Aufgaben:Aufgabe 4.12Z: Nochmals 4–QAM–Systeme - Versionsgeschichte

Guenter am 20. April 2022 um 11:45 Uhr

2022-04-20T11:45:53Z

Guenter am 20. April 2022 um 11:38 Uhr

2022-04-20T11:38:58Z

Guenter am 19. April 2022 um 15:16 Uhr

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Guenter am 22. April 2020 um 14:46 Uhr

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Guenter am 22. April 2020 um 14:38 Uhr

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Guenter am 22. April 2020 um 13:37 Uhr

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Guenter am 11. Januar 2019 um 17:11 Uhr

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Guenter am 11. Januar 2019 um 17:03 Uhr

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Guenter am 11. Januar 2019 um 17:01 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Aus der Angabe&nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$&nbsp; folgt &nbsp; ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$&nbsp;
+'''(1)'''&nbsp;  Aus der Angabe &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ &nbsp; folgt &nbsp; ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$&nbsp;
 *Mit der angegebenen Näherung gilt weiter:
 :$$p_{\rm B}  =  {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \approx \frac{1}{2 \cdot\sqrt{\pi \cdot{E_{\rm B}}/{N_0}} } \cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{N_0}}  =  {1}/{2 \cdot\sqrt{7.95 \cdot \pi }} \cdot {\rm e}^{-7.95}\approx \hspace{0.15cm}\underline {3.5 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}}.$$
-*Der exakte Wert&nbsp; $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$&nbsp; ist nur geringfügig kleiner.
+*Der exakte Wert &nbsp; $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$ &nbsp; ist nur geringfügig kleiner.
-'''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Aufgrund eines Phasenversatzes um&nbsp; $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$&nbsp; wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.
+*Aufgrund eines Phasenversatzes um&nbsp; $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$&nbsp; wurde das Phasendiagramm gedreht,&nbsp; was zu einer Degradation führt.
-*Die beiden Komponenten&nbsp; $\rm I$&nbsp; und&nbsp; $\rm Q$&nbsp; beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei  System &nbsp;$\rm (C)$.
+*Die beiden Komponenten&nbsp; $\rm I$&nbsp; und&nbsp; $\rm Q$&nbsp; beeinflussen sich zwar gegenseitig,&nbsp; es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei  System &nbsp;$\rm (C)$.
 *Ein &bdquo;Nyquistsystem&rdquo; führt niemals zu Impulsinterferenzen.
-'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des  Phasendiagramms &nbsp;$\rm (C)$, die den rauschfreien Fall markieren, erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen.
+*Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des  Phasendiagramms &nbsp;$\rm (C)$,&nbsp; die den rauschfreien Fall markieren,&nbsp; erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen.
 *Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls&nbsp; $g_s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  rechteckförmige Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; wurde hier ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Gau.C3.9Fimpuls|Gaußtiefpass]]&nbsp; mit der (normierten) Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} · T = 0.6$&nbsp; verwendet.
 *Dieser bewirkt Impulsinterferenzen.&nbsp; Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor&ndash; und Nachläufer pro Komponente hinweisen.
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-'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die Systeme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; sind nicht optimal.&nbsp; Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
+*Die Systeme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; sind nicht optimal.&nbsp; Daraus ist bereits ersichtlich,&nbsp; dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
-* Dagegen ist  die Aussage 2 richtig.&nbsp; Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt, besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit
+* Dagegen ist  die Aussage 2 richtig.&nbsp; Jedes 4–QAM–System,&nbsp; das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt,&nbsp; besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
-*Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm.&nbsp; Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
+*Die so genannte&nbsp; „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”,&nbsp; die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde,&nbsp; hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm.&nbsp; Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
-*Auch die dritte Aussage ist zutreffend.&nbsp; Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.
+*Auch die dritte Aussage ist zutreffend.&nbsp; Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; Fehlentscheidungen und zwar immer dann,&nbsp; wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.

