Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:19Z

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.7 N-dimensionale Zufallsgrößen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.15Z:_Statements_of_the_Covariance_Matrix]]

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2026-02-24T13:39:42Z

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Zeile 21:		Zeile 21:

	Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{ij}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x_i$  und  $x_j$  wird wie folgt angegeben:		Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{ij}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x_i$  und  $x_j$  wird wie folgt angegeben:
	:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +		:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$
	B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

	Unter der hier implizit getroffenen Annahme   $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$   lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:		Unter der hier implizit getroffenen Annahme   $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$   lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:
	:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}		:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\\rho_{13} & \rho_{23} & 1\end{array} \right] .$$
	1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
	\rho_{13} & \rho_{23} & 1
	\end{array} \right] .$$

	Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}$.		Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}$.
Zeile 87:		Zeile 83:

	*In gleicher Weise gilt mit  $A_3 = -A_1$  und  $B_3 = -B_1$:		*In gleicher Weise gilt mit  $A_3 = -A_1$  und  $B_3 = -B_1$:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$
	\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$


Zeile 94:		Zeile 89:
	*Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind,  ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$		*Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind,  ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
	*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:		*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \~~cdot~~		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
	0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$		:$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
	:$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \~~cdot~~
	0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
	*Für ein  (sehr gut)  geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen,  dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.		*Für ein  (sehr gut)  geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen,  dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.
	*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.		*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.

Guenter am 29. März 2022 um 12:57 Uhr

2022-03-29T12:57:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 14:57 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:		'''(1)'''  Nur die  <u>zweite und die letzte Aussage</u>  treffen zu:
	*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen  $($hier:   $x_1$  und  $x_2)$  unkorreliert sind, während  $x_3$  statistische Bindungen bezüglich  $x_1$  $($über die Größe  $u)$  und auch in Bezug zu  $~~x_3~~$  $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$  aufweist.		*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall,  dass zwei Größen  $($hier:   $x_1$  und  $x_2)$  unkorreliert sind,  während  $x_3$  statistische Bindungen bezüglich  $x_1$  $($über die Größe  $u)$  und auch in Bezug zu  $x_2$  $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$  aufweist.
	*Die Kombination  $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.  Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße  $w$  benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$~~ ~~,  $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.		*Die Kombination   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.  Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße  $w$  benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$,   $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.
	*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:  Sind  $x_1$  und  $x_2$  unkorreliert und gleichzeitig auch  $x_1$  und  $x_3$, so können auch zwischen  $x_2$  und  $x_3$  keine statistischen Bindungen bestehen.		*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:  Sind  $x_1$  und  $x_2$  unkorreliert und gleichzeitig auch  $x_1$  und  $x_3$, so können auch zwischen  $x_2$  und  $x_3$  keine statistischen Bindungen bestehen.
	*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl  $\rho_{12}$  als auch  $\rho_{13}$  und  $\rho_{23}$  von Null verschieden sein.		*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl  $\rho_{12}$  als auch  $\rho_{13}$  und  $\rho_{23}$  von Null verschieden sein.  Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe  '''(2)'''  betrachtet.
	*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe  '''(2)'''  betrachtet.


Zeile 92:		Zeile 91:


	'''(3)'''  Mit diesem Parametersatz ist  $x_1$  identisch mit der Zufallsgröße  $u$, während  $x_2 = v$  gilt.		'''(3)'''  Mit diesem Parametersatz ist  $x_1$  identisch mit der Zufallsgröße  $u$,  während  $x_2 = v$  gilt.
	*Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$		*Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind,  ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
	*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:		*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
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	:$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot		:$$\rho_{23} = A_2 \cdot A_3 + B_2 \cdot B_3 = 0 \cdot 0.8 + 1 \cdot
	0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$		0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$
			*Für ein  (sehr gut)  geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen,  dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.
	*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.
	*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.		*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
	*Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.		*Seien Sie aber nicht frustriert,  wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. März 2022 um 12:51 Uhr

2022-03-29T12:51:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2022, 14:51 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png\|right\|frame\|Sind die Zufallssignale korreliert?]]		[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png\|right\|frame\|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
	Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz  $\sigma^2 = 1$.		Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$,  jeweils mittelwertfrei und mit Varianz  $\sigma^2 = 1$.

	Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:		Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
Zeile 11:		Zeile 11:
	:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$		:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

	Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen  $(i = 1, 2, 3)$  gilt:		Vorausgesetzt wird,  dass in allen betrachteten Fällen  $(i = 1,\ 2,\ 3)$  gilt:
	:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$		:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

	Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe  '''(3)'''  betrachtet werden soll:		Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$,  $x_2(t)$  und  $x_3(t)$  für den Fall,  der in der Teilaufgabe  '''(3)'''  betrachtet werden soll:
	* $A_1 = B_2 = 1$,		* $A_1 = B_2 = 1$,
	* $A_2 = B_2 = 0$,		* $A_2 = B_2 = 0$,
Zeile 24:		Zeile 24:
	B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$		B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

	Unter der hier implizit getroffenen Annahme  $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$  lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:		Unter der hier implizit getroffenen Annahme   $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$   lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:
	:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}		:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
	1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\		1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
Zeile 37:		Zeile 37:


			Hinweise:


	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
	*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  sowie  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].		*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten   [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]   sowie   [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].


Zeile 52:		Zeile 49:
	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $\mathbf{K}$  kann bei geeigneter Wahl von  $A_1$, ... , $B_3$  eine Diagonalmatrix sein.  Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$  ist möglich.		- $\mathbf{K}$  kann bei geeigneter Wahl von   $A_1$, ... , $B_3$   eine Diagonalmatrix sein.  Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$  ist möglich.
	+ Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  kann genau einer der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.		+ Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   kann genau einer der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
	- Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  können genau zwei der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.		- Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   können genau zwei der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
	+ Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  können alle drei Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} \ne 0$  sein.		+ Bei geeigneter Wahl der Parameter   $A_1$, ... , $B_3$   können alle drei Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} \ne 0$  sein.


	{Wie lauten die Matrixelemente von  $\mathbf{K}$  mit  $A_1 = A_2 = - A_3$  und  $B_1 = B_2 = - B_3$ ?		{Wie lauten die Matrixelemente von  $\mathbf{K}$  mit   $A_1 = A_2 = - A_3$   und   $B_1 = B_2 = - B_3$ ?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }		$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }

Guenter am 5. Dezember 2019 um 14:21 Uhr

2019-12-05T14:21:26Z

Guenter am 5. Dezember 2019 um 13:50 Uhr

2019-12-05T13:50:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2019, 15:50 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png\|right\|frame\|Sind die Zufallssignale korreliert?]]		[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png\|right\|frame\|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
	Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.		Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz  $\sigma^2 = 1$.

	Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:		Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
Zeile 11:		Zeile 11:
	:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$		:$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

	Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:		Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen  $(i = 1, 2, 3)$  gilt:
	:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$		:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

	~~In der~~ Grafik ~~sehen Sie drei Signalverläufe~~ $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ ~~entsprechend dem Parametersatz~~, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet werden soll:		Die Grafik zeigt die Signale $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ für den Fall, der in der Teilaufgabe  '''(3)'''  betrachtet werden soll:
	* $A_1 = B_2 = 1$,		* $A_1 = B_2 = 1$,
	* $A_2 = B_2 = 0$,		* $A_2 = B_2 = 0$,
Zeile 20:		Zeile 20:


	Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:		Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{ij}$  zwischen den Zufallsgrößen  $x_i$  und  $x_j$  wird wie folgt angegeben:
	:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +		:$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 +
	B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$		B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

	Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:		Unter der hier implizit getroffenen Annahme  $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$  lautet die Kovarianzmatrix  $\mathbf{K}$:
	:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}		:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
	1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\		1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
Zeile 30:		Zeile 30:
	\end{array} \right] .$$		\end{array} \right] .$$

	Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.		Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix  $\mathbf{R}$.





Zeile 49:		Zeile 52:
	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.		- $\mathbf{K}$  kann bei geeigneter Wahl von  $A_1$, ... , $B_3$  eine Diagonalmatrix sein.  Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$  ist möglich.
	+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.		+ Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  kann genau einer der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
	- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.		- Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  können genau zwei der Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} = 0$  sein.
	+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können alle drei Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} \ne 0$ sein.		+ Bei geeigneter Wahl der Parameter  $A_1$, ... , $B_3$  können alle drei Korrelationskoeffizienten  $\rho_{ij} \ne 0$  sein.


