Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos - Versionsgeschichte

Guenter am 28. März 2022 um 10:48 Uhr

2022-03-28T10:48:40Z

Guenter am 28. März 2022 um 10:46 Uhr

2022-03-28T10:46:48Z

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2019-12-03T16:24:11Z

Guenter am 3. Dezember 2019 um 16:09 Uhr

2019-12-03T16:09:33Z

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2018-08-21T10:02:33Z

Guenter am 21. August 2018 um 09:58 Uhr

2018-08-21T09:58:08Z

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2018-08-21T09:44:52Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:46:31Z

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 '''(5)'''&nbsp; Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: &nbsp; $\varphi_{y} (\tau)  =  \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$.
-*Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
+*Diese AKF&nbsp; $\varphi_{y} (\tau)$&nbsp; lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
 :$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot  \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} +  \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$
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 :$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$
-*Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
+*Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF,&nbsp; wie in der unteren Grafik dargestellt:
 :$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}  \alpha_2^2  ) \cdot {\rm \delta} (\tau)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}},

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp;  ist im Bereich&nbsp; $\pm B_x$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $N_0/2$.
+'''(1)'''&nbsp; Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp;  ist im Bereich&nbsp; $\pm B_x$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $N_0/2$.&nbsp; Dessen Fouriertransformierte ist die AKF:
 :$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
-*Umgerechnet von&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; auf&nbsp; $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; erh&auml;lt man somit&nbsp; $($Multiplikation mit&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$:
+*Umgerechnet von&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; auf&nbsp; $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; erh&auml;lt man somit &nbsp; $($Multiplikation mit&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$:
 :$$\varphi_x (\tau) =  0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)=  1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
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 :$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} =  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \big[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2))  \big].$$
-*Die si-Funktion weist &auml;quidistante Nulldurchg&auml;nge bei Vielfachen von&nbsp; $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} &micro; \rm s$&nbsp; auf, jeweils bezogen auf  die Mitten bei&nbsp; $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$&nbsp; bzw.&nbsp; $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
+*Die si-Funktion weist &auml;quidistante Nulldurchg&auml;nge bei Vielfachen von&nbsp; $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} &micro; \rm s$&nbsp; auf,&nbsp; bezogen auf  die Mitten bei &nbsp; $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ &nbsp; bzw. &nbsp; $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
 *Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:
 :$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$
-'''(3)'''&nbsp; Das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS) ist die Fouriertransformierte der KKF, ebenso wie das Leistungsdichtespektrum (LDS) die Fouriertransformierte der AKF angibt. Für dieses gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist die Fouriertransformierte der KKF,&nbsp; ebenso wie das Leistungsdichtespektrum (LDS) die Fouriertransformierte der AKF angibt.&nbsp; Für dieses gilt:
 :$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$
-*Au&szlig;erhalb des Bereichs&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; ist das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; &ndash; und dementsprechend auch das KLDS&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$ &ndash; identisch Null.
+*Au&szlig;erhalb des Bereichs&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; ist das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; &ndash; und entsprechend auch das Kreuzleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$ &ndash; identisch Null.
-*Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen&nbsp;  ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
+*Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen&nbsp;  ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$.&nbsp; Daraus folgt in diesem Bereich:
-[[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei weißem Rauschen]]
+[[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei <br>weißem Rauschen]]
 :$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$
-*Es ist ersichtlich, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$&nbsp; im Gegensatz zu&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; eine komplexe Funktion ist.&nbsp; Bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt:
+*Es ist ersichtlich,&nbsp; dass&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$&nbsp; im Gegensatz zu&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; eine komplexe Funktion ist.&nbsp; Bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt:
 :$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Die Fouriertransformierte einer diracf&ouml;rmigen AKF f&uuml;hrt zu einem f&uuml;r alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; konstanten LDS, das hei&szlig;t tats&auml;chlich zu &bdquo;echt Wei&szlig;em Rauschen&rdquo;.
+*Die Fouriertransformierte einer diracf&ouml;rmigen AKF f&uuml;hrt zu einem f&uuml;r alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; konstanten Leistungsdichtespektrum,&nbsp; das hei&szlig;t tats&auml;chlich zu &bdquo;echt Wei&szlig;em Rauschen&rdquo;.
-*Dieses besitzt eine unendlich gro&szlig;e Leistung, und f&uuml;r die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden:
+*Dieses besitzt eine unendlich gro&szlig;e Leistung,&nbsp; und f&uuml;r die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden:
 :$$\varphi_{xy} (\tau) =  \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm}   \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$
 *Im Frequenzbereich ist für&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; tats&auml;chlich kein Unterschied gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; feststellbar.
-*Da nun aber echt wei&szlig;es Rauschen vorliegt, ist aber hier das KLDS nicht auf diesen Bereich beschr&auml;nkt.
+*Da nun aber echt wei&szlig;es Rauschen vorliegt,&nbsp; ist hier das Kreuzleistungsdichtespektrum nicht auf diesen Bereich beschr&auml;nkt.

