Aufgaben:Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.16:_Eigenvalues_and_Eigenvectors]]

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2026-02-24T13:39:42Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].
	* Entsprechend der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|"Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen"]]  ist der Winkel  $\alpha$  zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:		* Entsprechend der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|"Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen"]]  ist der Winkel  $\alpha$  zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
	:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot		:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
	\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
	*Insbesondere ist zu beachten:		*Insbesondere ist zu beachten:
	**Eine  $2×2$–Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.		**Eine  $2×2$–Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.
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	'''(2)'''  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:		'''(2)'''  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:
	:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}		:$${\rm det}\left[ \begin{array}{cc}1- \lambda & 0 \\0 & 1- \lambda\end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}(1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$
	1- \lambda & 0 \\
	0 & 1- \lambda
	\end{array} \right] = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	(1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$



	'''(3)'''  Bei positivem  $\rho$  lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:		'''(3)'''  Bei positivem  $\rho$  lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
	:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow		:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$
	\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
	0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$

	*Für  $\rho= 0.5$  erhält man  $\underline{\lambda_{1} =1.5}$  und  $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.		*Für  $\rho= 0.5$  erhält man  $\underline{\lambda_{1} =1.5}$  und  $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
Zeile 112:		Zeile 104:

	Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:		Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:
	:$$\left[ \begin{array}{cc}		:$$\left[ \begin{array}{cc}1- (1+\rho) & \rho \\\rho & 1- (1+\rho)\end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_1}} = \left[ \begin{array}{cc}-\rho & \rho \\\rho & -\rho\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}\eta_{11} \\\eta_{12}\end{array} \right]=0$$
	1- (1+\rho) & \rho \\		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\rho \cdot \eta_{11} + \rho \cdot\eta_{12} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{11}={\rm const} \cdot\eta_{12}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_1}}={\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right];$$
	\rho & 1- (1+\rho)		:$$\left[ \begin{array}{cc}1- (1-\rho) & \rho \\\rho & 1- (1-\rho)\end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_2}} = \left[ \begin{array}{cc}\rho & \rho \\\rho & \rho\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}\eta_{21} \\\eta_{22}\end{array} \right]=0$$
	\end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_1}} = \left[ \begin{array}{cc}		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho \cdot \eta_{21} + \rho \cdot\eta_{22} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{21}=-{\rm const} \cdot\eta_{22}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_2}}={\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c}-1 \\1\end{array} \right].$$
	-\rho & \rho \\
	\rho & -\rho
	\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}
	\eta_{11} \\
	\eta_{12}
	\end{array} \right]=0$$
	:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\rho \cdot \eta_{11} + \rho \cdot
	\eta_{12} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{11}=
	{\rm const} \cdot
	\eta_{12}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_1}}=
	{\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c}
	1 \\
	1
	\end{array} \right];$$
	:$$\left[ \begin{array}{cc}
	1- (1-\rho) & \rho \\
	\rho & 1- (1-\rho)
	\end{array} \right]\cdot{\boldsymbol{\eta_2}} = \left[ \begin{array}{cc}
	\rho & \rho \\
	\rho & \rho
	\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}
	\eta_{21} \\
	\eta_{22}
	\end{array} \right]=0$$
	:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\rho \cdot \eta_{21} + \rho \cdot
	\eta_{22} = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\eta_{21}=
	-{\rm const} \cdot
	\eta_{22}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\eta_2}}=
	{\rm const}\cdot \left[ \begin{array}{c}
	-1 \\
	1
	\end{array} \right].$$

	[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png\|right\|frame\|Koordinatensystemdrehung]]		[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png\|right\|frame\|Koordinatensystemdrehung]]
	Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:		Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:
	:$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[		:$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1 \\1\end{array} \right],\hspace{0.5cm}{\boldsymbol{\eta_2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}-1 \\1\end{array} \right].$$
	\begin{array}{c}
	1 \\
	1
	\end{array} \right],\hspace{0.5cm}
	{\boldsymbol{\eta_2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[
	\begin{array}{c}
	-1 \\
	1
	\end{array} \right].$$

	In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:		In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
Zeile 166:		Zeile 117:
	*Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.		*Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.
	*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:		*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
	:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot		:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})={1}/{2}\cdot \arctan(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
	\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})=
	{1}/{2}\cdot \arctan
	(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
	*Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen,  sondern die Varianzen.		*Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen,  sondern die Varianzen.

