Aufgaben:Aufgabe 4.13Z: AMI-Code - Versionsgeschichte

Guenter am 26. März 2022 um 15:49 Uhr

2022-03-26T15:49:46Z

Guenter am 26. März 2022 um 15:39 Uhr

2022-03-26T15:39:03Z

Guenter am 25. März 2022 um 16:36 Uhr

2022-03-25T16:36:21Z

Guenter am 2. Dezember 2019 um 14:42 Uhr

2019-12-02T14:42:00Z

Guenter am 2. Dezember 2019 um 14:26 Uhr

2019-12-02T14:26:59Z

Guenter am 20. August 2018 um 09:18 Uhr

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Guenter am 20. August 2018 um 09:06 Uhr

2018-08-20T09:06:12Z

Guenter am 20. August 2018 um 09:02 Uhr

2018-08-20T09:02:19Z

Guenter am 20. August 2018 um 08:41 Uhr

2018-08-20T08:41:41Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der diskrete AKF-Wert f&uuml;r&nbsp; $k = 0$&nbsp; gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.
+'''(1)'''&nbsp; Der diskrete AKF-Wert f&uuml;r&nbsp; $k = 0$&nbsp; gibt die Varianz der Quellensymbole an.
-*Da&nbsp; $q_\nu$&nbsp; nur die Werte&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen kann, ist&nbsp; $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
+*Da&nbsp; $q_\nu$&nbsp; nur die Werte&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen kann,&nbsp; ist&nbsp; $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 *Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:
 :$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$
-*Es ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet:  &nbsp;
+*Es ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet:&nbsp; Die periodische Fortsetzung von&nbsp; ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$&nbsp; ergibt f&uuml;r alle Frequenzen den gleichen Wert.
 *Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden: &nbsp;
 :$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$
-*Das dazugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme: &nbsp;
+*Das dazugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum&nbsp; (Fouriertransformierte der AKF)&nbsp; ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme: &nbsp;
 :$$ {\it \Phi_q} ( f) =  {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$
-*Aufgrund der gew&auml;hlten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein&nbsp; $\rm si^2$-f&ouml;rmiges LDS.
+*Aufgrund der gew&auml;hlten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein&nbsp; $\rm si^2$-f&ouml;rmiges Leistungsdichtespektrum.
 *Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß L&ouml;sungsvorschlag&nbsp; '''(2)'''&nbsp; w&uuml;rde sich nur bei&nbsp; $\rm si$-f&ouml;rmiger Interpolation einstellen.
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-'''(4)'''&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte&nbsp; $-1$&nbsp;, $\ 0$&nbsp; und $+1$&nbsp; sind&nbsp; $0.25, 0.5, 0.25$.&nbsp; Daraus folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte&nbsp; $-1$&nbsp;, $\ 0$&nbsp; und $+1$&nbsp; sind&nbsp; $0.25,&nbsp; 0.5,&nbsp; 0.25$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$
-'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r den AKF-Wert bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; betrachtet man das Produkt&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.&nbsp; Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.
+'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r den AKF-Wert bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; betrachtet man das Produkt&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.&nbsp; Es ergeben sich die in der Tabelle gezeigten Kombinationen.
 *Einen Beitrag liefern nur Produkte&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1} \ne 0$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm Pr}\big[c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}\big] \ne 0$:
 :$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \big [( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] \cdot (+1) \cdot (-1) + {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \big ] \cdot (-1) \cdot (+1).$$
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 :$$ {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] = $$
 :$$  = {\rm Pr}  ( c_{\nu} = +1)  \cdot {\rm Pr} \left (  c_{\nu + 1} = -1 | c_{\nu } = +1) \right )  = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{8} . $$
-:Hierbei ist vorausgesetzt, dass&nbsp; $+1$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $0.25$&nbsp; auftritt und danach&nbsp; $-1$&nbsp; nur in der H&auml;lfte der F&auml;lle folgt.
+*Hierbei ist vorausgesetzt, dass&nbsp; $+1$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $0.25$&nbsp; auftritt und danach&nbsp; $-1$&nbsp; nur in der H&auml;lfte der F&auml;lle folgt.
 *Das gleiche Ergebnis erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten Beitrag. Damit gilt:
 :$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
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 '''(6)'''&nbsp; Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$&nbsp; lautet:
-:$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} =  T\cdot   \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
+:$${\rm P} \{{\it \Phi_c}( f) \} =  T\cdot   \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
 *Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe folgt daraus:
-:$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} =  \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
+:$${\rm P} \{{\it \Phi}_c( f) \} =  \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
-*Wie unter Punkt&nbsp; '''(2)''' gezeigt, gilt dann f&uuml;r das LDS &ndash; also die Fouriertransformierte von&nbsp; $\varphi_c(\tau)$:
+*Wie unter Punkt&nbsp; '''(2)''' gezeigt,&nbsp; gilt dann f&uuml;r das LDS&nbsp; &ndash;&nbsp; also die Fouriertransformierte von&nbsp; $\varphi_c(\tau)$:
 :$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot  {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$
 :$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\it \Phi_c}( f = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.8cm}

