Aufgaben:Aufgabe 4.12: Wurzel–Nyquist–Systeme - Versionsgeschichte

Guenter am 19. April 2022 um 14:27 Uhr

2022-04-19T14:27:16Z

Guenter am 19. April 2022 um 12:35 Uhr

2022-04-19T12:35:02Z

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2020-04-21T16:47:11Z

Guenter am 21. April 2020 um 16:26 Uhr

2020-04-21T16:26:13Z

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2019-01-11T16:51:47Z

Guenter am 11. Januar 2019 um 16:38 Uhr

2019-01-11T16:38:42Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:31:24Z

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Guenter am 26. Juli 2017 um 15:46 Uhr

2017-07-26T15:46:17Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebene Gleichung&nbsp; $r = 0$&nbsp; ein, so verschwinden im Zähler und Nenner die jeweils ersten Terme und man erhält:
+'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebene Gleichung&nbsp; $r = 0$&nbsp; ein,&nbsp; so verschwinden im Zähler und Nenner die jeweils ersten Terme und man erhält:
 : $$g_s(t) = g_0 \cdot \frac{\sin \left (\pi \cdot t/T \right )}{\pi \cdot t/T} = g_0 \cdot {\rm si} \left (\pi \cdot {t}/{T} \right )\hspace{0.05cm}.$$
 *Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der&nbsp; $\rm si$–Impuls gleich&nbsp; $g_0$: &nbsp;
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 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Nulldurchgänge sind für&nbsp; $r = 1$&nbsp; nur möglich, wenn die Cosinusfunktion im Zähler Null ist, also für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $k$:
+*Nulldurchgänge sind für&nbsp; $r = 1$&nbsp; nur möglich,&nbsp; wenn die Cosinusfunktion im Zähler Null ist,&nbsp; also für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $k$:
 :$$2 \pi \cdot t/T = {\pi}/{2} + k \cdot \pi \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} t = \pm 0.25T, \hspace{0.15cm} \pm 0.75T, \hspace{0.15cm}\pm 1.25T, \hspace{0.15cm} ...$$
-*Richtig ist aber nur der letzte Lösungsvorschlag, da die Nullstellen bei&nbsp; $±0.25T$&nbsp; durch die Nullstelle im Nenner aufgehoben werden.
+*Richtig ist aber nur der letzte Lösungsvorschlag,&nbsp; da die Nullstellen bei&nbsp; $±0.25T$&nbsp; durch die Nullstelle im Nenner aufgehoben werden.
 *Die Anwendung der Regel von de l'Hospital liefert&nbsp; $g_s(t = ± 0.25T) = g_0$.
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 *Die Ableitungen von Zähler und Nenner ergeben:
 :$$Z'(x)  =  2 \cdot \cos \left (1.5\pi \cdot x \right ) - 3 \pi \cdot x \cdot \sin \left (1.5\pi \cdot x \right ) + 0.5 \pi \cdot \cos \left (0.5\pi \cdot x \right ),$$
-[[Datei:P_ID1723__Mod_A_4_11b.png|right|frame|Sendegrundimpuls (Wurzel–Nyquist) und Detektionsgrundimpuls (Nyquist)]]
+[[Datei:P_ID1723__Mod_A_4_11b.png|right|frame|Sendegrundimpuls (Wurzel–Nyquist,&nbsp; oben),&nbsp; <br>Detektionsgrundimpuls (Nyquist,&nbsp; unten)]]
 :$$N'(x)  =  \left (1- 4 \cdot x^2 \right ) - 8 \cdot x^2 \hspace{0.05cm}.$$
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 Die Grafik verdeutlicht nochmals die hier berechneten Ergebnisse:
-*Der Impuls&nbsp; $g_d(t)$&nbsp; ist ein Nyquistimpuls, das heißt, dass er zumindest bei allen Vielfachen der Symboldauer $T$ Nulldurchgänge  besitzt&nbsp; (je nach Rolloff–Faktor noch andere Nullstellen).
+*$g_d(t)$&nbsp; ist ein Nyquistimpuls,&nbsp; das heißt,&nbsp; dass er zumindest bei allen Vielfachen der Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; Nulldurchgänge  besitzt&nbsp; (je nach Rolloff–Faktor noch andere Nullstellen).
-*Der Impuls&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; erfüllt dagegen nicht die Nyquistbedingung.
