Aufgaben:Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF - Versionsgeschichte

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Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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 *Mit&nbsp; $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$&nbsp; und&nbsp; $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$&nbsp; erh&auml;lt man:
-:$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}\hspace{0.3cm}
+:$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}$$
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
   \hspace{0.5cm}{\it \Phi_x}(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.054 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge.&nbsp; Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozit&auml;tsgesetz).
+*Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge.&nbsp; Dieses ist um so schmaler,&nbsp; je breiter die AKF ist&nbsp; ("Reziprozit&auml;tsgesetz").
 *Die Prozessleistung ist gleich dem Integral &uuml;ber das LDS.
 *Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF&nbsp; (schmaleres LDS)&nbsp; durch h&ouml;here LDS-Werte ausgeglichen werden.
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 *Aufgrund des Gleichanteils gibt es zus&auml;tzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz $f = 0$.
-*Der kontinuierliche LDS&ndash;Anteil bei $f= 0$ betr&auml;gt&nbsp; ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
+*Der kontinuierliche LDS&ndash;Anteil bei&nbsp; $f= 0$&nbsp; betr&auml;gt&nbsp; ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
-*Der Anteil bei $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$&nbsp; ist um den Faktor&nbsp; ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$&nbsp;  geringer &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
+*Der Anteil bei &nbsp; $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ &nbsp; ist um den Faktor&nbsp; ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$&nbsp;  geringer &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist  <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp;  <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $m_y^2$.
 * Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich&nbsp; $0.16 \ \rm V^2$.
-*Da&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm 1/Hz = s$&nbsp; besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.
+*Da&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm 1/Hz = s$&nbsp; besitzt,&nbsp; unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID411__Sto_A_4_13.png|right|frame|Zweimal gaußförmige AKF]]
-Der hier betrachtete Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.&nbsp; Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die &auml;quivalente AKF-Dauer betr&auml;gt&nbsp; ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
+Der hier betrachtete Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; charakterisiert.&nbsp; Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die &auml;quivalente AKF-Dauer betr&auml;gt&nbsp; ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
 :$$\varphi_x(\tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm &micro;}s })^2} .$$
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 :$$ \varphi_y(\tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$
-In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren der beiden Prozesse gesucht.
+In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; der beiden Prozesse gesucht.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
 *Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie die  folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
-:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\it t {\rm )}^{\rm 2}}.$$
+:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\it t {\rm )}^{\rm 2}}.$$
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 {Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses&nbsp; $\{y_i(t)\}$?
 |type="[]"}
-- Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz  $ f =  {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.
+- Das LDS beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp;   $ f =  {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.
-+ Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz $f= 0$.
++ Das LDS beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp;  $f= 0$.
 - Diracgewicht und kontinuierliches LDS haben gleiche Einheit.

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 :$$K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.$$
-Mit $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$ und $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$ erh&auml;lt man:
+*Mit&nbsp; $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$&nbsp; und&nbsp; $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$&nbsp; erh&auml;lt man:
 :$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
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 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge. Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozit&auml;tsgesetz).
+*Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge.&nbsp; Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozit&auml;tsgesetz).
-*De Prozessleistung ist gleich dem Integral &uuml;ber das LDS.
+*Die Prozessleistung ist gleich dem Integral &uuml;ber das LDS.
-*Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF (schmaleres LDS) durch h&ouml;here LDS-Werte ausgeglichen werden.
+*Deshalb muss bei konstanter Leistung eine breitere AKF&nbsp; (schmaleres LDS)&nbsp; durch h&ouml;here LDS-Werte ausgeglichen werden.
-*Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS; ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.
+*Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS;&nbsp; ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.
 '''(4)'''&nbsp; Analog zu Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz$:
 :$${\it \Phi_y}(f)=\frac{\rm 0.09 V^2}{\nabla\it f_y}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_y})^2}+\it m_y^{\rm 2}\cdot\delta(f).$$
 *Aufgrund des Gleichanteils gibt es zus&auml;tzlich zum kontinuierlichen LDS-Anteil noch einen Dirac bei der Frequenz $f = 0$.
