Aufgaben:Aufgabe 4.14: 8-PSK und 16-PSK - Versionsgeschichte

Guenter am 23. August 2022 um 14:13 Uhr

2022-08-23T14:13:06Z

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Guenter am 23. August 2022 um 13:36 Uhr

2022-08-23T13:36:33Z

Guenter am 15. März 2019 um 12:06 Uhr

2019-03-15T12:06:40Z

Guenter am 15. März 2019 um 11:07 Uhr

2019-03-15T11:07:00Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.14 8-PSK und 16-PSK nach Aufgaben:Aufgabe 4.14: 8-PSK und 16-PSK

2018-01-04T06:37:03Z

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Guenter am 23. November 2017 um 16:30 Uhr

2017-11-23T16:30:59Z

Guenter am 23. November 2017 um 16:14 Uhr

2017-11-23T16:14:13Z

Hussain am 21. November 2017 um 16:44 Uhr

2017-11-21T16:44:55Z

Hussain am 11. November 2017 um 12:36 Uhr

2017-11-11T12:36:26Z

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2067__Dig_A_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellationen <br>der 8–PSK und 16–PSK]]
+[[Datei:P_ID2067__Dig_A_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellationen für<br>"$\rm 8–PSK$"&nbsp; und&nbsp; "$\rm 16–PSK$"]]
-Betrachtet wird nun eine Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$, die auf den Zeitbereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; begrenzt ist. Der Index&nbsp; $i$&nbsp; durchläuft die Werte&nbsp; $0, \ \text{...} \ , M-1$:
+Betrachtet wird nun eine Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$,&nbsp; die auf den Zeitbereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; begrenzt ist.&nbsp; Der Index&nbsp; $i$&nbsp; durchläuft die Werte&nbsp; $0, \ \text{...} \ , M-1$:
 :$$s_i(t) = A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Es handelt sich hierbei um eine <i>Phasenmodulation</i>&nbsp; mit&nbsp; $M$&nbsp; Signalformen. Man nennt dieses Modulationsverfahren auch <b><i>M</i>&ndash;PSK</b>. $M$&nbsp; ist meist eine Zweierpotenz.
+*Es handelt sich hierbei um eine&nbsp; "Phasenmodulation"&nbsp; mit&nbsp; $M$&nbsp; Signalformen.&nbsp; Man nennt dieses Modulationsverfahren auch&nbsp; "$\rm M&ndash;PSK$". $M$&nbsp; ist meist eine Zweierpotenz.
-Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für $M = 8$ (oben) und $M = 16$ (unten). Alle Signalraumpunkte haben gleiche Energie $||\boldsymbol{s}_i||^2 = E_{\rm S}$ (&bdquo;mittlere Symbolenergie&rdquo;).
+*Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für&nbsp;  $M = 8$&nbsp; (oben)&nbsp; und&nbsp; $M = 16$&nbsp; (unten).&nbsp; Alle Signalraumpunkte haben gleiche Energie&nbsp; $||\boldsymbol{s}_i||^2 = E_{\rm S}$&nbsp; ("mittlere Symbolenergie").
-Die exakte Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit ist für&nbsp; $M &ne; 2$&nbsp; schwierig. Angegeben werden kann dagegen stets die sogenannte <i>Union Bound</i>&nbsp; als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$(p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$:
+*Die exakte Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit ist für&nbsp; $M &ne; 2$&nbsp; schwierig.&nbsp; Angegeben werden kann dagegen stets die sogenannte&nbsp; "Union Bound"&nbsp; als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$(p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$:
 :$$  p_{\rm UB}  = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) = 2 \cdot {\rm Q} \left (\sqrt{ \frac{ d^2}{ 2 N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei sind folgende Größen verwendet:
-* $d$&nbsp; ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; genau mittig, so ist&nbsp; $d/2$&nbsp; der Abstand von&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; von dieser Entscheidungsgrenze.
+# $d$&nbsp; ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$.&nbsp; Verläuft die Grenzlinie senkrecht zur Verbindungslinie von&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; genau mittig,&nbsp; so ist&nbsp; $d/2$&nbsp; der Abstand von&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; von dieser Entscheidungsgrenze.
-* Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
+# Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
-* Der Faktor&nbsp; $2$&nbsp; in obiger Grenze berücksichtigt, dass für&nbsp; $M > 2$&nbsp; jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann, zum Beispiel bei der 8&ndash;PSK das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; in das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; oder in das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_7$.
+# Der Faktor&nbsp; $2$&nbsp; in obiger Gleichung berücksichtigt,&nbsp; dass für&nbsp; $M > 2$&nbsp; jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann,&nbsp; zum Beispiel bei der&nbsp; "8&ndash;PSK"&nbsp; das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; in das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; oder in das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_7$.