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 [[Datei:P_ID440__Sto_Z_4_14.png|right|Echo&ndash;Messung|frame]]
-Zur Messung akustischer Echos in R&auml;umen &ndash; zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand &ndash; kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.
+Zur Messung akustischer Echos in R&auml;umen&nbsp; &ndash; zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand &ndash;&nbsp; kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.
 *Der Rauschgenerator erzeugt ein &bdquo;im relevanten Frequenzbereich Wei&szlig;es Rauschen&rdquo;&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Leistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.
 *Dieses ist bandbegrenzt auf&nbsp; $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; und wird auf einen Lautsprecher gegeben.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
@@ Zeile 40: / Zeile 37: @@
-{Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp;  zwischen Sende&ndash; und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp;?
+{Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp;  zwischen Sende&ndash; und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_{xy}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 47: / Zeile 44: @@
-{Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS)&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
+{Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ =  \ $ { 15 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten AKF die N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; verwenden?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend,&nbsp; wenn Sie anstelle der in&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten AKF die N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{x}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; verwenden?
 |type="[]"}
 + Das Rauschen ist nun &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig; &ndash; also nicht bandbegrenzt.
@@ Zeile 60: / Zeile 57: @@
-{Berechnen Sie unter Verwendung der N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; die AKF  $\varphi_y(\tau)$.&nbsp; Welche Gewichte ergeben sich  f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$&nbsp;?
+{Berechnen Sie unter Verwendung der N&auml;herung &nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ &nbsp; die AKF  $\varphi_y(\tau)$.&nbsp; Welche Gewichte ergeben sich  f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_{y}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.13 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{x}(f)$  ist im Bereich $\pm B_x$ konstant gleich $N_0/2$. Dessen Fouriertransformierte ist die AKF:
+'''(1)'''&nbsp; Das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp;  ist im Bereich&nbsp; $\pm B_x$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $N_0/2$.
 :$$\varphi_x (\tau) = {N_0}/{2} \cdot 2 B_x \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau) = 0.02 \hspace {0.08cm}{\rm W} \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
-*Umgerechnet von $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ auf $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ erh&auml;lt man somit (Multiplikation mit $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$):
+*Umgerechnet von&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; auf&nbsp; $R = 1 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; erh&auml;lt man somit&nbsp; $($Multiplikation mit&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega)$:
 :$$\varphi_x (\tau) =  0.02 \hspace {0.05cm}{\rm VA} \cdot 50 \hspace {0.05cm}{\rm V/A}\cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau)=  1 \hspace {0.05cm}{\rm V}^2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x \tau).$$