Zeile 182:		Zeile 130:

	'''(6)'''  Nach dem inzwischen altbekannten Schema gilt:		'''(6)'''  Nach dem inzwischen altbekannten Schema gilt:
	:$$(4- \lambda) \cdot (1- \lambda) -4 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$(4- \lambda) \cdot (1- \lambda) -4 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\lambda^2 - 5\lambda =0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$
	\hspace{0.3cm}\lambda^2 - 5\lambda =
	0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}
	=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$



	'''(7)'''  Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:		'''(7)'''  Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:
	:$$\alpha ={1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot 1 \cdot \frac{2 \~~cdot~~		:$$\alpha ={1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot 1 \cdot \frac{2 \cdot1}{2^2 -1^2})= {1}/{2}\cdot \arctan ({4}/{3}) =26.56^\circ.$$
	1}{2^2 -1^2})= {1}/{2}\cdot \arctan ({4}/{3}) =
	26.56^\circ.$$

	[[Datei:P_ID677__Sto_A_4_16_g.png\|right\|frame\|Bestmögliche Dekorrelation]]		[[Datei:P_ID677__Sto_A_4_16_g.png\|right\|frame\|Bestmögliche Dekorrelation]]
	Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:		Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:
	:$$\left[ \begin{array}{cc}		:$$\left[ \begin{array}{cc}4-5 & 2 \\2 & 1-5\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}\zeta_{11} \\\zeta_{12}\end{array}\right]=0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\zeta_{11}=2\zeta_{12}=0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\zeta_{12}={\zeta_{11}}/{2}$$
	4-5 & 2 \\		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = \arctan({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$
	2 & 1-5
	\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{c}
	\zeta_{11} \\
	\zeta_{12}
	\end{array}
	\right]=0 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow\hspace{0.3cm}-\zeta_{11}=
	2\zeta_{12}=0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\zeta_{12}={\zeta_{11}}/{2}$$
	:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = \arctan
	({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$

	Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße  $\mathbf{z}$:		Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße  $\mathbf{z}$:

Guenter am 29. März 2022 um 14:23 Uhr

2022-03-29T14:23:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 16:23 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*$\mathbf{K_y}$  ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.		*$\mathbf{K_y}$  ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.		*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.
Zeile 109:		Zeile 109:


	'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:		'''(4)'''  Richtig sind  <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.

			Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:
	:$$\left[ \begin{array}{cc}		:$$\left[ \begin{array}{cc}
	1- (1+\rho) & \rho \\		1- (1+\rho) & \rho \\
Zeile 147:		Zeile 149:
	\end{array} \right].$$		\end{array} \right].$$

	[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png\|right\|frame\|~~Zur Drehung des Koordinatensystems~~]]		[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png\|right\|frame\|Koordinatensystemdrehung]]
	Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:		Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:
	:$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[		:$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[
Zeile 161:		Zeile 163:

	In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:		In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
	*Das durch  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  festgelegte Koordinatensystem liegt ~~tatsächlich~~ in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.		*Das durch  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  festgelegte Koordinatensystem liegt in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
	*Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.		*Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.
	*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:		*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
Zeile 168:		Zeile 170:
	{1}/{2}\cdot \arctan		{1}/{2}\cdot \arctan
	(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$		(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
	*Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.		*Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen,  sondern die Varianzen.


	~~Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.~~


	'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen  $\mathbf{K_x}$  und  $\mathbf{K_z}$  erhält man		'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen   $\mathbf{K_x}$   und   $\mathbf{K_z}$   erhält man
	*$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,		*$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
	*$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,		*$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,

Guenter am 29. März 2022 um 14:13 Uhr

2022-03-29T14:13:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 16:13 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathbf{K_y}$  beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.		+ $\mathbf{K_y}$  beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	+ Der Wertebereich des ~~Parameters  $\rho$ ~~ ist  $-1 \le \rho \le +1$.		+ Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten ist  $-1 \le \rho \le +1$.
	- Der Wertebereich des ~~Parameters  $\rho$ ~~ ist  $0 < \rho < 1$.		- Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten ist  $0 < \rho < 1$.


Zeile 45:		Zeile 45:


	{Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.  Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?		{Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.  Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $,  wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
Zeile 53:		Zeile 53:
	{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.		+ $\mathbf{\eta_1}$   und   $\mathbf{\eta_2}$   liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
	+ Die neuen Koordinaten sind um  $45^\circ$  gedreht.		+ Die neuen Koordinaten sind um  $45^\circ$  gedreht.
	- Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.		- Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.