-*Der kontinuierliche LDS&ndash;Anteil bei $f= 0$ betr&auml;gt ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
+*Der kontinuierliche LDS&ndash;Anteil bei $f= 0$ betr&auml;gt&nbsp; ${\it \Phi_y}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.9 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
-*Der Anteil bei $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ ist um den Faktor ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$  geringer &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
+*Der Anteil bei $f = 2 \cdot {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 200 \hspace{0.05cm}\rm kHz$&nbsp; ist um den Faktor&nbsp; ${\rm e}^{-4} \approx 0.0183$&nbsp;  geringer &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi_y}(f )=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.0165 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist  <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$ mit Gewicht $m_y^2$.
+*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $m_y^2$.
-* Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich $0.16 \ \rm V^2$.
+* Im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich&nbsp; $0.16 \ \rm V^2$.
-*Da $\delta(f)$ die Einheit $\rm 1/Hz = s$ besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.
+*Da&nbsp; $\delta(f)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm 1/Hz = s$&nbsp; besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID411__Sto_A_4_13.png|right|frame|Zweimal gaußförmige AKF]]
-Der hier betrachtete Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.
+Der hier betrachtete Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.&nbsp; Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die &auml;quivalente AKF-Dauer betr&auml;gt&nbsp; ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
-Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die &auml;quivalente AKF-Dauer betr&auml;gt ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
+:$$\varphi_x(\tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm &micro;}s })^2} .$$
-Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$ dargestellt. Diese lautet mit der &auml;quivalenten AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
+Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Diese lautet mit der &auml;quivalenten AKF-Dauer&nbsp; ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
-:$$ \varphi_y(\it \tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$
+:$$ \varphi_y(\tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$
 In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren der beiden Prozesse gesucht.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie die  folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
-:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\it t )^{\rm 2}}.$$
+:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\it t {\rm )}^{\rm 2}}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses $\{x_i(t)\}$?
+{Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
 $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x \ = \ $ { 200 3% } $\   \rm kHz$
-{Wie lautet ${\it \Phi}_x(f)$? Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ ein.
+{Wie lautet&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$?&nbsp; Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r&nbsp; $f= 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_x(f = 0)\ = \ $ { 1.25 3% }   $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
@@ Zeile 41: / Zeile 43: @@
-{Welche Aussagen gelten, wenn der Zufallsprozess keine periodischen Anteile besitzt? Vorausgesetzt wird desweiteren eine konstante Leistung.
+{Welche Aussagen gelten, wenn der Zufallsprozess keine periodischen Anteile besitzt?&nbsp; Vorausgesetzt wird desweiteren eine konstante Leistung.
 |type="[]"}
 + Die Prozessleistung ist das Integral &uuml;ber das LDS.
@@ Zeile 49: / Zeile 51: @@
-{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$?
+{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei&nbsp; $f= 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_y(f = 0)\ =  \ $ { 0.9 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
@@ Zeile 55: / Zeile 57: @@
-{Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses $\{y_i(t)\}$?
+{Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses&nbsp; $\{y_i(t)\}$?
 |type="[]"}
 - Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz  $ f =  {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 '''(1)'''&nbsp; Die &auml;quivalente LDS-Bandbreite ist der Kehrwert der &auml;quivalenten AKF-Dauer:
 :$$\nabla f_x = 1 / \nabla \tau_x \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 200\hspace{0.1cm}kHz}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die angegebene Fourierkorrespondenz kann man wie folgt an die Aufgabenstellung anpassen:
-:$$K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.$$
+:$$K\cdot{\rm e}^{-\pi({\tau}/{\nabla\tau_x})^2}\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \frac{\it K}{\nabla \it f_x}\cdot{\rm e}^{-\pi({f}/{\nabla f_x})^2}.$$
 Mit $K = 0.25 \hspace{0.05cm}\rm V^2$ und $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x = 200\hspace{0.05cm} \rm kHz$ erh&auml;lt man:
-:$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}.$$
+:$${\it \Phi_x}(f)=1.25\cdot\rm 10^{-\rm 6}\hspace{0.1cm}\frac{V^2}{Hz}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_x})^2}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_x}(f = 0)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 1.25 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz},
   \hspace{0.5cm}{\it \Phi_x}(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)=\hspace{0.15cm}\underline{\rm 0.054 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
 *Ein mittelwertfreier Prozess hat stets ein kontinuierliches LDS zur Folge. Dieses ist um so schmaler, je breiter die AKF ist (Reziprozit&auml;tsgesetz).
