Aufgaben:Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen - Versionsgeschichte

Guenter am 25. März 2022 um 14:27 Uhr

2022-03-25T14:27:31Z

Guenter am 25. März 2022 um 14:19 Uhr

2022-03-25T14:19:31Z

Guenter am 2. Dezember 2019 um 10:46 Uhr

2019-12-02T10:46:16Z

Guenter am 2. Dezember 2019 um 10:36 Uhr

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Guenter am 2. Dezember 2019 um 10:34 Uhr

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Guenter am 2. Dezember 2019 um 10:32 Uhr

2019-12-02T10:32:26Z

Guenter am 20. August 2018 um 07:42 Uhr

2018-08-20T07:42:40Z

Guenter am 20. August 2018 um 07:18 Uhr

2018-08-20T07:18:41Z

Guenter am 20. August 2018 um 07:17 Uhr

2018-08-20T07:17:27Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
-*Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums (LDS). Dabei gilt:
+*Die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums&nbsp; $\rm  (LDS)$.&nbsp; Dabei gilt:
 :$${\it \Phi}_n (f) =  {N_0}/{2} \hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.3cm} \varphi_n (\tau)={N_0}/{2}  \cdot {\rm \delta} ( \tau).$$
-*Allerdings gibt es in der Physik kein &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig;es Rauschen, da ein solches eine unendlich gro&szlig;e Signalleistung aufweisen m&uuml;sste&nbsp; $($das Integral &uuml;ber das LDS sowie der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; sind jeweils unendlich groß$)$.
+*Allerdings gibt es in der Physik kein &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig;es Rauschen,&nbsp; da ein solches eine unendlich gro&szlig;e Signalleistung aufweisen m&uuml;sste&nbsp; $($das Integral &uuml;ber das LDS sowie der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; sind jeweils unendlich groß$)$.
-*Thermisches Rauschen hat bis zu Frequenzen von etwa&nbsp; $\text{6000 GHz}$&nbsp; ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) &Uuml;bertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter N&auml;herung als &bdquo;wei&szlig;&rdquo; bezeichnen.
+*Thermisches Rauschen hat bis zu Frequenzen von etwa&nbsp; $\text{6000 GHz}$&nbsp; ein konstantes LDS.&nbsp; Da alle&nbsp; (derzeitigen)&nbsp; &Uuml;bertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten,&nbsp; kann man thermisches Rauschen mit guter N&auml;herung als&nbsp; "wei&szlig;"&nbsp; bezeichnen.
-*Die statistische Eigenschaft &bdquo;wei&szlig;&rdquo; sagt nichts &uuml;ber die Amplitudenverteilung aus, die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) festgelegt ist.
+*Die statistische Eigenschaft &bdquo;wei&szlig;&rdquo; sagt nichts &uuml;ber die Amplitudenverteilung aus,&nbsp; die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; festgelegt ist.
-*Betrachtet man die Phase eines bandpassf&ouml;rmigen Signals als die stochastische Gr&ouml;&szlig;e, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; modelliert.
+*Betrachtet man die Phase eines bandpassf&ouml;rmigen Signals als die stochastische Gr&ouml;&szlig;e,&nbsp; so wird diese oft als gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; modelliert.
-*Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen, so ist auch dieser Zufallsprozess &bdquo;wei&szlig;&rdquo;.
+*Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen,&nbsp; so ist auch dieser Zufallsprozess&nbsp; "wei&szlig;".
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 *Dieses Ergebnis besagt: &nbsp; Zwei um&nbsp; $T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$&nbsp; auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:
-*Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv und gro&szlig;, dann ist mit gro&szlig;er Wahrscheinlichkeit auch&nbsp; $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; positiv und gro&szlig;.
+:*Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv und gro&szlig;, dann ist mit gro&szlig;er Wahrscheinlichkeit auch&nbsp; $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; positiv und gro&szlig;.
-*Dagegen besteht zwischen&nbsp; $b(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; eine negative Korrelation: &nbsp; Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv, so ist&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; wahrscheinlich negativ.
+:*Dagegen besteht zwischen&nbsp; $b(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; eine negative Korrelation: &nbsp; Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv, so ist&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; wahrscheinlich negativ.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum (LDS)
 }}
-[[Datei:P_ID409__Sto_Z_4_12.png|right|frame|Leistungsdichtespektren <br>von Weißem Rauschen]]
+[[Datei:P_ID409__Sto_Z_4_12.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von Weißem Rauschen]]