Guenter am 29. März 2022 um 13:50 Uhr

2022-03-29T13:50:45Z

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:49 Uhr

2019-12-05T14:49:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2019, 16:49 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:
	*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.		*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.



	'''(2)'''  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:		'''(2)'''  In diesem Fall lautet die Bestimmungsgleichung:
Zeile 98:		Zeile 99:


	'''(3)'''  Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
			'''(3)'''  Bei positivem  $\rho$  lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
	:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow		:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow
	\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =		\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
	0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$		0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$

	*Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.		*Für  $\rho= 0.5$  erhält man  $\underline{\lambda_{1} =1.5}$  und  $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
	*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.		*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich  $-1 \le \rho \le +1$.
	*Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$   ⇒   siehe Teilaufgabe '''(2)'''.		*Für  $\rho = 0$  ist  $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$    ⇒   siehe Teilaufgabe  '''(2)'''.
	*~~Bei~~ $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$.		*Für  $\rho = \pm 1$  ergibt sich $\lambda_1 = 2$  und  $\lambda_2 = 0$.


	'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:
			'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  in die Korrelationsmatrix:
	:$$\left[ \begin{array}{cc}		:$$\left[ \begin{array}{cc}
	1- (1+\rho) & \rho \\		1- (1+\rho) & \rho \\
Zeile 160:		Zeile 163:
	\end{array} \right].$$		\end{array} \right].$$

	In der ~~nebenstehenden~~ Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:		In der Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
	*Das ~~neue,~~ durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.		*Das durch  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
	*Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme:   $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.		*Mit  $\sigma_1 = \sigma_2$  ergibt sich fast immer  $($Ausnahme:   $\rho= 0)$  der Drehwinkel  $\alpha = 45^\circ$.
	*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:		*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
	:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot		:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
Zeile 168:		Zeile 171:
	{1}/{2}\cdot \arctan		{1}/{2}\cdot \arctan
	(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$		(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
	*Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.		*Die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$  kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.


Zeile 174:		Zeile 177:


	'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man		'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen  $\mathbf{K_x}$  und  $\mathbf{K_z}$  erhält man
	*$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,		*$\sigma_{1}\hspace{0.15cm}\underline{ =2}$,
	*$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,		*$\sigma_{2}\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$,
	*$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.		*$\rho = 2/(\sigma_{1} \cdot \sigma_{2})\hspace{0.15cm}\underline{ =1}$.



Zeile 185:		Zeile 189:
	0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}		0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}
	=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$		=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$



Zeile 207:		Zeile 212:
	({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$		({\zeta_{12}}/{\zeta_{11}}) = \arctan(0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= 26.56^\circ}.$$

	Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße $\mathbf{z}$:		Die nebenstehende Skizze zeigt die 2D-WDF der Zufallsgröße  $\mathbf{z}$:
	* Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.		* Wegen  $\rho = 1$  liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten  $z_1$  und  $z_2 = z_1/2$.
	*Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.		*Durch die Drehung um den Winkel  $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$  entsteht ein neues Koordinatensystem.
	*Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$),		*Die Varianz entlang der Achse  $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt  $\lambda_1 = 5$  $($Streuung  $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236)$,
	*während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.		*während in der dazu orthogonalen Richtung  $\mathbf{\zeta_2}$  die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist  $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:32 Uhr

2019-12-05T14:32:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2019, 16:32 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	Die Zufallsgrößen  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  geben zwei Spezialfälle von  $\mathbf{x}$  an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.		Die Zufallsgrößen  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  geben zwei Spezialfälle von  $\mathbf{x}$  an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.




Zeile 46:		Zeile 48:


	{Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.		{Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.  Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?
	~~<br>~~Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:29 Uhr

2019-12-05T14:29:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2019, 16:29 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png\|right\|frame\|Drei Korrelationsmatrizen]]		[[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png\|right\|frame\|Drei Korrelationsmatrizen]]
	Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als $N = 2$ Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.		Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als  $N = 2$  Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.

			In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_x}$  der 2D–Zufallsgröße  $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$  angegeben, wobei  $\sigma_1^2$  und  $\sigma_2^2$  die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$  bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.

			Die Zufallsgrößen  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  geben zwei Spezialfälle von  $\mathbf{x}$  an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.


	In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix $\mathbf{K_x}$ der 2D–Zufallsgröße $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$ angegeben, wobei $\sigma_1^2$ und $\sigma_2^2$ die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben. $\rho$  bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.

	Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden können.