-*Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei $\tau = 0$: &nbsp;
+*Der Effektivwert ist die Wurzel aus dem AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$: &nbsp;
 :$$\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{=  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}}.$$
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 :$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_1+ \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2 \cdot \overline {x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x(t- t_2+ \tau)} .$$
-*Unter Verwendung der AKF $\varphi_x(\tau)$ kann hierf&uuml;r auch geschrieben werden:
+*Unter Verwendung der AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; kann hierf&uuml;r auch geschrieben werden:
-:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} =  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \left[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2))  \right].$$
+:$$\varphi_{xy} (\tau) = \alpha_1 \cdot {\varphi_{x}(\tau- t_1)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \alpha_2\cdot {\varphi_{x}(\tau- t_2)} =  1 \hspace {0.08cm}{\rm V}^2 \cdot \big[ \alpha_1 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_1)) + \alpha_2 \cdot {\rm si} (2 \pi B_x (\tau - t_2))  \big].$$
-*Die si-Funktion weist &auml;quidistante Nulldurchg&auml;nge bei allen Vielfachen von $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} &micro; s$ auf, jeweils bezogen auf  deren Mittellagen bei $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ bzw. $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
+*Die si-Funktion weist &auml;quidistante Nulldurchg&auml;nge bei Vielfachen von&nbsp; $1/(2B_x) = 25 \hspace{0.08cm} &micro; \rm s$&nbsp; auf, jeweils bezogen auf  die Mitten bei&nbsp; $t_1 = 200 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$&nbsp; bzw.&nbsp; $t_2 = 250 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$.
 *Daraus ergeben sich die KKF-Werte zu:
 :$$\varphi_{xy} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}\varphi_{xy} (\tau = t_1)= \alpha_1 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5\,{\rm V}^2} ,\hspace{0.5cm} \varphi_{xy} (\tau = t_2)= \alpha_2 \cdot \varphi_{x} (\tau = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.1\,{\rm V}^2} .$$
@@ Zeile 97: / Zeile 99: @@
 :$${\it \Phi}_{xy} (f) = \alpha_1 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\it \Phi}_{x} (f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2}. $$
-*Au&szlig;erhalb des Bereichs $|f|  \le B_x$ ist das LDS ${\it \Phi}_{x}(f)$ &ndash; und dementsprechend auch das KLDS ${\it \Phi}_{xy}(f)$ &ndash; identisch $0$.
+*Au&szlig;erhalb des Bereichs&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; ist das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; &ndash; und dementsprechend auch das KLDS&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$ &ndash; identisch Null.
-*Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen  ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
+*Innerhalb dieses Intervalls gilt dagegen&nbsp;  ${\it \Phi}_{x}(f) = N_0/2$. Daraus folgt in diesem Bereich:
 [[Datei:P_ID450__Sto_Z_4_14_d.png|right|frame|AKF und KKF bei weißem Rauschen]]
 :$${\it \Phi}_{xy} (f) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_1} \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f t_2} \right). $$
-*Es ist ersichtlich, dass ${\it \Phi}_{xy}(f)$ im Gegensatz zu ${\it \Phi}_{x}(f)$ eine komplexe Funktion ist. Bei $f = 0$ gilt:
+*Es ist ersichtlich, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$&nbsp; im Gegensatz zu&nbsp; ${\it \Phi}_{x}(f)$&nbsp; eine komplexe Funktion ist.&nbsp; Bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gilt:
 :$${\it \Phi}_{xy} (f = 0) = {N_0}/{2} \left( \alpha_1 \hspace{0.15cm}+  \hspace{0.15cm}\alpha_2 \right) = 0.3 \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm}{\rm W/Hz} \hspace{0.15cm}\underline{= 15 \cdot 10^{-6}\hspace{0.07cm}{\rm V^2/Hz}} . $$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Die Fouriertransformierte einer diracf&ouml;rmigen AKF f&uuml;hrt zu einem f&uuml;r alle Frequenzen $f$ konstanten LDS, das hei&szlig;t tats&auml;chlich zu &bdquo; echt Wei&szlig;em Rauschen&rdquo;.
+*Die Fouriertransformierte einer diracf&ouml;rmigen AKF f&uuml;hrt zu einem f&uuml;r alle Frequenzen&nbsp; $f$&nbsp; konstanten LDS, das hei&szlig;t tats&auml;chlich zu &bdquo;echt Wei&szlig;em Rauschen&rdquo;.
-*Dieses besitzt eine unendlich gro&szlig;e Leistung, und f&uuml;r die KKF kann dann entsprechend der oberen Grafik geschrieben werden:
+*Dieses besitzt eine unendlich gro&szlig;e Leistung, und f&uuml;r die KKF kann dann gemäß der oberen Grafik geschrieben werden:
 :$$\varphi_{xy} (\tau) =  \alpha_1 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_1) \hspace {0.1cm}+ \hspace {0.1cm}   \alpha_2 \cdot { N_0}/{2} \cdot {\rm \delta}( \tau - t_2) .$$
-*Im Frequenzbereich ist für $|f|  \le B_x$ tats&auml;chlich kein Unterschied gegen&uuml;ber der Teilaufgabe '''(3)''' feststellbar.
+*Im Frequenzbereich ist für&nbsp; $|f|  \le B_x$&nbsp; tats&auml;chlich kein Unterschied gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; feststellbar.
 *Da nun aber echt wei&szlig;es Rauschen vorliegt, ist aber hier das KLDS nicht auf diesen Bereich beschr&auml;nkt.
 '''(5)'''&nbsp; Für die AKF des echobehafteten Signals gilt: &nbsp; $\varphi_{y} (\tau)  =  \overline {y(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}y(t+\tau)}$. Diese AKF $\varphi_{y} (\tau)$ lässt sich demzufolge als die folgende Summe darstellen:
 :$$\alpha_1^2 \cdot \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_1+ \tau)} \hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_1\hspace{0.02cm}\alpha_2 \cdot  \overline {x(t - t_1) \cdot x(t - t_2+ \tau)} +  \hspace{0.05cm} \alpha_2\hspace{0.02cm}\alpha_1 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_1+ \tau)}\hspace{0.03cm} + \hspace{0.03cm} \alpha_2^2 \cdot  \overline {x(t - t_2) \cdot x(t - t_2+ \tau)}. $$
-F&uuml;r den ersten und den letzten Mittelwert gilt:
+*F&uuml;r den ersten und den letzten Mittelwert gilt:
 :$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + \tau)} =\varphi_x(\tau).$$
-Dagegen erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten und den dritten Mittelwert mit $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:
+*Dagegen erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten und den dritten Mittelwert mit&nbsp; $\Delta t = t_2 - t_1= 50 \ \rm ms$:
 :$$\overline {x(t - t_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_2+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_1- t_2+ \tau)} =\varphi_x(\tau - \Delta t),$$
 :$$\overline {x(t - t_2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t - t_1+ \tau)} = \overline {x(t ) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x(t + t_2- t_1+ \tau)} =\varphi_x(\tau + \Delta t).$$
-Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
+*Insgesamt ergibt sich somit wieder eine symmetrische AKF, wie in der unteren Grafik dargestellt:
 :$$\varphi_{y} (\tau) = {N_0}/{2} \cdot \left[ ( \alpha_1^2 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}  \alpha_2^2  ) \cdot {\rm \delta} (\tau)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau - \Delta t) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \alpha_1 \cdot \alpha_2 \cdot {\rm \delta}(\tau + \Delta t) \right].$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{y} (\tau = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.13 \cdot 10^{-6}\, {\rm W/Hz}},