-* ${\rm Q}(x)$&nbsp; ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
+# ${\rm Q}(x)$&nbsp; ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
 :$${\rm Q}(x)  \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
 \hspace{0.05cm}.$$
-In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Für diese wurde im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; unter der Voraussetzung eines <i>Graycodes</i>&nbsp; folgende Schranke angegeben:
+In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.&nbsp; Für diese wurde im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; unter der Voraussetzung eines&nbsp; "Graycodes"&nbsp; folgende Schranke angegeben:
 :$$p_{\rm B}  \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung ist allerdings nur für&nbsp; $M > 4$&nbsp; anzuwenden. Dagegen ergibt sich die exakte Lösung
+Diese Gleichung ist allerdings nur für&nbsp; $M > 4$&nbsp; anzuwenden.&nbsp; Dagegen ergibt sich die exakte Lösung
-* für&nbsp; $M = 2$&nbsp; aus der Identität mit der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29| BPSK]], und
+* für&nbsp; $M = 2$ &nbsp; aus der Identität mit der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29| "BPSK"]],&nbsp; und
 * für&nbsp; $M = 4$&nbsp; aus der Tatsache, dass die 4&ndash;PSK mit der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29|4&ndash;QAM]] identisch ist:
 :$$p_{\rm B}  ={\rm Q} \left (  \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation"]].
-*Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| Mehrstufiges ''Phase Shift Keying'']].
-* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29|" Mehrstufiges Phase Shift Keying"]].
 * Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:
 :$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung? $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; seien jeweils auf den Bereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; begrenzt.
+{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung?&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; seien jeweils auf den Bereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; begrenzt.
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = \cos {(2\pi f_{\rm T}t)}$,
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 + $\varphi_2(t) = \, &ndash;\sqrt {2/T} \cdot \sin {(2\pi f_{\rm T}t)}$.
-{Wie lauten der Inphase&ndash; und der Quadraturanteil des Signalraumpunktes&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$? Welche Aussagen treffen zu?
+{Wie lauten der Inphase&ndash; und der Quadraturanteil des Signalraumpunktes&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$?&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + $s_{\rm I \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
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 + $s_{\rm Q \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$.
-{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $d$&nbsp; zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $M = 8$&nbsp; bzw. &nbsp;$M = 16$?
+{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $d$&nbsp; zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten?&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $M = 8$&nbsp; bzw. &nbsp;$M = 16$?
 |type="{}"}
 $M = 8 \text{:} \hspace{0.45cm} d \ = \ $ { 0.765 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
 $M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d \ = \ $ { 0.39 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
-{Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound&nbsp; $(p_{\rm UB})$&nbsp; mit &nbsp;$E_{\rm S}/N_0 = 50$.
+{Welcher Wert ergibt sich für die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; $(p_{\rm UB})$&nbsp; mit &nbsp;$E_{\rm S}/N_0 = 50$.
 |type="{}"}
 $M = 8 \text{:} \hspace{0.45cm} p_{\rm UB}$ = { 0.014 3% } $\ \%$
 $M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}$ = { 6 3% } $\ \%$
-{Gilt die Aussage: &bdquo;$p_{\rm UB}$&nbsp; nähert &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; um so genauer an, je größer &nbsp;$M$ &nbsp; ist&rdquo;?
+{Gilt die Aussage:&nbsp; "$p_{\rm UB}$&nbsp; nähert &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; um so genauer an,&nbsp; je größer &nbsp;$M$ &nbsp; ist"?
 |type="()"}
 + JA.
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 - $p_{\rm B}$&nbsp; ist für &nbsp;$M = 8$&nbsp; am kleinsten.
 - $p_{\rm B}$&nbsp; ist für &nbsp;$M = 16$&nbsp; am kleinsten.
-+ $p_{\rm B}$&nbsp; ist nicht der Hauptgrund, dass man höherstufige PSK einsetzt.
++ $p_{\rm B}$&nbsp; ist nicht der Hauptgrund,&nbsp; dass man höherstufige PSK einsetzt.
 </quiz>