-*Da die Prozessleistung gleich dem Integral &uuml;ber das LDS ist, muss bei konstanter Prozessleistung eine breitere AKF (schmaleres LDS) durch h&ouml;here LDS-Werte ausgeglichen werden.
+*De Prozessleistung ist gleich dem Integral &uuml;ber das LDS.
 *Ein Gleichanteil oder periodische Anteile führen stets zu Diracfunktionen im LDS; ansonsten ist das LDS stets wertkontinuierlich.
-'''(4)'''&nbsp; Analog zu Teilaufgabe (2) gilt mit $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz$:
+'''(4)'''&nbsp; Analog zu Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit $ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y = 100\hspace{0.05cm} \rm kHz$:
 :$${\it \Phi_y}(f)=\frac{\rm 0.09 V^2}{\nabla\it f_y}\cdot\rm e^{-\pi({\it f}/{\nabla\it f_y})^2}+\it m_y^{\rm 2}\cdot\delta(f).$$
@@ Zeile 92: / Zeile 95: @@
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist also <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist  <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$ mit Gewicht $m_y^2$; im vorliegenden Fall ist dieser Wert gleich $0.16 \ \rm V^2$.
+*Das LDS eines mittelwertbehafteten Prozesses beinhaltet allgemein eine Diracfunktion bei $f=0$ mit Gewicht $m_y^2$.
 *Da $\delta(f)$ die Einheit $\rm 1/Hz = s$ besitzt, unterscheiden sich die Einheiten des kontinuierlichen und des diskreten LDS-Anteils.

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 }}
-[[Datei:P_ID411__Sto_A_4_13.png|right|Zweimal gaußförmige AKF]]
+[[Datei:P_ID411__Sto_A_4_13.png|right|frame|Zweimal gaußförmige AKF]]
 Der hier betrachtete Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ sei durch die oben skizzierte Autokorrelationsfunktion (AKF) charakterisiert.
-Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die &auml;quivalente AKF-Dauer betr&auml;gt ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.05cm} \rm  \mu s$:
+Dieser Zufallsprozess ist mittelwertfrei und die &auml;quivalente AKF-Dauer betr&auml;gt ${ {\rm \nabla} }\tau_x = 5 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
-:$$\varphi_x(\it \tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 {\rm\mu}s })^2} .$$
+:$$\varphi_x(\it \tau)=\rm 0.25 V^2\cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}{/ 5 \hspace{0.08cm}{\rm &micro;}s })^2} .$$
-Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$ dargestellt. Diese lautet mit der &auml;quivalenten AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.05cm} \rm  \mu s$:
+Im unteren Bild ist die AKF des Prozesses $\{y_i(t)\}$ dargestellt. Diese lautet mit der &auml;quivalenten AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} }\tau_y = 10 \hspace{0.08cm} \rm  &micro; s$:
 :$$ \varphi_y(\it \tau)=\rm 0.16 V^2 + \rm 0.09 V^2\cdot\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\tau}/{\nabla \it \tau_y})^2} .$$
 In dieser Aufgabe werden die Leistungsdichtespektren der beiden Prozesse gesucht.
