Aufgaben:Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren - Versionsgeschichte

Guenter am 29. März 2022 um 14:23 Uhr

2022-03-29T14:23:35Z

Guenter am 29. März 2022 um 14:13 Uhr

2022-03-29T14:13:07Z

Guenter am 29. März 2022 um 13:50 Uhr

2022-03-29T13:50:45Z

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:49 Uhr

2019-12-05T14:49:22Z

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:32 Uhr

2019-12-05T14:32:48Z

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:29 Uhr

2019-12-05T14:29:29Z

Guenter am 22. August 2018 um 08:36 Uhr

2018-08-22T08:36:25Z

Guenter am 22. August 2018 um 08:24 Uhr

2018-08-22T08:24:13Z

Guenter am 22. August 2018 um 08:19 Uhr

2018-08-22T08:19:46Z

Guenter am 22. August 2018 um 08:01 Uhr

2018-08-22T08:01:51Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *$\mathbf{K_y}$&nbsp; ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
 *Der Parameter&nbsp; $\rho$&nbsp; gibt den Korrelationskoeffizienten an.&nbsp; Dieser kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; inclusive dieser Randwerte annehmen.
@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
-'''(4)'''&nbsp; Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; in die Korrelationsmatrix:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
 :$$\left[ \begin{array}{cc}
 - (1+\rho) & \rho \\
@@ Zeile 147: / Zeile 149: @@
 \end{array} \right].$$
-[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png|right|frame|Zur Drehung des Koordinatensystems]]
+[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png|right|frame|Koordinatensystemdrehung]]
 Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:
 :$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[
@@ Zeile 161: / Zeile 163: @@
 In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
-*Das durch&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
+*Das durch&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; festgelegte Koordinatensystem liegt in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
 *Mit&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2$&nbsp; ergibt sich fast immer&nbsp; $($Ausnahme: &nbsp; $\rho= 0)$&nbsp; der Drehwinkel&nbsp; $\alpha = 45^\circ$.
 *Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
@@ Zeile 168: / Zeile 170: @@
 {1}/{2}\cdot \arctan
 (\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
-*Die Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.
+*Die Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen,&nbsp; sondern die  Varianzen.
-'''(5)'''&nbsp; Durch Vergleich der Matrizen&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; erhält man
+'''(5)'''&nbsp; Durch Vergleich der Matrizen &nbsp; $\mathbf{K_x}$ &nbsp; und &nbsp; $\mathbf{K_z}$ &nbsp; erhält man
 *$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
 *$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 |type="[]"}
 + $\mathbf{K_y}$&nbsp; beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit &nbsp;$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
-+ Der Wertebereich des Parameters &nbsp;$\rho$&nbsp; ist &nbsp;$-1 \le \rho \le +1$.
++ Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten ist &nbsp;$-1 \le \rho \le +1$.
-- Der Wertebereich des Parameters &nbsp;$\rho$&nbsp; ist &nbsp;$0 < \rho < 1$.
+- Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten ist &nbsp;$0 < \rho < 1$.
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
-{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.&nbsp;  Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $, wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
+{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.&nbsp;  Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $,&nbsp; wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ =  \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 {Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
++ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp; und &nbsp; $\mathbf{\eta_2}$ &nbsp; liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
 + Die neuen Koordinaten sind  um&nbsp; $45^\circ$&nbsp; gedreht.
 - Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png|right|frame|Drei Korrelationsmatrizen]]
-Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als&nbsp; $N = 2$&nbsp; Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
+Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als&nbsp; $N = 2$&nbsp; Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht,&nbsp; beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
-In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; der 2D&ndash;Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$&nbsp; angegeben, wobei&nbsp; $\sigma_1^2$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_2^2$&nbsp; die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.&nbsp;  $\rho$&nbsp; bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.
+In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix &nbsp; $\mathbf{K_x}$ &nbsp; der 2D&ndash;Zufallsgröße &nbsp; $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$ &nbsp; angegeben,&nbsp; wobei&nbsp; $\sigma_1^2$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_2^2$&nbsp; die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.&nbsp;  $\rho$&nbsp; bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.
-Die Zufallsgrößen&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; geben zwei Spezialfälle von&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; bzw.&nbsp;  $\mathbf{K_z}$&nbsp; bestimmt werden sollen.
+Die Zufallsgrößen &nbsp; $\mathbf{y}$ &nbsp; und &nbsp; $\mathbf{z}$ &nbsp; geben zwei Spezialfälle von &nbsp; $\mathbf{x}$ &nbsp; an,&nbsp; deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; bzw.&nbsp;  $\mathbf{K_z}$&nbsp; bestimmt werden sollen.
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
+*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;
-* Entsprechend der Seite &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen]]&nbsp; ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
+**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp;
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
 \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
 *Insbesondere ist zu beachten:
-**Eine&nbsp; $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$.
+**Eine&nbsp; $2×2$&ndash;Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$.
-**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren&nbsp; $\xi_1$&nbsp; und&nbsp; $\xi_2$.
+**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren &nbsp; $\xi_1$ &nbsp; und &nbsp; $\xi_2$.
 **Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.

