Aufgaben:Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix - Versionsgeschichte

Guenter am 28. März 2022 um 11:34 Uhr

2022-03-28T11:34:09Z

Guenter am 28. März 2022 um 11:28 Uhr

2022-03-28T11:28:07Z

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2022-03-28T11:21:14Z

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Guenter am 5. Dezember 2019 um 13:40 Uhr

2019-12-05T13:40:24Z

Guenter am 5. Dezember 2019 um 13:27 Uhr

2019-12-05T13:27:40Z

Guenter am 22. August 2018 um 07:09 Uhr

2018-08-22T07:09:59Z

Guenter am 22. August 2018 um 07:02 Uhr

2018-08-22T07:02:28Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:46:49Z

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Guenter am 3. April 2017 um 09:14 Uhr

2017-04-03T09:14:20Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur&nbsp; <u>der Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Anhand der Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$&nbsp; ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert&nbsp; $\mathbf{m}$&nbsp; herausgerechnet wird.
+*Anhand der Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$&nbsp; ist keine Aussage darüber möglich,&nbsp; ob die zugrunde liegende Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist,&nbsp; da ein eventueller Mittelwert&nbsp; $\mathbf{m}$&nbsp; herausgerechnet wird.
-*Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$&nbsp; bekannt sein.
+*Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können,&nbsp; müsste die Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$&nbsp; bekannt sein.
-*Aus&nbsp; $K_{22} = \sigma_2^2  = 0$&nbsp; folgt zwingend, dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile&nbsp; $(K_{21}, K_{23})$&nbsp; und der zweiten Spalte&nbsp; $(K_{12}, K_{32})$&nbsp;  ebenfalls Null sind.
+*Aus&nbsp; $K_{22} = \sigma_2^2  = 0$&nbsp; folgt zwingend,&nbsp; dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile&nbsp; $(K_{21}, K_{23})$&nbsp; und der zweiten Spalte&nbsp; $(K_{12}, K_{32})$&nbsp;  ebenfalls Null sind.
-*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: &nbsp; Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets&nbsp; $K_{31} = K_{13}$&nbsp; gelten muss.
+*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: &nbsp; Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen,&nbsp; so dass stets&nbsp; $K_{31} = K_{13}$&nbsp; gelten muss.
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-'''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; mit Nebenbedingung&nbsp; $K_{22} = 0$&nbsp; zeigt, dass&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; identische Zufallsgrößen sind, wenn man&nbsp; $y_1 = x_1$&nbsp;  und&nbsp; $y_2 = x_3$&nbsp; setzt.
+'''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich von&nbsp; $\mathbf{K_y}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{K_x}$&nbsp; mit Nebenbedingung&nbsp; $K_{22} = 0$&nbsp; zeigt,&nbsp; dass&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; identische Zufallsgrößen sind,&nbsp; wenn man&nbsp; $y_1 = x_1$&nbsp;  und&nbsp; $y_2 = x_3$&nbsp; setzt.
 *Somit gilt für die WDF-Parameter:
 :$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho =

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 }}
-[[Datei:P_ID669__Sto_A_4_15.png |right|frame|Zwei Korrelationsmatrizen]]
+[[Datei:P_ID669__Sto_A_4_15.png |right|frame|Zwei Kovarianzmatrizen]]
-Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$&nbsp; in der Grafik angegeben ist.&nbsp; Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
+Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$,&nbsp; deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$&nbsp; in der Grafik angegeben ist.&nbsp; Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
 * Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:
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-Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; mit den beiden Komponenten&nbsp; $y_1$&nbsp; und&nbsp; $y_2$&nbsp; betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$&nbsp; durch die angegebenen Zahlenwerte &nbsp;$(1, \ 0.4, \ 0.25)$&nbsp; bestimmt ist.
+Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; mit den beiden Komponenten&nbsp; $y_1$&nbsp; und&nbsp; $y_2$&nbsp; betrachtet werden,&nbsp; deren Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$&nbsp; durch die angegebenen Zahlenwerte &nbsp;$(1, \ 0.4, \ 0.25)$&nbsp; bestimmt ist.
-Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; lautet gemäß den Angaben auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]]&nbsp; mit&nbsp; $N = 2$:
+Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; lautet gemäß den Angaben auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|"Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF"]]&nbsp; mit&nbsp; $N = 2$:
 :$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y})   =  \frac{1}{{2 \pi \cdot
 \sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm e}^{-{1}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} ^{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\mathbf{K_y}^{-1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y}  }=   C \cdot  {\rm e}^{-\gamma_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \gamma_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\gamma_{12} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2 }.$$
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-{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion.&nbsp; Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D&ndash;WDF&ndash;Gleichung.
+{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion.&nbsp; Vergleichen Sie das Ergebnis mit der zweidimensionalen   WDF&ndash;Gleichung.
 |type="{}"}
 $\gamma_1 \ =  \ $ { 1.389 3% }