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
 *Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
 :$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t  \right )-
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 *Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
 :$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
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   s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi  \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$
-*Die in der Grafik auf der Angabenseite für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.
+*Die in der Grafik vorne für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.
-'''(3)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png|right|frame|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]] Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:
+[[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png|right|frame|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]]
-:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 =
+'''(3)'''&nbsp; Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:
-:2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] =  4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$
+:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} d =  2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (3) erhält man mit der vorne angegebenen Gleichung:
+'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' erhält man mit der vorne angegebenen Gleichung:
 :$$p_{\rm S} \le  p_{\rm UB}  =  2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ]  \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$ &#8658; $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ folgt daraus:
+*Mit&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 50$&nbsp; &#8658; &nbsp;$(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ &nbsp; folgt daraus:
 :$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{0.014 \%} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \%}  \hspace{0.05cm}.$$
-Anzumerken ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem $M$ immer größer wird, wenn man &ndash; wie hier &ndash; von einem konstanten $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht. Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) zu
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird also mit steigendem $M$ immer größer, wenn man &ndash; wie hier &ndash; von  konstantem $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht.
 :$$M = 2\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} = p_{\rm S}  = {\rm Q}  ( 10  ) \approx { 10^{-23}}.$$
-Mehrstufige PSK würde also keinen Sinn machen, wenn es nicht andere Gründe für deren Anwendung gäbe, worauf in der Teilaufgabe (6) noch eingegangen wird.
+*Mehrstufige PSK würde also keinen Sinn machen, wenn es nicht andere Gründe für deren Anwendung gäbe, worauf in der Teilaufgabe '''(6)''' noch eingegangen wird.
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 Es gelten folgende Aussagen:
 * Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.
-* Dagegen ergibt sich die &bdquo;Union Bound&rdquo; ($p_{\rm S}$) aus <b>A + B</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$) plus <b>B + C</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_{\it M&ndash;1}$).
+* Dagegen ergibt sich die &bdquo;Union Bound&rdquo; aus <b>A + B</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$) plus <b>B + C</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_{M-1}$).
 * Damit gilt stets $p_{\rm S} = p_{\rm UB}$ &ndash; <b>B</b>. Der Anteil <b>B</b> ist aber um so kleiner, je größer $M$ ist.
@@ Zeile 149: / Zeile 155: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung $M = 8$:
+Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung für $M = 8$:
 :$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm}  \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )=  {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \%
   \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend erhält man für $M = 16$ &#8658; ${\rm ld} (M) = 4$:
+Entsprechend erhält man für $M = 16$ &#8658; ${\rm log}_2 (M) = 4$:
 :$$p_{\rm B} =  {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \%
   \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2067__Dig_A_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 8–PSK und 16–PSK]]
+[[Datei:P_ID2067__Dig_A_4_14.png|right|frame|Signalraumkonstellationen <br>der 8–PSK und 16–PSK]]
-Betrachtet wird nun eine Signalmenge $\{s_i(t)\}$, die auf den Zeitbereich $0 &#8804; t &#8804; T$ begrenzt ist. Der Index $i$ durchläuft die Werte $0, \ ... \ , M&ndash;1$:
+Betrachtet wird nun eine Signalmenge&nbsp; $\{s_i(t)\}$, die auf den Zeitbereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; begrenzt ist. Der Index&nbsp; $i$&nbsp; durchläuft die Werte&nbsp; $0, \ \text{...} \ , M-1$:
 :$$s_i(t) = A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Es handelt sich hierbei um eine <i>Phasenmodulation</i> mit $M$ Signalformen. Man nennt dieses Modulationsverfahren auch <b><i>M</i>&ndash;PSK</b>. $M$ ist meist eine Zweierpotenz.
+Es handelt sich hierbei um eine <i>Phasenmodulation</i>&nbsp; mit&nbsp; $M$&nbsp; Signalformen. Man nennt dieses Modulationsverfahren auch <b><i>M</i>&ndash;PSK</b>. $M$&nbsp; ist meist eine Zweierpotenz.
 Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für $M = 8$ (oben) und $M = 16$ (unten). Alle Signalraumpunkte haben gleiche Energie $||\boldsymbol{s}_i||^2 = E_{\rm S}$ (&bdquo;mittlere Symbolenergie&rdquo;).
-Die exakte Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit ist für $M &ne; 2$ schwierig. Angegeben werden kann dagegen stets die sogenannte <i>Union Bound</i> als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ($p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S}$):
+Die exakte Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit ist für&nbsp; $M &ne; 2$&nbsp; schwierig. Angegeben werden kann dagegen stets die sogenannte <i>Union Bound</i>&nbsp; als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$(p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$:
 :$$  p_{\rm UB}  = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) = 2 \cdot {\rm Q} \left (\sqrt{ \frac{ d^2}{ 2 N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei sind folgende Größen verwendet:
-* $d$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ genau mittig, so ist $d/2$ der Abstand von $\boldsymbol{s}_0$ bzw. $\boldsymbol{s}_1$ von dieser Entscheidungsgrenze.
+* $d$&nbsp; ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; genau mittig, so ist&nbsp; $d/2$&nbsp; der Abstand von&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; von dieser Entscheidungsgrenze.
-* Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens ist $\sigma_n^2 = N_0/2$.
+* Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
-* Der Faktor $2$ in obiger Grenze berücksichtigt, dass für $M > 2$ jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann, zum Beispiel bei der 8&ndash;PSK das Symbol $\boldsymbol{s}_0$ in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ oder in das Symbol $\boldsymbol{s}_7$.
+* Der Faktor&nbsp; $2$&nbsp; in obiger Grenze berücksichtigt, dass für&nbsp; $M > 2$&nbsp; jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann, zum Beispiel bei der 8&ndash;PSK das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; in das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; oder in das Symbol&nbsp; $\boldsymbol{s}_7$.
-* ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
+* ${\rm Q}(x)$&nbsp; ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
 :$${\rm Q}(x)  \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
 \hspace{0.05cm}.$$
-In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Für diese wurde im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] unter der Voraussetzung eines <i>Graycodes</i> folgende Schranke angegeben:
+In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Für diese wurde im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; unter der Voraussetzung eines <i>Graycodes</i>&nbsp; folgende Schranke angegeben:
 :$$p_{\rm B}  \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung ist allerdings nur für $M > 4$ anzuwenden. Dagegen ergibt sich
