Aufgaben:Aufgabe 4.14: 8-PSK und 16-PSK - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:37:15Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
Zeile 163:		Zeile 163:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.4 Kohärente Demodulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.4 Kohärente Demodulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.14:_8-PSK_and_16-PSK]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:39Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	# Der Faktor  $2$  in obiger Gleichung berücksichtigt,  dass für  $M > 2$  jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann,  zum Beispiel bei der  "8–PSK"  das Symbol  $\boldsymbol{s}_0$  in das Symbol  $\boldsymbol{s}_1$  oder in das Symbol  $\boldsymbol{s}_7$.		# Der Faktor  $2$  in obiger Gleichung berücksichtigt,  dass für  $M > 2$  jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann,  zum Beispiel bei der  "8–PSK"  das Symbol  $\boldsymbol{s}_0$  in das Symbol  $\boldsymbol{s}_1$  oder in das Symbol  $\boldsymbol{s}_7$.
	# ${\rm Q}(x)$  ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:		# ${\rm Q}(x)$  ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
	:$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}		:$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.  Für diese wurde im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Theorieteil]]  unter der Voraussetzung eines  "Graycodes"  folgende Schranke angegeben:		In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.  Für diese wurde im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Theorieteil]]  unter der Voraussetzung eines  "Graycodes"  folgende Schranke angegeben:
	:$$p_{\rm B} \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Diese Gleichung ist allerdings nur für  $M > 4$  anzuwenden.  Dagegen ergibt sich die exakte Lösung		Diese Gleichung ist allerdings nur für  $M > 4$  anzuwenden.  Dagegen ergibt sich die exakte Lösung
Zeile 29:		Zeile 27:

	* für  $M = 4$  aus der Tatsache,  dass die  "4–PSK"  mit der  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\|"4–QAM"]]  identisch ist:		* für  $M = 4$  aus der Tatsache,  dass die  "4–PSK"  mit der  [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\|"4–QAM"]]  identisch ist:
	:$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 42:		Zeile 39:

	* Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:		* Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:
	:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}		:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
	1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
	:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 90:		Zeile 86:
	'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	*Die Signalmenge  $\{s_i(t)\}$  kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:		*Die Signalmenge  $\{s_i(t)\}$  kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
	:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )-		:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )-A \cdot \sin \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \sin \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )\hspace{0.05cm}.$$
	A \cdot \sin \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \sin \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )\hspace{0.05cm}.$$

	*Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$,  die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$.  Hierbei ist zu beachten,  dass diese jeweils energienormiert sein müssen:		*Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$,  die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$.  Hierbei ist zu beachten,  dass diese jeweils energienormiert sein müssen:
	:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1\hspace{0.3cm}		:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_1 ( t) = \sqrt{2/T } \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\varphi_1 ( t) = \sqrt{2/T } \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$

	*Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:		*Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
Zeile 104:		Zeile 97:
	'''(2)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	*Unter Verwendung dieser Basisfunktionen kann die Signalmenge  $\{s_i(t)\}$  wie folgt dargestellt werden  $($wiederum begrenzt auf den Bereich  $0 ≤ t ≤ T)$:		*Unter Verwendung dieser Basisfunktionen kann die Signalmenge  $\{s_i(t)\}$  wie folgt dargestellt werden  $($wiederum begrenzt auf den Bereich  $0 ≤ t ≤ T)$:
	:$$s_i(t) = A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_1 ( t)+		:$$s_i(t) = A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_1 ( t)+A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_2 ( t)\hspace{0.05cm}.$$
	A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_2 ( t)
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Mit der für alle  $M$  Punkte gleichen Energie  $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$,  die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol  $(E_{\rm S})$  ist,  lautet obige Gleichung		*Mit der für alle  $M$  Punkte gleichen Energie  $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$,  die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol  $(E_{\rm S})$  ist,  lautet obige Gleichung
	:$$s_i(t) = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1 ( t)+		:$$s_i(t) = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1 ( t)+s_{{\rm Q}i} \cdot \varphi_2 ( t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$
	s_{{\rm Q}i} \cdot \varphi_2 ( t)\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$

