Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix - Versionsgeschichte

Guenter am 29. März 2022 um 12:57 Uhr

2022-03-29T12:57:33Z

Guenter am 29. März 2022 um 12:51 Uhr

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Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:21 Uhr

2019-12-05T14:21:26Z

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2019-12-05T13:50:57Z

Guenter am 22. August 2018 um 07:52 Uhr

2018-08-22T07:52:05Z

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2018-08-22T07:42:23Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:47:08Z

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Guenter am 3. April 2017 um 10:21 Uhr

2017-04-03T10:21:10Z

Guenter am 3. April 2017 um 09:52 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
+'''(1)'''&nbsp; Nur die&nbsp; <u>zweite und die letzte Aussage</u>&nbsp; treffen zu:
-*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen&nbsp; $($hier: &nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2)$&nbsp; unkorreliert sind, während&nbsp; $x_3$&nbsp; statistische Bindungen bezüglich&nbsp; $x_1$&nbsp; $($über die Größe&nbsp; $u)$&nbsp; und auch in Bezug zu&nbsp; $x_3$&nbsp; $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$&nbsp; aufweist.
+*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall,&nbsp; dass zwei Größen&nbsp; $($hier: &nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2)$&nbsp; unkorreliert sind,&nbsp; während&nbsp; $x_3$&nbsp; statistische Bindungen bezüglich&nbsp; $x_1$&nbsp; $($über die Größe&nbsp; $u)$&nbsp; und auch in Bezug zu&nbsp; $x_2$&nbsp; $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$&nbsp; aufweist.
-*Die Kombination&nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.&nbsp; Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße&nbsp; $w$&nbsp; benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
+*Die Kombination &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.&nbsp; Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße&nbsp; $w$&nbsp; benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$, &nbsp;  $x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
 *Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:&nbsp; Sind&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$&nbsp; unkorreliert und gleichzeitig auch&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_3$, so können auch zwischen&nbsp; $x_2$&nbsp; und&nbsp; $x_3$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen.
-*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; als auch&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{23}$&nbsp; von Null verschieden sein.
+*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; als auch&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{23}$&nbsp; von Null verschieden sein.&nbsp; Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; betrachtet.
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-'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist&nbsp; $x_1$&nbsp; identisch mit der Zufallsgröße&nbsp; $u$, während&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; gilt.
+'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist&nbsp; $x_1$&nbsp; identisch mit der Zufallsgröße&nbsp; $u$,&nbsp; während&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; gilt.
-*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
+*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig sind,&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
 *Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
@@ Zeile 99: / Zeile 98: @@
 :$$\rho_{23} =  A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot
 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
+*Für ein&nbsp; (sehr gut)&nbsp; geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen,&nbsp; dass das Signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mehr Ähnlichkeiten mit&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; aufweist als mit&nbsp; $x_2(t)$.
 *Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
-*Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
+*Seien Sie aber nicht frustriert,&nbsp; wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
-Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
+Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$,&nbsp; jeweils mittelwertfrei und mit Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
 Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 :$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
-Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen &nbsp;$(i = 1, 2, 3)$&nbsp; gilt:
+Vorausgesetzt wird,&nbsp; dass in allen betrachteten Fällen &nbsp;$(i = 1,\ 2,\ 3)$&nbsp; gilt:
 :$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
-Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; betrachtet werden soll:
+Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$,&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; für den Fall,&nbsp; der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; betrachtet werden soll:
 * $A_1 = B_2 = 1$,
 * $A_2 = B_2 = 0$,
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
-Unter der hier implizit getroffenen Annahme&nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$&nbsp; lautet die Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}$:
+Unter der hier implizit getroffenen Annahme &nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ &nbsp; lautet die Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}$:
 :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
+*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] &nbsp; sowie &nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]].
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 |type="[]"}
-- $\mathbf{K}$&nbsp; kann bei geeigneter Wahl von&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; eine Diagonalmatrix sein.&nbsp; Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; ist möglich.
+- $\mathbf{K}$&nbsp; kann bei geeigneter Wahl von &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; eine Diagonalmatrix sein.&nbsp; Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; ist möglich.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; kann genau einer der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; kann genau einer der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
-- Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können genau zwei der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
+- Bei geeigneter Wahl der Parameter &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; können genau zwei der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können alle drei Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} \ne 0$&nbsp; sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter &nbsp; $A_1$, ... , $B_3$ &nbsp; können alle drei Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} \ne 0$&nbsp; sein.
-{Wie lauten die Matrixelemente von&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; mit&nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$&nbsp;  und&nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
+{Wie lauten die Matrixelemente von&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; mit &nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$ &nbsp;  und &nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
-*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: &nbsp; $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
+*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen&nbsp; $($hier: &nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2)$&nbsp; unkorreliert sind, während&nbsp; $x_3$&nbsp; statistische Bindungen bezüglich&nbsp; $x_1$&nbsp; $($über die Größe&nbsp; $u)$&nbsp; und auch in Bezug zu&nbsp; $x_3$&nbsp; $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$&nbsp; aufweist.
-*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
+*Die Kombination&nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.&nbsp; Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße&nbsp; $w$&nbsp; benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
-*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
+*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:&nbsp; Sind&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$&nbsp; unkorreliert und gleichzeitig auch&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_3$, so können auch zwischen&nbsp; $x_2$&nbsp; und&nbsp; $x_3$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen.
-*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein.
+*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl&nbsp; $\rho_{12}$&nbsp; als auch&nbsp; $\rho_{13}$&nbsp; und&nbsp; $\rho_{23}$&nbsp; von Null verschieden sein.
-*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe '''(2)''' betrachtet.
+*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; betrachtet.
-'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig (zu $100\%$) korreliert.
-*Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
+'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig&nbsp; $($zu&nbsp; $100\%)$&nbsp; korreliert.
 :$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
-*In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
+*In gleicher Weise gilt mit&nbsp; $A_3 = -A_1$&nbsp; und &nbsp;$B_3 = -B_1$:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt.
+'''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist&nbsp; $x_1$&nbsp; identisch mit der Zufallsgröße&nbsp; $u$, während&nbsp; $x_2 = v$&nbsp; gilt.
-*Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
+*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich&nbsp; $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
 *Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
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 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
-*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$.
+*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mehr Ähnlichkeiten mit&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; aufweist als mit&nbsp; $x_2(t)$.
 *Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
 *Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.

