Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: 4-QAM und 4-PSK - Versionsgeschichte

Guenter am 23. August 2022 um 15:32 Uhr

2022-08-23T15:32:18Z

Guenter am 23. August 2022 um 15:15 Uhr

2022-08-23T15:15:19Z

Guenter am 15. März 2019 um 15:01 Uhr

2019-03-15T15:01:21Z

Guenter am 15. März 2019 um 14:53 Uhr

2019-03-15T14:53:34Z

Guenter am 15. März 2019 um 12:49 Uhr

2019-03-15T12:49:46Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:37:18Z

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2017-11-26T15:12:09Z

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Guenter am 25. November 2017 um 15:27 Uhr

2017-11-25T15:27:10Z

Guenter am 24. November 2017 um 09:01 Uhr

2017-11-24T09:01:39Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit $M = 4$ lauten die Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i = (s_{\rm I \it i}, s_{\rm Q \it i})$ der digitalen Phasenmodulation ($i = 0, \ \text{...} \ , 3$):
+'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $M = 4$&nbsp; lauten die Signalraumpunkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_i = (s_{\rm I \it i}, s_{\rm Q \it i})$&nbsp; der digitalen Phasenmodulation&nbsp; $(i = 0, \ \text{...} \ , 3)$:
 :$$s_{{\rm I}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ s_{{\rm Q}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $\phi_{\rm off} \ \underline {= \pi/2 \ (45^°)}$ ergeben sich genau die Signalraumpunkte der 4&ndash;QAM:
+*Mit&nbsp; $\phi_{\rm off} \ \underline {= \pi/2 \ (45^°)}$&nbsp; ergeben sich genau die Signalraumpunkte der 4&ndash;QAM:
 :$$\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (+\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (-\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm 3} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 4} = (+\sqrt{2}, -\sqrt{2})
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Für die 4&ndash;PSK ergibt sich mit der vorne angegebenen Gleichung:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:&nbsp; Für die 4&ndash;PSK ergibt sich mit der vorne angegebenen Gleichung:
 :$$p_{\rm S} \le  p_{\rm UB} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] =  2 \cdot {\rm Q} \left [ { 1}/{ \sqrt{2}} \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ]=
 \cdot {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Die 4&ndash;QAM ist mit der 4&ndash;PSK identisch (hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit sogar unabhängig vom Phasenoffset).
+*Die 4&ndash;QAM ist mit der 4&ndash;PSK identisch&nbsp; (hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit sogar unabhängig vom Phasenoffset).
 '''(4)'''&nbsp; Hier ist wiederum der <u>zweite Lösungsvorschlag</u> richtig:
-*Bei Graycodierung führt jeder Symbolfehler zu einem Bitfehler, wenn man nur benachbarte Regionen betrachtet: &nbsp; $p_{\rm B} \approx p_{\rm S}/2$.
+'''(4)'''&nbsp; Hier ist wiederum der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>&nbsp; richtig:
-*Außerdem gilt $E_{\rm S} = 2 \ E_{\rm B}$. Daraus folgt:
+*Bei Graycodierung führt jeder Symbolfehler zu einem Bitfehler,&nbsp; wenn man nur benachbarte Regionen betrachtet: &nbsp; $p_{\rm B} \approx p_{\rm S}/2$.
 :$$p_{\rm B} = \frac{p_{\rm S}}{2} \le
   {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] = {\rm Q} \left [ \sqrt{ { 2E_{\rm B}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:4.13_Vierstufige_QAM| Aufgabe 4.13]] hergeleitet, gilt sogar exakt:
+*Wie in der Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:4.13_Vierstufige_QAM| "Aufgabe 4.13"]]&nbsp; hergeleitet,&nbsp; gilt sogar exakt:
 :$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left [ \sqrt{ { 2E_{\rm B}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei dieser Herleitung wurde verwendet, dass man die 4&ndash;QAM durch zwei orthogonale BPSK&ndash;Modulationen (mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinusträger) darstellen kann.
+*Bei der Herleitung wurde verwendet,&nbsp; dass man die&nbsp; "4&ndash;QAM"&nbsp; durch zwei orthogonale BPSK&ndash;Modulationen&nbsp; (mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinusträger)&nbsp; darstellen kann.
 *Somit ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der 4&ndash;QAM und damit auch der 4&ndash;PSK in Abhängigkeit von $E_{\rm B}/N_0$ die gleiche wie für BPSK.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2068__Dig_Z_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellation von 4–QAM und 4-PSK]]
+[[Datei:P_ID2068__Dig_Z_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellation von "4–QAM"&nbsp; und&nbsp; "4-PSK"]]