	{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$?		{Wie lauten die Matrixelemente von  $\mathbf{K}$  mit  $A_1 = A_2 = - A_3$  und  $B_1 = B_2 = - B_3$ ?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }		$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
Zeile 62:		Zeile 65:


	{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall~~, also für~~ $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.		{Berechnen Sie die Koeffizienten  $\rho_{ij}$  für den in der Grafik dargestellten Fall:  $A_1 = 1$,  $B_1 = 0$,  $A_2 = 0$,  $B_2 = 1$,  $A_3 = 0.8$,  $B_3 = 0.6$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{12} \ = \ $ { 0. }		$\rho_{12} \ = \ $ { 0. }

Guenter am 22. August 2018 um 07:52 Uhr

2018-08-22T07:52:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 09:52 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:		'''(1)'''  Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
	*Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.		*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier:   $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.
	*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ~~  ⇒~~   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise $x_1 = u$, $x_2 = v$ und $x_3 = w$ gelten.		*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$ ,  $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.
	*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.		*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.
	*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von ~~$0$~~ verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe (2) betrachtet.		*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein.
			*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe '''(2)''' betrachtet.


	'''(2)'''  In diesem Fall sind die Größen$x_1 = x_2$ vollständig (zu $100\%$) korreliert.		'''(2)'''  In diesem Fall sind die Größen  $x_1 = x_2$  vollständig (zu $100\%$) korreliert.
	~~<br>~~Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:		*Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
	:$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$		:$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$

	In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:		*In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1
	\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$		\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$

	'''(3)'''  Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt. Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$ Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
			'''(3)'''  Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt.
			*Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
			*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
	0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$		0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8},$$
Zeile 95:		Zeile 99:
	0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$		0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$

	Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$. Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus. Seien Sie aber nicht ~~traurig~~, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.		*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$.
			*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
			*Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 22. August 2018 um 07:42 Uhr

2018-08-22T07:42:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2018, 09:42 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png\|right\|~~Korrelierte~~ Zufallssignale]]		[[Datei:P_ID664__Sto_Z_4_15.png\|right\|frame\|Sind die Zufallssignale korreliert?]]
	Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:		Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$.

			Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:
	:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$		:$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$
	:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$		:$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$
Zeile 12:		Zeile 14:
	:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$		:$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

	In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet werden soll:		In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend dem Parametersatz, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet werden soll:
	* $A_1 = B_2 = 1$,		* $A_1 = B_2 = 1$,
	* $A_2 = B_2 = 0$,		* $A_2 = B_2 = 0$,
	* $A_3 = 0.8, \~~hspace{0.5cm}~~ B_3 = 0.6$,		* $A_3 = 0.8, \ B_3 = 0.6$,


Zeile 22:		Zeile 24:
	B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$		B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

	Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$~~, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist~~:		Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$:
	:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}		:$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
	1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\		1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\
	\rho_{13} & \rho_{23} & 1		\rho_{13} & \rho_{23} & 1
	\end{array} \right] .$$		\end{array} \right] .$$

			Diese ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf ''N''-dimensionale Zufallsgrößen]].
	*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]]		*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]]  sowie  [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]].


Zeile 40:		Zeile 49:
	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.		- $\mathbf{K}$ kann geeigneter Wahl von $A_1$, ... , $B_3$ eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt:   $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$ ist möglich.
	+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.		+ Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ kann genau einer der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
	- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.		- Bei geeigneter Wahl der Parameter $A_1$, ... , $B_3$ können genau zwei der Korrelationskoeffizienten $\rho_{ij} = 0$ sein.
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	{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$?		{Wie lauten die Matrixelemente von $\mathbf{K}$ mit $A_1 = A_2 = - A_3$ und $B_1 = B_2 = - B_3$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{12} \ =$ { 1 3% }		$\rho_{12} \ = \ $ { 1 3% }
	$\rho_{13} \ =$ { -1.03--0.97 }		$\rho_{13} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
	$\rho_{23} \ =$ { -1.03--0.97 }		$\rho_{23} \ = \ $ { -1.03--0.97 }


