Aufgaben:Aufgabe 4.13: FSK–Demodulation - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.13:_FSK_Demodulation]]

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	'''(3)'''  In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal $r(t)$ beschreibt und der zweite Term die im Modulator zugesetzte Schwingung:		'''(3)'''  In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal $r(t)$ beschreibt und der zweite Term die im Modulator zugesetzte Schwingung:
	:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=		:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=s_0 \cdot \big [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$
	s_0 \cdot \big [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$
	*Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.		*Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.

Guenter am 24. April 2020 um 09:15 Uhr

2020-04-24T09:15:13Z

Guenter am 24. April 2020 um 09:09 Uhr

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Guenter am 13. Januar 2019 um 14:23 Uhr

2019-01-13T14:23:47Z

Guenter am 13. Januar 2019 um 14:16 Uhr

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	[[Datei:P_ID1739__Mod_A_4_12.png\|right\|frame\|Signalverläufe der FSK–Demodulation]]		[[Datei:P_ID1739__Mod_A_4_12.png\|right\|frame\|Signalverläufe der FSK–Demodulation]]
	Im Theorieteil wurde bereits das [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\| Blockschaltbild]] des kohärenten FSK–Demodulators angegeben, wobei wir in dieser Aufgabe von der unteren Systemvariante ausgehen. Rauschanteile werden hier nicht betrachtet.		Im Theorieteil wurde bereits das  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\| Blockschaltbild]]  des kohärenten FSK–Demodulators angegeben, wobei wir in dieser Aufgabe von der unteren Systemvariante ausgehen. Rauschanteile werden hier nicht betrachtet.

	Die rechts angegebene Grafik zeigt die Signalverläufe an verschiedenen Stellen des Blockschaltbildes, wobei jeweils drei Symbole gezeichnet sind, im Bild getrennt durch gestrichelte Linien:		Die rechts angegebene Grafik zeigt die Signalverläufe an verschiedenen Stellen des Blockschaltbildes, wobei jeweils drei Symbole gezeichnet sind, im Bild getrennt durch gestrichelte Linien:
	* Oben ist das Empfangssignal $r(t)$ dargestellt, das identisch mit dem FSK–Sendesignal ist. Die höhere Frequenz $f_{+1}$ gehört zum Amplitudenkoeffizienten $a_ν = +1$, während $a_ν = –1$ mit der Frequenz $f_{–1}$ dargestellt ~~ist~~. Bezogen auf die Symbolmitten $T$, $2T$, $3T$, ... liegt jeweils ein sinusförmiger Verlauf vor. Der konstante Betrag der Hüllkurve ist $s_0$.		* Oben ist das Empfangssignal  $r(t)$  dargestellt, das identisch mit dem FSK–Sendesignal ist. Die höhere Frequenz  $f_{+1}$  gehört zum Amplitudenkoeffizienten  $a_ν = +1$, während  $a_ν = –1$  mit der Frequenz  $f_{–1}$  dargestellt wird. Bezogen auf die Symbolmitten  $T$,  $2T$,  $3T$, ... liegt jeweils ein sinusförmiger Verlauf vor. Der konstante Betrag der Hüllkurve ist  $s_0$.
	* Das mittlere Diagramm zeigt die Signale nach der Multiplikation mit den jeweiligen Sinussignalen:		* Das mittlere Diagramm zeigt die Signale nach der Multiplikation mit den jeweiligen Sinussignalen:
	:$$b_{\rm +1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$		:$$b_{\rm +1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
	:$$ b_{\rm -1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ b_{\rm -1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
	:Das Signal $b_{+1}(t)$ im oberen Demodulatorzweig ist gelb und das Signal $b_{–1}(t)$ im unteren Zweig blau dargestellt. Der grüne Verlauf gilt entsprechend der Farbenlehre für beide Kurven. Die Signale sind gegenüber $r(t)$ niedriger als dargestellt.		:Das Signal  $b_{+1}(t)$  im oberen Demodulatorzweig ist gelb und das Signal  $b_{–1}(t)$  im unteren Zweig blau dargestellt. Der grüne Verlauf gilt entsprechend der Farbenlehre für beide Kurven. Die Signale sind gegenüber  $r(t)$  niedriger als dargestellt.
	* Der untere Signalverlauf zeigt das Differenzsignal $b(t) = b_{+1}(t) – b_{–1}(t)$. Das folgende Matched–Filter kann auch als Integrator realisiert werden. Damit ist der (normierte) Entscheidungswert für das $ν$–te Symbol wie folgt gegeben:		* Der untere Signalverlauf zeigt das Differenzsignal  $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$. Das folgende Matched–Filter kann auch als Integrator realisiert werden. Damit ist der (normierte) Entscheidungswert für das  $ν$–te Symbol wie folgt gegeben:
	:$$E_{\nu}= \frac{1}{s_0} \cdot d (\nu \cdot T + T/2) = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{(\nu - 1/2) T }^{(\nu + 1/2) T }\hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\nu}= \frac{1}{s_0} \cdot d (\nu \cdot T + T/2) = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{(\nu - 1/2) T }^{(\nu + 1/2) T }\hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation\|Nichtlineare digitale Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation\|Nichtlineare digitale Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\|Kohärente Demodulation der FSK]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\|Kohärente Demodulation der FSK]].