-Man bezeichnet ein Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; als <i>wei&szlig;</i>, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.
+Man bezeichnet ein Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; als&nbsp; "wei&szlig;",&nbsp; wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.
-* Das physikalische, nur f&uuml;r positive Frequenzen $f$&nbsp; definierte Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist konstant&nbsp; $($gleich&nbsp; $N_0)$&nbsp; und reicht frequenzm&auml;&szlig;ig bis ins Unendliche.
+* Das physikalische,&nbsp; nur f&uuml;r positive Frequenzen $f$&nbsp; definierte Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist konstant &nbsp; $($gleich&nbsp; $N_0)$ &nbsp; und reicht frequenzm&auml;&szlig;ig bis ins Unendliche.
-* ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist in der oberen Grafik grün dargestellt.&nbsp; Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur f&uuml;r positive Werte von $f$&nbsp; g&uuml;ltig ist.
+* ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist in der oberen Grafik grün dargestellt.&nbsp; Das Pluszeichen im Index soll anzeigen,&nbsp; dass die Funktion nur f&uuml;r positive Werte von $f$&nbsp; g&uuml;ltig ist.
 * Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n}(f)$.&nbsp; Hier gilt f&uuml;r alle Frequenzen von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp;  $+\infty$&nbsp; (blauer Kurvenzug im oberen  Bild):
 :$${\it \Phi}_n (f) ={N_0}/{2}.$$
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 :$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right.$$
-Bei der Rechnersimulation von Rauschvorg&auml;ngen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorg&auml;nge behandelt werden k&ouml;nnen. Dazu muss das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; eingehalten werden.&nbsp; Dieses sagt aus, dass die Bandbreite&nbsp; $B$&nbsp; gemäß dem St&uuml;tzstellenabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; der Simulation eingestellt werden muss.
+Bei der Rechnersimulation von Rauschvorg&auml;ngen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden,&nbsp; da nur zeitdiskrete Vorg&auml;nge behandelt werden k&ouml;nnen.&nbsp; Dazu muss das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; eingehalten werden.&nbsp; Dieses sagt aus,&nbsp; dass die Bandbreite&nbsp; $B$&nbsp; gemäß dem St&uuml;tzstellenabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; der Simulation eingestellt werden muss.
 Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von folgenden Zahlenwerten aus:
-* Die Rauschleistungsdichte &ndash;&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$&nbsp; &ndash;&nbsp;  betr&auml;gt&nbsp; $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm  V^2/Hz$.
+* Die Rauschleistungsdichte &ndash;&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$&nbsp; &ndash;&nbsp;  betr&auml;gt&nbsp; $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.15cm}\rm  V^2/Hz$.
-* Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschens betr&auml;gt&nbsp; $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.
+* Die&nbsp; (einseitige)&nbsp; Bandbreite des bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschens betr&auml;gt&nbsp; $B = 100 \hspace{0.15cm}\rm MHz$.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
 *Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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-{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_b(\tau)$&nbsp; des auf&nbsp; $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$&nbsp; bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$?
+{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_b(\tau)$&nbsp; des auf&nbsp; $B = 100 \hspace{0.15cm}\rm MHz$&nbsp; bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$?
 |type="{}"}
 $\varphi_b(\tau = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2$
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
-{Welcher Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist (höchstens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
+{Welcher Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist&nbsp; (höchstens)&nbsp; zu w&auml;hlen,&nbsp; wenn das bandbegrenzte Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
 |type="{}"}
 $T_{\rm A} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm ns$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 {Gehen Sie vom Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm   ns$&nbsp; aus.&nbsp; Welche der Aussagen treffen dann f&uuml;r zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte des Signals&nbsp; $b(t)$&nbsp; zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Die Abtastwerte sind unkorreliert.
 + Die Abtastwerte sind positiv korreliert.