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 [[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png|right|frame|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
-Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.
+Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen&nbsp;  $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
 Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 :$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$
-Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:
+Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen &nbsp;$(i = 1, 2, 3)$&nbsp; gilt:
 :$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
-In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet werden soll:
+Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; betrachtet werden soll:
 * $A_1 = B_2 = 1$,
 * $A_2 = B_2 = 0$,
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
-Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:
+Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $x_i$&nbsp; und&nbsp; $x_j$&nbsp; wird wie folgt angegeben:
 :$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
 B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
-Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:
+Unter der hier implizit getroffenen Annahme&nbsp; $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$&nbsp; lautet die Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}$:
 :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
 & \rho_{12} &  \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 \end{array} \right] .$$
-Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.
+Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R}$.
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 |type="[]"}
-- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
+- $\mathbf{K}$&nbsp; kann bei geeigneter Wahl von&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; eine Diagonalmatrix sein.&nbsp; Oder anders ausgedrückt: &nbsp; $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$&nbsp; ist möglich.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; kann genau einer der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
-- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
+- Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können genau zwei der Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} = 0$&nbsp; sein.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter&nbsp; $A_1$, ... , $B_3$&nbsp; können alle drei Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{ij} \ne 0$&nbsp; sein.
-{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$  und $B_1 = B_2 = - B_3$?
+{Wie lauten die Matrixelemente von&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; mit&nbsp; $A_1 = A_2 = - A_3$&nbsp;  und&nbsp; $B_1 = B_2 = - B_3$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
@@ Zeile 62: / Zeile 65: @@
-{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
+{Berechnen Sie die Koeffizienten&nbsp; $\rho_{ij}$&nbsp; für den in der Grafik dargestellten Fall:&nbsp; $A_1 = 1$,&nbsp; $B_1 = 0$,&nbsp; $A_2 = 0$,&nbsp; $B_2 = 1$,&nbsp; $A_3 = 0.8$,&nbsp; $B_3 = 0.6$.
 |type="{}"}
 $\rho_{12} \ =  \ $ { 0. }