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 {Berechnen Sie mit der angegebenen Näherung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von System &nbsp;$\rm (A)$.
 |type="{}"}
-$p_{\rm B} \ = \ $ { 3.5 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
+System &nbsp;$\rm (A):$ &nbsp; $p_{\rm B} \ = \ $ { 3.5 3% } $\ \cdot 10^{-5}$

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 [[Datei:P_ID1724__Mod_Z_4_11.png|right|frame|Phasendiagramme bei 4–QAM, ideal und mit  Degradationen]]
-Die Grafik &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter, wobei eine bei AWGN–Rauschen unter der Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; optimale Realisierungsform gewählt wurde:
+Die Grafik &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter,&nbsp; wobei eine bei AWGN–Rauschen unter der Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; optimale Realisierungsform gewählt wurde:
 * rechteckförmiger Sendegrundimpuls der Symboldauer &nbsp;$T$,
 * rechteckförmige Impulsantwort des Matched-Filters gleicher Breite &nbsp;$T$.
-Alle hier dargestellten Phasendiagramme &ndash; sowohl &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; als auch &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; &ndash; beziehen sich ausschließlich auf die Detektionszeitpunkte. Die Übergänge zwischen den einzelnen zeitdiskreten Punkten sind in diesem Phasendiagrammen also nicht eingezeichnet.
+Alle hier dargestellten Phasendiagramme &ndash; sowohl &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; als auch &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; &ndash; beziehen sich ausschließlich auf die Detektionszeitpunkte.&nbsp; Die Übergänge zwischen den einzelnen zeitdiskreten Punkten sind in diesem Phasendiagrammen also nicht eingezeichnet.
-*Es liegt hier ein AWGN–Kanal mit &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$&nbsp; vor.
+*Es liegt hier ein AWGN–Kanal mit &nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ &nbsp; vor.
 *Entsprechend gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des zunächst betrachteten Systems &nbsp;$\rm (A)$&nbsp;:
 :$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )\hspace{0.05cm}.$$
-Die Phasendiagramme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; gehören zu zwei Systemen, bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde. Auch bei diesen ist jeweils AWGN–Rauschen mit &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$&nbsp; vorausgesetzt.
+Die Phasendiagramme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; gehören zu zwei Systemen,&nbsp; bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde.&nbsp; Auch bei diesen ist wieder jeweils AWGN–Rauschen mit &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$&nbsp; vorausgesetzt.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]] im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo;.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger|"Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger"]]&nbsp; im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo;.
 *Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|gleichnamigen Abschnitt]]&nbsp; des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; erläutert.
-*Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
+*Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Diagrammen,&nbsp; wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
-*Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint nur deshalb etwas kleiner als die anderen, da &bdquo;Rot&rdquo; auf &bdquo;Schwarz&rdquo; schlechter zu erkennen ist.
+*Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser.&nbsp; Die rote Wolke erscheint nur deshalb etwas kleiner als die anderen,&nbsp; da &bdquo;Rot&rdquo; auf &bdquo;Schwarz&rdquo; schlechter zu erkennen ist.
 *Als eine hinreichend gute Näherung für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie verwenden:
 :$${\rm erfc}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Aus der Angabe $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ folgt &nbsp; ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$ Mit der angegebenen Näherung gilt weiter:
+'''(1)'''&nbsp;  Aus der Angabe&nbsp; $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$&nbsp; folgt &nbsp; ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$&nbsp;
 :$$p_{\rm B}  =  {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \approx \frac{1}{2 \cdot\sqrt{\pi \cdot{E_{\rm B}}/{N_0}} } \cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{N_0}}  =  {1}/{2 \cdot\sqrt{7.95 \cdot \pi }} \cdot {\rm e}^{-7.95}\approx \hspace{0.15cm}\underline {3.5 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}}.$$
-Der exakte Wert $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$ ist nur geringfügig kleiner.
+*Der exakte Wert&nbsp; $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$&nbsp; ist nur geringfügig kleiner.
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Aufgrund eines Phasenversatzes um $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.
+*Aufgrund eines Phasenversatzes um&nbsp; $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$&nbsp; wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.
-*Die beiden Komponenten I und Q beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei  System &nbsp;$\rm (C)$.
+*Die beiden Komponenten&nbsp; $\rm I$&nbsp; und&nbsp; $\rm Q$&nbsp; beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei  System &nbsp;$\rm (C)$.
 *Ein &bdquo;Nyquistsystem&rdquo; führt niemals zu Impulsinterferenzen.
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des  Phasendiagramms &nbsp;$\rm (C)$, die den rauschfreien Fall markieren, erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen.
-*Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls $g_s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ wurde hier ein [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Gau.C3.9Fimpuls|Gaußtiefpass]] mit der (normierten) Grenzfrequenz $f_{\rm G} · T = 0.6$ verwendet.
+*Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls&nbsp; $g_s(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  rechteckförmige Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; wurde hier ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Gau.C3.9Fimpuls|Gaußtiefpass]]&nbsp; mit der (normierten) Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} · T = 0.6$&nbsp; verwendet.
-*Dieser bewirkt Impulsinterferenzen. Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor&ndash; und Nachläufer pro Komponente hinweisen.
+*Dieser bewirkt Impulsinterferenzen.&nbsp; Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor&ndash; und Nachläufer pro Komponente hinweisen.
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die Systeme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; sind nicht optimal. Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
+*Die Systeme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; sind nicht optimal.&nbsp; Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
-* Dagegen ist  die Aussage 2 richtig. Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt, besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit
+* Dagegen ist  die Aussage 2 richtig.&nbsp; Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt, besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
-*Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System &nbsp;$\rm (A)$&nbsp;' und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm. Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
+*Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm.&nbsp; Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
-*Auch die dritte Aussage ist zutreffend. Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.
+*Auch die dritte Aussage ist zutreffend.&nbsp; Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.