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 [[Datei:P_ID427__Sto_Z_4_13.png|right|frame|AKF bei AMI-Codierung]]
-Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte&nbsp; <i>Pseudotern&auml;rcodes</i>.&nbsp; Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle$&nbsp; nach einer festen Vorschrift in eine Folge&nbsp; $\langle c_\nu  \rangle$&nbsp;  von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
+Zur Spektralanpassung&nbsp; (Formung)&nbsp; eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte&nbsp; "Pseudotern&auml;rcodes".&nbsp; Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle$&nbsp; nach einer festen Vorschrift in eine Folge&nbsp; $\langle c_\nu  \rangle$&nbsp;  von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
 :$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$
-Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse  ist der AMI-Code (von <i>Alternate Mark Inversion</i>).&nbsp; Hier wird
+Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse  ist der AMI-Code&nbsp; (von&nbsp; "Alternate Mark Inversion").&nbsp; Hier wird
 *der Bin&auml;rwert&nbsp; $q_\nu  = -1$&nbsp; stets auf&nbsp; $c_\nu  = 0$&nbsp; abgebildet,
-*w&auml;hrend&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; abwechselnd (alternierend) durch die Tern&auml;rwerte&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; und&nbsp; $c_\nu  = -1$&nbsp; dargestellt wird.
+*w&auml;hrend&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; abwechselnd&nbsp; (alternierend)&nbsp; durch die Tern&auml;rwerte&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; und&nbsp; $c_\nu  = -1$&nbsp; dargestellt wird.
 Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; das Tern&auml;rsymbol&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; ausgew&auml;hlt werden.
-Weiter wird vorausgesetzt, dass
+Weiter wird vorausgesetzt,&nbsp; dass
-*die zwei m&ouml;glichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und
+*die zwei m&ouml;glichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind,&nbsp; und
-*die Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle&nbsp;$ keine inneren statistischen Bindungen aufweist.
+*die Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle$&nbsp; keine inneren statistischen Bindungen aufweist.
 Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich Null mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi_q(k=0)$:
-:$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$
+:$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0, \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$
 Hierbei  bezeichnet&nbsp; $T$&nbsp; den zeitlichen Abstand der Quellensymbole.&nbsp;  Verwenden Sie den Wert&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.&nbsp; Die Codesymbole haben den gleichen Abstand.
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 Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen.&nbsp; Bitte beachten Sie:
-* Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$&nbsp; der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert&nbsp; $T$.
+* Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$&nbsp; der Autokorrelationsfunktionen,&nbsp; jeweils mit dem Bezugswert&nbsp; $T$.
-* Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe&nbsp; $\varphi_q(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_c(\tau)$&nbsp; der AKF, wobei Rechteckimpulse vorausgesetzt sind.
+* Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe&nbsp; $\varphi_q(\tau)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_c(\tau)$&nbsp; der AKF,&nbsp; wobei Rechteckimpulse vorausgesetzt sind.
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; sowie auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Numerische_LDS-Ermittlung|Numerische_LDS-Ermittlung]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; sowie auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Numerische_LDS-Ermittlung|Numerische LDS-Ermittlung]].
+*Benutzen Sie folgende Fourierkorrespondenz;&nbsp; ${\rm \Delta} (t)$&nbsp; bezeichnet einen um&nbsp; $t = 0$&nbsp; symmetrischen Dreieckimpuls mit&nbsp; ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm \Delta} (t) = 0$&nbsp; für&nbsp; $|t| \ge T$:
 :$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
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-{Welche spektrale Leistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ergibt sich für die Frequenz&nbsp;$f=0$  bzw. für&nbsp;$f = 500  \hspace{0.08cm} \rm kHz$. &nbsp; <i>Hinweis:</i> &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $|k| \ge 2$&nbsp; sind alle AKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_c(k) \equiv 0$.
+{Welche spektrale Leistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ergibt sich für die Frequenz&nbsp;$f=0$  bzw. für&nbsp;$f = 500  \hspace{0.08cm} \rm kHz$. &nbsp; Hinweis: &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $|k| \ge 2$&nbsp; sind alle AKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_c(k) \equiv 0$.
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

