Aufgaben:Aufgabe 4.13: Vierstufige QAM - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.4 Kohärente Demodulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.4 Kohärente Demodulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.13:_Four-level_QAM]]

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Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID2066__Dig_A_4_13.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellation der 4–QAM]]		[[Datei:P_ID2066__Dig_A_4_13.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellation der 4–QAM]]
	Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit  $M = 4$  Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten		Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit  $M = 4$  Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten
	:$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1)		:$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1)\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Symbole sind gleichwahrscheinlich. Damit kann man zur Berechnung der mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit auf die Mittelung verzichten.		Die Symbole sind gleichwahrscheinlich. Damit kann man zur Berechnung der mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit auf die Mittelung verzichten.

	Beispielsweise gilt:		Beispielsweise gilt:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Zuordnung der Symbole zu  "!Bitdupeln"  kann ebenfalls der Grafik  (rote Beschriftungen)  entnommen werden.  Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.		Die Zuordnung der Symbole zu  "!Bitdupeln"  kann ebenfalls der Grafik  (rote Beschriftungen)  entnommen werden.  Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.
Zeile 28:		Zeile 26:

	* Die Wahrscheinlichkeit,  dass durch das Rauschen  $n$  ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird,  ist mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:		* Die Wahrscheinlichkeit,  dass durch das Rauschen  $n$  ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird,  ist mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:
	:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)		:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 58:		Zeile 55:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die &bdquo;Union Bound” ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.  Für letztere gilt:		'''(1)'''  Die &bdquo;Union Bound” ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.  Für letztere gilt:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen gilt für die  (verbesserte)  &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:		*Dagegen gilt für die  (verbesserte)  &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:
	:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}		:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 73:		Zeile 68:

	Die  &bdquo;Union Bound”  berücksichtigt also den dritten Quadranten zweimal.  Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:		Die  &bdquo;Union Bound”  berücksichtigt also den dritten Quadranten zweimal.  Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei ist berücksichtigt,  dass die Rauschkomponenten  $n_1$  und  $n_2$  voneinander unabhängig sind.		Hierbei ist berücksichtigt,  dass die Rauschkomponenten  $n_1$  und  $n_2$  voneinander unabhängig sind.
Zeile 86:		Zeile 80:

	Für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man somit:		Für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man somit:
	:$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \big [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\big ]= \underline{0.1} = p		:$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \big [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\big ]= \underline{0.1} = p\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Berücksichtigt ist,  dass der zweite Quadrant und der vierteQuadrant jeweils nur zu einem Bitfehler führt,  der dritte Quadrant dagegen zu zweien.		*Berücksichtigt ist,  dass der zweite Quadrant und der vierteQuadrant jeweils nur zu einem Bitfehler führt,  der dritte Quadrant dagegen zu zweien.
Zeile 95:		Zeile 88:

	'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zu  '''(2)'''  gleich der Wahrscheinlichkeit,  dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:		'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zu  '''(2)'''  gleich der Wahrscheinlichkeit,  dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})		:$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$:		*Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden.  Daraus ergibt sich  $E_{\rm S} = 2E$.		*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden.  Daraus ergibt sich  $E_{\rm S} = 2E$.

	*Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:		*Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Richtig ist also der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.		*Richtig ist also der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.

Guenter am 23. August 2022 um 11:50 Uhr

2022-08-23T11:50:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2022, 13:50 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die &bdquo;Union Bound” ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit. Für letztere gilt:		'''(1)'''  Die &bdquo;Union Bound” ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.  Für letztere gilt:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:		*Dagegen gilt für die  (verbesserte)  &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:
	:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}		:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound” additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:		'''(2)'''  Die beiden Wahrscheinlichkeiten,  aus der sich die &bdquo;Union Bound” additiv zusammensetzt,  lassen sich geometrisch wie folgt deuten:
	* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt <br> ⇒   die AWGN–Rauschkomponente $n_1$ ist negativ und betragsmäßig größer als ~~$\sqrt {E}$.~~		* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$  ist die Wahrscheinlichkeit,  dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt <br> ⇒   die AWGN–Rauschkomponente  $n_1$  ist negativ und betragsmäßig größer als  $\sqrt {E}$.
	* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der unteren Halbebene liegt <br> ⇒   ~~die AWGN–Rauschkomponente $n_2$ ist negativ und betragsmäßig größer als~~ $\sqrt {E}$.

			* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$  ist die Wahrscheinlichkeit,  dass der Empfangspunkt in der unteren Halbebene liegt <br> ⇒   die AWGN–Rauschkomponente  $n_2$  ist negativ und betragsmäßig größer als  $\sqrt {E}$.

	Die &bdquo;Union Bound” berücksichtigt also den dritten Quadranten zweimal. Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:
			Die  &bdquo;Union Bound”  berücksichtigt also den dritten Quadranten zweimal.  Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass die Rauschkomponenten $n_1$ und $n_2$ voneinander unabhängig sind.		Hierbei ist berücksichtigt,  dass die Rauschkomponenten  $n_1$  und  $n_2$  voneinander unabhängig sind.