	*Die in der Grafik vorne für  $M = 8$  bzw.  $M = 16$  skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.		*Die in der Grafik vorne für  $M = 8$  bzw.  $M = 16$  skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.
Zeile 123:		Zeile 111:
	:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 $$		:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} 2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] = 4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} 2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] = 4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$

	*Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:		*Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
Zeile 159:		Zeile 146:
	*Daraus folgt für  $M = 2$  und  $M = 4$:		*Daraus folgt für  $M = 2$  und  $M = 4$:
	:$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) = 10^{-4}$$		:$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) = 10^{-4}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} } \approx 3.72 \hspace{0.05cm}.$$
	\sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} } \approx 3.72
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung für  $M = 8$:		*Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung für  $M = 8$:
	:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )= {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \%		:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )= {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \% \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Entsprechend erhält man für $M = 16$ ⇒ ${\rm log}_2 (M) = 4$:		*Entsprechend erhält man für $M = 16$ ⇒ ${\rm log}_2 (M) = 4$:
	:$$p_{\rm B} = {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \%		:$$p_{\rm B} = {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \% \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Richtig sind also die  <u>Aussagen 1 und 4</u>:		*Richtig sind also die  <u>Aussagen 1 und 4</u>:

Guenter am 23. August 2022 um 14:13 Uhr

2022-08-23T14:13:06Z

Änderungen zeigen

Guenter am 23. August 2022 um 13:36 Uhr

2022-08-23T13:36:33Z

Änderungen zeigen

Guenter am 15. März 2019 um 12:06 Uhr

2019-03-15T12:06:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. März 2019, 14:06 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind ~~somit~~ die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	*Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:		*Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
	:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )-		:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )-
Zeile 96:		Zeile 96:
	*Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:		*Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
	:$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
Zeile 109:		Zeile 110:
	s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$		s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$

	*Die in der Grafik ~~auf der Angabenseite~~ für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.		*Die in der Grafik vorne für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.



	~~'''(3)''' ~~ [[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png\|right\|frame\|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]] Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:		[[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png\|right\|frame\|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]]
	:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 =		'''(3)'''  Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:
	:2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] = 4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$		:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 $$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} 2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] = 4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 123:		Zeile 126:


	'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus (3) erhält man mit der vorne angegebenen Gleichung:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' erhält man mit der vorne angegebenen Gleichung:
	:$$p_{\rm S} \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left [ \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0}} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$ ⇒ $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ folgt daraus:		*Mit  $E_{\rm S}/N_0 = 50$  ⇒  $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$   folgt daraus:
	:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{0.014 \%} \hspace{0.05cm},$$		:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{0.014 \%} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \%} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	~~Anzumerken ist, dass die~~ Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem $M$ immer größer ~~wird~~, wenn man – wie hier – von ~~einem konstanten~~ $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht. Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) zu		*Die Fehlerwahrscheinlichkeit wird also mit steigendem $M$ immer größer, wenn man – wie hier – von konstantem $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht.
			*Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) zu
	:$$M = 2\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} = p_{\rm S} = {\rm Q} ( 10 ) \approx { 10^{-23}}.$$		:$$M = 2\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} = p_{\rm S} = {\rm Q} ( 10 ) \approx { 10^{-23}}.$$

	Mehrstufige PSK würde also keinen Sinn machen, wenn es nicht andere Gründe für deren Anwendung gäbe, worauf in der Teilaufgabe (6) noch eingegangen wird.		*Mehrstufige PSK würde also keinen Sinn machen, wenn es nicht andere Gründe für deren Anwendung gäbe, worauf in der Teilaufgabe '''(6)''' noch eingegangen wird.