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Anhand der Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße $\mathbf{x}$ mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert $\mathbf{m}$ herausgerechnet wird.
+*Anhand der Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$&nbsp; ist keine Aussage darüber möglich, ob die zugrunde liegende Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; mittelwertfrei oder mittelwertbehaftet ist, da ein eventueller Mittelwert&nbsp; $\mathbf{m}$&nbsp; herausgerechnet wird.
-*Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$ bekannt sein.
+*Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$&nbsp; bekannt sein.
-*Aus $K_{22} = \sigma_2^2  = 0$ folgt zwingend, dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile $(K_{21}, K_{23})$ und der zweiten Spalte $(K_{12}, K_{32})$  ebenfalls $0$ sind.
+*Aus&nbsp; $K_{22} = \sigma_2^2  = 0$&nbsp; folgt zwingend, dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile&nbsp; $(K_{21}, K_{23})$&nbsp; und der zweiten Spalte&nbsp; $(K_{12}, K_{32})$&nbsp;  ebenfalls Null sind.
-*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: &nbsp; Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets $K_{31} = K_{13}$ gelten muss.
+*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: &nbsp; Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets&nbsp; $K_{31} = K_{13}$&nbsp; gelten muss.
 [[Datei:P_ID2915__Sto_A_4_15a.png|right|frame|Vollständige Kovarianzmatrix]]
-'''(2)'''&nbsp; Aus $K_{11}  = 1$ und $K_{33}  = 0.25$ folgen direkt $\sigma_1 = 1$ und $\sigma_3 = 0.5$. <br>Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{13}  = 0.8$ (siehe Angabenblatt) erhält man somit:
+'''(2)'''&nbsp; Aus&nbsp; $K_{11}  = 1$&nbsp; und&nbsp; $K_{33}  = 0.25$&nbsp; folgen direkt&nbsp; $\sigma_1 = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_3 = 0.5$.
 :$$K_{13} =  K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Determinante der Matrix $\mathbf{K_y}$ lautet:
 :$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$
@@ Zeile 110: / Zeile 113: @@
 \end{array} \right].$$
-Mit $|\mathbf{K_y}|= 0.09$ gilt deshalb weiter:
+*Mit&nbsp; $|\mathbf{K_y}|= 0.09$&nbsp; gilt deshalb weiter:
 :$$I_{11} = {25}/{9}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.777};\hspace{0.3cm} I_{12} = I_{21} = -40/9 \hspace{0.15cm}\underline{ = -4.447};\hspace{0.3cm}I_{22} = {100}/{9} \hspace{0.15cm}\underline{=
 .111}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich der Matrizen $\mathbf{K_y}$ und $\mathbf{K_x}$ unter der Nebenbedingung $K_{22} = 0$ zeigt, dass $\mathbf{x}$ und $\mathbf{y}$ identische Zufallsgrößen sind, wenn man $y_1 = x_1$  und $y_2 = x_3$ setzt. Somit gilt für die WDF-Parameter:
 :$$\sigma_1 =1, \hspace{0.3cm} \sigma_2 =0.5, \hspace{0.3cm} \rho =
 .8.$$
-Der Vorfaktor entsprechend der allgemeinen WDF-Definition  ist somit:
+*Der Vorfaktor entsprechend der allgemeinen WDF-Definition  ist somit:
-:$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}=
+:$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}=
 \frac{\rm 1}{\rm 2\pi \cdot 1 \cdot 0.5 \cdot 0.6}= \frac{1}{0.6
 \cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$
-Mit der in der Teilaufgabe '''(3)''' berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:
+*Mit der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:
 :$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm
 }{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Die  in der Teilaufgabe '''(4)''' berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:
 :$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[
 \begin{array}{cc}
@@ Zeile 136: / Zeile 142: @@
 \end{array} \right].$$
-Somit lautet das Argument $A$ der Exponentialfunktion:
+*Somit lautet das Argument&nbsp; $A$&nbsp; der Exponentialfunktion:
 :$$A = \frac{5}{18}\cdot{\mathbf{y}}^{\rm T}\cdot \left[
 \begin{array}{cc}
@@ Zeile 144: / Zeile 150: @@
 y_2\right).$$
-Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
+*Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
 :$$\gamma_1 = \frac{25}{18} \approx 1.389; \hspace{0.3cm} \gamma_2 =
 \frac{100}{18} \approx 5.556; \hspace{0.3cm} \gamma_{12} = -
 \frac{80}{18} \approx -4.444.$$
-Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:
+*Entsprechend der herkömmlichen Vorgehensweise ergeben sich die gleichen Zahlenwerte:
 :$$\gamma_1 =\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot \sigma_1^2 \cdot ({\rm
 -\rho^2})}=