	'''(3)'''  Wie in der Teilaufgabe '''(2)''' nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:		'''(3)'''  Wie in der Teilaufgabe  '''(2)'''  nachgewiesen wurde,  gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
	* Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,		* Quadrant 2:  ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
	* Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,		* Quadrant 3:  ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
	* Quadrant 4: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm D} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$.		* Quadrant 4:  ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm D} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$.


Zeile 88:		Zeile 89:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Berücksichtigt ist, dass der Quadrant 2 und der ~~Quadrant 4~~ jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.		*Berücksichtigt ist,  dass der zweite Quadrant und der vierteQuadrant jeweils nur zu einem Bitfehler führt,  der dritte Quadrant dagegen zu zweien.
	*Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.
			*Der Faktor  $1/2$  berücksichtigt wieder,  dass jeweils ein vierwertiges Symbol zwei Binärzeichen  (Bit)  beinhaltet.


	'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung ~~zur Teilaufgabe~~ '''(2)''' gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:		'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zu  '''(2)'''  gleich der Wahrscheinlichkeit,  dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})		:$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:		*Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$.		*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden.  Daraus ergibt sich  $E_{\rm S} = 2E$.

	*Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:		*Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.		*Richtig ist also der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
	*Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die 4–QAM wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” als zwei orthogonale (das heißt: sich nicht störende) BPSK–Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.
			*Zum gleichen Ergebnis kommt man auch,  wenn man die  "4–QAM"  wie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| "Struktur des optimalen Empfängers"]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” als zwei orthogonale  (das heißt:  sich nicht störende)  BPSK–Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 23. August 2022 um 08:17 Uhr

2022-08-23T08:17:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2022, 10:17 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Zuordnung der Symbole zu ~~<i>~~Bitdupeln~~</i>~~  kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.		Die Zuordnung der Symbole zu  "!Bitdupeln"  kann ebenfalls der Grafik  (rote Beschriftungen)  entnommen werden.  Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.


Zeile 20:		Zeile 20:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation"]].
	* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\| Quadraturamplitudenmodulation]]  (QAM).
	* Für die Teilaufgabe '''(4)''' ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$  vorausgesetzt.		* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\| "Quadraturamplitudenmodulation"]]  $\rm (QAM)$.
	* ~~Für die~~ Wahrscheinlichkeit, dass durch das ~~Rauschsignal~~  $n$  ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, ~~gilt~~ mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  $\rm Q(x)$:
			* Für die Teilaufgabe  '''(4)'''  ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$  vorausgesetzt.

			* Die Wahrscheinlichkeit,  dass durch das Rauschen  $n$  ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird,  ist mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:
	:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)		:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 33:		Zeile 36:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$ die &~~bdquo~~;Union Bound&~~rdquo~~; an  $(p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S})$. Es gelte  $p = 0.1$.		{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  die  "Union Bound"  an  $(p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S})$.  Es gelte  $p = 0.1$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm UB}\ = \ $ { 0.2 3% }		$p_{\rm UB}\ = \ $ { 0.2 3% }
Zeile 41:		Zeile 44:
	$p_{\rm S}\ = \ $ { 0.19 3% }		$p_{\rm S}\ = \ $ { 0.19 3% }

	{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ~~bei Graycodierung~~  $p_{\rm B}$?		{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  bei Graycodierung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B}\ = \ $ { 0.1 3% }		$p_{\rm B}\ = \ $ { 0.1 3% }

Guenter am 15. März 2019 um 10:35 Uhr

2019-03-15T10:35:02Z

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Zeile 46:		Zeile 46:

	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen  $p_{\rm B}$  und  $E_{\rm B}/N_0$?		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen  $p_{\rm B}$  und  $E_{\rm B}/N_0$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\big ]$,		- $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
	+ $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\big ]$,		+ $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
Zeile 58:		Zeile 58:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:		*Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:
	:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}		:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound” additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:		'''(2)'''  Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound” additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:
	* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt ~~ ~~⇒  die AWGN–Rauschkomponente $n_1$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.		* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt <br> ⇒   die AWGN–Rauschkomponente $n_1$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.
	* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der unteren Halbebene liegt ~~ ~~⇒  die AWGN–Rauschkomponente $n_2$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.		* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} \| \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der unteren Halbebene liegt <br> ⇒   die AWGN–Rauschkomponente $n_2$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.


Zeile 74:		Zeile 75:


	'''(3)'''  Wie in der Teilaufgabe (2) nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:		'''(3)'''  Wie in der Teilaufgabe '''(2)''' nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
	* Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,		* Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
	* Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,		* Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
Zeile 81:		Zeile 82:

	Für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man somit:		Für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man somit:
	:$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \~~left~~ [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\~~right~~ ]= \underline{0.1} = p		:$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \big [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\big ]= \underline{0.1} = p
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*~~Hierbei~~ ist ~~berücksichtigt~~, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.		*Berücksichtigt ist, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.
	*Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.		*Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.