+Diese Gleichung ist allerdings nur für&nbsp; $M > 4$&nbsp; anzuwenden. Dagegen ergibt sich die exakte Lösung
-* für $M = 2$ aus der Identität mit der [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29| BPSK]], und
+* für&nbsp; $M = 2$&nbsp; aus der Identität mit der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29| BPSK]], und
-* für $M = 4$ aus der Tatsache, dass die 4&ndash;PSK mit der [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29|4&ndash;QAM]] identisch ist,
+* für&nbsp; $M = 4$&nbsp; aus der Tatsache, dass die 4&ndash;PSK mit der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29|4&ndash;QAM]] identisch ist:
 :$$p_{\rm B}  ={\rm Q} \left (  \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 34: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation]].
-*Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| Mehrstufiges ''Phase Shift Keying'']].
+*Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29| Mehrstufiges ''Phase Shift Keying'']].
 * Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:
 :$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}
@@ Zeile 44: / Zeile 42: @@
 :$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T  \hspace{0.05cm}.$$
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung? $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ seien jeweils auf den Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$ begrenzt.
+{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung? $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; seien jeweils auf den Bereich&nbsp; $0 &#8804; t &#8804; T$&nbsp; begrenzt.
 |type="[]"}
 - $\varphi_1(t) = \cos {(2\pi f_{\rm T}t)}$,
@@ Zeile 59: / Zeile 52: @@
 + $\varphi_2(t) = \, &ndash;\sqrt {2/T} \cdot \sin {(2\pi f_{\rm T}t)}$.
-{Wie lauten der Inphase&ndash; und der Quadraturanteil des Signalraumpunktes $\boldsymbol{s}_i$? Welche Aussagen treffen zu?
+{Wie lauten der Inphase&ndash; und der Quadraturanteil des Signalraumpunktes&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$? Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + $s_{\rm I \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
@@ Zeile 66: / Zeile 59: @@
 + $s_{\rm Q \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$.
-{Wie groß ist der Abstand $d$ zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für $M = 8$ bzw. $M = 16$?
+{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $d$&nbsp; zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $M = 8$&nbsp; bzw. &nbsp;$M = 16$?
 |type="{}"}
 $M = 8 \text{:} \hspace{0.45cm} d \ = \ $ { 0.765 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
 $M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d \ = \ $ { 0.39 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
-{Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound ($p_{\rm UB}$) mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$.
+{Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound&nbsp; $(p_{\rm UB})$&nbsp; mit &nbsp;$E_{\rm S}/N_0 = 50$.
 |type="{}"}
 $M = 8 \text{:} \hspace{0.45cm} p_{\rm UB}$ = { 0.014 3% } $\ \%$
 $M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}$ = { 6 3% } $\ \%$
-{Gilt die Aussage: &bdquo;$p_{\rm UB}$ nähert $p_{\rm S}$ um so genauer an, je größer $M$ ist&rdquo;?
+{Gilt die Aussage: &bdquo;$p_{\rm UB}$&nbsp; nähert &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; um so genauer an, je größer &nbsp;$M$ &nbsp; ist&rdquo;?
 |type="()"}
 + JA.
 - NEIN.
-{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm UB}$?
+{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$?
 |type="[]"}
-+ $p_{\rm B}$ ist für $M = 2$ und $M = 4$ am kleinsten.
++ $p_{\rm B}$&nbsp; ist für &nbsp;$M = 2$&nbsp; und &nbsp;$M = 4$&nbsp; am kleinsten.
-- $p_{\rm B}$ ist für $M = 8$ am kleinsten.
+- $p_{\rm B}$&nbsp; ist für &nbsp;$M = 8$&nbsp; am kleinsten.
-- $p_{\rm B}$ ist für $M = 16$ am kleinsten.
+- $p_{\rm B}$&nbsp; ist für &nbsp;$M = 16$&nbsp; am kleinsten.
-+ $p_{\rm B}$ ist nicht der Hauptgrund, dass man höherstufige PSK einsetzt.
++ $p_{\rm B}$&nbsp; ist nicht der Hauptgrund, dass man höherstufige PSK einsetzt.
 </quiz>