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 [[Datei:P_ID669__Sto_A_4_15.png |right|frame|Zwei Korrelationsmatrizen]]
-Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
+Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$&nbsp; in der Grafik angegeben ist.&nbsp; Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
 * Die drei Komponenten sind gaußverteilt und es gilt für die Elemente der Kovarianzmatrix:
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 * Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:
 :$$ K_{11} =1, \  K_{22} =0, \ K_{33} =0.25.$$
-* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.
+* Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_3$&nbsp; beträgt&nbsp; $\rho_{13} = 0.8$.
-Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte &nbsp;$(1, \ 0.4, \ 0.25)$&nbsp; bestimmt ist.
+Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; mit den beiden Komponenten&nbsp; $y_1$&nbsp; und&nbsp; $y_2$&nbsp; betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$&nbsp; durch die angegebenen Zahlenwerte &nbsp;$(1, \ 0.4, \ 0.25)$&nbsp; bestimmt ist.
-Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]] mit $N = 2$:
+Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{y}$&nbsp; lautet gemäß den Angaben auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]]&nbsp; mit&nbsp; $N = 2$:
 :$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y})   =  \frac{1}{{2 \pi \cdot
 \sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm e}^{-{1}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} ^{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\mathbf{K_y}^{-1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y}  }=   C \cdot  {\rm e}^{-\gamma_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \gamma_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\gamma_{12} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2 }.$$
-*In den Teilaufgaben '''(5)''' und '''(6)''' sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden.
+*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(5)'''&nbsp; und&nbsp; '''(6)'''&nbsp; sollen der Vorfaktor&nbsp; $C$&nbsp; und die weiteren WDF-Koeffizienten&nbsp; $\gamma_1$,&nbsp; $\gamma_2$&nbsp; und&nbsp; $\gamma_{12}$&nbsp; gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden.
-*Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]] lauten:
+*Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei &nbsp;herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]]&nbsp; lauten:
 :$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1
 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
+- Die Zufallsgröße&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
-+ Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{21}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind $0$.
++ Die Matrixelemente&nbsp; $K_{12}$,&nbsp; $K_{21}$,&nbsp; $K_{23}$&nbsp; und&nbsp; $K_{32}$&nbsp; sind Null.
 - Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.
@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
-{Berechnen Sie die Determinante $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.
+{Berechnen Sie die Determinante&nbsp; $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.
 |type="{}"}
 $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ =  \ $ { 0.09 3% }
-{Berechnen Sie die inverse Matrix $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$ mit den Matrixelementen
+{Berechnen Sie die inverse Matrix&nbsp; $\mathbf{I}_{\mathbf{y}} = \mathbf{K}_{\mathbf{y}}^{-1}$&nbsp; mit den Matrixelementen
 $I_{ij}$ :
 |type="{}"}
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
-{Berechnen Sie den Vorfaktor $C$ der 2D-WDF. Vergleichen Sie das Ergebnis
+{Berechnen Sie den Vorfaktor&nbsp; $C$&nbsp; der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.&nbsp; Vergleichen Sie das Ergebnis
-mit der entsprechenden Formel gemäß dem Theorieteil.
+mit der im  Theorieteil angebenen Formel.
 |type="{}"}
 $C\ =  \ $ { 0.531 3% }
-{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D&ndash;WDF&ndash;Gleichung.
+{Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion.&nbsp; Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D&ndash;WDF&ndash;Gleichung.
 |type="{}"}
 $\gamma_1 \ =  \ $ { 1.389 3% }