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 *Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnen Sie die  folgende Fourierkorrespondenz benutzen:
-:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\it t )^{\rm 2}}.$$
+:$$\rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\it f}/{\rm \Delta\it f})^2}\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \ {\rm \Delta \it f} \cdot \rm e^{-\pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} ({\rm \Delta\it f} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\it t )^{\rm 2}}.$$
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 {Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
-$ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x \ = $ { 200 3% } $\   \rm kHz$
+$ {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_x \ = \ $ { 200 3% } $\   \rm kHz$
-{Wie lautet ${\it \Phi}_x(f)$? Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ ein.
+{Wie lautet ${\it \Phi}_x(f)$? Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$ ein.
 |type="{}"}
-${\it \Phi}_x(f = 0)\ = $ { 1.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 0)\ = \ $ { 1.25 3% }   $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-${\it \Phi}_x(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)\ = $ { 0.054 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz)\ = \ $ { 0.054 3% }   $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
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-{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz$?
+{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz$?
 |type="{}"}
-${\it \Phi}_y(f = 0)\ = $ { 0.9 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
+${\it \Phi}_y(f = 0)\ =  \ $ { 0.9 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-${\it \Phi}_y(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)\ = $ { 0.0165 3% } $\ \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm} \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
+${\it \Phi}_y(f = 200 \hspace{0.08cm} \rm kHz)\ =  \ $ { 0.0165 3% } $\ \cdot 10^{-6} \hspace{0.05cm} \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$

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 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses {<i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>)}?
+{Wie gro&szlig; ist die &auml;quivalente LDS-Bandbreite des Prozesses $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
-$\nabla_\text{$f_x$}$ = { 200 3% } $.10^3 \ Hz$
+${ {\rm \nabla} }\hspace{-0.05cm} f_x \ = $ { 200 3% } $\   \rm kHz$
-{Wie lautet <i>&Phi;<sub>x</sub></i>(<i>f</i>)? Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r <i>f</i> = 0 und <i>f</i> = 200 kHz ein.
+{Wie lautet ${\it \Phi}_x(f)$? Geben Sie die LDS-Werte f&uuml;r $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ ein.
 |type="{}"}
-$\phi_x(f = 0)$ = { 1.25 3% } $.10^{-6} \ V^2/Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 0)\ = $ { 1.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-$\phi_x(f = 200 kHz)$ = { 5.4 3% } $.10^{-8} \ V^2/Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)\ = $ { 0.054 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
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 + Die Prozessleistung ist das Integral &uuml;ber das LDS.
 + Bei mittelwertfreiem Prozess ist das LDS stets kontinuierlich.
-- Je breiter die AKF, um so breiter ist auch das LDS.
+- Je breiter die AKF ist, um so breiter ist auch das LDS.
 + Eine breitere AKF bewirkt h&ouml;here LDS-Werte.
-{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum <i>&Phi;<sub>y</sub></i>(<i>f</i>). Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei <i>f</i> = 0 und <i>f</i> = 200 kHz?
+{Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r den kontinuierlichen LDS-Anteil bei $f= 0$ und $f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz$?
 |type="{}"}
-$\phi_y(f = 0)$ = { 0.9 3% } $.10^{-6} \ V^2/Hz$
+${\it \Phi}_y(f = 0)\ = $ { 0.9 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-$\phi_y(f = 200 kHz)$ = { 6.44 3% } $.10^{-24} \ V^2/Hz$
+${\it \Phi}_y(f = 200 \hspace{0.05cm} \rm kHz)\ = $ { 6.44 3% } $\ \cdot 10^{-24} \hspace{0.05cm} \rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz$
-{Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses {<i>y<sub>i</sub></i>(<i>t</i>)}?
+{Welche der folgenden Aussagen stimmen bez&uuml;glich des Prozesses $\{y_i(t)\}$?
 |type="[]"}
-- Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz  <i>f </i>= &#8711;<i>f<sub>y</sub></i>.
+- Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz  $ f =  {\rm \nabla} \hspace{-0.05cm} f_y$.
-+ Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz <i>f</i> = 0.
++ Das LDS beinhaltet einen Dirac bei der Frequenz $f= 0$.
 - Diracgewicht und kontinuierliches LDS haben gleiche Einheit.