Aufgaben:Aufgabe 4.13: Decodierung von LDPC–Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Juli 2019 um 14:08 Uhr

2019-07-10T14:08:12Z

Guenter am 10. Juli 2019 um 13:49 Uhr

2019-07-10T13:49:15Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 2. Februar 2018 um 14:04 Uhr

2018-02-02T14:04:33Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 12:55 Uhr

2018-02-02T12:55:40Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 12:46 Uhr

2018-02-02T12:46:43Z

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2018-02-02T12:42:40Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:31 Uhr

2018-01-08T13:31:20Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.13 Decodierung von LDPC–Codes nach Aufgaben:Aufgabe 4.13: Decodierung von LDPC–Codes

2018-01-04T06:56:32Z

Guenter verschob die Seite 4.13 Decodierung von LDPC–Codes nach Aufgabe 4.13: Decodierung von LDPC–Codes

Hussain am 13. Dezember 2017 um 16:56 Uhr

2017-12-13T16:56:47Z

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 *Der <i>Check Node</i> ${\rm (CN)} \ C_j$ steht für die $j$&ndash;Prüfgleichung, und für die Menge aller <i>Check Nodes</i> gilt: ${\rm CN} = \{C_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ C_j, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ C_m\}$.
 *Aus der Zeilenzahl der $\mathbf{H}$&ndash;Matrix ergibt sich $I_{\rm CN} \ \underline {= m = 9}$.
 '''(2)'''&nbsp; Die Ergebnisse können aus dem nachfolgend skizzierten Tanner&ndash;Graphen abgelesen werden.
-[[Datei:P_ID3084__KC_A_4_13c_v1.png|center|frame|Tanner&ndash;Graph für das vorliegende Beispiel ]]
+[[Datei:P_ID3084__KC_A_4_13c_v1.png|right|frame|Tanner&ndash;Graph für das vorliegende Beispiel ]]
 Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
-* Das Matrixelement $h_{5,\hspace{0.05cm}5}$ (Spalte 5, Zeile 5) ist $1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; rote Verbindung.
+* Das Matrixelement $h_{5,\hspace{0.05cm}5}$ (Spalte 5, Zeile 5) ist $1$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; rote Verbindung.
-* Das Matrixelement $h_{4,\hspace{0.05cm} 6}$ (Spalte 4, Zeile 6) ist $1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; blaue Verbindung.
+* Das Matrixelement $h_{4,\hspace{0.05cm} 6}$ (Spalte 4, Zeile 6) ist $1$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; blaue Verbindung.
-* Das Matrixelement $h_{6, \hspace{0.05cm}4}$ (Spalte 6, Zeile 4) ist $0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; keine Verbindung.
+* Das Matrixelement $h_{6, \hspace{0.05cm}4}$ (Spalte 6, Zeile 4) ist $0$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; keine Verbindung.
-* Es gilt $h_{6,\hspace{0.05cm} 10} = h_{6,\hspace{0.05cm} 11} = 1$. Aber $h_{6,\hspace{0.05cm}11} = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; es bestehen nicht alle drei Verbindungen.
+* Es gilt $h_{6,\hspace{0.05cm} 10} = h_{6,\hspace{0.05cm} 11} = 1$. Aber $h_{6,\hspace{0.05cm}12} = 0$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; es bestehen nicht alle drei Verbindungen.
 * Es gilt $h_{7,\hspace{0.05cm}6} = h_{8,\hspace{0.05cm}7} = h_{9,\hspace{0.05cm}8} = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; grüne Verbindungen.
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-Die <u>Antworten 2 und 3</u> sind richtig, wie aus der ersten Zeile bzw. der neunten Spalte der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ hervorgeht. Der Tanner&ndash;Graph bestätigt diese Ergebnisse:
+Die <u>Antworten 2 und 3</u> sind richtig, wie aus der ersten Zeile bzw. der neunten Spalte der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ hervorgeht. <br>Der Tanner&ndash;Graph bestätigt diese Ergebnisse:
 * Von $C_1$ gibt es Verbindungen zu $V_1, \ V_2, \ V_3$, und $V_4$.
 * Von $V_9$ gibt es Verbindungen zu $C_3, \ C_5$, und $C_7$.
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 * die Nachbarschaft $N(V_i)$ eines jeden <i>Variable Nodes</i> $V_i$ genau $w_{\rm S} = 3$ Elemente beinhaltet, und