-Für die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; ($M$&ndash;QAM) wurde im Theorieteil für&nbsp; $M &#8805; 16$&nbsp; eine obere Schranke &nbsp;(&bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo;)&nbsp; der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit angegeben:
+Für die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| "Quadraturamplitudenmodulation"]]&nbsp; $\rm (M&ndash;QAM)$&nbsp; wurde im Theorieteil für&nbsp; $M &#8805; 16$&nbsp; eine obere Schranke der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit angegeben  &nbsp;("Union&ndash;Bound"):
 :$$ p_{\rm UB}  =  4 \cdot {\rm Q} \left [  \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \hspace{0.05cm}\right ]  \ge p_{\rm S}  \hspace{0.05cm}.$$
-Im Theorieteil findet man ebenfalls die &bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo; für die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| <i>M</i>&ndash;stufige Phasenmodulation]]&nbsp; (<i>M</i>&ndash;PSK)
+Im Theorieteil findet man ebenfalls die&nbsp; "Union&ndash;Bound"&nbsp; für die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| <i>M</i>&ndash;stufige Phasenmodulation]]&nbsp; $\rm (M&ndash;PSK)$:
 :$$ p_{\rm UB}  =  2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \hspace{0.05cm}\right ]  \ge p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie, nämlich&nbsp; $E_{\rm S}$.
+Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie,&nbsp;  nämlich&nbsp; $E_{\rm S}$.
-Aus der Grafik erkennt man, dass für den Sonderfall&nbsp; $M = 4$&nbsp; die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten, was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.
+Aus der Grafik erkennt man,&nbsp; dass für den Sonderfall&nbsp; $M = 4$&nbsp; die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten,&nbsp; was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.
-Die 4&ndash;PSK ist hier mit dem Phasenoffset&nbsp; $\phi_{\rm off} = 0$&nbsp; dargestellt. Mit einem allgemeinen Phasenoffset lauten dagegen die Inphase&ndash; und Quadraturanteile der Signalraumpunkte allgemein:&nbsp; $(i = 0, \ ... \ , M = 1)$:
+*Die&nbsp; "4&ndash;PSK"&nbsp; ist hier mit dem Phasenoffset&nbsp; $\phi_{\rm off} = 0$&nbsp; dargestellt.&nbsp;
 :$$s_{{\rm I}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ s_{{\rm Q}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+*Alle Ergebnisse der Aufgabe können mit dem interaktiven SWF&ndash;Applet [[Applets:MPSK_%26_Union-Bound(Applet)|"M&ndash;stufiges Phase Shift Keying und Union Bound"]]&nbsp; per Simulation überprüft werden.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Für welchen Phasenoffset stimmen die 4&ndash;QAM und die 4&ndash;PSK exakt überein?
+{Für welchen Phasenoffset stimmen die&nbsp; "4&ndash;QAM"&nbsp; und die&nbsp; "4&ndash;PSK"&nbsp; exakt überein?
 |type="{}"}
 $\phi_{\rm off}\ = \ $  { 45 3% } $\ \rm Grad$
-{Wie lautet die obere Schranke&nbsp; $($Union&ndash;Bound,&nbsp; $p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$&nbsp; für die '''4&ndash;PSK'''?
+{Wie lautet die obere Schranke&nbsp; $($Union&ndash;Bound,&nbsp; $p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$&nbsp; für die&nbsp; "'''4&ndash;PSK'''"?
 |type="[]"}
 - $p_{\rm UB} = 4 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
@@ Zeile 42: / Zeile 46: @@
 - $p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.
-{Geben Sie eine nähere obere Schranke für die '''4&ndash;QAM''' an.
+{Geben Sie eine nähere obere Schranke für die&nbsp; "'''4&ndash;QAM'''"&nbsp; an.
 |type="[]"}
 - $p_{\rm S} &#8804; 4 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
@@ Zeile 48: / Zeile 52: @@
 - $p_{\rm S} &#8804; 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.
-{Wie lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranke für die 4&ndash;QAM, Graycodierung vorausgesetzt?
+{Wie lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranke für die&nbsp; "4&ndash;QAM",&nbsp; Graycodierung vorausgesetzt?
 |type="[]"}
 - $p_{\rm B} &#8804; 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; und&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29|Mehrstufige Phasenmodulation]].
 * In der obigen Grafik rot eingezeichnet ist die Gray&ndash;Zuordnung der Symbole zu Bitdupeln.
@@ Zeile 61: / Zeile 62: @@
 Mit $\phi_{\rm off} \ \underline {= \pi/2 \ (45^°)}$ ergeben sich genau die Signalraumpunkte der 4&ndash;QAM:
-:$$\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (+\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (-\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},$$
+:$$\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (+\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (-\sqrt{2}, +\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm 3} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 4} = (+\sqrt{2}, -\sqrt{2})