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 *Die Autokorrelationsfunktion (AKF) ist die Fouriertransformierte des Leistungsdichtespektrums (LDS). Dabei gilt:
 :$${\it \Phi}_n (f) =  {N_0}/{2} \hspace{0.3cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.3cm} \varphi_n (\tau)={N_0}/{2}  \cdot {\rm \delta} ( \tau).$$
-*Allerdings gibt es in der Physik kein &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig;es Rauschen, da ein solches eine unendlich gro&szlig;e Signalleistung aufweisen m&uuml;sste (das Integral &uuml;ber das LDS sowie der AKF-Wert bei $\tau = 0$ sind jeweils unendlich groß).
+*Allerdings gibt es in der Physik kein &bdquo;echt&rdquo; wei&szlig;es Rauschen, da ein solches eine unendlich gro&szlig;e Signalleistung aufweisen m&uuml;sste&nbsp; $($das Integral &uuml;ber das LDS sowie der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; sind jeweils unendlich groß$)$.
-*<i>Thermisches Rauschen</i> hat bis zu Frequenzen von etwa 6000 GHz ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) &Uuml;bertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter N&auml;herung als &bdquo;wei&szlig;&rdquo; bezeichnen.
+*Thermisches Rauschen hat bis zu Frequenzen von etwa&nbsp; $\text{6000 GHz}$&nbsp; ein konstantes LDS. Da alle (derzeitigen) &Uuml;bertragungssysteme in einem sehr viel niedrigeren Frequenzbereich arbeiten, kann man thermisches Rauschen mit guter N&auml;herung als &bdquo;wei&szlig;&rdquo; bezeichnen.
 *Die statistische Eigenschaft &bdquo;wei&szlig;&rdquo; sagt nichts &uuml;ber die Amplitudenverteilung aus, die allein durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) festgelegt ist.
-*Betrachtet man die Phase eines bandpassf&ouml;rmigen Signals als die stochastische Gr&ouml;&szlig;e, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen $0$ und $2\pi$ modelliert.
+*Betrachtet man die Phase eines bandpassf&ouml;rmigen Signals als die stochastische Gr&ouml;&szlig;e, so wird diese oft als gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; modelliert.
 *Bestehen zwischen den jeweiligen Phasenwinkeln zu unterschiedlichen Zeiten keine statistischen Bindungen, so ist auch dieser Zufallsprozess &bdquo;wei&szlig;&rdquo;.
 [[Datei:P_ID410__Sto_Z_4_12_b.png|right|frame|AKF von bandbegrenztem Rauschen]]
-'''(2)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum ist ein Rechteck der Breite $2B$ und der H&ouml;he $N_0/2$. <br>Die Fourierr&uuml;cktransformation ergibt eine si-Funktion:
+'''(2)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum ist ein Rechteck der Breite&nbsp; $2B$&nbsp; und der H&ouml;he&nbsp; $N_0/2$.
 :$$\varphi_b(\tau) = N_0 \cdot B \cdot {\rm si} (2 \pi B \tau)\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_b(\tau = 0) = N_0 \cdot B \hspace{0.15cm}\underline {=4}\cdot 10^{-6} \ \rm V^2.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die in '''(3)''' berechnete AKF hat Nullstellen im &auml;quidistanten Abstand von $T_{\rm A}= 1/(2B)\hspace{0.15cm}\underline {=5\hspace{0.05cm} \rm ns}$. Das bedeutet:
+'''(3)'''&nbsp; Der AKF-Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; ergibt die Leistung.&nbsp;
-*Es bestehen somit keine statistischen Bindungen zwischen den beiden Signalwerten $b(t)$ und $b(t + \nu \cdot T_{\rm A})$,
+*Die Wurzel hieraus bezeichnet man als den Effektivwert:
-*wobei $\nu$ alle ganzzahligen Werte annehmen kann.
+:$$\sigma_b = \sqrt{\varphi_b(\tau = 0)} \hspace{0.15cm}\underline {=2 \hspace{0.05cm}\rm V}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Der AKF-Wert bei $\tau = T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$ betr&auml;gt
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 :$$\varphi_b(\tau = T_{\rm A}) = {\rm 4 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2 \cdot si (\pi/5) \approx  3.742 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm}V^2} > 0.$$
-*Dieses Ergebnis besagt: &nbsp; Zwei um $T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$ auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:
+*Dieses Ergebnis besagt: &nbsp; Zwei um&nbsp; $T_{\rm A}  = 1 \hspace{0.05cm}\rm ns$&nbsp; auseinander liegende Signalwerte sind positiv korreliert:
-*Ist $b(t)$ positiv und gro&szlig;, dann ist mit gro&szlig;er Wahrscheinlichkeit auch $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ positiv und gro&szlig;.
+*Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv und gro&szlig;, dann ist mit gro&szlig;er Wahrscheinlichkeit auch&nbsp; $b(t+1 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; positiv und gro&szlig;.
-*Dagegen besteht zwischen $b(t)$ und $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ eine negative Korrelation: &nbsp; Ist $b(t)$ positiv, so ist $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$ wahrscheinlich negativ.
+*Dagegen besteht zwischen&nbsp; $b(t)$&nbsp; und&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; eine negative Korrelation: &nbsp; Ist&nbsp; $b(t)$&nbsp; positiv, so ist&nbsp; $b(t+7 \hspace{0.05cm}\rm ns)$&nbsp; wahrscheinlich negativ.
 {{ML-Fuß}}