Zeile 140:		Zeile 145:
	Es gelten folgende Aussagen:		Es gelten folgende Aussagen:
	* Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.		* Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.
	* Dagegen ergibt sich die &bdquo;Union Bound” ~~($p_{\rm S}$)~~ aus <b>A + B</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$) plus <b>B + C</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_{~~\it~~ M~~–~~1}$).		* Dagegen ergibt sich die &bdquo;Union Bound” aus <b>A + B</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$) plus <b>B + C</b> (Verfälschung in das Symbol $\boldsymbol{s}_{M-1}$).
	* Damit gilt stets $p_{\rm S} = p_{\rm UB}$ – <b>B</b>. Der Anteil <b>B</b> ist aber um so kleiner, je größer $M$ ist.		* Damit gilt stets $p_{\rm S} = p_{\rm UB}$ – <b>B</b>. Der Anteil <b>B</b> ist aber um so kleiner, je größer $M$ ist.



Zeile 149:		Zeile 155:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung $M = 8$:		Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung für $M = 8$:
	:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )= {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \%		:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )= {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \%
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Entsprechend erhält man für $M = 16$ ⇒ ${\rm ld} (M) = 4$:		Entsprechend erhält man für $M = 16$ ⇒ ${\rm log}_2 (M) = 4$:
	:$$p_{\rm B} = {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \%		:$$p_{\rm B} = {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \%
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 15. März 2019 um 11:07 Uhr

2019-03-15T11:07:00Z

Änderungen zeigen

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:18 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:
	1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$		1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
	:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T \hspace{0.05cm}.$$
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
	* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).		* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.14 8-PSK und 16-PSK nach Aufgaben:Aufgabe 4.14: 8-PSK und 16-PSK

2018-01-04T06:37:03Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.14 8-PSK und 16-PSK nach Aufgaben:Aufgabe 4.14: 8-PSK und 16-PSK

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2018, 08:37 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 23. November 2017 um 16:30 Uhr

2017-11-23T16:30:59Z

Guenter am 23. November 2017 um 16:14 Uhr

2017-11-23T16:14:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2017, 18:14 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2067__Dig_A_4_14.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellation der 8–PSK und 16–PSK]]		[[Datei:P_ID2067__Dig_A_4_14.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellation der 8–PSK und 16–PSK]]
	Betrachtet wird nun eine ~~Signale~~ $s_i(t)$, die auf den Zeitbereich $0 ≤ t ≤ T$ begrenzt ist. Der Index $i$ durchläuft die Werte $0, \ ... \ , M–1$:		Betrachtet wird nun eine Signalmenge $\{s_i(t)\}$, die auf den Zeitbereich $0 ≤ t ≤ T$ begrenzt ist. Der Index $i$ durchläuft die Werte $0, \ ... \ , M–1$:
	:$$s_i(t) = A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$s_i(t) = A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 13:		Zeile 13:
	:$$ p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) = 2 \cdot {\rm Q} \left (\sqrt{ \frac{ d^2}{ 2 N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) = 2 \cdot {\rm Q} \left (\sqrt{ \frac{ d^2}{ 2 N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei ~~bezeichnen~~:		Hierbei sind folgende Größen verwendet:
	* $d$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ genau mittig, so ist $d/2$ der Abstand von $\boldsymbol{s}_0$ bzw. $\boldsymbol{s}_1$ von dieser Entscheidungsgrenze.		* $d$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ genau mittig, so ist $d/2$ der Abstand von $\boldsymbol{s}_0$ bzw. $\boldsymbol{s}_1$ von dieser Entscheidungsgrenze.
	* Die Varianz des AWGN–Rauschens ist $\sigma_n^2 = N_0/2$.		* Die Varianz des AWGN–Rauschens ist $\sigma_n^2 = N_0/2$.
Zeile 26:		Zeile 26:

	Diese Gleichung ist allerdings nur für $M > 4$ anzuwenden. Dagegen ergibt sich		Diese Gleichung ist allerdings nur für $M > 4$ anzuwenden. Dagegen ergibt sich
	* für $M = 2$ aus der Identität mit der [[ BPSK]], und		* für $M = 2$ aus der Identität mit der [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Binary_Phase_Shift_Keying_.28BPSK.29\| BPSK]], und
	* für $M = 4$ aus der Tatsache, dass die 4–PSK mit der 4–QAM identisch ist,		* für $M = 4$ aus der Tatsache, dass die 4–PSK mit der [[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_kohärenter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\|4–QAM]] identisch ist,