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 :$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$
-Hierbei  bezeichnet&nbsp; $T$&nbsp; den Abstand der Quellen&ndash; bzw. Codesymbole.&nbsp; Verwenden Sie den Wert&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.
+Hierbei  bezeichnet&nbsp; $T$&nbsp; den zeitlichen Abstand der Quellensymbole.&nbsp;  Verwenden Sie den Wert&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.&nbsp; Die Codesymbole haben den gleichen Abstand.
 Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen.&nbsp; Bitte beachten Sie:

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der diskrete AKF-Wert f&uuml;r $k = 0$ gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.
+'''(1)'''&nbsp; Der diskrete AKF-Wert f&uuml;r&nbsp; $k = 0$&nbsp; gibt den quadratischen Mittelwert (hier gleich der Varianz) der Quellensymbole an.
-*Da $q_\nu$ nur die Werte $-1$ und $+1$ annehmen kann, ist $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
+*Da&nbsp; $q_\nu$&nbsp; nur die Werte&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen kann, ist&nbsp; $\varphi_q(k=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
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 *Die zeitdiskrete AKF und deren Fouriertransformierte lauten:
 :$${\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T \cdot \delta (\tau) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\it \Phi_q}( f) \} =  \varphi_q ( k = 0) \cdot T = T.$$
-*Es ist ber&uuml;cksichtigt, dass $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$ ist. Das bedeutet:  &nbsp;
+*Es ist ber&uuml;cksichtigt, dass&nbsp; $\varphi_q(k=0)= \sigma_q^2= 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet:  &nbsp;
-:Die periodische Fortsetzung von ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$ ergibt somit f&uuml;r alle Frequenzen den gleichen Wert.
+:Die periodische Fortsetzung von&nbsp; ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$&nbsp; ergibt somit f&uuml;r alle Frequenzen den gleichen Wert.
 *Dagegen kann die zeitkontinuierliche AKF wie folgt dargestellt werden: &nbsp;
 :$$ \varphi_q ( \tau ) = {\rm A} \{ \varphi_q ( \tau ) \} \star ( {\rm \Delta} ( \tau) / T ).$$
 *Das dazugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum (Fouriertransformierte der AKF) ist dann das Produkt der Fouriertransformierten der beiden Faltungsterme: &nbsp;
 :$$ {\it \Phi_q} ( f) =  {\rm P} \{ {\it \Phi_q}( f) \} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) = T \cdot {\rm si}^2 (\pi f T ) .$$
-*Aufgrund der gew&auml;hlten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein si<sup>2</sup>-f&ouml;rmiges LDS.
+*Aufgrund der gew&auml;hlten AKF-Interpolation (mit Geradenabschnitten) aus ihren Abtastwerten ergibt sich ein&nbsp; $\rm si^2$-f&ouml;rmiges LDS.
-*Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß L&ouml;sungsvorschlag '''(2)''' w&uuml;rde sich nur bei si-f&ouml;rmiger Interpolation einstellen.
+*Ein rechteckförmiges Spektrum gemäß L&ouml;sungsvorschlag&nbsp; '''(2)'''&nbsp; w&uuml;rde sich nur bei&nbsp; $\rm si$-f&ouml;rmiger Interpolation einstellen.
-'''(3)'''&nbsp; Die codierte Folge lautet: &nbsp; $\langle +1, 0, -1, +1, 0, -1, +1, 0, 0, 0 \rangle$.
+'''(3)'''&nbsp; Die codierte Folge lautet: &nbsp; $\langle +1, \ 0, -1, +1, \ 0, -1, +1, \ 0, \ 0, \ 0 \rangle$.&nbsp; Das 6. Symbol ist somit&nbsp; $c_6\hspace{0.15cm}\underline{= -1}$.