+*$g_s(t)$&nbsp; erfüllt dagegen nicht die Nyquistbedingung.&nbsp; Außerdem erkennt man aus dieser Darstellung nochmals,&nbsp; dass für&nbsp; $r ≠ 0$&nbsp; die Impulsamplitude&nbsp; $g_s(t = 0)$&nbsp; stets größer als&nbsp; $g_0$&nbsp; ist.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>&nbsp; $($der erste Lösungsvorschlag scheidet bereits nach den Ergebnissen der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; aus$)$.&nbsp; Die Gültigkeit der unteren Schranke&nbsp; $g_0$&nbsp; und der oberen Schranke&nbsp; $4g_0/π$&nbsp; lässt sich wie folgt nachweisen:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>letzte Lösungsvorschlag</u>&nbsp; $($der erste Lösungsvorschlag scheidet bereits nach den Ergebnissen der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; aus$)$.&nbsp;
 * Die Impulsamplitude&nbsp; $g_s(t = 0)$&nbsp; ist grundsätzlich gleich der Fläche unter der Spektralfunktion&nbsp; $G_s(f)$.
 * Die kleinste Fläche ergibt sich für&nbsp; $r = 0$.&nbsp; Hier ist&nbsp; $G_s(f) = g_0 · T$&nbsp; im Bereich&nbsp; $|f| < ±1/(2T)$.&nbsp; Die Fläche ist somit gleich&nbsp; $g_0$.
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 '''(6)'''&nbsp; Die Energie des Sendegrundimpulses&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; kann man nach dem Satz von Parseval  im Zeit– oder auch im Frequenzbereich ermitteln:
 :$$E_{g_s} = \int_{ -\infty }^{+\infty} {[g_s(t)]^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}t = \int_{ -\infty }^{+\infty} {|G_s(f)|^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}f \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus den Gleichungen und der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass&nbsp; $|G_s(f)|^2$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $G_d(f)$&nbsp; ist, mit dem Unterschied, dass die Höhe nun&nbsp; $(g_0 · T)^2$&nbsp; anstelle von&nbsp; $g_0 · T$&nbsp; ist:
+*Aus den Gleichungen und der Grafik auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass&nbsp; $|G_s(f)|^2$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $G_d(f)$&nbsp; ist, <br>mit dem Unterschied,&nbsp; dass die Höhe nun&nbsp; $(g_0 · T)^2$&nbsp; anstelle von&nbsp; $g_0 · T$&nbsp; ist:
 :$$E_{g_s} = \int_{ -\infty }^{+\infty} {|G_s(f)|^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{g_0^2 \cdot T^2}{g_0 \cdot T} \cdot \int_{ -\infty }^{+\infty} {G_d(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f \hspace{0.05cm}.$$
 *Aufgrund der Nyquistform von&nbsp; $G_d(f)$&nbsp; gilt aber unabhängig von&nbsp; $r$:
 :$$\int_{ -\infty }^{+\infty} {G_d(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = g_0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit ist auch die Impulsenergie unabhängig von&nbsp; $r$, also auch gültig für&nbsp; $r = 0$&nbsp; und&nbsp; $r = 1$.&nbsp; In&nbsp; <u>beiden Fällen</u>&nbsp; ist&nbsp; $E_ {g_s}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.0} · g_0^2 · T.$
+*Damit ist auch die Impulsenergie unabhängig von&nbsp; $r$,&nbsp; also auch gültig für&nbsp; $r = 0$&nbsp; und&nbsp; $r = 1$. &nbsp; In&nbsp; <u>beiden Fällen</u>&nbsp; ist&nbsp; $E_ {g_s}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.0} · g_0^2 · T.$
 {{ML-Fuß}}

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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Nyquist.E2.80.93_und_Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93QAM.E2.80.93Systeme|"Nyquist- und Wurzel-Nyquist-Systeme"]]&nbsp; in diesem Kapitel.
+*Weitere hilfreiche Informationen erfahren Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|"Eigenschaften von Nyquistsystemen"]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
 * '''[Kam04]'''&nbsp; verweist auf das Fachbuch &bdquo;Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004&rdquo;.
 *Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.