	*Gegeben ist die trigonometrische Beziehung		*Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
	:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$

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	$a_3 \ = \ $ { 1 }		$a_3 \ = \ $ { 1 }

	{Geben Sie die beiden Frequenzen $f_{+1}$ und $f_{–1}$ an.		{Geben Sie die beiden Frequenzen  $f_{+1}$  und  $f_{–1}$  an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ f_{+1} \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot 1/T$		$ f_{+1} \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot 1/T$
	$f_{–1} \hspace{0.18cm} = \ $ { 3 3% } $\ \cdot 1/T$		$f_{–1} \hspace{0.18cm} = \ $ { 3 3% } $\ \cdot 1/T$

	{Welche Aussagen treffen für das Signal $b_{+1}(t)$ im ersten Zeitintervall zu?		{Welche Aussagen treffen für das Signal  $b_{+1}(t)$  im ersten Zeitintervall zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $2/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz  $2/T$.
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $4/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz  $4/T$.
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $6/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz  $6/T$.
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $8/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz  $8/T$.
	+ Das Signal beinhaltet die Frequenz $10/T$.		+ Das Signal beinhaltet die Frequenz  $10/T$.
	+ Das Signal beinhaltet einen Gleichanteil.		+ Das Signal beinhaltet einen Gleichanteil.

	{Welche Aussagen treffen für das Signal $b_{–1}(t)$ im ersten Zeitintervall zu?		{Welche Aussagen treffen für das Signal  $b_{–1}(t)$  im ersten Zeitintervall zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das Signal beinhaltet die Frequenz $2/T$.		+ Das Signal beinhaltet die Frequenz  $2/T$.
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $4/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz  $4/T$.
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $6/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz $6/T$.
	+ Das Signal beinhaltet die Frequenz $8/T$.		+ Das Signal beinhaltet die Frequenz  $8/T$.
	- Das Signal beinhaltet die Frequenz $10/T$.		- Das Signal beinhaltet die Frequenz  $10/T$.
	- Das Signal beinhaltet einen Gleichanteil.		- Das Signal beinhaltet einen Gleichanteil.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation\|Nichtlineare digitale Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation\|Nichtlineare digitale Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\|Kohärente Demodulation der FSK]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\|Kohärente Demodulation der FSK]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
	*Gegeben ist die trigonometrische Beziehung		*Gegeben ist die trigonometrische Beziehung
	:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$

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2018-01-03T14:31:57Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.13 FSK–Demodulation nach Aufgaben:Aufgabe 4.13: FSK–Demodulation

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Guenter am 1. August 2017 um 16:40 Uhr

2017-08-01T16:40:24Z

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	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modualtionsverfahren~~/~~Nichtlineare digitale Modulation~~		{{quiz-Header\|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation
	}}		}}

Guenter am 28. Juli 2017 um 08:24 Uhr

2017-07-28T08:24:26Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''1.''' Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:		'''(1)'''  Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:
	$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$

	'''2.''' Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:		'''(2)'''  Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:
	$$f_{\rm +1} \hspace{0.15cm}\underline {= 5 \cdot 1/T},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \cdot 1/T} \hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm +1} \hspace{0.15cm}\underline {= 5 \cdot 1/T},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \cdot 1/T} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Trägerfrequenz ist somit $~~f_T~~ = 4/T$ und der Frequenzhub $~~Δf_A~~ = 1/T$.		Die Trägerfrequenz ist somit $f_{\rm T} = 4/T$ und der Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 1/T$.