-'''(4)'''&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte $-1$, $\ 0$ und $+1$ sind $0.25, 0.5, 0.25$. Daraus folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Werte&nbsp; $-1$&nbsp;, $\ 0$&nbsp; und $+1$&nbsp; sind&nbsp; $0.25, 0.5, 0.25$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$\varphi_c ( k = 0) = 0.25 \cdot (-1)^2 + 0.5 \cdot 0^2 +0.25 \cdot (+1)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}. $$
-'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r den AKF-Wert bei $k = 1$ betrachtet man das Produkt $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.
+'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r den AKF-Wert bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; betrachtet man das Produkt&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}$.&nbsp; Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.
-*Es ergeben sich die rechts gezeigten Kombinationen.
+*Einen Beitrag liefern nur Produkte&nbsp; $c_{\nu} \cdot c_{\nu+1} \ne 0$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm Pr}\big[c_{\nu} \cdot c_{\nu+1}\big] \ne 0$:
 :$$\varphi_c ( k = 1) = {\rm Pr} \big [( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] \cdot (+1) \cdot (-1) + {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = -1) \cap ( c_{\nu + 1} = +1) \big ] \cdot (-1) \cdot (+1).$$
 [[Datei:P_ID428__Sto_Z_4_13_e.png|right|frame|Zur AKF-Berechnung des AMI-Codes]]
-In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:
+*In der Tabelle sind diese Terme rot gekennzeichnet. Weiter gilt:
 :$$ {\rm Pr} \big [ ( c_{\nu} = +1) \cap ( c_{\nu + 1} = -1) \big ] = $$
 :$$  = {\rm Pr}  ( c_{\nu} = +1)  \cdot {\rm Pr} \left (  c_{\nu + 1} = -1 | c_{\nu } = +1) \right )  = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{8} . $$
-Hierbei ist vorausgesetzt, dass $+1$ mit der Wahrscheinlichkeit $0.25$ auftritt und danach $-1$ nur in der H&auml;lfte der F&auml;lle folgt.
+:Hierbei ist vorausgesetzt, dass&nbsp; $+1$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $0.25$&nbsp; auftritt und danach&nbsp; $-1$&nbsp; nur in der H&auml;lfte der F&auml;lle folgt.
-Das gleiche Ergebnis erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten Beitrag. Damit gilt:
+*Das gleiche Ergebnis erh&auml;lt man f&uuml;r den zweiten Beitrag. Damit gilt:
 :$$\varphi_c ( k = 1) = \frac {1}{8} \cdot (+1)\cdot (-1) + \frac {1}{8} \cdot (-1)\cdot (+1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
 :$$\varphi_c ( k = -1) = \varphi_c ( k = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -0.25}.$$
-Zur Berechnung von $\varphi_c ( k = 2)$  muss &uuml;ber $3^3 = 27$ Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist jedoch Null.
+*Zur Berechnung von&nbsp; $\varphi_c ( k = 2)$&nbsp;  muss &uuml;ber&nbsp; $3^3 = 27$&nbsp; Kombinationen gemittelt werden. Das Ergebnis ist Null.
 '''(6)'''&nbsp; Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$ lautet:
 :$$P \{{\it \Phi_c}( f) \} =  T\cdot   \varphi_c ( k = 0) +2T \cdot \varphi_c ( k = 1) \cdot {\rm cos} ( 2 \pi f T ).$$
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 :$$P \{{\it \Phi}_c( f) \} =  \frac {T}{2} (1 - {\rm cos} ( 2 \pi f T ) )= T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ).$$
-*Wie unter Punkt '''(2)''' gezeigt, gilt dann f&uuml;r das LDS &ndash; also die Fouriertransformierte von $\varphi_c(\tau)$:
+*Wie unter Punkt&nbsp; '''(2)''' gezeigt, gilt dann f&uuml;r das LDS &ndash; also die Fouriertransformierte von&nbsp; $\varphi_c(\tau)$:
 :$${\it \Phi_c}( f) = T \cdot {\rm sin}^2 ( \pi f T ) \cdot  {\rm si}^2 ( \pi f T ) = T \cdot \frac {{\rm sin}^4 ( \pi f T )}{( \pi f T )^2 } .$$
 :$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\it \Phi_c}( f = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}, \hspace{0.8cm}