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-{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert dieses bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert dieses bandbegrenzten Zufallssignals&nbsp; $b(t)$?
 |type="{}"}
 $\sigma_b \ = \ $ { 2 3% }   $\ \rm mV$
-{Welcher Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist (mindestens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
+{Welcher Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist (höchstens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
 |type="{}"}
 $T_{\rm A} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm ns$

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 - Die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; hat einen si-f&ouml;rmigen Verlauf.
 + Die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; ist ein Dirac bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $N_0/2$.
-+ Im mathematisch strengen Sinn gibt es kein wei&szlig;es Rauschen.
++ In der Praxis gibt es kein (exakt) wei&szlig;es Rauschen.
 + Thermisches Rauschen kann stets als wei&szlig; angen&auml;hert werden.
 - Wei&szlig;es Rauschen ist stets gau&szlig;verteilt.

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 }}
 [[Datei:P_ID409__Sto_Z_4_12.png|right|frame|Leistungsdichtespektren <br>von Weißem Rauschen]]
-Man bezeichnet ein Rauschsignal $n(t)$ als <i>wei&szlig;</i>, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.
+Man bezeichnet ein Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; als <i>wei&szlig;</i>, wenn darin alle spektralen Anteile ohne Bevorzugung von irgendwelchen Frequenzen enthalten sind.
-* Das physikalische, nur f&uuml;r positive Frequenzen $f$ definierte Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{n+}(f)$ ist konstant (gleich $N_0$) und reicht frequenzm&auml;&szlig;ig bis ins Unendliche.
+* Das physikalische, nur f&uuml;r positive Frequenzen $f$&nbsp; definierte Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist konstant&nbsp; $($gleich&nbsp; $N_0)$&nbsp; und reicht frequenzm&auml;&szlig;ig bis ins Unendliche.
-* ${\it \Phi}_{n+}(f)$ ist in der oberen Grafik grün dargestellt. Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur f&uuml;r positive Werte von $f$ g&uuml;ltig ist.
+* ${\it \Phi}_{n+}(f)$&nbsp; ist in der oberen Grafik grün dargestellt.&nbsp; Das Pluszeichen im Index soll anzeigen, dass die Funktion nur f&uuml;r positive Werte von $f$&nbsp; g&uuml;ltig ist.
-* Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{n}(f)$. Hier gilt f&uuml;r alle Frequenzen von $-\infty$ bis  $+\infty$ (blauer Kurvenzug im oberen  Bild):
+* Zur mathematischen Beschreibung verwendet man meist das zweiseitige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{n}(f)$.&nbsp; Hier gilt f&uuml;r alle Frequenzen von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp;  $+\infty$&nbsp; (blauer Kurvenzug im oberen  Bild):
 :$${\it \Phi}_n (f) ={N_0}/{2}.$$
-In der unteren Grafik sind die beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_{b}(f)$ und ${\it \Phi}_{b+}(f)$ eines bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschsignals $b(t)$ dargestellt. Es gilt mit der einseitigen Bandbreite $B$:
+In der unteren Grafik sind die beiden Leistungsdichtespektren&nbsp; ${\it \Phi}_{b}(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_{b+}(f)$&nbsp; eines bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschsignals&nbsp; $b(t)$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Es gilt mit der einseitigen Bandbreite&nbsp; $B$:
 :$${\it \Phi}_b(f)=\left\{ {N_0/2\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad |f|\le B \atop {\rm sonst}}\right.,$$
-:$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right..$$
+:$${\it \Phi}_{b+}(f)=\left\{ {N_0\atop 0}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad 0 \le f\le B \atop {\rm sonst}}\right.$$
-Bei der Rechnersimulation von Rauschvorg&auml;ngen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorg&auml;nge behandelt werden k&ouml;nnen. Dazu muss das [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]] eingehalten werden. Dieses sagt aus, dass die Bandbreite $B$ gemäß dem St&uuml;tzstellenabstand $T_{\rm A}$ der Simulation eingestellt werden muss.