	~~'''3.''' In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal r(t) beschreibt:~~
	~~$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=$$~~
	~~$$ = s_0 \cdot \left [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}.$$~~
	~~Richtig sind demnach die beiden letzten Lösungsvorschläge.~~

	'''4.''' ~~Für~~ das ~~untere Signal~~ $~~b_{–1}~~(t)$ ~~gilt~~ im ~~gleichen Zeitintervall~~:		'''(3)'''  In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal $r(t)$ beschreibt und der zweite Term die im Modulator zugesetzte Schwingung:
	$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )=~~$$ $$ =~~ s_0 \cdot \left [ ~~\cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t )~~ - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$		:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=
	Richtig sind ~~somit~~ die Lösungsvorschläge ~~1 und 4~~.		s_0 \cdot \left [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}.$$
			Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.

	'''5.''' Für den ersten Entscheidungswert gilt mit $b(t) = b_{+1}(t) – b_{–1}(t)$:
	$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$		'''(4)'''  Für das untere Signal $b_{-1}(t)$ gilt im gleichen Zeitintervall entsprechend:
	Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe d) erkennt man, dass das zweite Integral 0 ergibt (Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen). Das erste Integral ist gleich $s_0 · T$. Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall: $E_1 = +1$. Ebenso ist $E_3 = +1$. Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral 0 und das zweite hat den Wert $s_0 · T$. Somit erhält man hierfür den Wert $E_2 = –1$.		:$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )= s_0 \cdot \left [ \cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t ) - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}$$
			Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.


			'''(5)'''  Für den ersten Entscheidungswert gilt mit $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$:
			:$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
			*Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (4) erkennt man, dass das zweite Integral $0$ ergibt (Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen). Das erste Integral ist gleich $s_0 · T$. Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall:<br> $E_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$. Ebenso ist $E_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.
			*Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral 0 und das zweite hat den Wert $s_0 · T$. Somit erhält man hierfür den Wert $E_2\hspace{0.15cm}\underline { = -1}$.

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2020, 11:15 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	'''(1)'''  Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:		'''(1)'''  Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:
	:$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:		'''(2)'''  Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:
	:$$f_{\rm +1} \hspace{0.15cm}\underline {= 5 \cdot 1/T},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \cdot 1/T} \hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm +1} \hspace{0.15cm}\underline {= 5 \cdot 1/T},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \cdot 1/T} \hspace{0.05cm}.$$
	Die Trägerfrequenz ist somit $f_{\rm T} = 4/T$ und der Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 1/T$.		*Die Trägerfrequenz ist somit $f_{\rm T} = 4/T$ und der Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 1/T$.



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	:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=		:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=
	s_0 \cdot \big [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$		s_0 \cdot \big [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.		*Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.



	'''(4)'''  Für das untere Signal  $b_{-1}(t)$  gilt im gleichen Zeitintervall entsprechend:		'''(4)'''  Für das untere Signal  $b_{-1}(t)$  gilt im gleichen Zeitintervall entsprechend:
	:$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )= s_0 \cdot \big [ \cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t ) - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}$$		:$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )= s_0 \cdot \big [ \cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t ) - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}$$
	Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.		*Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.



	'''(5)'''  Für den ersten Entscheidungswert gilt mit  $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$:		'''(5)'''  Für den ersten Entscheidungswert gilt mit  $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$:
	:$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	*Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(4)''' erkennt man, dass das zweite Integral Null ergibt <br>(Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen).		*Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(4)'''  erkennt man, dass das zweite Integral Null ergibt <br>(Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen).
	*Das erste Integral ist gleich $s_0 · T$. Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall:   $E_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.		*Das erste Integral ist gleich  $s_0 · T$.  Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall:   $E_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.  Ebenso ist  $E_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.
	*Ebenso ist  $E_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.		*Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral Null und das zweite hat den Wert  $s_0 · T$.  Somit erhält man hierfür den Wert  $E_2\hspace{0.15cm}\underline { = -1}$.
	*Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral Null und das zweite hat den Wert $s_0 · T$. Somit erhält man hierfür den Wert  $E_2\hspace{0.15cm}\underline { = -1}$.