Zeile 33:		Zeile 33:
	:$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation]] ~~und bezieht sich~~ insbesondere auf die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29\| ~~Seite 7~~]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation]].
			*Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Mehrstufiges_Phase.E2.80.93Shift_Keying_.28M.E2.80.93PSK.29\| Mehrstufiges ''Phase Shift Keying'']].
	* Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:		* Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:
	:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}		:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}
Zeile 42:		Zeile 45:
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
	* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).		* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).



Zeile 48:		Zeile 52:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung? $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ seien jeweils auf den Bereich $0 ≤ t ≤ T$ begrenzt		{Wie lauten die Basisfunktionen bei der Bandpassdarstellung? $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ seien jeweils auf den Bereich $0 ≤ t ≤ T$ begrenzt.
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $\varphi_1(t) = \cos {(2\pi f_{\rm T}t)}$,		- $\varphi_1(t) = \cos {(2\pi f_{\rm T}t)}$,
Zeile 64:		Zeile 68:
	{Wie groß ist der Abstand $d$ zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für $M = 8$ bzw. $M = 16$?		{Wie groß ist der Abstand $d$ zwischen zwei benachbarten Signalraumpunkten? Welche Werte ergeben sich für $M = 8$ bzw. $M = 16$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$M = 8 \text{:} \hspace{0.~~2cm~~} d$ = { 0.765 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$		$M = 8 \text{:} \hspace{0.45cm} d \ = \ $ { 0.765 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$
	$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d$ = { 0.39 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$		$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} d \ = \ $ { 0.39 3% } $\ \cdot \sqrt {E_{\rm S}}$

	{Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound ($p_{\rm UB}$) mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$.		{Welcher Wert ergibt sich für die Union Bound ($p_{\rm UB}$) mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$M = 8 \text{:} \hspace{0.~~2cm~~} p_{\rm UB}$ = { 1.4 3% } $\ \~~cdot 10^{\rm –4}~~$		$M = 8 \text{:} \hspace{0.45cm} p_{\rm UB}$ = { 0.014 3% } $\ \%$
	$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}$ = { 6 3% } $\ \~~cdot 10^{\rm –2}~~$		$M = 16 \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm UB}$ = { 6 3% } $\ \%$

	{Gilt die Aussage: &bdquo;$p_{\rm UB}$ nähert $p_{\rm S}$ um so genauer an, je größer $M$ ist”?		{Gilt die Aussage: &bdquo;$p_{\rm UB}$ nähert $p_{\rm S}$ um so genauer an, je größer $M$ ist”?

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2017, 18:30 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}		:$$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm}
	1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$		1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
	:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} >> 1/T \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} \gg 1/T \hspace{0.05cm}.$$
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
	* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).		* Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).
Zeile 91:		Zeile 91:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:		'''(1)'''  Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) =$$		*Die Signalmenge kann im Bandpassbereich mit der angegebenen trigonometrischen Umformung wie folgt dargestellt werden:
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}~~ A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )-		:$$s_i(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) = A \cdot \cos \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )-
	A \cdot \sin \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \sin \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )\hspace{0.05cm}.$$		A \cdot \sin \left ( { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \cdot \sin \left ( 2\pi f_{\rm T}t \right )\hspace{0.05cm}.$$

	Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$, die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Hierbei ist zu beachten, dass diese jeweils energienormiert sein müssen:		*Die jeweils ersten Terme in dieser Differenz führen zum Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$, die jeweils zweiten zu den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Hierbei ist zu beachten, dass diese jeweils energienormiert sein müssen:
	:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1$$		:$$\int_{0}^{T} \varphi_1 ( t)^2 \,{\rm d} t = \int_{0}^{T} \left [K \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\right ]^2 \,{\rm d} t = 1\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{K^2 \cdot T}{2} = 2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{2/T } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\varphi_1 ( t) = \sqrt{2/T } \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$		\varphi_1 ( t) = \sqrt{2/T } \cdot \cos( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$

	Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:		*Mit gleichem Rechenweg kommt man zur zweiten Basisfunkion:
	:$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_2 ( t) = -\sqrt{2/T } \cdot \sin( 2\pi f_{\rm T}t)\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind ~~somit~~ die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
			*Unter Verwendung der eben berechneten Basisfunktionen kann die Signalmenge $s_i(t)$ wie folgt dargestellt werden (wiederum begrenzt auf den Bereich $0 ≤ t ≤ T$):

	~~'''(2)''' ~~ Unter Verwendung der eben berechneten Basisfunktionen kann die Signalmenge $s_i(t)$ wie folgt dargestellt werden (wiederum begrenzt auf den Bereich $0 ≤ t ≤ T$):
	:$$s_i(t) = A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_1 ( t)+		:$$s_i(t) = A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_1 ( t)+
	A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_2 ( t)		A \cdot \sqrt{T/2 } \cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M ) \cdot \varphi_2 ( t)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Mit der für alle $M$ Punkte gleichen Energie $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$, die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) ist, lautet obige Gleichung		*Mit der für alle $M$ Punkte gleichen Energie $E = 0.5 \cdot A^2 \cdot T$, die gleichzeitig die mittlere Signalenergie pro Symbol ($E_{\rm S}$) ist, lautet obige Gleichung
	:$$s_i(t) = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1 ( t)+		:$$s_i(t) = s_{{\rm I}i} \cdot \varphi_1 ( t)+
	s_{{\rm Q}i} \cdot \varphi_2 ( t)$$		s_{{\rm Q}i} \cdot \varphi_2 ( t)\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{{\rm I}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \cos ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$		s_{{\rm Q}i} = \sqrt{E_{\rm S} }\cdot \sin ( 2\pi \cdot i /M )\hspace{0.05cm}. $$

	Die in der Grafik auf der Angabenseite für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen~~. Richtig sind demzufolge die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>~~.		*Die in der Grafik auf der Angabenseite für $M = 8$ bzw. $M = 16$ skizzierten Signalraumpunkte lassen sich genau in dieser Weise darstellen.


	'''(3)'''  [[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png\|right\|frame\|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]] Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:		'''(3)'''  [[Datei:P_ID2070__Dig_A_4_14c.png\|right\|frame\|Zur Abstandsberechnung bei 8-PSK]] Da der Abstand von einem zum nächstgelegenen Punkt für alle $i$ gleich ist, können wir $d$ beispielsweise aus den Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ berechnen. Betrachten Sie dabei die nachfolgende Skizze. Nach dem <i>Satz von Pythagoras</i> gilt:
	:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 = $$		:$$d_{\rm norm}^2 \hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm} \sin^2(\frac{2\pi}{M}) + [1- \cos(\frac{2\pi}{M})]^2 =
	:~~$$\hspace{-0.01cm}=\hspace{-0.01cm}~~ 2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] = 4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$		:2 \cdot [1- \cos( \frac{2\pi}{M} )] = 4 \cdot \sin^2(\pi/M )\hspace{0.05cm} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.~~2cm~~} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d_{\rm norm}= 2 \cdot \sin({\pi}/{M }) \hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.~~2cm~~} d = 2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 2\sqrt {E_{\rm S}} \cdot \sin{\pi}/{M })\hspace{0.05cm}.$$

	Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:		Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte:
Zeile 136:		Zeile 134:

	Mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$ ⇒ $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ folgt daraus:		Mit $E_{\rm S}/N_0 = 50$ ⇒ $(2E_{\rm S}/N_0)^{\rm 0.5} = 10$ folgt daraus:
	:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{1.4 \~~cdot 10^{-4}~~} \hspace{0.05cm},$$		:$$M = 8\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm}p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.383 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 3.83 ) \approx \underline{0.014 \%} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \~~cdot 10^{-2}~~} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ M = 16\hspace{-0.09cm}: \hspace{0.2cm} p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2 \cdot {\rm Q} ( 10 \cdot 0.195 )= 2 \cdot {\rm Q} ( 1.95 ) \approx \underline{6 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	Anzumerken ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem $M$ immer größer wird, wenn man – wie hier – von einem konstanten $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht. Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) zu		Anzumerken ist, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit mit steigendem $M$ immer größer wird, wenn man – wie hier – von einem konstanten $E_{\rm S}/N_0$ ausgeht. Der günstigste Wert ergäbe sich für $M = 2$ (der Faktor $2$ der Union Bound ist dann nämlich nicht notwendig) zu
Zeile 147:		Zeile 145:
	'''(5)'''  Richtig ist <u>JA</u>. Die Grafik zeigt die Konstellation für 8–PSK und 16–PSK, jeweils gültig unter der Annahme, dass $\boldsymbol{s}_0$ gesendet wurde. Die Höhenlinien der AWGN–WDF sind dann Kreise um $\boldsymbol{s}_0$.		'''(5)'''  Richtig ist <u>JA</u>. Die Grafik zeigt die Konstellation für 8–PSK und 16–PSK, jeweils gültig unter der Annahme, dass $\boldsymbol{s}_0$ gesendet wurde. Die Höhenlinien der AWGN–WDF sind dann Kreise um $\boldsymbol{s}_0$.
	[[Datei:P_ID2071__Dig_A_4_14e.png\|center\|frame\|Zur Interpretation der Union Bound bei <i>M</i>–PSK]]		[[Datei:P_ID2071__Dig_A_4_14e.png\|center\|frame\|Zur Interpretation der Union Bound bei <i>M</i>–PSK]]

	Es gelten folgende Aussagen:		Es gelten folgende Aussagen:
	* Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.		* Die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ setzt sich aus den Anteilen <b>A</b>, <b>B</b> und <b>C</b> zusammen.
Zeile 160:		Zeile 157:

	Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung $M = 8$:		Dagegen gilt mit der angegebenen Gleichung $M = 8$:
	:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )=$$		:$$p_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ \le \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm S}}}/{ N_0} }\right )= {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \%
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}~~ {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{3} \cdot 0.383 \cdot 3.72 \right ) \approx {2}/{3} \cdot {\rm Q} \left ( 2.46 \right ) \approx 0.46 \~~cdot 10^{-2}~~
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Entsprechend erhält man für $M = 16$ ⇒ ${\rm ld} (M) = 4$:		Entsprechend erhält man für $M = 16$ ⇒ ${\rm ld} (M) = 4$:
	:$$p_{\rm B} = {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 0.48 \~~cdot 10^{-1}~~		:$$p_{\rm B} = {2}/{4} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{4} \cdot 0.195 \cdot 3.72 \right ) \approx {1}/{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.45 \right ) \approx 4.8 \%
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind also die <u>Aussagen 1 und 4</u>. Der wesentliche Vorteil einer höherstufigen PSK ist also nicht die niedrigere Bitfehlerrate, sondern der geringere Bedarf an der sehr teueren Ressource &bdquo;Bandbreite”. Außerdem ist zu beachten, dass die Ergebnisse völlig anders sind, wenn ein (stark) verzerrender Kanal vorliegt, wie in der <i>Leitungsgebundenen Übertragungstechnik</i> üblich.		Richtig sind also die <u>Aussagen 1 und 4</u>:
			*Der wesentliche Vorteil einer höherstufigen PSK ist also nicht die niedrigere Bitfehlerrate, sondern der geringere Bedarf an der sehr teueren Ressource &bdquo;Bandbreite”.
			*Außerdem ist zu beachten, dass die Ergebnisse völlig anders sind, wenn ein (stark) verzerrender Kanal vorliegt, wie in der <i>Leitungsgebundenen Übertragungstechnik</i> üblich.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}