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 [[Datei:P_ID1722__Mod_A_4_11.png|right|frame|Spektren von Sendegrundimpuls <br>und Detektionsgrundimpuls]]
-Bei Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckförmigen Sendegrundimpulses die&nbsp; ''Wurzel–Nyquist–Variante''&nbsp; gewählt, wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist.&nbsp; Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.
+Bei Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckförmigen Sendegrundimpulses die&nbsp; "Wurzel–Nyquist–Variante"&nbsp; gewählt,&nbsp; wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist.&nbsp; Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.
 *In diesem Fall erfüllt der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|erste Nyquistbedingung]],&nbsp; da &nbsp;$G_d(f)$&nbsp; punktsymmetrisch um die so genannte Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq} = 1/T$&nbsp; ist.
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-Die Optimierung digitaler Nachrichtenübertragungssysteme ergibt, dass der Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; formgleich mit dem Sendespektrum &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; sein sollte.
+Die Optimierung digitaler Nachrichtenübertragungssysteme ergibt,&nbsp; dass der Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; formgleich mit dem Sendespektrum &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; sein sollte.
-Um dimensionsrichtige Spektralfunktionen zu erhalten, wird für diese Aufgabe und die Grafik vorausgesetzt:
+Um dimensionsrichtige Spektralfunktionen zu erhalten,&nbsp; wird für diese Aufgabe und die Grafik vorausgesetzt:
 :$$G_s(f) = \sqrt{g_0 \cdot T \cdot G_d(f)},\hspace{0.4cm} H_{\rm E}(f) = \frac{1}{g_0 \cdot T}\cdot G_s(f)\hspace{0.05cm}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebene Gleichung $r = 0$ ein, so verschwinden im Zähler und Nenner die jeweils ersten Terme und man erhält:
+'''(1)'''&nbsp; Setzt man in die gegebene Gleichung&nbsp; $r = 0$&nbsp; ein, so verschwinden im Zähler und Nenner die jeweils ersten Terme und man erhält:
 : $$g_s(t) = g_0 \cdot \frac{\sin \left (\pi \cdot t/T \right )}{\pi \cdot t/T} = g_0 \cdot {\rm si} \left (\pi \cdot {t}/{T} \right )\hspace{0.05cm}.$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der si–Impuls gleich $g_0$: &nbsp; $ g_s(t) \hspace{0.15cm}\underline { = 1.0 } \cdot g_0 \hspace{0.05cm}.$
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der&nbsp; $\rm si$–Impuls gleich&nbsp; $g_0$: &nbsp;
 '''(2)'''&nbsp; Für $r = 1$ lässt sich die angegebene Gleichung wie folgt vereinfachen:
 :$$g_s(t) = \frac{4 \cdot g_0}{\pi} \cdot \frac{ \cos \left (2 \pi \cdot t/T \right )}{\left [1- (4 t/T)^2 \right ] }\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_s(t = 0) = \frac{4 \cdot g_0}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.273 }\cdot g_0 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Nulldurchgänge sind für $r = 1$ nur möglich, wenn die Cosinusfunktion im Zähler Null ist, also für alle ganzzahligen Werte von $k$:
+*Nulldurchgänge sind für&nbsp; $r = 1$&nbsp; nur möglich, wenn die Cosinusfunktion im Zähler Null ist, also für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $k$:
 :$$2 \pi \cdot t/T = {\pi}/{2} + k \cdot \pi \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} t = \pm 0.25T, \hspace{0.15cm} \pm 0.75T, \hspace{0.15cm}\pm 1.25T, \hspace{0.15cm} ...$$
-*Richtig ist aber nur der letzte Lösungsvorschlag, da die Nullstellen bei $±0.25T$ durch die Nullstelle im Nenner aufgehoben werden.
+*Richtig ist aber nur der letzte Lösungsvorschlag, da die Nullstellen bei&nbsp; $±0.25T$&nbsp; durch die Nullstelle im Nenner aufgehoben werden.
-*Die Anwendung der Regel von de l'Hospital liefert $g_s(t = ± 0.25T) = g_0$.