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Für die 4&ndash;PSK ergibt sich mit der vorne angegebenen Gleichung
 :$$p_{\rm S} \le  p_{\rm UB} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] =  2 \cdot {\rm Q} \left [ { 1}/{ \sqrt{2}} \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ]=
 \cdot {\rm Q} \left [ \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
@@ Zeile 74: / Zeile 76: @@
 *Da es aber bei 4&ndash;QAM keine inneren Symbole gibt, ist diese Schranke zu pessimistisch.
 *Die sich ergebende &bdquo;Union Bound&rdquo; ist dann doppelt so groß wie die 4&ndash;PSK&ndash;Schranke.
 '''(4)'''&nbsp; Hier ist wiederum der <u>zweite Lösungsvorschlag</u> richtig:
-*Bei Graycodierung führt jeder Symbolfehler zu einem Bitfehler, wenn man nur benachbarte Regionen betrachtet: $p_{\rm B} \approx p_{\rm S}/2$.
+*Bei Graycodierung führt jeder Symbolfehler zu einem Bitfehler, wenn man nur benachbarte Regionen betrachtet: &nbsp; $p_{\rm B} \approx p_{\rm S}/2$.
 *Außerdem gilt $E_{\rm S} = 2 \ E_{\rm B}$. Daraus folgt:
 :$$p_{\rm B} = \frac{p_{\rm S}}{2} \le
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 *Wie in der Musterlösung zur [[Aufgaben:4.13_Vierstufige_QAM| Aufgabe 4.13]] hergeleitet, gilt sogar exakt:
 :$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left [ \sqrt{ { 2E_{\rm B}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
-*Bei dieser Herleitung wurde verwendet, dass die 4&ndash;QAM durch zwei orthogonale BPSK&ndash;Modulationen (mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinusträger) dargestellt werden kann.
+*Bei dieser Herleitung wurde verwendet, dass man die 4&ndash;QAM durch zwei orthogonale BPSK&ndash;Modulationen (mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinusträger) darstellen kann.
 *Somit ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der 4&ndash;QAM und damit auch der 4&ndash;PSK in Abhängigkeit von $E_{\rm B}/N_0$ die gleiche wie für BPSK.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie, nämlich&nbsp; $E_{\rm S}$.
-Aus der Grafik erkennt man, dass für den Sonderfall $M = 4$ die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten, was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.
+Aus der Grafik erkennt man, dass für den Sonderfall&nbsp; $M = 4$&nbsp; die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten, was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.
-Die 4&ndash;PSK ist hier mit dem Phasenoffset $\phi_{\rm off} = 0$ dargestellt. Mit einem allgemeinen Phasenoffset lauten dagegen die Inphase&ndash; und Quadraturanteile der Signalraumpunkte allgemein ($i = 0, \ ... \ , M = 1$):
+Die 4&ndash;PSK ist hier mit dem Phasenoffset&nbsp; $\phi_{\rm off} = 0$&nbsp; dargestellt. Mit einem allgemeinen Phasenoffset lauten dagegen die Inphase&ndash; und Quadraturanteile der Signalraumpunkte allgemein:&nbsp; $(i = 0, \ ... \ , M = 1)$:
 :$$s_{{\rm I}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ s_{{\rm Q}i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sin \left ( { 2\pi i}/{ M} + \phi_{\rm off} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]] und  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29|Mehrstufige Phasenmodulation]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; und&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29|Mehrstufige Phasenmodulation]].
 * In der obigen Grafik rot eingezeichnet ist die Gray&ndash;Zuordnung der Symbole zu Bitdupeln.
@@ Zeile 31: / Zeile 35: @@
 $\phi_{\rm off}\ = \ $  { 45 3% } $\ \rm Grad$
-{Wie lautet die obere Schranke (Union&ndash;Bound, $p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S}$) für die 4&ndash;PSK?
+{Wie lautet die obere Schranke&nbsp; $($Union&ndash;Bound,&nbsp; $p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$&nbsp; für die '''4&ndash;PSK'''?
 |type="[]"}
 - $p_{\rm UB} = 4 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
@@ Zeile 37: / Zeile 41: @@
 - $p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.
-{Geben Sie eine nähere obere Schranke für die 4&ndash;QAM an.
+{Geben Sie eine nähere obere Schranke für die '''4&ndash;QAM''' an.
 |type="[]"}
 - $p_{\rm S} &#8804; 4 \cdot {\rm Q}[\sqrt{E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,
@@ Zeile 43: / Zeile 47: @@
 - $p_{\rm S} &#8804; 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm S}/N_0}\hspace{0.05cm}]$.
-{Wie lauten die Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranken für 4&ndash;QAM und 4&ndash;PSK, Graycodierung vorausgesetzt?
+{Wie lautet die Bitfehlerwahrscheinlichkeitsschranke für die 4&ndash;QAM, Graycodierung vorausgesetzt?
 |type="[]"}
 - $p_{\rm B} &#8804; 2 \cdot {\rm Q}[\sqrt{2E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}]$,