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 *Um Aussagen über den Mittelwert machen zu können, müsste die Korrelationsmatrix $\mathbf{R}_{\mathbf{x}}$ bekannt sein.
 *Aus $K_{22} = \sigma_2^2  = 0$ folgt zwingend, dass alle anderen Elemente in der zweiten Zeile $(K_{21}, K_{23})$ und der zweiten Spalte $(K_{12}, K_{32})$  ebenfalls $0$ sind.
-*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets $K_{31} = K_{13}$ gelten muss.
+*Dagegen ist die dritte Aussage falsch: &nbsp; Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen, so dass stets $K_{31} = K_{13}$ gelten muss.
-[[Datei:P_ID2915__Sto_A_4_15a.png|right|Vollständige Kovarianzmatrix]]
+[[Datei:P_ID2915__Sto_A_4_15a.png|right|frame|Vollständige Kovarianzmatrix]]
-'''(2)'''&nbsp; Aus $K_{11}  = 1$ und $K_{33}  = 0.25$ folgen direkt $\sigma_1 = 1$ und $\sigma_3 = 0.5$. Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{13}  = 0.8$ (siehe Angabenblatt) erhält man somit:
+'''(2)'''&nbsp; Aus $K_{11}  = 1$ und $K_{33}  = 0.25$ folgen direkt $\sigma_1 = 1$ und $\sigma_3 = 0.5$. <br>Zusammen mit dem Korrelationskoeffizienten $\rho_{13}  = 0.8$ (siehe Angabenblatt) erhält man somit:
 :$$K_{13} =  K_{31} = \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot \rho_{13}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.4}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Determinante der Matrix $\mathbf{K_y}$ lautet:
 :$$|{\mathbf{K_y}}| = 1 \cdot 0.25 - 0.4 \cdot 0.4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.09}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend den Angaben auf den Seiten &bdquo;Determinante einer Matrix&rdquo;  und &bdquo;Inverse einer Matrix&rdquo; gilt:
@@ Zeile 122: / Zeile 124: @@
 \cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.531}.$$
-Mit der in der Teilaufgabe (3) berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:
+Mit der in der Teilaufgabe '''(3)''' berechneten Determinante ergibt sich das gleiche Ergebnis:
 :$$C =\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sqrt{|{\mathbf{K_y}}|}}= \frac{\rm
 }{\rm 2\pi \sqrt{0.09}} = \frac{1}{0.6 \cdot \pi}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Die  in der Teilaufgabe (4) berechnete inverse Matrix kann auch wie folgt geschrieben werden:
 :$${\mathbf{I_y}} = \frac{5}{9}\cdot \left[
 \begin{array}{cc}

← Nächstältere Version	Version vom 28. März 2022, 11:21 Uhr
(kein Unterschied)