Zeile 21:		Zeile 24:
	\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$		\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
	*Insbesondere ist zu beachten:		*Insbesondere ist zu beachten:
	**Eine $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$.		**Eine  $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.
	**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren $\xi_1$ und $\xi_2$.		**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren  $\xi_1$  und  $\xi_2$.
	**Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.		**Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.

Zeile 30:		Zeile 33:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ zu?		{Welche Aussagen treffen für die Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathbf{K_y}$ beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.		+ $\mathbf{K_y}$  beschreibt alle möglichen 2D-Zufallsgrößen mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	+ Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $-1 \le \rho \le +1$.		+ Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $-1 \le \rho \le +1$.
	- Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $0 < \rho < 1$.		- Der Wertebereich des Parameters  $\rho$  ist  $0 < \rho < 1$.


	{Berechnen Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung  $\sigma = 1$  und  $\rho = 0$.		{Berechnen Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  und  $\rho = 0$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 1 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
Zeile 43:		Zeile 46:


	{Geben Sie die Eigenwerte von $\mathbf{K_y}$ unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.		{Geben Sie die Eigenwerte von  $\mathbf{K_y}$  unter der Bedingung  $\sigma = 1$  sowie  $0 < \rho < 1$  an.
	<br>Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?		<br>Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
Zeile 50:		Zeile 53:


	{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$. ~~<br>~~Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren  $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$ liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.		+ $\mathbf{\eta_1}$  und  $\mathbf{\eta_2}$  liegen in Richtung der Ellipsenhauptachsen.
	+ Die neuen Koordinaten sind um $45^\circ$ gedreht.		+ Die neuen Koordinaten sind um  $45^\circ$  gedreht.
	- Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind $\lambda_1$ und $\lambda_2$.		- Die Streuungen bezüglich des neuen Systems sind  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.


	{Wie lauten die Kenngrößen der durch $\mathbf{K_z}$ festgelegten Zufallsgröße $\mathbf{z}$?		{Wie lauten die Kenngrößen der durch  $\mathbf{K_z}$  festgelegten Zufallsgröße  $\mathbf{z}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_1 = \ $ { 2 3% }		$\sigma_1 = \ $ { 2 3% }
Zeile 64:		Zeile 67:


	{Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$.		{Berechnen Sie die Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2 \le \lambda_1$  der Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_z}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
Zeile 70:		Zeile 73:


	{Um welchen Winkel $\alpha$ ist das neue Koordinatensystem $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$ gegenüber dem ursprünglichen System $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$ gedreht?		{Um welchen Winkel  $\alpha$  ist das neue Koordinatensystem  $(\mathbf{\zeta_1}, \ \mathbf{\zeta_2})$  gegenüber dem ursprünglichen System  $(\mathbf{z_1}, \ \mathbf{z_2})$  gedreht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\alpha \ = \ $ { 26.56 3% } $\ \rm Grad$		$\alpha \ = \ $ { 26.56 3% } $\ \rm Grad$
Zeile 81:		Zeile 84:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*$\mathbf{K_y}$ ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.		*$\mathbf{K_y}$  ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit  $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	*Der Parameter $\rho$ gibt den Korrelationskoeffizienten an. Dieser kann alle Werte zwischen $\pm 1$ inclusive dieser Randwerte annehmen.		*Der Parameter  $\rho$  gibt den Korrelationskoeffizienten an.  Dieser kann alle Werte zwischen  $\pm 1$  inclusive dieser Randwerte annehmen.

Guenter am 22. August 2018 um 08:36 Uhr

2018-08-22T08:36:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 10:36 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden können.		Die Zufallsgrößen $\mathbf{y}$ und $\mathbf{z}$ geben zwei Spezialfälle von $\mathbf{x}$ an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix $\mathbf{K_y}$ bzw. $\mathbf{K_z}$ bestimmt werden können.




Zeile 79:		Zeile 81:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*$\mathbf{K_y}$ ist tatsächlich die allgemeinste ~~Kovariationmatrix~~ einer 2D-Zufallsgröße mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.		*$\mathbf{K_y}$ ist tatsächlich die allgemeinste Korrelationsmatrix einer 2D-Zufallsgröße mit $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
	*Der Parameter $\rho$ gibt den Korrelationskoeffizienten an. Dieser kann alle Werte zwischen $\pm 1$ inclusive dieser Randwerte annehmen.		*Der Parameter $\rho$ gibt den Korrelationskoeffizienten an. Dieser kann alle Werte zwischen $\pm 1$ inclusive dieser Randwerte annehmen.

