Aufgaben:Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen - Versionsgeschichte

Guenter am 26. März 2022 um 17:19 Uhr

2022-03-26T17:19:54Z

Guenter am 26. März 2022 um 17:07 Uhr

2022-03-26T17:07:26Z

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2019-12-02T16:58:25Z

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2019-12-02T16:32:22Z

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2018-08-21T09:11:19Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-04-13T09:06:18Z

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2018-01-03T13:46:13Z

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 *F&uuml;r&nbsp; $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
 *F&uuml;r die Zwischenwerte&nbsp; $\tau = \pm 2T$,&nbsp; $\tau = \pm 4T$,&nbsp; $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... &nbsp; gilt:
 :$$\varphi_z ( \tau) =   \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right)  = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
 [[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion]]
-*Hierbei steht&nbsp; $p$ f&uuml;r&nbsp; $p \cdot (+1)$&nbsp; und&nbsp; $(p-1)$&nbsp; f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
+*Hierbei steht&nbsp; $p$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $p \cdot (+1)$&nbsp; und&nbsp; $(p-1)$&nbsp; f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$,&nbsp; also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
 *Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man&nbsp; $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
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 Die blaue Kurve zeigt&nbsp; $\varphi_z(\tau)$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-7T \le \tau \le +7T$:
 *Aufgrund des rechteckf&ouml;rmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
-*F&uuml;r&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
+*F&uuml;r&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren&nbsp; (kleineren)&nbsp; Dreiecke verschwinden.
 <br clear=all>
 '''(2)'''&nbsp; Die AKF&nbsp; $\varphi_p(\tau)$&nbsp; des unipolaren periodischen Signals&nbsp; $p(t)$&nbsp;  ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von&nbsp; '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF&nbsp; $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r&nbsp; $p = 1$&nbsp; enthalten.
-*Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
+*Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF&nbsp; (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze)&nbsp; mit
 :$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
 :$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
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 :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)  = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}=  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\,  {\rm V}^2  .$$
-*Man erhält mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
+*Man erhält mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; folgende Ergebnisse&nbsp; (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
 :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm}
 \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}
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 :$$\Rightarrow  \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$
-*Richtig ist somit  der <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist somit  der&nbsp; <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.
-*Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp;  unkorreliert sind.
+*Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu,&nbsp; wenn&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp;  unkorreliert sind.
-*Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.
+*Der letzte Vorschlag,&nbsp; die Faltungsoperation,&nbsp; ist immer falsch.
-*Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF&nbsp; $f_c(c)$&nbsp; der Summe &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; betrachten und&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp; $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$
+*Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben,&nbsp; wenn wir die WDF&nbsp; $f_c(c)$&nbsp; der Summe &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; betrachten und&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp;
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 :$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau )  \big] . $$
-*Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt, dass die KKF zwischen&nbsp; $p(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; eine gerade Funktion ist, so dass auch&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$&nbsp; gilt.
+*Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt,&nbsp; dass die KKF zwischen&nbsp; $p(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; eine gerade Funktion ist,&nbsp; so dass auch&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$&nbsp; gilt.
 *F&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; erh&auml;lt man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
 :$$\varphi_s( \tau = 0) =  {1}/{4} \cdot  \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
-*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$.&nbsp; Dieses Ergebnis ist plausibel.&nbsp; Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall&nbsp; $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$;&nbsp; ansonsten ist&nbsp; $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$.&nbsp; Das Ergebnis ist plausibel.&nbsp; Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall&nbsp; $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$;&nbsp; sonst ist&nbsp; $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
 *F&uuml;r geradzahlige Vielfache von&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
 :$$  \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} =  \frac {0.5 {\rm V}^2}{4}  \left( (1-2p)^2 +1 + 2  \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2  \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
 *Mit&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert&nbsp; $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$.&nbsp; Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; sind wieder Null.
-*Damit ergibt sich der skizzierte AKF&ndash;Verlauf.
+*Damit ergibt sich der unten skizzierte AKF&ndash;Verlauf.
 [[Datei:P_ID441__Sto_A_4_14_e.png|framed|right|AKF eines unipolaren Rechtecksignals]]
-Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
+*Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
-Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt, dass das bin&auml;re Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; bis auf den Faktor&nbsp; $1/4$&nbsp; die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal&nbsp; $z(t)$.
+*Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt, dass das Bin&auml;rsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; bis auf den Faktor&nbsp; $1/4$&nbsp; die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal&nbsp; $z(t)$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.6 KKF und Kreuzleistungsdichte^]]