+*Die Anwendung der Regel von de l'Hospital liefert&nbsp; $g_s(t = ± 0.25T) = g_0$.
-'''(4)'''&nbsp;  Mit $r = 0.5$ und der Abkürzung $x = t/T$ erhält man:
+'''(4)'''&nbsp;  Mit&nbsp; $r = 0.5$&nbsp; und der Abkürzung&nbsp; $x = t/T$&nbsp; erhält man:
 :$$g_s(x) = \frac{g_0}{\pi} \cdot \frac{2 \cdot x \cdot \cos \left (1.5\pi \cdot x \right )+ \sin \left (0.5\pi \cdot x \right )}{\left (1- 4 \cdot x^2 \right ) \cdot x}\hspace{0.05cm}.$$
-*Für die Berechnung zum Zeitpunkt $t = 0$ muss die Regel von de l'Hospital angewandt werden.
+*Für die Berechnung zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; muss die Regel von de l'Hospital angewandt werden.
 *Die Ableitungen von Zähler und Nenner ergeben:
 :$$Z'(x)  =  2 \cdot \cos \left (1.5\pi \cdot x \right ) - 3 \pi \cdot x \cdot \sin \left (1.5\pi \cdot x \right ) + 0.5 \pi \cdot \cos \left (0.5\pi \cdot x \right ),$$
 :$$N'(x)  =  \left (1- 4 \cdot x^2 \right ) - 8 \cdot x^2 \hspace{0.05cm}.$$
-*Die beiden Grenzübergänge für $x → 0$ liefern:
+*Die beiden Grenzübergänge für&nbsp; $x → 0$&nbsp; liefern:
 :$$\lim_{x \rightarrow 0} Z'(x) = 2 +{\pi }/{2},\hspace{0.2cm} \lim_{x \rightarrow 0} N'(x) = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit gilt für die Signalamplitude zum Zeitpunkt $t = 0$:
+*Damit gilt für die Signalamplitude zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$g_s(t=0) = \frac{g_0}{\pi} \cdot \left ( 2 +{\pi }/{2} \right ) = {g_0} \cdot \left ( 0.5 + {2}/{\pi } \right )\hspace{0.15cm}\underline {= 1.137} \cdot g_0 \hspace{0.05cm}.$$
 Die Grafik verdeutlicht nochmals die hier berechneten Ergebnisse:
-*Der Impuls $g_d(t)$ ist ein Nyquistimpuls, das heißt, dass er  besitzt zumindest bei allen Vielfachen der Symboldauer $T$ Nulldurchgänge (je nach Rolloff–Faktor noch andere Nullstellen).
+*Der Impuls&nbsp; $g_d(t)$&nbsp; ist ein Nyquistimpuls, das heißt, dass er zumindest bei allen Vielfachen der Symboldauer $T$ Nulldurchgänge  besitzt&nbsp; (je nach Rolloff–Faktor noch andere Nullstellen).
-*Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ erfüllt dagegen die Nyquistbedingung nicht.
+*Der Impuls&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; erfüllt dagegen nicht die Nyquistbedingung.
-*Außerdem erkennt man aus dieser Darstellung nochmals, dass für $r ≠ 0$ die Impulsamplitude $g_s(t = 0)$ stets größer als $g_0$ ist.
+*Außerdem erkennt man aus dieser Darstellung nochmals, dass für&nbsp; $r ≠ 0$&nbsp; die Impulsamplitude&nbsp; $g_s(t = 0)$&nbsp; stets größer als&nbsp; $g_0$&nbsp; ist.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>&nbsp; $($der erste Lösungsvorschlag scheidet bereits nach den Ergebnissen der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; aus$)$.&nbsp; Die Gültigkeit der unteren Schranke&nbsp; $g_0$&nbsp; und der oberen Schranke&nbsp; $4g_0/π$&nbsp; lässt sich wie folgt nachweisen:
-*Der erste Lösungsvorschlag scheidet bereits nach den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(2)''' und '''(4)''' aus.
+* Die Impulsamplitude&nbsp; $g_s(t = 0)$&nbsp; ist grundsätzlich gleich der Fläche unter der Spektralfunktion&nbsp; $G_s(f)$.
+* Die kleinste Fläche ergibt sich für&nbsp; $r = 0$.&nbsp; Hier ist&nbsp; $G_s(f) = g_0 · T$&nbsp; im Bereich&nbsp; $|f| < ±1/(2T)$.&nbsp; Die Fläche ist somit gleich&nbsp; $g_0$.
-'''(6)'''&nbsp; Die Energie des Sendegrundimpulses $g_s(t)$ kann man nach dem Satz von Parseval  im Zeit– oder auch im Frequenzbereich ermitteln:
+'''(6)'''&nbsp; Die Energie des Sendegrundimpulses&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; kann man nach dem Satz von Parseval  im Zeit– oder auch im Frequenzbereich ermitteln:
 :$$E_{g_s} = \int_{ -\infty }^{+\infty} {[g_s(t)]^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}t = \int_{ -\infty }^{+\infty} {|G_s(f)|^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}f \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus den Gleichungen und der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass $|G_s(f)|^2$ formgleich mit $G_d(f)$ ist, mit dem Unterschied, dass die Höhe nun $(g_0 · T)^2$ anstelle von $g_0 · T$ ist:
+*Aus den Gleichungen und der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass&nbsp; $|G_s(f)|^2$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $G_d(f)$&nbsp; ist, mit dem Unterschied, dass die Höhe nun&nbsp; $(g_0 · T)^2$&nbsp; anstelle von&nbsp; $g_0 · T$&nbsp; ist:
 :$$E_{g_s} = \int_{ -\infty }^{+\infty} {|G_s(f)|^2}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{g_0^2 \cdot T^2}{g_0 \cdot T} \cdot \int_{ -\infty }^{+\infty} {G_d(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f \hspace{0.05cm}.$$
-*Aufgrund der Nyquistform von $G_d(f)$ gilt aber unabhängig von $r$:
+*Aufgrund der Nyquistform von&nbsp; $G_d(f)$&nbsp; gilt aber unabhängig von&nbsp; $r$:
 :$$\int_{ -\infty }^{+\infty} {G_d(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = g_0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit ist auch die Impulsenergie unabhängig von $r$, also auch gültig für $r = 0$ und $r = 1$. In <u>beiden Fällen</u> ist
+*Damit ist auch die Impulsenergie unabhängig von&nbsp; $r$, also auch gültig für&nbsp; $r = 0$&nbsp; und&nbsp; $r = 1$.&nbsp; In&nbsp; <u>beiden Fällen</u>&nbsp; ist&nbsp; $E_ {g_s}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.0} · g_0^2 · T.$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID1722__Mod_A_4_11.png|right|frame|Spektren von Sendegrundimpuls und Detektionsgrundimpuls]]
+[[Datei:P_ID1722__Mod_A_4_11.png|right|frame|Spektren von Sendegrundimpuls <br>und Detektionsgrundimpuls]]
-Bei Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckförmigen Sendegrundimpulses die&nbsp; ''Wurzel–Nyquist–Variante''&nbsp; gewählt, wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist. Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.
+Bei Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckförmigen Sendegrundimpulses die&nbsp; ''Wurzel–Nyquist–Variante''&nbsp; gewählt, wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist.&nbsp; Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.
-*In diesem Fall erfüllt der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|erste Nyquistbedingung]], da &nbsp;$G_d(f)$&nbsp; punktsymmetrisch um die so genannte Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq} = 1/T$ ist.
+*In diesem Fall erfüllt der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|erste Nyquistbedingung]],&nbsp; da &nbsp;$G_d(f)$&nbsp; punktsymmetrisch um die so genannte Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq} = 1/T$&nbsp; ist.
 *Die Spektralfunktion $G_d(f)$&nbsp; ist ein &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus–Rolloff–Spektrum]], wobei der Rolloff–Faktor &nbsp;$r$&nbsp; Werte zwischen &nbsp;$0$&nbsp; und &nbsp;$1$&nbsp; (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann.
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 Die obere Grafik zeigt das Sendespektrum &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; für die Rolloff–Faktoren
-*$r = 0$&nbsp; (grün punktiertes Rechteck),
+*$r = 0$ &nbsp; (grün punktiertes Rechteck),
-*$r = 0.5$&nbsp; (blaue durchgezogene Kurve),
+*$r = 0.5$ &nbsp; (blaue durchgezogene Kurve),
-*$r = 1$&nbsp; (rote gestrichelte  Kurve).
+*$r = 1$ &nbsp; (rote gestrichelte  Kurve).
-Unten ist das Spektrum $G_d(f)$ vor dem Entscheider in gleichen Farben dargestellt.
+Unten ist das Spektrum&nbsp; $G_d(f)$&nbsp; vor dem Entscheider in gleichen Farben dargestellt.
-*Der dazugehörige Impuls $g_d(t)$ ist für alle gültigen Rolloff–Faktoren ($0 ≤ r ≤ 1$) ein [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|Nyquistimpuls]] im Gegensatz zum Sendegrundimpuls $g_s(t)$.