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2020, 11:09 Uhr
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	[[Datei:P_ID1739__Mod_A_4_12.png\|right\|frame\|Signalverläufe der FSK–Demodulation]]		[[Datei:P_ID1739__Mod_A_4_12.png\|right\|frame\|Signalverläufe der FSK–Demodulation]]
	Im Theorieteil wurde bereits das  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\| Blockschaltbild]]  des kohärenten FSK–Demodulators angegeben, wobei wir in dieser Aufgabe von der unteren Systemvariante ausgehen. Rauschanteile werden hier nicht betrachtet.		Im Theorieteil wurde bereits das  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\| Blockschaltbild]]  des kohärenten FSK–Demodulators angegeben, wobei wir in dieser Aufgabe von der unteren Systemvariante ausgehen.  Rauschanteile werden hier nicht betrachtet.

	Die rechts angegebene Grafik zeigt die Signalverläufe an verschiedenen Stellen des Blockschaltbildes, wobei jeweils drei Symbole gezeichnet sind, im Bild getrennt durch gestrichelte Linien:		Die rechts angegebene Grafik zeigt die Signalverläufe an verschiedenen Stellen des Blockschaltbildes, wobei jeweils drei Symbole gezeichnet sind, im Bild getrennt durch gestrichelte Linien:
	* Oben ist das Empfangssignal  $r(t)$  dargestellt, das identisch mit dem FSK–Sendesignal ist. Die höhere Frequenz  $f_{+1}$  gehört zum Amplitudenkoeffizienten  $a_ν = +1$, während  $a_ν = –1$  mit der Frequenz  $f_{–1}$  dargestellt wird. Bezogen auf die Symbolmitten  $T$,  $2T$,  $3T$, ... liegt jeweils ein sinusförmiger Verlauf vor. Der konstante Betrag der Hüllkurve ist  $s_0$.		* Oben ist das Empfangssignal  $r(t)$  dargestellt, das identisch mit dem FSK–Sendesignal ist.  Die höhere Frequenz  $f_{+1}$  gehört zum Amplitudenkoeffizienten  $a_ν = +1$, während  $a_ν = -1$  mit der Frequenz  $f_{–1}$  dargestellt wird.  Bezogen auf die Symbolmitten  $T$,  $2T$,  $3T$, ... liegt jeweils ein sinusförmiger Verlauf vor.  Der konstante Betrag der Hüllkurve ist  $s_0$.
	* Das mittlere Diagramm zeigt die Signale nach der Multiplikation mit den jeweiligen Sinussignalen:		* Das mittlere Diagramm zeigt die Signale nach der Multiplikation mit den jeweiligen Sinussignalen:
	:$$b_{\rm +1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$		:$$b_{\rm +1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
	:$$ b_{\rm -1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$ b_{\rm -1}(t) = r(t) \cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
	:Das Signal  $b_{+1}(t)$  im oberen Demodulatorzweig ist gelb und das Signal  $b_{–1}(t)$  im unteren Zweig blau dargestellt. Der grüne Verlauf gilt ~~entsprechend~~ der Farbenlehre für beide Kurven. Die Signale sind gegenüber  $r(t)$  niedriger als dargestellt.		:Das Signal  $b_{+1}(t)$  im oberen Demodulatorzweig ist gelb und das Signal  $b_{–1}(t)$  im unteren Zweig blau dargestellt.  Der grüne Verlauf gilt nach der Farbenlehre für beide Kurven. Die Signale sind gegenüber  $r(t)$  niedriger als dargestellt.
	* Der untere Signalverlauf zeigt das Differenzsignal  $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$. Das folgende Matched–Filter kann auch als Integrator realisiert werden. Damit ist der (normierte) Entscheidungswert für das  $ν$–te Symbol wie folgt gegeben:		* Der untere Signalverlauf zeigt das Differenzsignal  $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$.  Das folgende Matched–Filter kann auch als Integrator realisiert werden.  Damit ist der (normierte) Entscheidungswert für das  $ν$–te Symbol wie folgt gegeben:
	:$$E_{\nu}= \frac{1}{s_0} \cdot d (\nu \cdot T + T/2) = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{(\nu - 1/2) T }^{(\nu + 1/2) T }\hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\nu}= \frac{1}{s_0} \cdot d (\nu \cdot T + T/2) = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{(\nu - 1/2) T }^{(\nu + 1/2) T }\hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$





