Aufgaben:Aufgabe 4.13: Vierstufige QAM - Versionsgeschichte

Guenter am 23. August 2022 um 11:50 Uhr

2022-08-23T11:50:30Z

Guenter am 23. August 2022 um 08:17 Uhr

2022-08-23T08:17:00Z

Guenter am 15. März 2019 um 10:35 Uhr

2019-03-15T10:35:02Z

Guenter am 15. März 2019 um 10:25 Uhr

2019-03-15T10:25:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.13 Vierstufige QAM nach Aufgaben:Aufgabe 4.13: Vierstufige QAM

2018-01-04T06:36:46Z

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Guenter am 23. November 2017 um 15:55 Uhr

2017-11-23T15:55:19Z

Guenter am 23. November 2017 um 15:44 Uhr

2017-11-23T15:44:54Z

Guenter am 23. November 2017 um 15:43 Uhr

2017-11-23T15:43:22Z

Hussain am 21. November 2017 um 16:45 Uhr

2017-11-21T16:45:52Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die &bdquo;Union Bound&rdquo; ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit. Für letztere gilt:
+'''(1)'''&nbsp; Die &bdquo;Union Bound&rdquo; ist eine obere Schranke für die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.&nbsp; Für letztere gilt:
 :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm Pr}({\cal{E}}) =  {\rm Pr}( {\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})= {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D} \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet})
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound&rdquo; im vorliegenden Beispiel:
+*Dagegen gilt für die&nbsp; (verbesserte)&nbsp; &bdquo;Union Bound&rdquo; im vorliegenden Beispiel:
 :$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}    {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C}  \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D}  \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound&rdquo; additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:
+'''(2)'''&nbsp; Die beiden Wahrscheinlichkeiten,&nbsp; aus der sich die &bdquo;Union Bound&rdquo; additiv zusammensetzt,&nbsp; lassen sich geometrisch wie folgt deuten:
-* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt <br> &#8658; &nbsp; die AWGN&ndash;Rauschkomponente $n_1$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.
+* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt <br> &#8658; &nbsp; die AWGN&ndash;Rauschkomponente&nbsp; $n_1$&nbsp; ist negativ und betragsmäßig größer als&nbsp; $\sqrt {E}$.
 Die &bdquo;Union Bound&rdquo;  berücksichtigt also den dritten Quadranten zweimal. Diesen Fehler kann man hier relativ einfach kompensieren:
 :$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  p_{\rm UB} -  {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C}  \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2 p -  {\rm Pr}\left [ ( n_1 < -\sqrt{E})\cap ( n_2 < -\sqrt{E})\right ] = 2p - p^2 = \underline{0.19}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass die Rauschkomponenten $n_1$ und $n_2$ voneinander unabhängig sind.
+Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass die Rauschkomponenten&nbsp; $n_1$&nbsp; und&nbsp; $n_2$&nbsp; voneinander unabhängig sind.
-'''(3)'''&nbsp; Wie in der Teilaufgabe '''(2)''' nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
+'''(3)'''&nbsp; Wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nachgewiesen wurde,&nbsp; gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
-* Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \  {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
+* Quadrant 2:&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \  {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
-* Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
+* Quadrant 3:&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
-* Quadrant 4: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm D} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$.
+* Quadrant 4:&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm D} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$.
@@ Zeile 88: / Zeile 89: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Berücksichtigt ist, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.
+*Berücksichtigt ist,&nbsp; dass der zweite Quadrant und der vierteQuadrant jeweils nur zu einem Bitfehler führt,&nbsp; der dritte Quadrant dagegen zu zweien.
 *Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.
-'''(4)'''&nbsp; Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zur Teilaufgabe '''(2)''' gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
+'''(4)'''&nbsp; Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zu&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gleich der Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
 :$$p_{\rm B}  = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Beim AWGN&ndash;Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:
+*Beim AWGN&ndash;Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$:
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$.
+*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden.&nbsp; Daraus ergibt sich&nbsp; $E_{\rm S} = 2E$.
 *Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:
 :$$p_{\rm B}  =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
+*Richtig ist also der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
 *Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die 4&ndash;QAM wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| Struktur des optimalen Empfängers]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo; als zwei orthogonale (das heißt: sich nicht störende) BPSK&ndash;Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zuordnung der Symbole zu <i>Bitdupeln</i>&nbsp; kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.
+Die Zuordnung der Symbole zu&nbsp; "!Bitdupeln"&nbsp; kann ebenfalls der Grafik&nbsp; (rote Beschriftungen)&nbsp; entnommen werden.&nbsp; Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation"]].
 * Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM).
-* Für die Teilaufgabe '''(4)''' ist der (zeitdiskrete) AWGN&ndash;Kanal mit der Varianz&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$&nbsp; vorausgesetzt.
+* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| "Quadraturamplitudenmodulation"]]&nbsp; $\rm (QAM)$.
-* Für die Wahrscheinlichkeit, dass durch das Rauschsignal&nbsp; $n$&nbsp; ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  &nbsp;$\rm Q(x)$:
 :$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 33: / Zeile 36: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$ die &bdquo;Union Bound&rdquo; an&nbsp; $(p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$. Es gelte&nbsp; $p = 0.1$.
+{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$&nbsp;  die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; an&nbsp; $(p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$.&nbsp; Es gelte&nbsp; $p = 0.1$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB}\ = \ $ { 0.2 3% }
@@ Zeile 41: / Zeile 44: @@
 $p_{\rm S}\ = \ $ { 0.19 3% }
-{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung&nbsp; $p_{\rm B}$?
+{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; bei Graycodierung?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}\ = \ $ { 0.1 3% }