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 }}
-[[Datei:P_ID440__Sto_Z_4_14.png|right|Auffinden von Echos &ndash; Messvorrichtung|frame]]
+[[Datei:P_ID440__Sto_Z_4_14.png|right|Echo&ndash;Messung|frame]]
 Zur Messung akustischer Echos in R&auml;umen &ndash; zum Beispiel bedingt durch Reflexionen an einer Wand &ndash; kann die nebenstehende Anordnung verwendet werden.
-*Der Rauschgenerator erzeugt ein &bdquo;im relevanten Frequenzbereich Wei&szlig;es Rauschen&rdquo; $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.
+*Der Rauschgenerator erzeugt ein &bdquo;im relevanten Frequenzbereich Wei&szlig;es Rauschen&rdquo;&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Leistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-6} \hspace{0.08cm} \rm W/Hz$.
-*Dieses ist bandbegrenzt auf $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ und wird auf einen Lautsprecher gegeben.
+*Dieses ist bandbegrenzt auf&nbsp; $B_x = 20 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; und wird auf einen Lautsprecher gegeben.
-*Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$ ausgelegt.
+*Die gesamte Messeinrichtung ist für den Widerstandswert&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp; ausgelegt.
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 :$$y(t) = \sum_{\mu = 1}^M \alpha_\mu \cdot x ( t - t_\mu ) .$$
-Hierbei bezeichnen $\alpha_\mu$ Dämpfungsfaktoren und $t_\mu$ Laufzeiten.
+Hierbei bezeichnen&nbsp; $\alpha_\mu$&nbsp; Dämpfungsfaktoren und&nbsp; $t_\mu$&nbsp; Laufzeiten.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
 *Benutzen Sie f&uuml;r numerische Berechnungen die Parameterwerte
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die AKF $\varphi_x(\tau)$ am Sender an. Wie lautet diese umgerechnet auf den Widerstand $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$? <br>Wie gro&szlig; ist der Effektivwert $\sigma_x$?
+{Geben Sie die AKF&nbsp; $\varphi_x(\tau)$&nbsp; am Sender an.&nbsp; Wie lautet diese umgerechnet auf den Widerstand&nbsp; $R = 50 \hspace{0.08cm} \rm \Omega$&nbsp;?&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Effektivwert&nbsp; $\sigma_x$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) $\varphi_{xy}(\tau)$  zwischen Sende&ndash; und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$ und $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$?
+{Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF)&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau)$&nbsp;  zwischen Sende&ndash; und Empfangssignal. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = t_1 = 200 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp; und&nbsp; $\tau = t_2 = 250 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_{xy}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
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-{Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS) ${\it \Phi}_{xy}(f)$. <br>Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
+{Berechnen Sie das Kreuzleistungsdichtespektrum (KLDS)&nbsp; ${\it \Phi}_{xy}(f)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 0$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_{xy}(f =0)\ =  \ $ { 15 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in '''(1)''' berechneten AKF die N&auml;herung $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ verwenden?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn Sie anstelle der in&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten AKF die N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; verwenden?
 |type="[]"}
 + Das Rauschen ist nun &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig; &ndash; also nicht bandbegrenzt.
-- Die Rauschleistung wird gegen&uuml;ber der Teilaufgabe '''(1)''' vermindert.
+- Die Rauschleistung wird gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; vermindert.
 + Die Kreuzkorrelationsfunktion ist die Summe gewichteter und verschobener Diracs.
-- Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist wie in der Teilaufgabe '''(3)'''  berechnet.
+- Das Kreuzleistungsdichtespektrum ist wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp;  berechnet.
-{Berechnen Sie unter Verwendung der N&auml;herung $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$ die AKF  $\varphi_y(\tau)$. <br>Welche Gewichte ergeben sich  f&uuml;r $\tau = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$?
+{Berechnen Sie unter Verwendung der N&auml;herung&nbsp; $\varphi_{xy}(\tau) \approx N_0/2 \cdot \delta(\tau)$&nbsp; die AKF  $\varphi_y(\tau)$.&nbsp; Welche Gewichte ergeben sich  f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp;und&nbsp; $\tau = \Delta t = t_2 - t_1$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_{y}(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.13 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm W\hspace{-0.1cm}/Hz$