+*Der dazugehörige Impuls&nbsp; $g_d(t)$&nbsp; ist für alle gültigen Rolloff–Faktoren&nbsp; $(0 ≤ r ≤ 1)$&nbsp; ein &nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|Nyquistimpuls]] &nbsp; im Gegensatz zum Sendegrundimpuls&nbsp; $g_s(t)$.
-*Für diesen wird in der Literatur – zum Beispiel in '''[Kam04]''' – folgende Gleichung angegeben:
+*Für diesen wird in der Literatur – zum Beispiel in&nbsp; '''[Kam04]''' – folgende Gleichung angegeben:
 :$$g_s(t) = g_0 \cdot \frac{4 r t/T \cdot \cos \left [\pi \cdot (1+r) \cdot t/T \right ]+ \sin \left [\pi \cdot (1-r) \cdot t/T \right ]}{\left [1- (4 r t/T)^2 \right ] \cdot \pi \cdot t/T}\hspace{0.05cm}.$$
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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Nyquist.E2.80.93_und_Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93QAM.E2.80.93Systeme|Nyquist- und Wurzel-Nyquist-Systeme]]&nbsp; in diesem Kapitel.
 *Weitere hilfreiche Informationen erfahren Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
-* '''[Kam04]''' verweist auf das Fachbuch &bdquo;Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004&rdquo;.
+* '''[Kam04]'''&nbsp; verweist auf das Fachbuch &bdquo;Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004&rdquo;.
 *Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
+{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0$?&nbsp; Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $g_s(t = 0) \ = \ $  { 1 3% } $\ \cdot g_0$
-{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 1$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
+{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 1$?&nbsp; Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $g_s(t = 0) \ = \ $ { 1.273 3% }  $\ \cdot g_0$
-{Es gelte weiter &nbsp;$r = 1$. Zu welchen Zeiten hat &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; Nulldurchgänge?
+{Es gelte weiter &nbsp;$r = 1$.&nbsp; Zu welchen Zeiten hat &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; Nulldurchgänge?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Bei allen Vielfachen der Symboldauer &nbsp;$T$.
 - Bei &nbsp;$t = ±0.25 T, \ ±0.75 T, \ ±1.25 T, \ ±1.75 T$, ...
 + Bei &nbsp;$t = ±0.75 T, \ ±1.25 T,\  ±1.75 T$, ...
-{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0.5$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
+{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0.5$?&nbsp; Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $g_s(t = 0) \ = \ $ { 1.137 3% } $\ \cdot g_0$
-{Welche Aussagen sind für die Signalamplitude unabhängig von &nbsp;$r$&nbsp; gültig? Lösen Sie diese Teilaufgabe im Frequenzbereich.
+{Welche Aussagen sind für die Signalamplitude unabhängig von &nbsp;$r$&nbsp; gültig?&nbsp; Lösen Sie diese Teilaufgabe im Frequenzbereich.
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp;$0 ≤ g_s(t = 0) ≤ g_0$&nbsp; annehmen.
+- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp; $0 ≤ g_s(t = 0) ≤ g_0$ &nbsp; annehmen.
-- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp;$g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 2 g_0$&nbsp; annehmen.
+- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp; $g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 2 g_0$ &nbsp; annehmen.
-+ Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp;$g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 4 g_0/π$&nbsp; annehmen.
++ Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp; $g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 4 g_0/π$ &nbsp; annehmen.
 {Wie groß ist die Energie &nbsp;$E_{g_s}$&nbsp; des Sendegrundimpulses &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für &nbsp;$r = 0$&nbsp; und &nbsp;$r = 1$?