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 *Der Parameter&nbsp; $\rho$&nbsp; gibt den Korrelationskoeffizienten an.&nbsp; Dieser kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; inclusive dieser Randwerte annehmen.
 '''(2)'''&nbsp; In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:
@@ Zeile 98: / Zeile 99: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
 :$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow
 \hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
-*Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
+*Für&nbsp; $\rho= 0.5$&nbsp; erhält man&nbsp; $\underline{\lambda_{1} =1.5}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
-*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.
+*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich&nbsp; $-1 \le \rho \le +1$.
-*Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
+*Für&nbsp; $\rho = 0$&nbsp; ist&nbsp; $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
-*Bei $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1  = 2$ und $\lambda_2  = 0$.
+*Für&nbsp; $\rho = \pm 1$&nbsp; ergibt sich $\lambda_1  = 2$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2  = 0$.
 '''(4)'''&nbsp; Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:
 :$$\left[ \begin{array}{cc}
 - (1+\rho) & \rho \\
@@ Zeile 160: / Zeile 163: @@
 \end{array} \right].$$
-In der nebenstehenden Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
+In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
-*Das neue, durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
+*Das durch&nbsp; $\mathbf{\eta_1}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$&nbsp; festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
-*Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme: &nbsp; $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.
+*Mit&nbsp; $\sigma_1 = \sigma_2$&nbsp; ergibt sich fast immer&nbsp; $($Ausnahme: &nbsp; $\rho= 0)$&nbsp; der Drehwinkel&nbsp; $\alpha = 45^\circ$.
 *Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
@@ Zeile 168: / Zeile 171: @@
 {1}/{2}\cdot \arctan
 (\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
-*Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.
+*Die Eigenwerte&nbsp; $\lambda_1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die  Varianzen.
@@ Zeile 174: / Zeile 177: @@
-'''(5)'''&nbsp; Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man
+'''(5)'''&nbsp; Durch Vergleich der Matrizen&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_z}$&nbsp; erhält man
 *$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
 *$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
 *$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.
@@ Zeile 185: / Zeile 189: @@
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}
 =5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$
@@ Zeile 207: / Zeile 212: @@
 ({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$
-Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße $\mathbf{z}$:
+Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{z}$:
-* Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.
+* Wegen&nbsp; $\rho = 1$&nbsp; liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten&nbsp; $z_1$&nbsp; und&nbsp; $z_2 = z_1/2$.
-*Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.
+*Durch die Drehung um den Winkel&nbsp; $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$&nbsp; entsteht ein neues Koordinatensystem.
-*Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$),
+*Die Varianz entlang der Achse&nbsp; $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt&nbsp; $\lambda_1 = 5$&nbsp; $($Streuung&nbsp; $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
-*während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
+*während in der dazu orthogonalen Richtung&nbsp; $\mathbf{\zeta_2}$&nbsp; die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist&nbsp; $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 Die Zufallsgrößen&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{z}$&nbsp; geben zwei Spezialfälle von&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; bzw.&nbsp;  $\mathbf{K_z}$&nbsp; bestimmt werden sollen.
@@ Zeile 46: / Zeile 48: @@
-{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.
+{Geben Sie die Eigenwerte von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.&nbsp;  Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $, wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ =  \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 <br>Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $, wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
-$\lambda_1 \ =  \ $ { 2 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
+$\lambda_1 \ =  \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
-$\lambda_2 \ =  \ $ { 0. } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
+$\lambda_2 \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
-{Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der Kovarianzmatrix $\mathbf{K_z}$.
+{Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$.
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ = \  $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 {Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ zu?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{K_y}$ beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
++ $\mathbf{K_y}$ beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit &nbsp;$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
-+ Der Wertebereich des Parameters $\rho$ ist $-1 \le \rho \le +1$.