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 [[Datei:P_ID427__Sto_Z_4_13.png|right|frame|AKF bei AMI-Codierung]]
-Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte <i>Pseudotern&auml;rcodes</i>. Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge $\langle q_\nu  \rangle$ nach einer festen Vorschrift in eine Folge $\langle c_\nu  \rangle$  von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
+Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte&nbsp; <i>Pseudotern&auml;rcodes</i>.&nbsp; Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle$&nbsp; nach einer festen Vorschrift in eine Folge&nbsp; $\langle c_\nu  \rangle$&nbsp;  von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
 :$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$
-Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse  ist der AMI-Code (von <i>Alternate Mark Inversion</i>). Hier wird
+Der bekannteste Vertreter dieser Codeklasse  ist der AMI-Code (von <i>Alternate Mark Inversion</i>).&nbsp; Hier wird
-*der Bin&auml;rwert $q_\nu  = -1$ stets auf $c_\nu  = 0$ abgebildet,
+*der Bin&auml;rwert&nbsp; $q_\nu  = -1$&nbsp; stets auf&nbsp; $c_\nu  = 0$&nbsp; abgebildet,
-*w&auml;hrend $q_\nu  = +1$ abwechselnd (alternierend) durch die Tern&auml;rwerte $c_\nu  = +1$ und $c_\nu  = -1$ dargestellt wird.
+*w&auml;hrend&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; abwechselnd (alternierend) durch die Tern&auml;rwerte&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; und&nbsp; $c_\nu  = -1$&nbsp; dargestellt wird.
-Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von $q_\nu  = +1$ das Tern&auml;rsymbol $c_\nu  = +1$ ausgew&auml;hlt werden.
+Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von&nbsp; $q_\nu  = +1$&nbsp; das Tern&auml;rsymbol&nbsp; $c_\nu  = +1$&nbsp; ausgew&auml;hlt werden.
 Weiter wird vorausgesetzt, dass
 *die zwei m&ouml;glichen Quellensymbole jeweils gleichwahrscheinlich sind und
-*die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu  \rangle$ keine inneren statistischen Bindungen aufweist.
+*die Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle&nbsp;$ keine inneren statistischen Bindungen aufweist.
-Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich Null mit Ausnahme von $\varphi_q(k=0)$:
+Somit sind alle diskreten AKF-Werte gleich Null mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi_q(k=0)$:
 :$$\varphi_q ( k \cdot T) = 0 \hspace{0.5cm} {\rm f alls} \hspace{0.5cm} k \not= 0.$$
-Hierbei  bezeichnet $T$ den Abstand der Quellen&ndash; bzw. Codesymbole. Verwenden Sie den Wert $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.
+Hierbei  bezeichnet&nbsp; $T$&nbsp; den Abstand der Quellen&ndash; bzw. Codesymbole.&nbsp; Verwenden Sie den Wert&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm &micro; s$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] sowie auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Numerische_LDS-Ermittlung|Numerische_LDS-Ermittlung]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; sowie auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Numerische_LDS-Ermittlung|Numerische_LDS-Ermittlung]].
-*Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei ${\rm \Delta} (t)$ einen um $t = 0$ symmetrischen Dreieckimpuls mit ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$ und ${\rm \Delta} (t) = 0$ für $|t| \ge T$  bezeichnet:
+*Benutzen Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei&nbsp; ${\rm \Delta} (t)$&nbsp; einen um&nbsp; $t = 0$&nbsp; symmetrischen Dreieckimpuls mit&nbsp; ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm \Delta} (t) = 0$&nbsp; für&nbsp; $|t| \ge T$&nbsp;  bezeichnet:
 :$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Quellensymbole f&uuml;r $k = 0$?
+{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Quellensymbole f&uuml;r&nbsp; $k = 0$?
 |type="{}"}
 $\varphi_q(k=0) \ = \ $ { 1 3% }
-{Welche Aussagen gelten für die LDS&ndash;Funktionen ${\it \Phi}_q(f)$  und ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?
+{Welche Aussagen gelten für die LDS&ndash;Funktionen&nbsp; ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp;  und&nbsp; ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$?
 |type="[]"}
-+ ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$ ist f&uuml;r alle Frequenzen eine Konstante.
++ ${\rm P} \{ {\it \Phi}_q(f) \}$&nbsp; ist f&uuml;r alle Frequenzen eine Konstante.
-- ${\it \Phi}_q(f)$ ist f&uuml;r $|f \cdot T| < 0.5$ konstant und au&szlig;erhalb $0$.
+- ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; ist f&uuml;r&nbsp; $|f \cdot T| < 0.5$&nbsp; konstant und au&szlig;erhalb Null.
-+ ${\it \Phi}_q(f)$ verl&auml;uft $\rm si^2$-f&ouml;rmig.
++ ${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; verl&auml;uft&nbsp; $\rm si^2$-f&ouml;rmig.
-{Die Quellensymbolfolge sei $\langle q_\nu  \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1  \rangle$.
+{Die Quellensymbolfolge sei&nbsp; $\langle q_\nu  \rangle = \langle +1, -1, +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1  \rangle$.
-<br>Wie lauten die Codesymbole $c_\nu$? Geben Sie das Codesymbol $c_6$ ein.
+<br>Wie lauten die Codesymbole&nbsp; $c_\nu$&nbsp;? Geben Sie das Codesymbol&nbsp; $c_6$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $c_6 \ = \ $ { -1.01--0.99  }
-{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Codesymbole f&uuml;r $k = 0$.
+{Wie gro&szlig; ist der diskrete AKF&ndash;Wert der Codesymbole f&uuml;r&nbsp; $k = 0$.
 |type="{}"}
 $\varphi_c(k=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_c(k=+1)$ und $\varphi_c(k=-1)$.
+{Berechnen Sie die AKF-Werte&nbsp; $\varphi_c(k=+1)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_c(k=-1)$.
 |type="{}"}
 $\varphi_c(k=+1) \ = \ $ { -0.26--0.24 }
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-{Welche spektrale Leistungsdichte ${\it \Phi}_c(f)$ ergibt sich für die Frequenz $f=0$  bzw. für $f = 500  \hspace{0.08cm} \rm kHz$. &nbsp; <i>Hinweis:</i> &nbsp; F&uuml;r $|k| \ge 2$ sind alle AKF&ndash;Werte $\varphi_c(k) \equiv 0$.
+{Welche spektrale Leistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_c(f)$&nbsp; ergibt sich für die Frequenz&nbsp;$f=0$  bzw. für&nbsp;$f = 500  \hspace{0.08cm} \rm kHz$. &nbsp; <i>Hinweis:</i> &nbsp; F&uuml;r&nbsp; $|k| \ge 2$&nbsp; sind alle AKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_c(k) \equiv 0$.
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_c(f = 0) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm 1/Hz$