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 [[Datei:P_ID1722__Mod_A_4_11.png|right|frame|Spektren von Sendegrundimpuls und Detektionsgrundimpuls]]
-Bei den Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckigen Sendegrundimpulses die ''Wurzel–Nyquist–Variante'' gewählt, wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist. Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.
+Bei Quadraturamplitudenmodulationssystemen wird häufig anstelle eines rechteckförmigen Sendegrundimpulses die&nbsp; ''Wurzel–Nyquist–Variante''&nbsp; gewählt, wobei dieser Name aus dem Spektralbereich abgeleitet ist. Der Grund hierfür ist die signifikant kleinere Bandbreite.
 Weiterhin gilt für den Nyquist–Frequenzgang:
-* Für $|f| < f_1 = f_{Nyq} · (1 – r)$ ist $G_d(f)$ konstant gleich $g_0 · T$.
+* Für &nbsp;$|f| < f_1 = f_{\rm Nyq} · (1 – r)$&nbsp; ist &nbsp;$G_d(f)$&nbsp; konstant gleich &nbsp;$g_0 · T$.
-* Bei Frequenzen größer als $f_2 = f_{Nyq} · (1 + r)$ hat $G_d(f)$ keine Anteile.
+* Bei Frequenzen größer als &nbsp;$f_2 = f_{\rm Nyq} · (1 + r)$&nbsp; hat &nbsp;$G_d(f)$&nbsp; keine Anteile.
 * Dazwischen verläuft die Flanke cosinusförmig.
 Die Optimierung digitaler Nachrichtenübertragungssysteme ergibt, dass der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit dem Sendespektrum $G_s(f)$ sein sollte. Um dimensionsrichtige Spektralfunktionen zu erhalten, wird für diese Aufgabe und die Grafik vorausgesetzt:
 :$$G_s(f) = \sqrt{g_0 \cdot T \cdot G_d(f)},\hspace{0.4cm} H_{\rm E}(f) = \frac{1}{g_0 \cdot T}\cdot G_s(f)\hspace{0.05cm}.$$
-Die obere Grafik zeigt das Sendespektrum $G_s(f)$ für die Rolloff–Faktoren
+Die obere Grafik zeigt das Sendespektrum &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; für die Rolloff–Faktoren
-*$r = 0$ (grün punktiertes Rechteck),
+*$r = 0$&nbsp; (grün punktiertes Rechteck),
-*$r = 0.5$ (blaue durchgezogene Linie),
+*$r = 0.5$&nbsp; (blaue durchgezogene Kurve),
-*$r = 1$ (rotes gestricheltes  Trapez).
+*$r = 1$&nbsp; (rote gestrichelte  Kurve).
-Unten ist das Spektrum $G_d(f)$ vor dem Entscheider in gleichen Farben dargestellt. Der dazugehörige Impuls $g_d(t)$ ist für alle gültigen Rolloff–Faktoren ($0 ≤ r ≤ 1$) ein [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Zeitbereich|Nyquistimpuls]] im Gegensatz zum Sendegrundimpuls $g_s(t)$. Für diesen wird in der Literatur – zum Beispiel in '''[Kam04]''' – folgende Gleichung angegeben:
+Unten ist das Spektrum $G_d(f)$ vor dem Entscheider in gleichen Farben dargestellt.
 :$$g_s(t) = g_0 \cdot \frac{4 r t/T \cdot \cos \left [\pi \cdot (1+r) \cdot t/T \right ]+ \sin \left [\pi \cdot (1-r) \cdot t/T \right ]}{\left [1- (4 r t/T)^2 \right ] \cdot \pi \cdot t/T}\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Nyquist.E2.80.93_und_Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93QAM.E2.80.93Systeme|Nyquist- und Wurzel-Nyquist-Systeme]] in diesem Kapitel.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Nyquist.E2.80.93_und_Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93QAM.E2.80.93Systeme|Nyquist- und Wurzel-Nyquist-Systeme]]&nbsp; in diesem Kapitel.
-*Weitere hilfreiche Informationen erfahren Sie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.
+*Weitere hilfreiche Informationen erfahren Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]]&nbsp; des Buches „Digitalsignalübertragung”.