 * die Nachbarschaft $N(C_j)$ eines jeden <i>Check Nodes</i> $C_j$ genau $w_{\rm Z} = 4$ Elemente.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>, wie aus der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|entsprechenden Theorieseite]] hervorgeht:
-* Zu Beginn der Decodierung (sozusagen bei der  Iteration $I=0$) werden die $L$&ndash;Werte der <i>Variable Nodes</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; $L(V_i)$ entsprechend den Kanaleingangswerten vorbelegt.
+* Zu Beginn der Decodierung&nbsp; $($sozusagen bei der  Iteration $I=0)$&nbsp; werden die $L$&ndash;Werte der <i>Variable Nodes</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; $L(V_i)$ mit den Kanaleingangswerten vorbelegt.
-* Später (ab der Iteration $I = 1$) wird im VND das vom CND übermittelte Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis $L(C_j &#8594; V_i)$ als Apriori&ndash;Information berücksichtigt.
+* Später&nbsp; $($ab der Iteration $I = 1)$&nbsp; wird im VND das vom CND übermittelte Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis $L(C_j &#8594; V_i)$ als Apriori&ndash;Information berücksichtigt.
 * Die Antwort 3 ist falsch. Richtig wäre vielmehr: Es gibt Analogien zwischen dem VND&ndash;Algorithmus und der Decodierung eines <i>Repetition Codes</i> (Wiederholungscodes).
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der Lösungsvorschlag 3</u>, weil
 * die endgültigen Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte vom VND abgeleitet werden, nicht vom CND,
-* die $L$&ndash;Wert $L(C_j &#8594; V_i)$ für den CND extrinsische Information darstellt, und
+* der $L$&ndash;Wert $L(C_j &#8594; V_i)$ für den CND extrinsische Information darstellt, und
 * es tatsächlich Analogien zwischen dem CND&ndash;Algorithmus und der SPC&ndash;Decodierung gibt.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID3083__KC_A_4_13_v1.png|right|frame|Gegebene LDPC–Prüfmatrix]]
-Die Aufgabe behandelt die [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|Iterative Decodierung von LDPC&ndash;Codes]] gemäß dem ''Message&ndash;passing Algorithmus''.
+Die Aufgabe behandelt die&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|Iterative Decodierung von LDPC&ndash;Codes]]&nbsp; gemäß dem&nbsp; ''Message&ndash;passing Algorithmus''.
-Ausgangspunkt ist die dargestellte $9 &times 12$&ndash;Prüfmatrix $\mathbf{H}$, die zu Beginn der Aufgabe als Tanner&ndash;Graph dargestellt werden soll. Dabei ist anzumerken:
+Ausgangspunkt ist die dargestellte&nbsp; $9 &times 12$&ndash;Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$, die zu Beginn der Aufgabe als Tanner&ndash;Graph dargestellt werden soll. Dabei ist anzumerken:
-* Die <i>Variable Nodes</i> (abgekürzt $\rm VNs$) $V_i$ bezeichnen die $n$ Codewortbits.
+* Die&nbsp; <i>Variable Nodes</i>&nbsp; (abgekürzt&nbsp; $\rm VNs$)&nbsp; $V_i$&nbsp; bezeichnen die&nbsp; $n$&nbsp; Codewortbits.
-* Die <i>Check Nodes</i> (abgekürzt $\rm CNs$) $C_j$ stehen für die $m$ Prüfgleichungen.
+* Die&nbsp; <i>Check Nodes</i>&nbsp; (abgekürzt&nbsp; $\rm CNs$)&nbsp; $C_j$&nbsp; stehen für die&nbsp; $m$&nbsp; Prüfgleichungen.
-* Eine Verbindung zwischen $V_i$ und $C_j$ zeigt an, dass das Matrixelement $h_{j,\hspace{0.05cm} i}$ der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ (in Zeile $j$, Spalte $i$) gleich $1$ ist. Für $h_{j,\hspace{0.05cm}i} = 0$ gibt es keine Verbindung zwischen $V_i$ und $C_j$.
+* Eine Verbindung zwischen&nbsp; $V_i$&nbsp; und&nbsp; $C_j$&nbsp; zeigt an, dass das Matrixelement&nbsp; $h_{j,\hspace{0.05cm} i}$&nbsp; der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; $($in Zeile&nbsp; $j$, Spalte&nbsp; $i)$&nbsp; gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist. Für&nbsp; $h_{j,\hspace{0.05cm}i} = 0$&nbsp; gibt es keine Verbindung zwischen&nbsp; $V_i$&nbsp; und&nbsp; $C_j$.
-* Als die <i>Nachbarn</i> $N(V_i)$ von $V_i$ bezeichnet man die Menge aller <i>Check Nodes</i> $C_j$, die mit $V_i$ im Tanner&ndash;Graphen verbunden sind. Entsprechend gehören zu $N(C_j)$ alle <i>Variable Nodes</i> $V_i$ mit einer Verbindung zu $C_j$.