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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation\|Nichtlineare digitale Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation\|Nichtlineare digitale Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\|Kohärente Demodulation der FSK]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_der_FSK\|Kohärente Demodulation der FSK]].
			* Ein technischer Hinweis:  Nach Vergrößerung erkennt man die Signalverläufe etwas besser. <br>Gleichzeitig eine Entschuldigung des Autors:  Blau bei schwarzem Hintergrund ist nicht gut.
	*Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:		*Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
	:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$		:$$2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)= \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \hspace{0.05cm}.$$

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	'''(1)'''  Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:		'''(1)'''  Im mittleren Bereich ist eine niedrigere Frequenz als in den beiden äußeren Bereichen zu erkennen:
	:$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$a_1 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_2 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},\hspace{0.2cm}a_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:		'''(2)'''  Aus der Grafik erkennt man im ersten und im letzten Zeitintervall fünf Schwingungen und im zweiten Intervall drei Schwingungen:
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	'''(3)'''  In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal $r(t)$ beschreibt und der zweite Term die im Modulator zugesetzte Schwingung:		'''(3)'''  In diesem Bereich gilt, wobei der erste Term das Empfangssignal $r(t)$ beschreibt und der zweite Term die im Modulator zugesetzte Schwingung:
	:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=		:$$b_{\rm +1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )=
	s_0 \cdot \~~left~~ [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\~~right~~ ] \hspace{0.05cm}.$$		s_0 \cdot \big [ 1 - \cos (2 \pi \cdot 10/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.		Richtig sind demnach <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u>.


	'''(4)'''  Für das untere Signal $b_{-1}(t)$ gilt im gleichen Zeitintervall entsprechend:		'''(4)'''  Für das untere Signal  $b_{-1}(t)$  gilt im gleichen Zeitintervall entsprechend:
	:$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )= s_0 \cdot \~~left~~ [ \cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t ) - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\~~right~~ ] \hspace{0.05cm}$$		:$$b_{\rm -1}(t) = s_0 \cdot \sin (2 \pi \cdot 5/T \cdot t )\cdot 2 \cdot \sin (2 \pi \cdot 3/T \cdot t )= s_0 \cdot \big [ \cos (2 \pi \cdot 2/T \cdot t ) - \cos (2 \pi \cdot 8/T \cdot t )\big ] \hspace{0.05cm}$$
	Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.		Richtig sind hier <u>die Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.


	'''(5)'''  Für den ersten Entscheidungswert gilt mit $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$:		'''(5)'''  Für den ersten Entscheidungswert gilt mit  $b(t) = b_{+1}(t) - b_{–1}(t)$:
	:$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{1} = \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm +1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t - \frac{1}{s_0 \cdot T} \cdot \int_{T/2 }^{3T/2} b_{\rm -1} (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	*Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (4) erkennt man, dass das zweite Integral ~~$0$~~ ergibt (Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen). Das erste Integral ist gleich $s_0 · T$. Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall:~~<br>~~ $E_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$. Ebenso ist $E_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.		*Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(4)''' erkennt man, dass das zweite Integral Null ergibt <br>(Integration über Vielfache der Periodendauer von Sinusfunktionen).
	*Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral 0 und das zweite hat den Wert $s_0 · T$. Somit erhält man hierfür den Wert $E_2\hspace{0.15cm}\underline { = -1}$.		*Das erste Integral ist gleich $s_0 · T$. Daraus folgt für den Entscheidungswert im ersten Zeitintervall:   $E_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.
			*Ebenso ist  $E_3\hspace{0.15cm}\underline { = +1}$.
			*Dagegen ist bei der Berechnung von $E_2$ das erste Integral Null und das zweite hat den Wert $s_0 · T$. Somit erhält man hierfür den Wert  $E_2\hspace{0.15cm}\underline { = -1}$.