	{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.		{Berechnen Sie die Koeffizienten $\rho_{ij}$ für den in der Grafik dargestellten Fall, also für $A_1 = 1$, $B_1 = 0$, $A_2 = 0$, $B_2 = 1$, $A_3 = 0.8$, $B_3 = 0.6$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\rho_{12} \ = $ { 0. }		$\rho_{12} \ = \ $ { 0. }
	$\rho_{13} \ = ${ 0.8 3% }		$\rho_{13} \ = \ ${ 0.8 3% }
	$\rho_{23} \ = $ { 0.6 3% }		$\rho_{23} \ = \ $ { 0.6 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen\|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
	*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]]		*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix\|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix\|Inverse einer Matrix]]
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-03T13:47:08Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix nach Aufgaben:Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix

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(kein Unterschied)

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:		'''(1)'''  Nur die <u>zweite und die letzte Aussage</u> treffen zu:
	*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier:   $x_1$ und $x_2$) unkorreliert sind, während $x_3$ statistische Bindungen bezüglich $x_1$ (über die Größe $u$) und auch in Bezug zu $x_3$ (bedingt durch die Zufallsgröße $v$) aufweist.		*Die Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen  $($hier:   $x_1$  und  $x_2)$  unkorreliert sind, während  $x_3$  statistische Bindungen bezüglich  $x_1$  $($über die Größe  $u)$  und auch in Bezug zu  $x_3$  $($bedingt durch die Zufallsgröße $v)$  aufweist.
	*Die Kombination $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße $w$ benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$ ,  $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.		*Die Kombination  $\rho_{12} = \rho_{13} = \rho_{23} = 0$   ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich.  Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße  $w$  benötigen und es müsste beispielsweise  $x_1 = k_1 \cdot u$ ,  $x_2 = k_2 \cdot v$  und  $x_3 = k_3 \cdot w$  gelten.
	*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind $x_1$ und $x_2$ unkorreliert und gleichzeitig auch $x_1$ und $x_3$, so können auch zwischen $x_2$ und $x_3$ keine statistischen Bindungen bestehen.		*Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend:  Sind  $x_1$  und  $x_2$  unkorreliert und gleichzeitig auch  $x_1$  und  $x_3$, so können auch zwischen  $x_2$  und  $x_3$  keine statistischen Bindungen bestehen.
	*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl $\rho_{12}$ als auch $\rho_{13}$ und $\rho_{23}$ von Null verschieden sein.		*Im Allgemeinen werden allerdings sowohl  $\rho_{12}$  als auch  $\rho_{13}$  und  $\rho_{23}$  von Null verschieden sein.
	*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe '''(2)''' betrachtet.		*Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe  '''(2)'''  betrachtet.


	'''(2)'''  In diesem Fall sind die Größen  $x_1 = x_2$  vollständig (zu $100\%$) korreliert.
	*Mit $A_2 = A_1$ und $B_2 = B_1$ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:		'''(2)'''  In diesem Fall sind die Größen  $x_1 = x_2$  vollständig  $($zu  $100\%)$  korreliert.
			*Mit  $A_2 = A_1$  und  $B_2 = B_1$  erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:
	:$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$		:$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$

	*In gleicher Weise gilt mit $A_3 = -A_1$ und $B_3 = -B_1$:		*In gleicher Weise gilt mit  $A_3 = -A_1$  und  $B_3 = -B_1$:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1
	\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$		\hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$


	'''(3)'''  Mit diesem Parametersatz ist $x_1$ identisch mit der Zufallsgröße $u$, während $x_2 = v$ gilt.		'''(3)'''  Mit diesem Parametersatz ist  $x_1$  identisch mit der Zufallsgröße  $u$, während  $x_2 = v$  gilt.
	*Da $u$ und $v$ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$		*Da  $u$  und  $v$  statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich  $\rho_{12} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$
	*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:		*Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:
	:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot		:$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot
Zeile 102:		Zeile 103:
	0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$		0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.6}.$$

	*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal $x_3(t)$ mehr Ähnlichkeiten mit $x_1(t)$ aufweist als mit $x_2(t)$.		*Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal  $x_3(t)$  mehr Ähnlichkeiten mit  $x_1(t)$  aufweist als mit  $x_2(t)$.
	*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.		*Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.
	*Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.		*Seien Sie aber nicht frustriert, wenn Sie die unterschiedliche Korrelation in den Signalverläufen nicht erkennen.