+* Als die&nbsp; <i>Nachbarn</i>&nbsp; $N(V_i)$&nbsp; von&nbsp; $V_i$&nbsp; bezeichnet man die Menge aller&nbsp; <i>Check Nodes</i>&nbsp; $C_j$, die mit&nbsp; $V_i$&nbsp; im Tanner&ndash;Graphen verbunden sind. Entsprechend gehören zu&nbsp; $N(C_j)$&nbsp; alle <i>Variable Nodes</i>&nbsp; $V_i$&nbsp; mit einer Verbindung zu&nbsp; $C_j$.
 Die Decodierung erfolgt abwechselnd bezüglich
-* den <i>Variable Nodes</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Variable Nodes Decoder</i> (VND), und
+* den&nbsp; <i>Variable Nodes</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Variable Nodes Decoder</i> (VND), und
-* den <i>Check Nodes</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Check Nodes Decoder</i> (CND).
+* den&nbsp; <i>Check Nodes</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Check Nodes Decoder</i> (CND).
-Hierauf wird in den Teilaufgaben (5) und (6) Bezug genommen.
+Hierauf wird in den Teilaufgaben '''(5)''' und '''(6)''' Bezug genommen.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|Iterative Decodierung von LDPC&ndash;Codes]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|Iterative Decodierung von LDPC&ndash;Codes]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie viele <i>Variable Nodes</i> $(I_{\rm VN})$ und <i>Check Nodes</i> $(I_{\rm CN})$ sind zu berücksichtigen?
+{Wie viele&nbsp; <i>Variable Nodes</i> $(I_{\rm VN})$&nbsp; und&nbsp; <i>Check Nodes</i> $(I_{\rm CN})$&nbsp; sind zu berücksichtigen?
 |type="{}"}
 $I_{\rm VN} \ = \ ${ 12 }
 $I_{\rm CN} \ = \ ${ 9 }
-{Welche der folgenden <i>Check Nodes</i> und <i>Variable Nodes</i> sind verbunden?
+{Welche der folgenden&nbsp; <i>Check Nodes</i>&nbsp; und&nbsp; <i>Variable Nodes</i>&nbsp; sind verbunden?
 |type="[]"}
-+ $C_4$ und $V_6$.
++ $C_4$&nbsp; und &nbsp;$V_6$.
-+ $C_5$ und $V_5$.
++ $C_5$&nbsp; und &nbsp;$V_5$.
-- $C_6$ und $V_4$.
+- $C_6$&nbsp; und &nbsp;$V_4$.
-- $C_6$ und $V_i$ für $i > 9$.
+- $C_6$&nbsp; und &nbsp;$V_i$&nbsp; für &nbsp;$i > 9$.
-+ $C_j$ und $V_{j-1}$ für $j > 6$.
++ $C_j$&nbsp; und &nbsp;$V_{j-1}$&nbsp; für&nbsp; $j > 6$.
-{Welche Aussagen treffen bezüglich der Nachbarn $N(V_i)$ und $N(C_j)$ zu?
+{Welche Aussagen treffen bezüglich der Nachbarn&nbsp; $N(V_i)$&nbsp; und&nbsp; $N(C_j)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 - $N(V_1) = \{C_1, \ C_2, \ C_3, \ C_4\}$,
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 - $N(C_9) = \{V_3, \ V_5, \ V_7\}$.
-{Welche Aussagen treffen für den <i>Variable Node Decoder</i> (VND) zu?
+{Welche Aussagen treffen für den&nbsp; <i>Variable Node Decoder</i>&nbsp; (VND) zu?
 |type="[]"}
-+ Zu Beginn (Iteration 0) werden die $L$&ndash;Werte der Knoten $V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \ V_n$ entsprechend den Kanaleingangswerten $y_i$ vorbelegt.
++ Zu Beginn (Iteration 0) werden die&nbsp; $L$&ndash;Werte der Knoten&nbsp; $V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, \ V_n$&nbsp; entsprechend den Kanaleingangswerten&nbsp; $y_i$&nbsp; vorbelegt.
-+ Für den VND stellt $L(C_j &#8594; V_i)$ Apriori&ndash;Information dar.
++ Für den VND stellt&nbsp; $L(C_j &#8594; V_i)$&nbsp; Apriori&ndash;Information dar.
-- Es gibt Analogien zwischen dem VND und der Decodierung eines <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>-
+- Es gibt Analogien zwischen dem&nbsp; <i>Variable Node Decoder</i>&nbsp; und der Decodierung eines <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>.
-{Welche Aussagen treffen für den <i>Check Node Decoder</i> (CND) zu?
+{Welche Aussagen treffen für den&nbsp; <i>Check Node Decoder</i>&nbsp; (CND) zu?
 |type="[]"}
 - Der CND liefert am Ende die gewünschten Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte.
-- Für den CND stellt $L(C_j &#8594; V_i)$ Apriori&ndash;Information dar.
+- Für den CND stellt&nbsp; $L(C_j &#8594; V_i)$&nbsp; Apriori&ndash;Information dar.
-+ Es gibt Analogien zwischen dem CND und der Decodierung eines <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>.
++ Es gibt Analogien zwischen dem&nbsp; <i>Check Node Decoder</i>&nbsp; und der Decodierung eines <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>.
 </quiz>