@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T  \hspace{0.05cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 * Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 :$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}
 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
-:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} >> 1/T  \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T  \hspace{0.05cm}.$$
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 * Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
-:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) =$$
+*Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
-:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t  \right )-
+:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t  \right )-
   A \cdot \sin \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \sin \left ( 2\pi f_{\rm T}t  \right )\hspace{0.05cm}.$$
-Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$, die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Hierbei ist zu beachten, dass diese jeweils energienormiert sein müssen:
+*Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$, die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Hierbei ist zu beachten, dass diese jeweils energienormiert sein müssen:
-:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1$$
+:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   \varphi_1 ( t) = \sqrt{2/T } \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$
-Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
+*Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
 :$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
+*Unter Verwendung der eben berechneten Basisfunktionen kann die Signalmenge $s_i(t)$ wie folgt dargestellt werden (wiederum begrenzt auf den Bereich $0 &#8804; t &#8804; T$):
 :$$s_i(t) = A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \cos ( 2\pi  \cdot i /M ) \cdot \varphi_1 ( t)+
   A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \sin ( 2\pi  \cdot i /M ) \cdot \varphi_2 ( t)
   \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der für alle $M$ Punkte gleichen Energie $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$, die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) ist, lautet obige Gleichung
+*Mit der für alle $M$ Punkte gleichen Energie $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$, die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) ist, lautet obige Gleichung
 :$$s_i(t) = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1 ( t)+
-  s_{{\rm Q}i}  \cdot \varphi_2 ( t)$$
+  s_{{\rm Q}i}  \cdot \varphi_2 ( t)\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi  \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi  \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi  \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$
-Die in der Grafik auf der Angabenseite für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen. Richtig sind demzufolge die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.
+*Die in der Grafik auf der Angabenseite für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.
 '''(3)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png|right|frame|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]] Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:
-:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 = $$
+:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 =
-:$$\hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} 2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] =  4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$
+:2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] =  4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) $$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} d =  2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} d =  2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$
 Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
@@ Zeile 136: / Zeile 134: @@
 Mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$ &#8658; $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ folgt daraus:
-:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{1.4 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
+:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{0.014 \%} \hspace{0.05cm},$$
-:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \cdot 10^{-2}}  \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  2 \cdot {\rm Q}  ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \%}  \hspace{0.05cm}.$$
 Anzumerken ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem $M$ immer größer wird, wenn man &ndash; wie hier &ndash; von einem konstanten $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht. Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) zu
@@ Zeile 147: / Zeile 145: @@
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>. Die Grafik zeigt die Konstellation für 8&ndash;PSK und 16&ndash;PSK, jeweils gültig unter der Annahme, dass $\boldsymbol{s}_0$ gesendet wurde. Die Höhenlinien der AWGN&ndash;WDF sind dann Kreise um $\boldsymbol{s}_0$.
 [[Datei:P_ID2071__Dig_A_4_14e.png|center|frame|Zur Interpretation der Union Bound bei <i>M</i>–PSK]]
 Es gelten folgende Aussagen:
 * Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.
@@ Zeile 160: / Zeile 157: @@
 Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung $M = 8$:
-:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm}  \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )=$$
+:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm}  \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )=  {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \%
   \hspace{0.05cm}.$$
 Entsprechend erhält man für $M = 16$ &#8658; ${\rm ld} (M) = 4$:
-:$$p_{\rm B} =  {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 0.48 \cdot 10^{-1}
+:$$p_{\rm B} =  {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \%
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u>Aussagen 1 und 4</u>. Der wesentliche Vorteil einer höherstufigen PSK ist also nicht die niedrigere Bitfehlerrate, sondern der geringere Bedarf an der sehr teueren Ressource &bdquo;Bandbreite&rdquo;. Außerdem ist zu beachten, dass die Ergebnisse völlig anders sind, wenn ein (stark) verzerrender Kanal vorliegt, wie in der <i>Leitungsgebundenen Übertragungstechnik</i> üblich.
+Richtig sind also die <u>Aussagen 1 und 4</u>:
 {{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:37 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 {Wie lauten der Inphase&ndash; und der Quadraturanteil des Signalraumpunktes $\boldsymbol{s}_i$? Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ $s_{\rm I \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
++ $s_{\rm I \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
-- $s_{\rm I \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$,
+- $s_{\rm I \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$,
-- $s_{\rm Q \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
+- $s_{\rm Q \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \cos {(2\pi \cdot i/M)}$,
-+ $s_{\rm Q \it i} = E_{\rm S}^{\rm 0.5} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$.
++ $s_{\rm Q \it i} = \sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin {(2\pi \cdot i/M)}$.
 {Wie groß ist der Abstand $d$ zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für $M = 8$ bzw. $M = 16$?
 |type="{}"}
-$M = 8 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.765 3% } $\ \cdot E_{\rm S}^{\rm 0.5}$
+$M = 8 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.765 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
-$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.39 3% } $\ \cdot E_{\rm S}^{\rm 0.5}$
+$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.39 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
 {Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound ($p_{\rm UB}$) mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$.