@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 {Berechnen Sie die AKF-Werte $\varphi_c(k=+1)$ und $\varphi_c(k=-1)$.
 |type="{}"}
-$\varphi_c(k=+1) \ = \ $ { 0.25 3% }
+$\varphi_c(k=+1) \ = \ $ { -0.26--0.24 }
-$\varphi_c(k=-1) \ = \ $ { 0.25 3% }
+$\varphi_c(k=-1) \ = \ $ { -0.26--0.24 }

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID427__Sto_Z_4_13.png|right|AKF bei AMI-Codierung]]
+[[Datei:P_ID427__Sto_Z_4_13.png|right|frame|AKF bei AMI-Codierung]]
 Zur Spektralanpassung (Formung) eines Digitalsignals an die Eigenschaften des Kanals verwendet man so genannte <i>Pseudotern&auml;rcodes</i>. Bei diesen Codes wird die bin&auml;re Quellensymbolfolge $\langle q_\nu  \rangle$ nach einer festen Vorschrift in eine Folge $\langle c_\nu  \rangle$  von Tern&auml;rsymbolen umgesetzt:
 :$$q_{\nu} \in \{ -1,\hspace{0.1cm} +1 \} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_{\nu} \in \{ -1, \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.1cm}+1 \} .$$
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 *der Bin&auml;rwert $q_\nu  = -1$ stets auf $c_\nu  = 0$ abgebildet,
 *w&auml;hrend $q_\nu  = +1$ abwechselnd (alternierend) durch die Tern&auml;rwerte $c_\nu  = +1$ und $c_\nu  = -1$ dargestellt wird.
-Hierbei  bezeichnet $T$ den Abstand der Quellen&ndash; bzw. Codesymbole. Verwenden Sie den Wert $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$.
+Vereinbarungsgemäß soll beim ersten Auftreten von $q_\nu  = +1$ das Tern&auml;rsymbol $c_\nu  = +1$ ausgew&auml;hlt werden.
 Das Bild zeigt die gegebenen Autokorrelationsfunktionen. Bitte beachten Sie:
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 * Rot eingezeichnet sind jeweils die zeitdiskreten Darstellungen ${\rm A} \{ \varphi_q(\tau) \}$ und ${\rm A} \{ \varphi_c(\tau) \}$ der Autokorrelationsfunktionen, jeweils mit dem Bezugswert $T$ .
 * Die blau dargestellten Funktionen zeigen die zeitkontinuierlichen Verläufe $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_c(\tau)$ der AKF, wobei Rechtecksignale vorausgesetzt sind.