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2068__Dig_Z_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellation von 4–QAM und 4-PSK]]
-Für die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]] ($M$&ndash;QAM) wurde im Theorieteil für $M &#8805; 16$ eine obere Schranke (&bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo;) der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit angegeben:
+Für die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; ($M$&ndash;QAM) wurde im Theorieteil für&nbsp; $M &#8805; 16$&nbsp; eine obere Schranke &nbsp;(&bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo;)&nbsp; der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit angegeben:
 :$$ p_{\rm UB}  =  4 \cdot {\rm Q} \left [  \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0}} \hspace{0.05cm}\right ]  \ge p_{\rm S}  \hspace{0.05cm}.$$
-Im Theorieteil findet man ebenfalls die &bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo; für die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| <i>M</i>&ndash;stufige Phasenmodulation]] (<i>M</i>&ndash;PSK)
+Im Theorieteil findet man ebenfalls die &bdquo;Union&ndash;Bound&rdquo; für die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| <i>M</i>&ndash;stufige Phasenmodulation]]&nbsp; (<i>M</i>&ndash;PSK)
 :$$ p_{\rm UB}  =  2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \hspace{0.05cm}\right ]  \ge p_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie, nämlich $E_{\rm S}$.
+Bei beiden Verfahren hat jeder Signalraumpunkt die genau gleiche Energie, nämlich&nbsp; $E_{\rm S}$.
 Aus der Grafik erkennt man, dass für den Sonderfall $M = 4$ die beiden Modulationsverfahren eigentlich identisch sein müssten, was aus den obigen Gleichungen nicht direkt hervorgeht.