Zeile 90:		Zeile 92:
	(1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow		(1- \lambda)^2 = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$		\hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1/2} =1}.$$


	'''(3)'''  Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:		'''(3)'''  Bei positivem $\rho$ lautet die Bestimmungsgleichung der Eigenwerte:
	:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.~~3cm~~}\Rightarrow		:$$(1- \lambda)^2 -\rho^2 = 0\hspace{0.5cm}\Rightarrow
	\hspace{0.~~3cm~~}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =		\hspace{0.5cm}\lambda^2 - 2\lambda + 1 - \rho^2 =
	0\hspace{0.~~3cm~~}\Rightarrow\hspace{0.~~3cm~~}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$		0\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}\lambda_{1/2} =1 \pm \rho.$$

	Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$. Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.		*Für $\rho= 0.5$ erhält man $\underline{\lambda_{1} =1.5}$ und $\underline{\lambda_{2} =0.5}$.
	*Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$ (siehe Teilaufgabe 2).		*Die Gleichung gilt übrigens im gesamten Definitionsbereich $-1 \le \rho \le +1$.
			*Für $\rho = 0$ ist $\lambda_1 = \lambda_2 = +1$   ⇒   siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
	*Bei $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$.		*Bei $\rho = \pm 1$ ergibt sich $\lambda_1 = 2$ und $\lambda_2 = 0$.


	'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die ~~Kovarianzmatrix~~:		'''(4)'''  Die Eigenvektoren erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in die Korrelationsmatrix:
	:$$\left[ \begin{array}{cc}		:$$\left[ \begin{array}{cc}
	1- (1+\rho) & \rho \\		1- (1+\rho) & \rho \\
Zeile 139:		Zeile 143:
	\end{array} \right].$$		\end{array} \right].$$

	[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png\|right\|Zur Drehung des Koordinatensystems]]		[[Datei:P_ID676__Sto_A_4_16_d.png\|right\|frame\|Zur Drehung des Koordinatensystems]]
	Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:		Bringt man diese in die so genannte Orthonormalform, so gilt:
	:$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[		:$${\boldsymbol{\eta_1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[
Zeile 154:		Zeile 158:
	In der nebenstehenden Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:		In der nebenstehenden Skizze ist das Ergebnis verdeutlicht:
	*Das neue, durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.		*Das neue, durch $\mathbf{\eta_1}$ und $\mathbf{\eta_2}$ festgelegte Koordinatensystem liegt tatsächlich in Richtung der Hauptachsen des ursprünglichen Systems.
	*Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme: $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$. Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:		*Mit $\sigma_1 = \sigma_2$ ergibt sich fast immer (Ausnahme:   $\rho= 0$) der Drehwinkel $\alpha = 45^\circ$.
			*Dies folgt auch aus der im Theorieteil angegebenen Gleichung:
	:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot		:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
	\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})=		\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2})=
	{1}/{2}\cdot \arctan		{1}/{2}\cdot \arctan
	(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$		(\infty)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha = 45^\circ.$$
	*Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die ~~entsprechenden~~ Varianzen.		*Die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2$ kennzeichnen nicht die Streuungen bezüglich der neuen Achsen, sondern die Varianzen.


	Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.		Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.


	'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man		'''(5)'''  Durch Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_x}$ und $\mathbf{K_z}$ erhält man
Zeile 175:		Zeile 181:
	0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}		0\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{\lambda_{1}
	=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$		=5,\hspace{0.1cm} \lambda_{2} =0}.$$


	'''(7)'''  Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:		'''(7)'''  Nach der auf dem Angabenblatt vorgegebenen Gleichung gilt:
Zeile 181:		Zeile 188:
	26.56^\circ.$$		26.56^\circ.$$

