Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: MSK–Grundimpuls und MSK-Spektrum - Versionsgeschichte

Guenter am 24. April 2020 um 12:23 Uhr

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Guenter am 24. April 2020 um 12:23 Uhr

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Guenter am 24. April 2020 um 12:09 Uhr

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Guenter am 13. Januar 2019 um 16:57 Uhr

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Guenter am 13. Januar 2019 um 16:54 Uhr

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Guenter am 13. Januar 2019 um 16:53 Uhr

2019-01-13T16:53:31Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:56Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:32:57Z

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Guenter am 1. August 2017 um 16:42 Uhr

2017-08-01T16:42:12Z

Guenter am 28. Juli 2017 um 14:33 Uhr

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	:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$		:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0) = g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0) = g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
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 [[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK&ndash;Grundimpuls&nbsp; und&nbsp; &ndash;Spektrum]]
-Der zur Realisierung der&nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]&nbsp; stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
+Der zur Realisierung der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]] &nbsp; stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
-:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
+:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\pi/2 \cdot t/T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$, also die &nbsp;[[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]&nbsp; von &nbsp;$g(t)$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer des Cosinussignals muss $T_0 = 4T$ sein. Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Periodendauer des Cosinussignals muss&nbsp; $T_0 = 4T$&nbsp; sein.&nbsp; Damit ist die Frequenz $f_0 = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25} · 1/T$.
-'''(2)'''&nbsp; Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe $g_0$ und der Dauer 2T lautet:
+'''(2)'''&nbsp; Die Spektralfunktion eines Rechteckimpulses der Höhe&nbsp; $g_0$&nbsp; und der Dauer&nbsp;$ 2T$&nbsp; lautet:
 :$$R(f) = g_0 \cdot 2 T \cdot {\rm si} ( \pi f \cdot 2T )\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si} (x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm}R(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 2} \cdot g_0 \cdot T\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz: &nbsp; $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$
+'''(3)'''&nbsp; Aus&nbsp; $g(t) = c(t) · r(t)$&nbsp; folgt nach dem Faltungssatz: &nbsp; $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$
-*Die Spektralfunktion $C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$. Daraus folgt:
+*Die Spektralfunktion&nbsp; $C(f)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$.&nbsp; Daraus folgt:
-:$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac {1}{2} \cdot \delta (f - f_0 ) + \frac {1}{2} \cdot \delta (f + f_0 )\right ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=  g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \big [ 1/2 \cdot \delta (f - f_0 ) + 1/2 \cdot \delta (f + f_0 )\big ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=  g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ der Teilaufgabe '''(1)''' gilt weiter:
+*Mit dem Ergebnis&nbsp; $f_0 = 1/(4T)$&nbsp; der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt weiter:
-:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \right ]$$
+:$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \big [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \big ]$$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \left [ {\rm si} ( - \frac{\pi}{2} ) + {\rm si} ( +\frac{\pi}{2} ) \right ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \frac{\pi}{2} ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \big [ {\rm si} ( - \pi/2 ) + {\rm si} ( +\pi/2 ) \big ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \pi/2 ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$
-'''(4)'''&nbsp; Schreibt man die si–Funktion aus, so erhält man mit $\sin (α ± π/2) = ± \cos(α)$:
 :$$G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T - \pi / 2 )}{2 \pi f T - \pi / 2 } + \frac{{\rm sin} ( 2 \pi f T + \pi / 2 )}{2 \pi f T + \pi / 2 } \right ]=  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot\left [ \frac{-{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T - 1 } + \frac{{\rm cos} ( 2 \pi f T )}{4 f T + 1 } \right ]$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f)  =  g_0 \cdot T \cdot \frac {2}{\pi}\cdot \frac{(1+4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )+ (1-4 f T ) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 } =   \frac {4}{\pi}\cdot g_0 \cdot T \cdot \frac{ {\rm cos} ( 2 \pi f T )}{1 - (4 f T)^2 }\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Nullstellen von $G(f)$ werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen $f · T = 0.25, 0.75, 1.25,$ ... liegen.
+*Die Nullstellen von&nbsp; $G(f)$&nbsp; werden allein durch die Cosinusfunktion im Zähler bestimmt und würden bei den Frequenzen&nbsp; $f · T = 0.25,\ 0.75,\ 1.25,$&nbsp; ... liegen.
-*Allerdings wird die erste Nullstelle bei $f · T = 0.25$ durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben. Deshalb gilt:
+*Allerdings wird die erste Nullstelle bei&nbsp; $f · T = 0.25$&nbsp; durch die gleichzeitige Nullstelle des Nenners aufgehoben.&nbsp; Deshalb gilt:
 :$$f_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75} \cdot 1/T \hspace{0.05cm}.$$