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 Darunter ist das Zufallssignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; gezeichnet.
 *Dieses ist zwischen&nbsp; $(2i-1)\cdot T$&nbsp; und&nbsp; $2i \cdot T$&nbsp; jeweils&nbsp; $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; (im Bild rot hervorgehoben).
-*In den blau gezeichneten Intervallen zwischen&nbsp; $2i \cdot T$&nbsp; und&nbsp; $(2i+1) \cdot T$&nbsp; ist der Signalwert zweipunktverteilt&nbsp; $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*In den blau gezeichneten Intervallen zwischen&nbsp; $2i \cdot T$&nbsp; und&nbsp; $(2i+1) \cdot T$&nbsp; ist der Signalwert zweipunktverteilt&nbsp; $(\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$.
-Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen&nbsp; $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; gilt, sei allgemein gleich&nbsp; $p$&nbsp; und unabh&auml;ngig von den vorher ausgew&uuml;rfelten Werten.
+Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass in den blau dargestellten Intervallen&nbsp; $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; gilt,&nbsp; sei allgemein gleich&nbsp; $p$&nbsp; und unabh&auml;ngig von den vorher ausgew&uuml;rfelten Werten.
 Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von&nbsp; $-7T$&nbsp; bis&nbsp; $+7T$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt die mittlere Leistung an:
+'''(1)'''&nbsp; Der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; gibt die mittlere Leistung an:
 :$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$
-F&uuml;r $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp; ergibt sich $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
+*F&uuml;r&nbsp; $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
-F&uuml;r die Zwischenwerte $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 4T$, $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... &nbsp; gilt:
+*F&uuml;r die Zwischenwerte&nbsp; $\tau = \pm 2T$,&nbsp; $\tau = \pm 4T$,&nbsp; $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... &nbsp; gilt:
-:$$\varphi_z ( \tau) =   \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right)  = \hspace{0.1cm}ßtext{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
+:$$\varphi_z ( \tau) =   \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right)  = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
 [[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion]]
-*Hierbei steht $p$ f&uuml;r $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
+*Hierbei steht&nbsp; $p$ f&uuml;r&nbsp; $p \cdot (+1)$&nbsp; und&nbsp; $(p-1)$&nbsp; f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
-*Mit $p = 0.25$ erhält man $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
+*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man&nbsp; $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
-Die blaue Kurve zeigt $\varphi_z(\tau)$ f&uuml;r $p = 0.25$ im Bereich von $-7T \le \tau \le +7T$:
+Die blaue Kurve zeigt&nbsp; $\varphi_z(\tau)$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-7T \le \tau \le +7T$:
 *Aufgrund des rechteckf&ouml;rmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
-*F&uuml;r $p = 0.5$ w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
+*F&uuml;r&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
 <br clear=all>
-'''(2)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$  ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r $p = 1$ enthalten.
+'''(2)'''&nbsp; Die AKF&nbsp; $\varphi_p(\tau)$&nbsp; des unipolaren periodischen Signals&nbsp; $p(t)$&nbsp;  ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von&nbsp; '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF&nbsp; $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r&nbsp; $p = 1$&nbsp; enthalten.
 *Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
 :$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
-'''(3)'''&nbsp; Auch f&uuml;r die KKF ergibt sich f&uuml;r $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp;  stets der Wert $0$.
-*Dagegen sind die KKF-Werte f&uuml;r $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 2T$, ... &nbsp;  identisch mit denen bei  $\tau = 0$:
+'''(3)'''&nbsp; Auch f&uuml;r die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = \pm T$,&nbsp; $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp;  stets der Wert Null.
 :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)  = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}=  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\,  {\rm V}^2  .$$
-*Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
+*Man erhält mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
 :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm}
 \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}
 \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$
-*Mit $p = 1$ würde dagegen $z(z) \equiv p(t)$gelten und damit nat&uuml;rlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
+*Mit&nbsp; $p = 1$&nbsp; würde dagegen&nbsp; $z(t) \equiv p(t)$&nbsp; gelten und damit nat&uuml;rlich auch&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
-*Für den Sonderfall $p = 0.5$ erg&auml;be sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.
+*Für den Sonderfall&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; erg&auml;be sich keine Korrelation zwischen&nbsp; $p(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; und damit&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.
@@ Zeile 120: / Zeile 123: @@
 *Richtig ist somit  der <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.
-*Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$  unkorreliert sind.
+*Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp;  unkorreliert sind.
 *Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.
-*Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; betrachten und $a(t)$ und $b(t)$ statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp; $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$
+*Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF&nbsp; $f_c(c)$&nbsp; der Summe &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; betrachten und&nbsp; $a(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t)$&nbsp; statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp; $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$
-'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis von '''(4)''' und unter Ber&uuml;cksichtigung des Faktors $1/2$ erh&auml;lt man:
+'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und unter Ber&uuml;cksichtigung des Faktors&nbsp; $1/2$&nbsp; erh&auml;lt man:
 :$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau )  \big] . $$
-*Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt.
+*Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt, dass die KKF zwischen&nbsp; $p(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; eine gerade Funktion ist, so dass auch&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$&nbsp; gilt.
-*F&uuml;r $\tau = 0$ erh&auml;lt man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
+*F&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; erh&auml;lt man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
 :$$\varphi_s( \tau = 0) =  {1}/{4} \cdot  \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
-*Mit $p = 0.25$ ergibt sich $ \varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; ansonsten ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$.&nbsp; Dieses Ergebnis ist plausibel.&nbsp; Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall&nbsp; $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$;&nbsp; ansonsten ist&nbsp; $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-*F&uuml;r geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:
+*F&uuml;r geradzahlige Vielfache von&nbsp; $T$&nbsp; gilt:
 :$$  \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} =  \frac {0.5 {\rm V}^2}{4}  \left( (1-2p)^2 +1 + 2  \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2  \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
-*Mit $p = 0.5$ erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder $0$.
+*Mit&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert&nbsp; $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$.&nbsp; Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; sind wieder Null.
-*Damit ergibt sich der skizzierte AKF&ndash;Verlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
+*Damit ergibt sich der skizzierte AKF&ndash;Verlauf.
 [[Datei:P_ID441__Sto_A_4_14_e.png|framed|right|AKF eines unipolaren Rechtecksignals]]
+Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
-Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe '''(1)''' zeigt, dass das bin&auml;re Signal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal $z(t)$.
+Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt, dass das bin&auml;re Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; bis auf den Faktor&nbsp; $1/4$&nbsp; die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal&nbsp; $z(t)$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.6 KKF und Kreuzleistungsdichte^]]

