte neben $\lambda_1= 5/3$ sind somit gleich und ergeben sich zu   $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.~~


	'''(4)'''  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe '''(2)''' ergibt sich hier:		'''(4)'''  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe  '''(2)'''  ergibt sich hier:
	:$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot		:$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot
	\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}		\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}

Guenter am 5. Dezember 2019 um 15:23 Uhr

2019-12-05T15:23:11Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png\|right\|frame\|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_z}$ ]]		[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png\|right\|frame\|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$  und  $\mathbf{K_z}$ ]]
	Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:		Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen  $\mathbf{x}$,  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  mit den Dimensionen  $N= 1$,  $N= 2$  und  $N= 3$:
	* Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. <br>Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.		* Die eindimensionale Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  ist durch die Varianz  $\sigma^2 = 1$  bzw. die Streuung  $\sigma = 1$  charakterisiert. <br>Wegen der Dimension  $N= 1$  gilt  $\mathbf{x} = x$.

	* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.		* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten  $y_1$  und  $y_2$  der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  beträgt  $\rho = 1/3$  $($siehe Matrix  $\mathbf{K_y})$. <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.

	* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.		* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  ist durch die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$  vollständig bestimmt.


	Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$  mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.		Quantisiert man die Zufallsgröße  $\mathbf{x}$  im Bereich zwischen  $-4$  und  $+4$  mit Intervallbreite  $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.

	Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$  und  $y_2$ nicht berücksichtigt.		Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße  $\mathbf{y}$  insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen  $y_1$  und  $y_2$  nicht berücksichtigt.

	Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ – ergibt sich eine geringere Zahl $N_2\hspace{0.01cm}'$ quantisierter Wertepaare.		Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem  $(y_1, y_2)$  zum neuen System  $(\eta_1, \eta_2)$  – ergibt sich eine geringere Zahl  $N_2\hspace{0.01cm}'$  quantisierter Wertepaare.

	*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$ bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.		*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung  $(\sigma_1$  bzw.  $\sigma_2)$  im Bereich von  $-4$  bis  $+4$  zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

	*Den Quotienten $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$.		*Den Quotienten  $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$  bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$.
	*In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$		*In analoger Definition ist  $N_3'/N_3$  der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße  $\mathbf{z}$  für  $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
	*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.		*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.





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	*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  sowie  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  sowie  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].

	*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$		*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von  $\mathbf{K_z}$  lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
	*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.		*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist  $\lambda_1 = 5/3$.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.		{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$. Es gelte  $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
Zeile 48:		Zeile 51:


	{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?		{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße  $\mathbf{y}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }		$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }


	{Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.		{Es gelte  $\lambda_1 = 5/3$.  Berechnen Sie die Eigenwerte  $\lambda_2$  und  $\lambda_3 \le \lambda_2$  von  $\mathbf{K_z}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$		$\lambda_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$
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	{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?		{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }		$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }

Guenter am 22. August 2018 um 09:25 Uhr

2018-08-22T09:25:00Z

Guenter am 22. August 2018 um 09:17 Uhr

2018-08-22T09:17:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 11:17 Uhr
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	*In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$		*In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
	*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.		*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.



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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren\|Eigenwerte und Eigenvektoren]] Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren\|Eigenwerte und Eigenvektoren]]  Bezug genommen.
	*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  sowie  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].

	*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$		*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
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	{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.		{Berechnen Sie die Eigenwerte der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$. Es gelte $\lambda_1 \ge \lambda_2$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1.333 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
	$\~~lambda_1~~ \ = $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$		$\lambda_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$


	{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?		{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_2'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }		$N_2\hspace{0.01cm}'/N_2 \ = $ { 0.943 3% }


	{Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.		{Es gelte $\lambda_1 = 5/3$. Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3 \le \lambda_2$ von $\mathbf{K_z}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_2 \ = $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$		$\lambda_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_2 \ge \lambda_3)$
	$\lambda_3 \ = $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_3 \le \lambda_2)$		$\lambda_3 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ (\lambda_3 \le \lambda_2)$


	{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?		{Wie groß ist der Datenreduktionsfaktor bei der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_3'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }		$N_3\hspace{0.01cm}'/N_3 \ = $ { 0.861 3% }

Guenter am 22. August 2018 um 08:47 Uhr

2018-08-22T08:47:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 10:47 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png\|right\|~~Zur 2D-~~ und ~~3D-Datenreduktion~~]]		[[Datei:P_ID678__Sto_Z_4_16.png\|right\|frame\|Korrelationsmatrizen <br>$\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_z}$ ]]
	Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:		Wir betrachten Gaußsche mittelwertfreie Zufallsgrößen $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ mit den Dimensionen $N= 1$, $N= 2$ und $N= 3$:
	* Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.		* Die eindimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist durch die Varianz $\sigma^2 = 1$ bzw. die Streuung $\sigma = 1$ charakterisiert. <br>Wegen der Dimension $N= 1$ gilt $\mathbf{x} = x$.
	* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). $y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.
			* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Komponenten $y_1$ und $y_2$ der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$ beträgt $\rho = 1/3$ (siehe Matrix $\mathbf{K_y}$). <br>$y_1$ und $y_2$ weisen ebenfalls die Streuung $\sigma = 1$ auf.

	* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.		* Die Statistik der dreidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{z}$ ist durch die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$ vollständig bestimmt.

	Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$ mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt $N_1 = 256$ unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit $n_1 = 8\ \rm {Bit}$ benötigt würden.

	Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt $N_2 = 256^2 = 65536$ unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$ und $y_2$ nicht berücksichtigt. Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ – ergibt sich eine geringere Zahl $N_2'$ quantisierter Wertepaare.		Quantisiert man die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ im Bereich zwischen $-4$ und $+4$  mit Intervallbreite $\Delta_x = 1/32$, so gibt es insgesamt  $N_1 = 256$  unterschiedliche Quantisierungswerte, für deren Übertragung somit  $n_1 = 8\ \rm {Bit}$  benötigt würden.

			Analog ergeben sich bei der Zufallsgröße $\mathbf{y}$ insgesamt  $N_2 = 256^2 = 65536$  unterschiedliche quantisierte Wertepaare, wenn man die Korrelation zwischen $y_1$  und  $y_2$ nicht berücksichtigt.

			Durch Ausnutzung dieser Korrelation – zum Beispiel durch Koordinatentransformation vom Ursprungsystem $(y_1, y_2)$ zum neuen System $(\eta_1, \eta_2)$ – ergibt sich eine geringere Zahl $N_2\hspace{0.01cm}'$ quantisierter Wertepaare.

			*Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$ bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

			*Den Quotienten $N_2\hspace{0.01cm}'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$.
			*In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$
			*Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.



	Hierbei ist zu berücksichtigen, dass jede Komponente entsprechend ihrer jeweiligen Streuung ($\sigma_1$ bzw. $\sigma_2$) im Bereich von $-4$ bis $+4$ zu quantisieren ist und die Quantisierungsintervalle in beiden Richtungen gleich sein sollen:   $\Delta_x = \Delta_y =1/32$.

	Den Quotienten $N_2'/N_2$ bezeichnen wir als Datenreduktionsfaktor bezüglich der 2D-Zufallsgröße $\mathbf{y}$. In analoger Definition ist $N_3'/N_3$ der entsprechende Reduktionsfaktor der 3D-Zufallsgröße $\mathbf{z}$ für $\Delta_x = \Delta_y =\Delta_z =1/32.$ Anzumerken ist, dass in beiden Fällen ein möglichst kleiner Wert dieses Quotienten günstig wäre.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
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	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren\|Eigenwerte und Eigenvektoren]] Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Eigenwerte_und_Eigenvektoren\|Eigenwerte und Eigenvektoren]] Bezug genommen.
	*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		*Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$		*Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:   $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda - {20}/{27} = 0.$
	*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.		*Eine der drei Lösungen dieser Gleichung ist $\lambda_1 = 5/3$.

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 11:25 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:

	Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$ und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.		Die Eigenwerte dieser $2\times2$-Matrix sind somit $\lambda_1 = 4/3\hspace{0.15cm}\underline{=1.333}$ und $\lambda_2 = 2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.


	'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare.		'''(2)'''  Ohne Berücksichtigung von Korrelationen gibt es $N_2 = \left({8}/{ \Delta_x}\right)^2= 256^2 = 65536$ verschiedene Wertepaare.
	*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man		*Unter Berücksichtigung der Korrelationen und des Sachverhaltes, dass die beiden durch Koordinatendrehung entstandenen Komponenten $\eta_1$ und $\eta_2$ jeweils im Bereich von $-4\sigma_1$ bis $+4\sigma_1$ (bzw. von $-4\sigma_2$ bis $+4\sigma_2$) zu quantisieren sind, erhält man
	:$$N_2' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8		:$$N_2\hspace{0.01cm}' = \frac{8 \hspace{0.05cm}\sigma_1}{\it \Delta_x}\cdot\frac{8
	\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot		\hspace{0.05cm}\sigma_2}{\it \Delta_y}= N_2 \cdot \sigma_1 \cdot
	\sigma_2 .$$		\sigma_2 .$$

	*Der Quotient lautet somit mit $\sigma_1^2 = \lambda_1$ und $\sigma_2^2 = \lambda_2$:		*Der Quotient lautet somit mit $\sigma_1^2 = \lambda_1$  und  $\sigma_2^2 = \lambda_2$:
	:$${N_2'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}		:$${N_2\hspace{0.01cm}'}/{N_2} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 = \sqrt{{4}/{3}}
	\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$		\cdot \sqrt{{2}/{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.943}.$$


	'''(3)'''  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:		'''(3)'''  Die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte von $\mathbf{K_z}$ lautet:
Zeile 110:		Zeile 112:
	\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$		\frac{24}{9}\lambda - \frac{20}{27} = 0.$$

	Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$. Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu		*Diese Gleichung wurde bereits als Lösungshinweis angegeben, ebenso wie eine der Lösungen:   $\lambda_1= 5/3$.
			*Damit ergibt sich die Bestimmungsgleichung für die weiteren Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ zu
	:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -		:$$\frac{\lambda^3 - 3 \lambda^2 + {24}/{9}\lambda -
	{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -		{20}/{27}}{\lambda -{5}/{3}} = \lambda^2 -
	{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$		{4}/{3} \cdot \lambda + {4}/{9} =0.$$

	Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen: $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$		Diese Bestimmungsgleichung lässt sich wie folgt umformen:   $(\lambda - {2}/{3})^2 =0.$

			Die weiteren Eigenwerte neben $\lambda_1= 5/3$ sind somit gleich und ergeben sich zu   $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.

	~~Die weiteren Eigenwerte neben $\lambda_1= 5/3$ sind somit gleich und ergeben sich zu $\lambda_2 = \lambda_3 =2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}$.~~

	'''(4)'''  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe (2) ergibt sich hier:		'''(4)'''  Analog zur Vorgehensweise in der Teilaufgabe '''(2)''' ergibt sich hier:
	:$${N_3'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot		:$${N_3\hspace{0.01cm}'}/{N_3} = \sqrt{\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot
	\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}		\lambda_3} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}
	= \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$		= \sqrt{\frac{20}{27}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.861}.$$