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-[[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK&ndash;Grundimpuls und &ndash;Spektrum]]
+[[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK&ndash;Grundimpuls&nbsp; und&nbsp; &ndash;Spektrum]]
-Der zur Realisierung der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]&nbsp; stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
+Der zur Realisierung der&nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]&nbsp; stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
 :$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$, also die &nbsp;[[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]&nbsp; von &nbsp;$g(t)$. Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:
+Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$, also die &nbsp;[[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]&nbsp; von &nbsp;$g(t)$.
 :$$g(t) = c(t) \cdot r(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei sind folgende  Abkürzungen verweendet:
+Hierbei sind folgende  Abkürzungen verwendet:
-* $c(t)$&nbsp; ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude &nbsp;$1$&nbsp; und (noch zu bestimmender) Frequenz &nbsp;$f_0$.
+* $c(t)$&nbsp; ist eine Cosinusschwingung mit Amplitude &nbsp;$1$&nbsp; und&nbsp; (noch zu bestimmender)&nbsp; Frequenz &nbsp;$f_0$.
 * $r(t)$&nbsp; ist eine Rechteckfunktion mit der Amplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$2T$.
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 $f_0 \ = \ $  { 0.25 3% } $\ \cdot 1/T$
-{Wie lautet das Spektrum &nbsp;$R(f)$&nbsp; der Rechteckfunktion &nbsp;$r(t)$? Welcher Spektralwert tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
+{Wie lautet das Spektrum &nbsp;$R(f)$&nbsp; der Rechteckfunktion &nbsp;$r(t)$?&nbsp; Welcher Spektralwert tritt bei &nbsp;$f = 0$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $R(f=0) \ = \ $  { 2 3%  } $\ \cdot g_0 \cdot T$
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 $G(f=0) \ = \ $ { 1.273 3% } $\ \cdot g_0 \cdot T$
-{Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' in einem Term zusammen. Bei welcher Frequenz &nbsp;$f_1$&nbsp; besitzt &nbsp;$G(f)$&nbsp; seine erste Nullstelle?
+{Fassen Sie das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; in einem Term zusammen.&nbsp; Bei welcher Frequenz &nbsp;$f_1$&nbsp; besitzt &nbsp;$G(f)$&nbsp; seine erste Nullstelle?
 |type="{}"}
 $f_1 \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \cdot 1/T$

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-'''(3)'''&nbsp; Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz: &nbsp; $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$ Die Spektralfunktion
+'''(3)'''&nbsp; Aus $g(t) = c(t) · r(t)$ folgt nach dem Faltungssatz: &nbsp; $ G(f) = C(f) \star R(f)\hspace{0.05cm}.$
-$C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$. Daraus folgt:
+*Die Spektralfunktion $C(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit dem Gewicht $1/2$. Daraus folgt:
 :$$ G(f)  =  2 \cdot g_0 \cdot T \cdot \left [ \frac {1}{2} \cdot \delta (f - f_0 ) + \frac {1}{2} \cdot \delta (f + f_0 )\right ] \star {\rm si} ( 2 \pi f T )=  g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f - f_0 ) ) + {\rm si} ( 2 \pi T \cdot (f + f_0 ) ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ der Teilaufgabe (1) gilt weiter:
+*Mit dem Ergebnis $f_0 = 1/(4T)$ der Teilaufgabe '''(1)''' gilt weiter:
 :$$G(f) = g_0 \cdot T \cdot \left [ {\rm si} ( 2 \pi f T - \pi / 2 ) + {\rm si} ( 2 \pi f T + \pi / 2) \right ]$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G(f = 0)  =  g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \left [ {\rm si} ( - \frac{\pi}{2} ) + {\rm si} ( +\frac{\pi}{2} ) \right ] = 2 \cdot g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} {\rm si} ( \frac{\pi}{2} ) = 2 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} \frac {{\rm sin}({\pi}/{2}) } { {\pi}/{2} } ={4}/{\pi} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.273} \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} g_0 \hspace{-0.02cm}\cdot\hspace{-0.02cm} T .$$

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 [[Datei:P_ID1744__Mod_Z_4_14.png|right|frame|MSK&ndash;Grundimpuls und &ndash;Spektrum]]
-Der zur Realisierung der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29|MSK mittels Offset–QPSK]]&nbsp; stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
+Der zur Realisierung der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|MSK mittels Offset–QPSK]]&nbsp; stets erforderliche Grundimpuls hat die in der Grafik oben dargestellte Form:
 :$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} g_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} | t | \le T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 Darunter gezeichnet ist die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$, also die &nbsp;[[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fouriertransformierte]]&nbsp; von &nbsp;$g(t)$. Die dazugehörige Gleichung soll in dieser Aufgabe ermittelt werden, wobei zu berücksichtigen ist:

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *Das hier gewonnene Ergebnis wird auch in der [[Aufgaben:4.15_MSK_im_Vergleich_mit_BPSK_und_QPSK|Aufgabe 4.15]] verwendet.

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