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 [[Datei:P_ID436__Sto_A_4_14.png|right|framed|AKF und KKF bei Rechtecksignalen]]
-Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden m&ouml;glichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.
+Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal&nbsp; $p(t)$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze mit den beiden m&ouml;glichen Amplitudenwerten&nbsp; $0 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und der Rechteckdauer&nbsp; $T$.&nbsp; Die Periodendauer beträgt somit&nbsp; $T_0 = 2T$.
-Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.
+Darunter ist das Zufallssignal&nbsp; $z(t)$&nbsp; gezeichnet.
-*Dieses ist zwischen $(2i-1)\cdot T$ und $2i \cdot T$ mit $i=$ ... , $-1, \ 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Dieses ist zwischen&nbsp; $(2i-1)\cdot T$&nbsp; und&nbsp; $2i \cdot T$&nbsp; jeweils&nbsp; $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; (im Bild rot hervorgehoben).
-*Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen  $(2i+1) \cdot T$ der Signalwert zweipunktverteilt $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*In den blau gezeichneten Intervallen zwischen&nbsp; $2i \cdot T$&nbsp; und&nbsp; $(2i+1) \cdot T$&nbsp; ist der Signalwert zweipunktverteilt&nbsp; $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabh&auml;ngig von den vorher ausgew&uuml;rfelten Werten.
+Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen&nbsp; $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; gilt, sei allgemein gleich&nbsp; $p$&nbsp; und unabh&auml;ngig von den vorher ausgew&uuml;rfelten Werten.
 Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:
 :$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$
-*In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1) \cdot T$ und $2i \cdot T$ ($i$ ganzzahlig) gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich $0$ sind.
+*In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen&nbsp; $(2i-1) \cdot T$&nbsp; und&nbsp; $2i \cdot T$&nbsp; $(i$&nbsp; ganzzahlig$)$&nbsp; gilt&nbsp; $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl&nbsp; $p(t)$&nbsp; als auch&nbsp; $z(t)$&nbsp; gleich Null sind.
-*In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.
+*In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen&nbsp; $0 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; wieder mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p$&nbsp; auftritt.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
-*Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $7T$.
+*Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von&nbsp; $-7T$&nbsp; bis&nbsp; $+7T$.
@@ Zeile 39: / Zeile 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese f&uuml;r $p = 0.25$. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_z(\tau)$&nbsp; und skizzieren Sie diese f&uuml;r&nbsp; $p = 0.25$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$?
 |type="{}"}
 $\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 46: / Zeile 47: @@
-{Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus '''(1)''' die AKF $\varphi_p(\tau)$. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; die AKF&nbsp; $\varphi_p(\tau)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$?
 |type="{}"}
 $\varphi_p(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 53: / Zeile 54: @@
-{Es gelte  wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Es gelte  wieder&nbsp; $p = 0.25$.&nbsp; Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{pz}(\tau)$ f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_{pz}(\tau= 0) \ =  \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 60: / Zeile 61: @@
-{Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein f&uuml;r die Summe $c(t) = a(t) + b(t)$?
+{Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein f&uuml;r die Summe&nbsp; $c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp;?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
 + $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) +  \varphi_{ab}(\tau) +  \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
@@ Zeile 67: / Zeile 68: @@
-{Berechnen Sie unter Ber&uuml;cksichtigung des Ergebnisses von '''(4)''' die AKF $\varphi_s(\tau)$. <br>Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Berechnen Sie unter Ber&uuml;cksichtigung des Ergebnisses von&nbsp; '''(4)'''&nbsp; die AKF&nbsp; $\varphi_s(\tau)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$,&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 6T$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_s(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$