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 }}
-[[Datei:P_ID669__Sto_A_4_15.png |right|Gegebene Korrelationsmatrizen]]
+[[Datei:P_ID669__Sto_A_4_15.png |right|frame|Zwei Korrelationsmatrizen]]
 Wir betrachten hier die dreidimensionale Zufallsgröße $\mathbf{x}$, deren allgemein dargestellte Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{x}}$ in der Grafik angegeben ist. Die Zufallsgröße besitzt folgende Eigenschaften:
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 :$$K_{ij} = \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \rho_{ij}.$$
 * Die Elemente auf der Hauptdiagonalen seien bekannt:
-:$$ K_{11} =1, K_{22} =0, K_{33} =0.25.$$
+:$$ K_{11} =1, \  K_{22} =0, \ K_{33} =0.25.$$
 * Der Korrelationskoeffizient zwischen den Koeffizienten $x_1$ und $x_3$ beträgt $\rho_{13} = 0.8$.
 Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Zufallsgröße $\mathbf{y}$ mit den beiden Komponenten $y_1$ und $y_2$ betrachtet werden, deren Kovarianzmatrix $\mathbf{K}_{\mathbf{y}}$ durch die angegebenen Zahlenwerte $(1, 0.4, 0.25)$ bestimmt ist.
 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer mittelwertfreien Gaußschen zweidimensionalen Zufallsgröße $\mathbf{y}$ lautet gemäß den Angaben auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Zusammenhang_zwischen_Kovarianzmatrix_und_WDF|Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF]] mit $N = 2$:
-:$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y})   =  \frac{1}{{(2 \pi) \cdot
+:$$\mathbf{f_y}(\mathbf{y})   =  \frac{1}{{2 \pi \cdot
-\sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm exp}{\left(-\frac{1}{2}\cdot \mathbf{y} ^{\rm T}\cdot\mathbf{K_y}^{-1} \cdot \mathbf{y}  \right)}=   C \cdot  {\rm exp}{\left(-\gamma_1 \cdot y_1^2 + \gamma_2 \cdot y_2^2 +\gamma_{12} \cdot y_1 \cdot y_2 \right)}.$$
+\sqrt{|\mathbf{K_y}|}}}\cdot {\rm e}^{-{1}/{2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y} ^{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\mathbf{K_y}^{-1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \mathbf{y}  }=   C \cdot  {\rm e}^{-\gamma_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \gamma_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2^2 \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\gamma_{12} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} y_2 }.$$
-In den Teilaufgaben (5) und (6) sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden. Dagegen würde die entsprechende Gleichung bei herkömmlicher Vorgehensweise entsprechend dem Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]] lauten:
+*In den Teilaufgaben '''(5)''' und '''(6)''' sollen der Vorfaktor $C$ und die weiteren WDF-Koeffizienten $\gamma_1$, $\gamma_2$ und $\gamma_{12}$ gemäß dieser Vektordarstellung berechnet werden.
 :$$f_{y_1,\hspace{0.1cm}y_2}(y_1,y_2)=\frac{\rm 1}{\rm 2\pi \sigma_1
 \sigma_2 \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2
@@ Zeile 24: / Zeile 26: @@
 }}+\frac { y_2^{\rm 2}}{\sigma_2^{\rm 2}}-\rm 2\rho \frac{{\it
 y}_1{\it y}_2}{\sigma_1 \cdot \sigma_2}) \rm \Bigg].$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen|Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen]].
-*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]] sowie [[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]
+*Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Determinante_einer_Matrix|Determinante einer Matrix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Verallgemeinerung_auf_N-dimensionale_Zufallsgrößen#Grundlagen_der_Matrizenrechnung:_Inverse_einer_Matrix|Inverse einer Matrix]]&nbsp;
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 - Die Zufallsgröße $\mathbf{x}$ ist mit Sicherheit mittelwertfrei.
-+ Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{212}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind $0$.
++ Die Matrixelemente $K_{12}$, $K_{21}$, $K_{23}$ und $K_{32}$ sind $0$.
 - Es gilt $K_{31} = -K_{13}$.
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 {Berechnen Sie das Matrixelement der letzten Zeile und ersten Spalte.
 |type="{}"}
-$K_\text{31} \ = $ { 0.4 3% }
+$K_\text{31} \ = \ $ { 0.4 3% }
 {Berechnen Sie die Determinante $|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}|$.
 |type="{}"}
-$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ = $ { 0.09 3% }
+$|\mathbf{K}_{\mathbf{y}}| \ =  \ $ { 0.09 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 62: @@
 $I_{ij}$ :
 |type="{}"}
-$I_\text{11} \ = $ { 2.777 3% }
+$I_\text{11} \ =  \ $ { 2.777 3% }
-$I_\text{12} \ = $ {  -4.454--4.434 }
+$I_\text{12} \ =  \ $ {  -4.454--4.434 }
-$I_\text{21} \ = $ {  -4.454--4.434 }
+$I_\text{21} \ =  \ $ {  -4.454--4.434 }
-$I_\text{22} \ = $ { 11.111 3% }
+$I_\text{22} \ =  \ $ { 11.111 3% }
-{Berechnen Sie den Vorfaktor $C$ der 2D-WDF. Vvergleichen Sie das Ergebnis
+{Berechnen Sie den Vorfaktor $C$ der 2D-WDF. Vergleichen Sie das Ergebnis
 mit der entsprechenden Formel gemäß dem Theorieteil.
 |type="{}"}
-$C\ = $ { 0.531 3% }
+$C\ =  \ $ { 0.531 3% }
 {Bestimmen Sie die Koeffizienten im Argument der Exponentialfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der 2D&ndash;WDF&ndash;Gleichung.
 |type="{}"}
-$\gamma_1 \ = $ { 1.389 3% }
+$\gamma_1 \ =  \ $ { 1.389 3% }
-$\gamma_2 \ = $ { 5.556 3% }
+$\gamma_2 \ =  \ $ { 5.556 3% }
-$\gamma_{12}\ = $ { -4.454--4.434 }
+$\gamma_{12}\ =  \ $ { -4.454--4.434 }