@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
-*Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
+*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: &nbsp; $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
-*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = u$, $x_2 = v$ und $x_3 = w$ gelten.
+*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ &nbsp; ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise &nbsp;$x_1 = k_1 \cdot u$&nbsp;, &nbsp;$x_2 = k_2 \cdot v$&nbsp; und &nbsp;$x_3 = k_3 \cdot w$&nbsp; gelten.
 *Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
-*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von $0$ verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe (2) betrachtet.
+*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein.
-'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen$x_1 = x_2$ vollständig (zu $100\%$) korreliert.
+'''(2)'''&nbsp; In diesem Fall sind die Größen &nbsp;$x_1 = x_2$&nbsp; vollständig (zu $100\%$) korreliert.
-<br>Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
+*Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{12} =  A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2  \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$
-In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
+*In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2)  \hspace{0.15cm}\underline{=-1
 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{13} =  A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
@@ Zeile 95: / Zeile 99: @@
 .6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
-Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. Seien Sie aber nicht traurig, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.
+*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$.
 {{ML-Fuß}}

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
 *Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 :$$A_i^2 + B_i^2  =1.$$
-In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend den Parametern
+In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:
 * $A_1 = B_2 = 1$,
-* $B_1 = A_2 = $,
+* $A_2 = B_2 = 0$,
-* $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} BA_3 = 0.6$,
+* $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} B_3 = 0.6$,
-Dieser Parametersatz wird für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt.
 Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? Begründung.
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
 |type="[]"}
-- <b>K</b> kann geeigneter Wahl von <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: <i>&rho;</i><sub>12</sub> = <i>&rho;</i><sub>13</sub> = <i>&rho;</i><sub>23</sub> = 0 ist möglich.
+- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt:  $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> kann genau einer der Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> gleich 0 sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
-- Bei geeigneter Wahl der Parameter <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> können genau zwei der Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> gleich 0 sein.
+- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
-+ Bei geeigneter Wahl der Parameter <i>A</i><sub>1</sub>, ... , <i>B</i><sub>3</sub> können alle drei Korrelationskoeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> ungleich 0 sein.
++ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.
-{Wie lauten die Matrixelemente mit <i>A</i><sub>1</sub> = <i>A</i><sub>2</sub> = &ndash;<i>A</i><sub>3</sub> und <i>B</i><sub>1</sub> = <i>B</i><sub>2</sub> = &ndash;<i>B</i><sub>3</sub>?
+{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$  und $B_1 = B_2 = - B_3$?
 |type="{}"}
-$\rho_\text{12}$ = { 1 3% }
+$\rho_{12} \ =$ { 1 3% }
-$\rho_\text{13}$ = - { 1 3% }
+$\rho_{13} \ =$ { -1.03--0.97 }
-$\rho_\text{23}$ = - { 1 3% }
+$\rho_{23} \ =$ { -1.03--0.97 }
-{Berechnen Sie die Koeffizienten <i>&rho;<sub>ij</sub></i> für den in der Grafik dargestellten Fall, also für &nbsp;&nbsp; <i>A</i><sub>1</sub> = 1, <i>B</i> <sub>1</sub> = 0; <i>A</i><sub>2</sub> = 0, <i>B</i><sub>2</sub> = 1; <i>A</i><sub>3</sub> = 0.8, <i>B</i><sub>3</sub> = 0.6.
+{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
 |type="{}"}
-$\rho_\text{12}$ = { 0 3% }
+$\rho_{12} \ = $ { 0. }
-$\rho_\text{13}$ = { 0.8 3% }
+$\rho_{13} \ = ${ 0.8 3% }
-$\rho_\text{23}$ = { 0.6 3% }
+$\rho_{23} \ = $ { 0.6 3% }