@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 :$$\varphi_z ( \tau) =   \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right)  = \hspace{0.1cm}ßtext{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
-[[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|AKF und KKF]]
+[[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion]]
 *Hierbei steht $p$ f&uuml;r $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ f&uuml;r $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
 *Mit $p = 0.25$ erhält man $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 *F&uuml;r $p = 0.5$ w&uuml;rden die &auml;u&szlig;eren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
 <br clear=all>
-'''(2)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$  ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von (1) &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r $p = 1$ enthalten. Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
+'''(2)'''&nbsp; Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$  ist in der allgemeing&uuml;ltigen Darstellung von '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall f&uuml;r $p = 1$ enthalten.
-:$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
+*Man erh&auml;lt nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
 :$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Auch f&uuml;r die KKF ergibt sich f&uuml;r $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... , ...  stets der Wert $0$. Dagegen sind die KKF-Werte f&uuml;r $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 2T$, ...  identisch mit denen bei  $\tau = 0$:
+'''(3)'''&nbsp; Auch f&uuml;r die KKF ergibt sich f&uuml;r $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... &nbsp;  stets der Wert $0$.
-:$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)  = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}=  \frac {1 {\rm V}^2}{2}  \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\,  {\rm V}^2  .$$
+*Dagegen sind die KKF-Werte f&uuml;r $\tau = \pm 2T$,  $\tau = \pm 2T$, ... &nbsp;  identisch mit denen bei  $\tau = 0$:
-Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
+*Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
 :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm}
 \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 109: / Zeile 111: @@
 *Mit $p = 1$ würde dagegen $z(z) \equiv p(t)$gelten und damit nat&uuml;rlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
-*Für den Sonderfall $p = 0.5$ erg&auml;be sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau)=0$.
+*Für den Sonderfall $p = 0.5$ erg&auml;be sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.
-'''(4)'''&nbsp; Durch Einsetzen von $c(t) = a(t) + b(t)$ in die allgemeine AKF-Definition erh&auml;lt man:
+'''(4)'''&nbsp; Durch Einsetzen von &nbsp;$c(t) = a(t) + b(t)$&nbsp; in die allgemeine AKF-Definition erh&auml;lt man:
 :$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$
 :$$\Rightarrow  \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$
-Richtig ist somit  der <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist somit  der <u>L&ouml;sungsvorschlag 2</u>.
 *Der L&ouml;sungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$  unkorreliert sind.
-*Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch. Eine ähnliche Gleichung w&uuml;rde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe $c(t) = a(t) + b(t)$ betrachten und $a(t)$ und $b(t)$) statistisch unabh&auml;ngig sind: &nbsp; $f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$
+*Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.
 Hierbei ist bereits ber&uuml;cksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt. F&uuml;r $\tau = 0$ erh&auml;lt man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
 :$$\varphi_s( \tau = 0) =  {1}/{4} \cdot  \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
-Mit $p = 0.25$ ergibt sich $ \varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; ansonsten ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Mit $p = 0.25$ ergibt sich $ \varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Dieses Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; ansonsten ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-F&uuml;r geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:
+*F&uuml;r geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:
-:$$  \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm} =  \frac {0.5 {\rm V}^2}{4}  \left( (1-2p)^2 +1 + 2  \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2  \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
+:$$  \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} =  \frac {0.5 {\rm V}^2}{4}  \left( (1-2p)^2 +1 + 2  \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2  \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
-Mit $p = 0.5$ erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}V^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder $0$. Damit ergibt sich der skizzierte AKF-Verlauf. Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
+*Mit $p = 0.5$ erh&auml;lt man hierf&uuml;r den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder $0$.
 [[Datei:P_ID441__Sto_A_4_14_e.png|framed|right|AKF eines unipolaren Rechtecksignals]]
@@ Zeile 137: / Zeile 144: @@
 :$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
-Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe (1) zeigt, dass das bin&auml;re Signal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal $z(t)$.
+Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe '''(1)''' zeigt, dass das bin&auml;re Signal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Tern&auml;rsignal $z(t)$.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.6 KKF und Kreuzleistungsdichte^]]

