Aufgaben:Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK - Versionsgeschichte

Guenter am 24. April 2020 um 09:48 Uhr

2020-04-24T09:48:41Z

Guenter am 24. April 2020 um 09:36 Uhr

2020-04-24T09:36:21Z

Guenter am 13. Januar 2019 um 14:41 Uhr

2019-01-13T14:41:14Z

Guenter am 13. Januar 2019 um 14:33 Uhr

2019-01-13T14:33:23Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:56Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:32:13Z

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Guenter am 1. August 2017 um 16:40 Uhr

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Guenter am 28. Juli 2017 um 10:20 Uhr

2017-07-28T10:20:26Z

Guenter am 28. Juli 2017 um 10:19 Uhr

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Guenter am 28. Juli 2017 um 09:27 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Beispielsweise gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt,  dass $a_0^2 = a_1^2 = 1$ ist:
+*Beispielsweise gilt im Bereich&nbsp; $0 ≤ t ≤ T$, wenn man berücksichtigt,  dass&nbsp; $a_0^2 = a_1^2 = 1$&nbsp; ist:
 :$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 *Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.
-*Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$ und $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$.
+*Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar&nbsp; $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$&nbsp; und&nbsp; $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$.
 *Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.
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 '''(2)'''&nbsp; Mit der angegebenen Gleichung gilt:
 :$$\phi(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{a_1 \cdot \sin (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}{a_0 \cdot \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})}= {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [ \frac{a_1}{a_0}\cdot \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})\right ] \hspace{0.05cm}.$$
-Der Quotient $a_1/a_0$ ist stets $+1$ oder $-1$. Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:
+*Der Quotient&nbsp; $a_1/a_0$&nbsp; ist stets&nbsp; $+1$&nbsp; oder&nbsp; $-1$.&nbsp; Damit kann dieser Quotient vorgezogen werden und man erhält:
 :$$\phi(t) =  \frac{a_1}{a_0}\cdot {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\left [
    \tan \hspace{0.1cm}(\frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T})\right ]=   \frac{a_1}{a_0}\cdot \frac{\pi  \cdot t}{2  \cdot T}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$:
+*Durch die Anfangsphase&nbsp; $ϕ_0 = 0$&nbsp; können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden.&nbsp; Insbesondere gilt mit&nbsp; $a_0 = a_1 = +1$:
 :$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm &micro; s}) =  {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm &micro; s}) =  {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ}
   \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(3)'''&nbsp;  Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:
 :$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$
 :$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$
 :$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm &micro; s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$
-Die weiteren Phasenwerte sind somit:
+*Die weiteren Phasenwerte sind somit:
 :$$\phi(5T) \hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = 6T)  \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
 :$$ \phi(7T)\hspace{0.15cm}\underline { = -90^\circ},\hspace{0.2cm} \phi(t = 8T) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale <br>in den beiden Zweigen der MSK]]
-Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
+Eine Realisierungsmöglichkeit für&nbsp; ''Minimum Shift Keying''&nbsp; $\rm (MSK)$&nbsp; bietet die&nbsp; $\rm Offset–QPSK$, wie aus dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
 *Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; vorzunehmen.
 *Diese Umcodierung wird in der  &nbsp;[[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Aufgabe 4.14Z]]&nbsp; eingehend behandelt.
-Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp; aus dem oben skizzierten Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
+Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp; aus dem oben skizzierten Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben.&nbsp; Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
-:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
+:$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \big ({\pi \hspace{0.05cm} t}/({2 \hspace{0.05cm} T})\big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 Dieser ist ebenso wie die Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
 Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel &nbsp;[[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”:
 :$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm},$$
-mit dem Betrag
+*mit dem Betrag
 :$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$
-und der Phase
+*und der Phase
 :$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$
 Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu
 :$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$
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 + Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.
-{Es gelte &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro;s$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall &nbsp;$0 ≤ t ≤ T$.
+{Es gelte &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro;s$.&nbsp; Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall &nbsp;$0 ≤ t ≤ T$.
 <br>Welche Phasenwerte ergeben sich für &nbsp;$t = T/2$&nbsp; und &nbsp;$t = T$?
 |type="{}"}
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 $ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$
-{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; im Bereich von &nbsp;$0$ &nbsp;bis&nbsp; $8T$. <br>Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?
+{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; im Bereich von &nbsp;$0$ &nbsp;bis&nbsp; $8T$. <br>Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeitpunkten?
 |type="{}"}
 $ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$