	[[Datei:P_ID677__Sto_A_4_16_g.png\|right\|Dekorrelation ~~von 2D-Zufallsgrößen~~]]		[[Datei:P_ID677__Sto_A_4_16_g.png\|right\|frame\|Bestmögliche Dekorrelation]]
	Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:		Zum gleichen Ergebnis gelangt man über den Eigenvektor:
	:$$\left[ \begin{array}{cc}		:$$\left[ \begin{array}{cc}
Zeile 199:		Zeile 206:
	* Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.		* Wegen $\rho = 1$ liegen alle Werte auf der Korrelationsgeraden mit den Koordinaten $z_1$ und $z_2 = z_1/2$.
	*Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.		*Durch die Drehung um den Winkel $\alpha = \arctan(0.5) = 26.56^\circ$ entsteht ein neues Koordinatensystem.
	*Die Varianz entlang der Achse $(\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$), während in der dazu orthogonalen Richtung $(\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.		*Die Varianz entlang der Achse $\mathbf{\zeta_1}$ beträgt $\lambda_1 = 5$ (Streuung $\sigma_1 = \sqrt{5} = 2.236$),
			*während in der dazu orthogonalen Richtung $\mathbf{\zeta_2}$ die Zufallsgröße nicht ausgedehnt ist $(\lambda_2 = \sigma_2 = 0)$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 22. August 2018 um 08:24 Uhr

2018-08-22T08:24:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 10:24 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	<br>Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?		<br>Welche Werte ergeben sich für  $\rho = 0.5 $, wobei  $\lambda_1 \ge \lambda_2$  vorausgesetzt wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 2 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$
	$\lambda_2 \ = \ $ { 0. } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$		$\lambda_2 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ (\lambda_2 \le \lambda_1)$


Zeile 62:		Zeile 62:


	{Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der ~~Kovarianzmatrix~~ $\mathbf{K_z}$.		{Berechnen Sie die Eigenwerte $\lambda_1$ und $\lambda_2 \le \lambda_1$ der Korrelationsmatrix $\mathbf{K_z}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\lambda_1 \ = \ $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$		$\lambda_1 \ = \ $ { 5 3% } $\ (\lambda_1 \ge \lambda_2)$

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 15:50 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png\|right\|frame\|Drei Korrelationsmatrizen]]		[[Datei:P_ID671__Sto_A_4_16.png\|right\|frame\|Drei Korrelationsmatrizen]]
	Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als  $N = 2$  Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht, beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.		Obwohl die Beschreibung Gaußscher Zufallsgrößen mit Hilfe von Vektoren und Matrizen eigentlich nur bei mehr als  $N = 2$  Dimensionen erforderlich ist und Sinn macht,  beschränken wir uns hier zur Vereinfachung auf den Sonderfall zweidimensionaler Zufallsgrößen.

	In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_x}$  der 2D–Zufallsgröße  $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$  angegeben, wobei  $\sigma_1^2$  und  $\sigma_2^2$  die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$  bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.		In der Grafik ist oben die allgemeine Korrelationsmatrix   $\mathbf{K_x}$   der 2D–Zufallsgröße   $\mathbf{x} = (x_1, x_2)^{\rm T}$   angegeben,  wobei  $\sigma_1^2$  und  $\sigma_2^2$  die Varianzen der Einzelkomponenten beschreiben.  $\rho$  bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Komponenten.

	Die Zufallsgrößen  $\mathbf{y}$  und  $\mathbf{z}$  geben zwei Spezialfälle von  $\mathbf{x}$  an, deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.		Die Zufallsgrößen   $\mathbf{y}$   und   $\mathbf{z}$   geben zwei Spezialfälle von   $\mathbf{x}$   an,  deren Prozessparameter aus den Korrelationsmatrix  $\mathbf{K_y}$  bzw.  $\mathbf{K_z}$  bestimmt werden sollen.


Zeile 14:		Zeile 14:


			Hinweise:




	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
	*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  ~~sowie  ~~[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten
	* Entsprechend der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen]]  ist der Winkel $\alpha$ zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:		**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]
			**[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].
			* Entsprechend der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#H.C3.B6henlinien_bei_korrelierten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|"Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen"]]  ist der Winkel  $\alpha$  zwischen dem alten und dem neuen System durch folgende Gleichung gegeben:
	:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot		:$$\alpha = {1}/{2}\cdot \arctan (2 \cdot\rho \cdot
	\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$		\frac{\sigma_1\cdot\sigma_2}{\sigma_1^2 -\sigma_2^2}).$$
	*Insbesondere ist zu beachten:		*Insbesondere ist zu beachten:
	**Eine  $2×2$-Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.		**Eine  $2×2$–Kovarianzmatrix besitzt zwei reelle Eigenwerte  $\lambda_1$  und  $\lambda_2$.
	**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren  $\xi_1$  und  $\xi_2$.		**Diese beiden Eigenwerte bestimmen zwei Eigenvektoren   $\xi_1$   und   $\xi_2$.
	**Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.		**Diese spannen ein neues Koordinatensystem in Richtung der Hauptachsen des alten Systems auf.