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 * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|Iterative Decodierung von LDPC&ndash;Codes]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 * $w_{\rm Z}(j) = 4 = w_{\rm Z}$ für $1 &#8804; j &#8804; 9$,
 * $w_{\rm S}(i) = 3 = w_{\rm S}$ für $1 &#8804; i &#8804; 12$.
 Die <u>Antworten 2 und 3</u> sind richtig, wie aus der ersten Zeile bzw. der neunten Spalte der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ hervorgeht. Der Tanner&ndash;Graph bestätigt diese Ergebnisse:
 * Von $C_1$ gibt es Verbindungen zu $V_1, \ V_2, \ V_3$, und $V_4$.
 * Von $V_9$ gibt es Verbindungen zu $C_3, \ C_5$, und $C_7$.
 Die Antworten 1 und 4 können schon allein deshalb nicht richtig sein, da
 * die Nachbarschaft $N(V_i)$ eines jeden <i>Variable Nodes</i> $V_i$ genau $w_{\rm S} = 3$ Elemente beinhaltet, und
 * die Nachbarschaft $N(C_j)$ eines jeden <i>Check Nodes</i> $C_j$ genau $w_{\rm Z} = 4$ Elemente.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>, wie aus der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Iterative_Decodierung_von_LDPC.E2.80.93Codes|entsprechenden Theorieseite]] hervorgeht:
-* Zu Beginn der Decodierung (sozusagen: Iteration 0) werden die $L$&ndash;Werte der <i>Variable Nodes</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; $L(V_i)$ entsprechend den Kanaleingangswerten vorbelegt.
+* Zu Beginn der Decodierung (sozusagen bei der  Iteration $I=0$) werden die $L$&ndash;Werte der <i>Variable Nodes</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; $L(V_i)$ entsprechend den Kanaleingangswerten vorbelegt.
 * Später (ab der Iteration $I = 1$) wird im VND das vom CND übermittelte Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis $L(C_j &#8594; V_i)$ als Apriori&ndash;Information berücksichtigt.
-* Antwort 3 ist falsch. Richtig wäre vielmehr: Es gibt Analogien zwischen dem VND&ndash;Algorithmus und der Decodierung eines <i>Repetition Codes</i>.
+* Die Antwort 3 ist falsch. Richtig wäre vielmehr: Es gibt Analogien zwischen dem VND&ndash;Algorithmus und der Decodierung eines <i>Repetition Codes</i> (Wiederholungscodes).