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 :$$ |s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{a_0^2 \cdot \cos^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) + a_1^2 \cdot \sin^2 (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T})} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 *Richtig ist damit die Aussage 2, während die Aussage 1 falsch.
-*Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0$ ∈ {+1, –1} und $a_1 ∈ {+1, –1}$.
+*Dieses Ergebnis gilt für jedes Wertepaar $a_0 ∈ \{+1, \ –1\}$ und $a_1 ∈ \{+1, \ –1\}$.
 *Daraus kann weiter geschlossen werden, dass die Hüllkurve unabhängig von der gesendeten Folge ist.
@@ Zeile 80: / Zeile 81: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 Durch die Anfangsphase $ϕ_0 = 0$ können Mehrdeutigkeiten ausgeschlossen werden. Insbesondere gilt mit $a_0 = a_1 = +1$:
-:$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm \mu s}) =  {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm \mu s}) =  {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ}
+:$$\phi(t = T/2 = 0.5\,{\rm &micro; s}) =  {\pi}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = +45^\circ},\hspace{0.2cm}\phi(t = T= 1\,{\rm &micro; s}) =  {\pi}/{2}\hspace{0.15cm}\underline {= +90^\circ}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Am einfachsten löst man diese Aufgabe unter Zuhilfenahme des Einheitskreises:
-:$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$
+:$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(2T) = +1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(2T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 2T= 2\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0^\circ},$$
-:$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$
+:$$ {\rm Re} = s_{\rm I}(3T) = 0, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(3T) = -1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 3T= 3\,{\rm &micro; s}) \hspace{0.15cm}\underline {= -90^\circ},$$
-:$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Re} = s_{\rm I}(4T) = -1, \hspace{0.2cm} {\rm Im} = s_{\rm Q}(4T) = 0 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\phi(t = 4T= 4\,{\rm &micro; s})= \pm 180^\circ \hspace{0.05cm}.$$
-Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm \mu s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist.
+Aus der unteren Skizze erkennt man, dass $\phi(t = 4T= 4\,{\rm &micro; s})\hspace{0.15cm}\underline { = - 180^\circ}\hspace{0.05cm}$ richtig ist.
 [[Datei:P_ID1741__Mod_A_4_13_d.png|right|frame|Quellensignal und Phasenverlauf bei MSK]]
-'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$. Man erkennt:
+'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die MSK–Phase $ϕ(t)$ zusammen mit dem Quellensignal $q(t)$.
 * Beim Quellensymbol $a_\nu =+1$ steigt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \  (π/2)$ an.
 * Beim Quellensymbol $a_\nu =-1$ fällt die Phase innerhalb der Symboldauer $T$ linear um $90^\circ \  (π/2)$ ab.
 Die weiteren Phasenwerte sind somit:

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 }}
-[[Datei:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale in den beiden Zweigen der MSK]]
+[[Datei:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|frame|Quellensignal und Tiefpass–Signale <br>in den beiden Zweigen der MSK]]
-Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil hervorgeht.
+Eine Realisierungsmöglichkeit für ''Minimum Shift Keying'' (MSK) bietet die Offset–QPSK, wie aus dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.
-*Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k ∈ \{+1, –1\}$ in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k ∈ \{+1, –1\}$ vorzunehmen.
+*Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; vorzunehmen.
-*Diese Umcodierung wird in der  [[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Zusatzaufgabe 4.14Z]] eingehend behandelt.
+*Diese Umcodierung wird in der  &nbsp;[[Aufgaben:4.14Z_Offset–QPSK_vs._MSK|Aufgabe 4.14Z]]&nbsp; eingehend behandelt.
-Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung $a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
+Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; in den beiden Zweigen, die sich nach der Umcodierung &nbsp;$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $&nbsp; aus dem oben skizzierten Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
 :$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Dieser ist ebenso wie die Signale $s_{\rm I}(t)$ und $s_{\rm Q}(t)$ auf $1$ normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] im Buch „Signaldarstellung”:
+Dieser ist ebenso wie die Signale &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
 :$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$
 mit dem Betrag
 :$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$
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 Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu
 :$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
-*Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.
+*Gehen Sie davon aus, dass &nbsp;$ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$&nbsp; ist.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve $|s_{TP}(t)|$ der MSK?
+{Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve &nbsp;$|s_{\rm TP}(t)|$&nbsp; der MSK?
 |type="[]"}
 - Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
@@ Zeile 37: / Zeile 42: @@
 + Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.
-{Es gelte $T = 1 \ \rm μs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall $0 ≤ t ≤ T$.
+{Es gelte &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro;s$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall &nbsp;$0 ≤ t ≤ T$.
-<br>Welche Phasenwerte ergeben sich für $t = T/2$ und $t = T$?
+<br>Welche Phasenwerte ergeben sich für &nbsp;$t = T/2$&nbsp; und &nbsp;$t = T$?
 |type="{}"}
 $ϕ(t = T/2)\ = \ $ { 45 3%  } $\ \rm Grad$
 $ϕ(t = T) \hspace{0.63cm}  = \ ${ 90 3% } $\ \rm Grad$
-{Bestimmen Sie die Phasenwerte bei $t = 2T$, $t = 3T$ und $t = 4T$.
+{Bestimmen Sie die Phasenwerte bei &nbsp;$t = 2T$, &nbsp;$t = 3T$ &nbsp;und&nbsp; $t = 4T$.
 |type="{}"}
 $ϕ(t = 2T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$
@@ Zeile 49: / Zeile 54: @@
 $ϕ(t = 4T) \ = \ $ { -185.4--174.6 } $\ \rm Grad$
-{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von $0$ bis $8T$. Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?
+{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; im Bereich von &nbsp;$0$ &nbsp;bis&nbsp; $8T$. <br>Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?
 |type="{}"}
 $ϕ(t = 5T) \ = \ $ { -92.7--87.3 } $\ \rm Grad$

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.

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