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 *Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|gleichnamigen Abschnitt]]&nbsp; des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; erläutert.
 *Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
-*Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint etwas kleiner, da &bdquo;Rot&rdquo; auf &bdquo;Schwarz&rdquo; schlechter zu erkennen ist.
+*Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint nur deshalb etwas kleiner als die anderen, da &bdquo;Rot&rdquo; auf &bdquo;Schwarz&rdquo; schlechter zu erkennen ist.
 *Als eine hinreichend gute Näherung für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie verwenden:

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 [[Datei:P_ID1724__Mod_Z_4_11.png|right|frame|Phasendiagramme bei 4–QAM, ideal und mit  Degradationen]]
-Die Grafik '''(A)''' zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter, wobei eine bei AWGN–Rauschen optimale Realisierungsform gewählt wurde:
+Die Grafik &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter, wobei eine bei AWGN–Rauschen optimale Realisierungsform gewählt wurde:
-* rechteckförmiger Sendegrundimpuls der Symboldauer $T$,
+* rechteckförmiger Sendegrundimpuls der Symboldauer &nbsp;$T$,
-* rechteckförmige Impulsantwort des Matched-Filters gleicher Breite $T$.
+* rechteckförmige Impulsantwort des Matched-Filters gleicher Breite &nbsp;$T$.
-Es liegt hier ein AWGN–Kanal mit $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ vor. Entsprechend gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des zunächst betrachteten Systems '''(A)''':
+Alle hier dargestellten Phasendiagramme &ndash; sowohl &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; als auch &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; &ndash; beziehen sich ausschließlich auf die Detektionszeitpunkte. Die Übergänge zwischen den einzelnen zeitdiskreten Punkten sind in diesem Phasendiagrammen dagegen nicht eingezeichnet.
 :$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )\hspace{0.05cm}.$$
-Die Phasendiagramme '''(B)''' und '''(C)''' gehören zu zwei Systemen, bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde. Auch bei diesen ist jeweils AWGN–Rauschen mit $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ vorausgesetzt.
+Die Phasendiagramme &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; gehören zu zwei Systemen, bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde. Auch bei diesen ist jeweils AWGN–Rauschen mit &nbsp;$10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$&nbsp; vorausgesetzt.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]] im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo;.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Phasenversatz_zwischen_Sender_und_Empf.C3.A4nger|Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger]] im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo;.
-*Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|gleichnamigen Abschnitt]] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; erläutert.
+*Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|gleichnamigen Abschnitt]]&nbsp; des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; erläutert.
 *Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
 *Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint etwas kleiner, da &bdquo;Rot&rdquo; auf &bdquo;Schwarz&rdquo; schlechter zu erkennen ist.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie mit der angegebenen Näherung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von System '''(A)'''.
+{Berechnen Sie mit der angegebenen Näherung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von System &nbsp;$\rm (A)$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 3.3 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
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-{Welche Eigenschaften weist das System '''(B)''' auf?
+{Welche Eigenschaften weist das System &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
 + Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
 - Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
-- Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System '''(A)'''.
+- Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System &nbsp;$\rm (A)$.
-{ Welche Eigenschaften weist das System '''(C)''' auf?
+{ Welche Eigenschaften weist das System &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; auf?
 |type="[]"}
 - Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
 + Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
-- Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System '''(A)'''.
+- Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System &nbsp;$\rm (A)$.
 { Welche Aussagen sind bezüglich den Fehlerwahrscheinlichkeiten richtig?
 |type="[]"}
 - Alle drei Systeme weisen die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
-+ Die Fehlerwahrscheinlichkeit von System '''(A)''' ist am kleinsten.
++ Die Fehlerwahrscheinlichkeit von System &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; ist am kleinsten.
-+ Das System '''(B)''' besitzt eine größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als das System '''(C)'''.
++ Das System &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; besitzt eine größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als das System &nbsp;$\rm (C)$.