@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 {Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; und &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
 + $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound&rdquo; im vorliegenden Beispiel:
+*Dagegen gilt für die (verbesserte) &bdquo;Union Bound&rdquo; im vorliegenden Beispiel:
 :$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}    {\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm C}  \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) +{\rm Pr}( \boldsymbol{ s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{ s}_{\rm D}  \hspace{0.15cm}{\rm entschieden} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s}_{\rm A}\hspace{0.15cm} {\rm gesendet}) = 2p = \underline{0.2}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die beiden Wahrscheinlichkeiten, aus der sich die &bdquo;Union Bound&rdquo; additiv zusammensetzt, lassen sich geometrisch wie folgt deuten:
-* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt &nbsp;&#8658;&nbsp; die AWGN&ndash;Rauschkomponente $n_1$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.
+* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \cup \boldsymbol{s}_{\rm C} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der linken Halbebene liegt <br> &#8658; &nbsp; die AWGN&ndash;Rauschkomponente $n_1$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.
-* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der unteren Halbebene liegt &nbsp;&#8658;&nbsp; die AWGN&ndash;Rauschkomponente $n_2$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.
+* ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \cup \boldsymbol{s}_{\rm D} | \boldsymbol{s}_{\rm A})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Empfangspunkt in der unteren Halbebene liegt <br> &#8658; &nbsp; die AWGN&ndash;Rauschkomponente $n_2$ ist negativ und betragsmäßig größer als $\sqrt {E}$.
@@ Zeile 74: / Zeile 75: @@
-'''(3)'''&nbsp; Wie in der Teilaufgabe (2) nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
+'''(3)'''&nbsp; Wie in der Teilaufgabe '''(2)''' nachgewiesen wurde, gelten für die einzelnen Verfälschungswahrscheinlichkeiten:
 * Quadrant 2: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm B} \  {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.09$,
 * Quadrant 3: ${\rm Pr}(\boldsymbol{s}_{\rm C} \ {\rm empfangen} \ | \ \boldsymbol{s}_{\rm A} \ {\rm gesendet}) = 0.01$,
@@ Zeile 81: / Zeile 82: @@
 Für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man somit:
-:$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \left [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\right ]= \underline{0.1} = p
+:$$p_{\rm B} = { 1}/{ 2} \cdot \big [ 1 \cdot 0.09 + 2 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.09\big ]= \underline{0.1} = p
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.
+*Berücksichtigt ist, dass der Quadrant 2 und der Quadrant 4 jeweils nur zu einem Bitfehler führt, der Quadrant 3 dagegen zu zweien.
 *Der Faktor $1/2$ berücksichtigt wieder, dass jeweils ein Symbol zwei Binärzeichen (Bit) beinhaltet.
-'''(4)'''&nbsp; Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zur Teilaufgabe (2) gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
+'''(4)'''&nbsp; Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist nach der Lösung zur Teilaufgabe '''(2)''' gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rauschkomponenten gewisse Grenzen überschreiten:
 :$$p_{\rm B}  = {\rm Pr}( n_1 < -\sqrt{E}) = {\rm Pr}( n_2 < -\sqrt{E})
   \hspace{0.05cm}.$$
-Beim AWGN&ndash;Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:
+*Beim AWGN&ndash;Kanal lautet diese Wahrscheinlichkeit mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$:
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( { { \sqrt{E}}/{ \sigma_n} }\right ) =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$. Die mittlere Energie pro Bit ist halb so groß: $E_{\rm B} = E_{\rm S}/2 = E$. Daraus folgt:
+*Die mittlere Energie pro Symbol kann am einfachsten durch Mittelung über die quadratischen Abstände der Signalraumpunkte vom Ursprung bestimmt werden. Daraus ergibt sich $E_{\rm S} = 2E$.