+Bei der Rechnersimulation von Rauschvorg&auml;ngen muss stets von bandbegrenztem Rauschen ausgegangen werden, da nur zeitdiskrete Vorg&auml;nge behandelt werden k&ouml;nnen. Dazu muss das&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Das_Abtasttheorem|Abtasttheorem]]&nbsp; eingehalten werden.&nbsp; Dieses sagt aus, dass die Bandbreite&nbsp; $B$&nbsp; gemäß dem St&uuml;tzstellenabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; der Simulation eingestellt werden muss.
 Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von folgenden Zahlenwerten aus:
-* Die Rauschleistungsdichte &ndash; bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$ &ndash;  betr&auml;gt $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm  V^2/Hz$.
+* Die Rauschleistungsdichte &ndash;&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$&nbsp; &ndash;&nbsp;  betr&auml;gt&nbsp; $N_0 = 4 \cdot 10^{-14}\hspace{0.05cm}\rm  V^2/Hz$.
-* Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschens betr&auml;gt $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.
+* Die (einseitige) Bandbreite des bandbegrenzten wei&szlig;en Rauschens betr&auml;gt&nbsp; $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
-*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
-*Die Eigenschaften von weißem Rauschen sind im zweiten Teil des Lernvideos [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]] zusammengefasst.
+*Die Eigenschaften von weißem Rauschen werden im zweiten Teil des Lernvideos&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]]&nbsp; zusammengefasst.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen treffen bei einem wei&szlig;en Rauschsignal $n(t)$ immer zu? Begr&uuml;nden Sie Ihre Antworten.
+{Welche Aussagen treffen bei einem wei&szlig;en Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; immer zu?&nbsp; Begr&uuml;nden Sie Ihre Antworten.
 |type="[]"}
-- Die AKF $\varphi_n(\tau)$ hat einen si-f&ouml;rmigen Verlauf.
+- Die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; hat einen si-f&ouml;rmigen Verlauf.
-+ Die AKF $\varphi_n(\tau)$ ist ein Dirac bei $\tau = 0$ mit Gewicht $N_0/2$.
++ Die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; ist ein Dirac bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $N_0/2$.
 + Im mathematisch strengen Sinn gibt es kein wei&szlig;es Rauschen.
 + Thermisches Rauschen kann stets als wei&szlig; angen&auml;hert werden.
@@ Zeile 44: / Zeile 47: @@
-{Berechnen Sie die AKF $\varphi_b(\tau)$ des auf $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$ bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$. Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $\tau = 0$?
+{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_b(\tau)$&nbsp; des auf&nbsp; $B = 100 \hspace{0.08cm}\rm MHz$&nbsp; bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 0$?
 |type="{}"}
 $\varphi_b(\tau = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2$
-{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert dieses Rauschsignals?
+{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert dieses bandbegrenzten Zufallssignals $b(t)$?
 |type="{}"}
 $\sigma_b \ = \ $ { 2 3% }   $\ \rm mV$
-{Welcher Abtastabstand $T_{\rm A}$ ist (mindestens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal $b(t)$ zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
+{Welcher Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist (mindestens) zu w&auml;hlen, wenn das bandbegrenzte Signal&nbsp; $b(t)$&nbsp; zur zeitdiskreten Simulation von wei&szlig;em Rauschen eingesetzt wird?
 |type="{}"}
 $T_{\rm A} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm ns$
-{Gehen Sie vom Abtastabstand $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm   ns$ aus. Welche der Aussagen treffen dann f&uuml;r zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte des Signals $b(t)$ zu?
+{Gehen Sie vom Abtastabstand&nbsp; $T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}\rm   ns$&nbsp; aus.&nbsp; Welche der Aussagen treffen dann f&uuml;r zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte des Signals&nbsp; $b(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 - Die Abtastwerte sind unkorreliert.

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 *Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
 *Die Eigenschaften von weißem Rauschen sind im zweiten Teil des Lernvideos [Der AWGN-Kanal]] zusammengefasst.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.