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der <i>Variable Node</i> $\rm (VN)$ $V_i$ steht für das $i$&ndash;te Codewortbit, so dass $I_{\rm VN}$ gleich der Codewortlänge $n$ ist. Aus der Spaltenzahl der $\mathbf{H}$&ndash;Matrix erkennt man $I_{\rm VN} = n \ \underline{= 12}$. Für die Menge aller <i>Variable Nodes</i> kann man somit allgemein schreiben: ${\rm VN} = \{V_1, \ ... \ , V_i, \ ... \ , \ V_n\}$.
+'''(1)'''&nbsp; Der <i>Variable Node</i> $\rm (VN)$ $V_i$ steht für das $i$&ndash;te Codewortbit, so dass $I_{\rm VN}$ gleich der Codewortlänge $n$ ist.
+*Aus der Spaltenzahl der $\mathbf{H}$&ndash;Matrix erkennt man $I_{\rm VN} = n \ \underline{= 12}$.
-Der <i>Check Node</i> ${\rm (CN)} \ C_j$ steht für die $j$&ndash;Prüfgleichung, und für die Menge aller <i>Check Nodes</i> gilt: ${\rm CN} = \{C_1, \ ... \ , \ C_j, \ ... \ , \ C_m\}$. Aus der Zeilenzahl der $\mathbf{H}$&ndash;Matrix ergibt sich $I_{\rm CN} \ \underline {= m = 9}$.
+*Für die Menge aller <i>Variable Nodes</i> kann man somit allgemein schreiben: ${\rm VN} = \{V_1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , V_i, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \ V_n\}$.
 '''(2)'''&nbsp; Die Ergebnisse können aus dem nachfolgend skizzierten Tanner&ndash;Graphen abgelesen werden.
-[[Datei:P_ID3084__KC_A_4_13c_v1.png|center|frame|Tanner&ndash;Graph]]
+[[Datei:P_ID3084__KC_A_4_13c_v1.png|center|frame|Tanner&ndash;Graph für das vorliegende Beispiel ]]
 Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
-* Das Matrixelement $h_{5,5}$ (Spalte 5, Zeile 5) ist $1$ &nbsp;&#8658;&nbsp; rote Verbindung.
+* Das Matrixelement $h_{5,\hspace{0.05cm}5}$ (Spalte 5, Zeile 5) ist $1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; rote Verbindung.
-* Das Matrixelement $h_{4, 6}$ (Spalte 4, Zeile 6) ist $1$ &nbsp;&#8658;&nbsp; blaue Verbindung.
+* Das Matrixelement $h_{4,\hspace{0.05cm} 6}$ (Spalte 4, Zeile 6) ist $1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; blaue Verbindung.
-* Das Matrixelement $h_{6, 4}$ (Spalte 6, Zeile 4) ist $0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; keine Verbindung.
+* Das Matrixelement $h_{6, \hspace{0.05cm}4}$ (Spalte 6, Zeile 4) ist $0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; keine Verbindung.
-* Es gilt $h_{6, 10} = h_{6, 11} = 1$. Aber $h_{6,11} = 0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; es bestehen nicht alle drei Verbindungen.
+* Es gilt $h_{6,\hspace{0.05cm} 10} = h_{6,\hspace{0.05cm} 11} = 1$. Aber $h_{6,\hspace{0.05cm}11} = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; es bestehen nicht alle drei Verbindungen.
-* Es gilt $h_{7,6} = h_{8,7} = h_{9,8} = 1$ &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Verbindungen.
+* Es gilt $h_{7,\hspace{0.05cm}6} = h_{8,\hspace{0.05cm}7} = h_{9,\hspace{0.05cm}8} = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; grüne Verbindungen.
@@ Zeile 86: / Zeile 88: @@
 * $w_{\rm S}(i) = 3 = w_{\rm S}$ für $1 &#8804; i &#8804; 12$.
 Die Antworten 1 und 4 können schon allein deshalb nicht richtig sein, da
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