 :$$p_{\rm B}  =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>. Zum gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die 4&ndash;QAM wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers| Struktur des optimalen Empfängers]] des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo; als zwei orthogonale (das heißt: sich nicht störende) BPSK&ndash;Systeme über den gleichen Kanal betrachtet.
+*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2066__Dig_A_4_13.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 4–QAM]]
-Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit $M = 4$ Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten
+Wir betrachten nun eine Quadraturamplitudenmodulation mit&nbsp; $M = 4$&nbsp; Symbolen und den (normierten) Signalraumpunkten
-:$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},$$
+:$$\boldsymbol{ s}_{\rm A} = (+1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm B} = (-1, +1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s}_{\rm C} = (-1, -1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s}_{\rm D} = (+1, -1)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 14: / Zeile 13: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zuordnung der Symbole zu <i>Bitdupeln</i> kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.
+Die Zuordnung der Symbole zu <i>Bitdupeln</i>&nbsp; kann ebenfalls der Grafik (rote Beschriftungen) entnommen werden. Hierbei ist die Graycodierung vorausgesetzt.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
-* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]] (QAM).
+* Bezug genommen eird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM).
-* Für die Teilaufgabe (4) ist der (zeitdiskrete) AWGN&ndash;Kanal mit der Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$ vorausgesetzt.
+* Für die Teilaufgabe '''(4)''' ist der (zeitdiskrete) AWGN&ndash;Kanal mit der Varianz&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$&nbsp; vorausgesetzt.
-* Für die Wahrscheinlichkeit, dass durch das Rauschsignal $n$ ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion:
+* Für die Wahrscheinlichkeit, dass durch das Rauschsignal&nbsp; $n$&nbsp; ein Symbol horizontal oder vertikal verfälscht wird, gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  &nbsp;$\rm Q(x)$:
 :$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 31: / Zeile 33: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ die &bdquo;Union Bound&rdquo; an ($p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S}$). Es gelte $p = 0.1$.
+{Geben Sie als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$ die &bdquo;Union Bound&rdquo; an&nbsp; $(p_{\rm UB} &#8805; p_{\rm S})$. Es gelte&nbsp; $p = 0.1$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB}\ = \ $ { 0.2 3% }
-{Wie groß ist die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit?
+{Wie groß ist die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S}\ = \ $ { 0.19 3% }
-{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung?
+{Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung&nbsp; $p_{\rm B}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}\ = \ $ { 0.1 3% }
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen $p_{\rm B}$ und $E_{\rm B}/N_0$?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; und &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$?
 |type="[]"}
-- $p_{\rm B} = {\rm Q}\left [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\right ]$,
+- $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
-+ $p_{\rm B} = {\rm Q}\left [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\right ]$,
++ $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {2E_{\rm B}/N_0}\big ]$,
-- $p_{\rm B} = {\rm Q}\left [\sqrt {E_{\rm B}/(2N_0)}\right ]$.
+- $p_{\rm B} = {\rm Q}\big [\sqrt {E_{\rm B}/(2N_0)}\big ]$.
 </quiz>

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 :$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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	:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)		:$$p = {\rm Pr}( n < -x_0) = {\rm Pr}( n > + x_0) = {\rm Q}(x_0 / \sigma_n)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.