++ Der Wertebereich des Parameters &nbsp;$\rho$&nbsp; ist &nbsp;$-1 \le \rho \le +1$.
-- Der Wertebereich des Parameters $\rho$ ist $0 < \rho < 1$.
+- Der Wertebereich des Parameters &nbsp;$\rho$&nbsp; ist &nbsp;$0 < \rho < 1$.
-{Berechnen Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung $\sigma = 1$ und $\rho = 0$.
+{Berechnen Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; und &nbsp;$\rho = 0$.
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ = \ $ { 1 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
-{Geben Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung $\sigma = 1$ sowie $0 < \rho < 1$ an.
+{Geben Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung &nbsp;$\sigma = 1$&nbsp; sowie &nbsp;$0 < \rho < 1$&nbsp; an.
-<br>Welche Werte ergeben sich für $\rho = 0.5 $, wobei $\lambda_1 \ge \lambda_2$ vorausgesetzt wird?
+<br>Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$\rho = 0.5 $, wobei &nbsp;$\lambda_1 \ge \lambda_2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
 $\lambda_1 \ =  \ $ { 2 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
-{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$. <br>Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$. <br>Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
++ $\mathbf{\eta_1}$ &nbsp;und&nbsp; $\mathbf{\eta_2}$ liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
 + Die neuen Koordinaten sind  um $45^\circ$ gedreht.
 - Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind $\lambda_1$ und $\lambda_2$.
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
-{Um welchen Winkel $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem $(\mathbf{\zeta_1}, \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System $(\mathbf{z_1}, \mathbf{z_2})$ gedreht?
+{Um welchen Winkel $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$ gedreht?
 |type="{}"}
 $\alpha \ =  \ $ { 26.56 3% } $\ \rm Grad$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png|right|Drei Korrelationsmatrizen]]
+[[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png|right|frame|Drei Korrelationsmatrizen]]
-Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als $N = 2$ Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
+Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als $N = 2$ Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.
-In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix $\mathbf{K_x}$ der 2D&ndash;Zufallsgröße $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$ angegeben, wobei $\sigma_1^2$ und $\sigma_2^2$ die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$ bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.
+In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix $\mathbf{K_x}$ der 2D&ndash;Zufallsgröße $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$ angegeben, wobei $\sigma_1^2$ und $\sigma_2^2$ die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$&nbsp; bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]
+*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
+* Entsprechend der Seite &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen]]&nbsp; ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
 :$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
 \frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
@@ Zeile 24: / Zeile 28: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen treffen für die Kovarianzmatrix $\mathbf{K_y}$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ zu?
 |type="[]"}
 + $\mathbf{K_y}$ beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
@@ Zeile 33: / Zeile 37: @@
 {Berechnen Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung $\sigma = 1$ und $\rho = 0$.
 |type="{}"}
-$\lambda_1 \ = $ { 1 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
+$\lambda_1 \ = \ $ { 1 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
-$\lambda_2 \ = $ { 1 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
+$\lambda_2 \ = \  $ { 1 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
@@ Zeile 40: / Zeile 44: @@
 <br>Welche Werte ergeben sich für $\rho = 0.5 $, wobei $\lambda_1 \ge \lambda_2$ vorausgesetzt wird?
 |type="{}"}
-$\rho = 0.5\text{:} \;\lambda_1 \ = $ { 2 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
+$\lambda_1 \ =  \ $ { 2 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
-$\rho = 0.5\text{:} \;\lambda_2 \ = $ { 0. } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
+$\lambda_2 \ =  \ $ { 0. } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
-{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$. <br>Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 + $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
@@ Zeile 53: / Zeile 57: @@
 {Wie lauten die Kenngrößen der durch $\mathbf{K_z}$ festgelegten Zufallsgröße $\mathbf{z}$?
 |type="{}"}
-$\sigma_1$ = { 2 3% }
+$\sigma_1 = \ $ { 2 3% }
-$\sigma_2$ = { 1 3% }
+$\sigma_2 = \ $ { 1 3% }
-$\rho$ = { 1 3% }
+$\rho = \ $ { 1 3% }
 {Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der Kovarianzmatrix $\mathbf{K_z}$.
 |type="{}"}
-$\lambda_1 \ = $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
+$\lambda_1 \ = \  $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
-$\lambda_2 \ = $ { 0. } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
+$\lambda_2 \ = \  $ { 0. } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$
 {Um welchen Winkel $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem $(\mathbf{\zeta_1}, \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System $(\mathbf{z_1}, \mathbf{z_2})$ gedreht?
 |type="{}"}
-$\alpha \ = $ { 26.56 3% } $\ \rm Grad$
+$\alpha \ =  \ $ { 26.56 3% } $\ \rm Grad$