-* '''[Kam04]''' verweist auf das empfehlenswert Fachbuch &bdquo;Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004&rdquo;.
+* '''[Kam04]''' verweist auf das Fachbuch &bdquo;Kammeyer, K.D.: Nachrichtenübertragung. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004&rdquo;.
-*Energien sind in  $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.
+*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ für den Rolloff–Faktor $r = 0$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $g_s(t = 0) \ = \ $  { 1 3% } $\ \cdot g_0$
-{Wie lautet der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ für den Rolloff–Faktor $r = 1$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 1$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $g_s(t = 0) \ = \ $ { 1.273 3% }  $\ \cdot g_0$
-{Es gelte weiter $r = 1$. Zu welchen Zeiten hat $g_s(t)$ Nulldurchgänge?
+{Es gelte weiter &nbsp;$r = 1$. Zu welchen Zeiten hat &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; Nulldurchgänge?
 |type="[]"}
-- Bei allen Vielfachen der Symboldauer $T$.
+- Bei allen Vielfachen der Symboldauer &nbsp;$T$.
-- Bei $t = ±0.25 T, ±0.75 T, ±1.25 T, ±1.75 T$, ...
+- Bei &nbsp;$t = ±0.25 T, \ ±0.75 T, \ ±1.25 T, \ ±1.75 T$, ...
-+ Bei $t = ±0.75 T, ±1.25 T, ±1.75 T$, ...
++ Bei &nbsp;$t = ±0.75 T, \ ±1.25 T,\  ±1.75 T$, ...
-{Wie lautet der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ für den Rolloff–Faktor $r = 0.5$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Wie lautet der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für den Rolloff–Faktor &nbsp;$r = 0.5$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $g_s(t = 0) \ = \ $ { 1.137 3% } $\ \cdot g_0$
-{Welche Aussagen sind für die Signalamplitude unabhängig von $r$ gültig? Lösen Sie diese Teilaufgabe im Frequenzbereich.
+{Welche Aussagen sind für die Signalamplitude unabhängig von &nbsp;$r$&nbsp; gültig? Lösen Sie diese Teilaufgabe im Frequenzbereich.
 |type="[]"}
-- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich $0 ≤ g_s(t = 0) ≤ g_0$ annehmen.
+- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp;$0 ≤ g_s(t = 0) ≤ g_0$&nbsp; annehmen.
-- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich $g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 2 g_0$ annehmen.
+- Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp;$g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 2 g_0$&nbsp; annehmen.
-+ Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich $g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 4 g_0/π$ annehmen.
++ Die Sendeimpulsamplitude kann alle Werte im Bereich &nbsp;$g_0 ≤ g_s(t = 0) ≤ 4 g_0/π$&nbsp; annehmen.
-{Wie groß ist die Energie $E_{g_s}$ des Sendegrundimpulses $g_s(t)$ für $r = 0$ und $r = 1$?
+{Wie groß ist die Energie &nbsp;$E_{g_s}$&nbsp; des Sendegrundimpulses &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; für &nbsp;$r = 0$&nbsp; und &nbsp;$r = 1$?
 |type="{}"}
-$r = 0\text{:} \ \   E_{g_s} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0^2 \cdot T$
+$r = 0\text{:} \ \ \ \  E_{g_s} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0^2 \cdot T$
-$r = 1\text{:} \ \   E_{g_s} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0^2 \cdot T$
+$r = 1\text{:} \ \ \ \  E_{g_s} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot g_0^2 \cdot T$
 </quiz>

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(kein Unterschied)