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID436__Sto_A_4_14.png|right|framed|AKF und KKF bei Rechtecken]]
+[[Datei:P_ID436__Sto_A_4_14.png|right|framed|AKF und KKF bei Rechtecksignalen]]
 Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden m&ouml;glichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.
 Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.
-*Dieses ist zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ mit $i=$ ... , $-1, 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Dieses ist zwischen $(2i-1)\cdot T$ und $2i \cdot T$ mit $i=$ ... , $-1, \ 0, +1$, ... (im Bild rot hervorgehoben) jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
 *Dagegen ist in den blau gezeichneten Intervallen zwischen  $(2i+1) \cdot T$ der Signalwert zweipunktverteilt $\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
 Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabh&auml;ngig von den vorher ausgew&uuml;rfelten Werten.
 Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:
-:$$s(t) = {1}/{2} \cdot [p(t) + z(t)].$$
+:$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$
@@ Zeile 25: / Zeile 32: @@
 *Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $7T$.
@@ Zeile 30: / Zeile 39: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese f&uuml;r $p = 0.25$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese f&uuml;r $p = 0.25$. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
 |type="{}"}
-$\varphi_z(\tau= 0) \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
-$\varphi_z(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$
+$\varphi_z(\tau= 3T) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
-$\varphi_z(\tau= 6T) \ = $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_z(\tau= 6T) \ =  \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus (1) die AKF $\varphi_p(\tau)$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus '''(1)''' die AKF $\varphi_p(\tau)$. <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
 |type="{}"}
-$\varphi_p(\tau= 0) \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_p(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
-$\varphi_p(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$
+$\varphi_p(\tau= 3T) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
-$\varphi_p(\tau= 6T) \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_p(\tau= 6T) \ =  \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$
 {Es gelte  wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
 |type="{}"}
-$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
+$\varphi_{pz}(\tau= 0) \ =  \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
-$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$
+$\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
-$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
+$\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ =  \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 54: / Zeile 63: @@
 |type="[]"}
 - $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
-+ $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) +  \varphi_{ab}(\tau) +  \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$).
++ $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) +  \varphi_{ab}(\tau) +  \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$.
 - $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$.
-{Berechnen Sie unter Ber&uuml;cksichtigung des Ergebnisses von (4) die AKF $\varphi_s(\tau)$. Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
+{Berechnen Sie unter Ber&uuml;cksichtigung des Ergebnisses von '''(4)''' die AKF $\varphi_s(\tau)$. <br>Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$?
 |type="{}"}
-$\varphi_s(\tau= 0) \ = $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_s(\tau= 0) \ =  \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$
-$\varphi_s(\tau= 3T) \ = $  { 0. } $\ \rm V^2$
+$\varphi_s(\tau= 3T) \ =  \ $  { 0. } $\ \rm V^2$
-$\varphi_s(\tau= 6T) \ = $ { -0.03175--0.03075 } $\ \rm V^2$
+$\varphi_s(\tau= 6T) \ =  \ $ { -0.03175--0.03075 } $\ \rm V^2$

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(kein Unterschied)

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