	'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zur Teilaufgabe (2) gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:		'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zur Teilaufgabe '''(2)''' gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})		:$$p_{\rm B} = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:		*Beim AWGN–Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$. Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:		*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$.
			*Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>. Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die 4–QAM wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” als zwei orthogonale (das heißt: sich nicht störende) BPSK–Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.		*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
			*Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die 4–QAM wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers\| Struktur des optimalen Empfängers]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” als zwei orthogonale (das heißt: sich nicht störende) BPSK–Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 15. März 2019 um 10:25 Uhr

2019-03-15T10:25:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. März 2019, 12:25 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2066__Dig_A_4_13.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellation der 4–QAM]]		[[Datei:P_ID2066__Dig_A_4_13.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellation der 4–QAM]]
	Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit $M = 4$ Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten		Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit  $M = 4$  Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten
	:$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},$$		:$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1)
	~~:$$~~ \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 14:		Zeile 13:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Zuordnung der Symbole zu <i>Bitdupeln</i> kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.		Die Zuordnung der Symbole zu <i>Bitdupeln</i>  kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
	* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\| Quadraturamplitudenmodulation]] (QAM).		* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\| Quadraturamplitudenmodulation]]  (QAM).
	* Für die Teilaufgabe (4) ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$ vorausgesetzt.		* Für die Teilaufgabe '''(4)''' ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$  vorausgesetzt.
	* Für die Wahrscheinlichkeit, dass durch das Rauschsignal $n$ ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion:		* Für die Wahrscheinlichkeit, dass durch das Rauschsignal  $n$  ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  $\rm Q(x)$:
	:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)		:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 31:		Zeile 33:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ die &bdquo;Union Bound” an ($p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S}$). Es gelte $p = 0.1$.		{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$ die &bdquo;Union Bound” an  $(p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S})$. Es gelte  $p = 0.1$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm UB}\ = \ $ { 0.2 3% }		$p_{\rm UB}\ = \ $ { 0.2 3% }

	{Wie groß ist die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit?		{Wie groß ist die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm S}\ = \ $ { 0.19 3% }		$p_{\rm S}\ = \ $ { 0.19 3% }

	{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung?		{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung  $p_{\rm B}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B}\ = \ $ { 0.1 3% }		$p_{\rm B}\ = \ $ { 0.1 3% }

	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $p_{\rm B}$ und $E_{\rm B}/N_0$?		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen  $p_{\rm B}$  und  $E_{\rm B}/N_0$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $p_{\rm B} = {\rm Q}\~~left~~ [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\~~right~~ ]$,		- $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
	+ $p_{\rm B} = {\rm Q}\~~left~~ [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\~~right~~ ]$,		+ $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
	- $p_{\rm B} = {\rm Q}\~~left~~ [\sqrt {E_{\rm B}/(2N_0)}\~~right~~ ]$.		- $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/(2N_0)}\big ]$.
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:18 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)		:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.13 Vierstufige QAM nach Aufgaben:Aufgabe 4.13: Vierstufige QAM

2018-01-04T06:36:46Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.13 Vierstufige QAM nach Aufgaben:Aufgabe 4.13: Vierstufige QAM

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2018, 08:36 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 23. November 2017 um 15:55 Uhr

2017-11-23T15:55:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2017, 17:55 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die &bdquo;Union Bound” ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit. Für letztere gilt:		'''(1)'''  Die &bdquo;Union Bound” ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit. Für letztere gilt:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= $$		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}~~ {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:		Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound” im vorliegenden Beispiel:
	:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +$$		:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ + \ \hspace{-0.1cm}~~{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound” additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:		'''(2)'''  Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound” additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:
Zeile 68:		Zeile 65:


	~~Das bedeutet, dass die~~ &bdquo;Union Bound” den dritten Quadranten zweimal ~~berücksichtigt~~. Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:		Die &bdquo;Union Bound” berücksichtigt also den dritten Quadranten zweimal. Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = $$		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} p_{\rm UB} - {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}~~ 2 p - {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 76:		Zeile 72:


	'''(3)'''  Wie in der Teilaufgabe (2) nachgewiesen, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:		'''(3)'''  Wie in der Teilaufgabe (2) nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
	* Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,		* Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
	* Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,		* Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ \| \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
Zeile 86:		Zeile 82:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien. Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.		*Hierbei ist berücksichtigt, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.
			*Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.


Zeile 97:		Zeile 94:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden ~~und~~ ergibt $E_{\rm S} = 2E$. Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:		Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$. Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 23. November 2017 um 15:44 Uhr

2017-11-23T15:44:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2017, 17:44 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation~~#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29~~\| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation\| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
	* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\| Quadraturamplitudenmodulation]] (QAM).		* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29\| Quadraturamplitudenmodulation]] (QAM).
	* Für die Teilaufgabe (4) ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$ vorausgesetzt.		* Für die Teilaufgabe (4) ist der (zeitdiskrete) AWGN–Kanal mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$ vorausgesetzt.