Aufgaben:Aufgabe 4.12: Leistungsdichtespektrum eines Binärsignals - Versionsgeschichte

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2022-03-16T15:56:50Z

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Guenter am 2. Dezember 2019 um 10:19 Uhr

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2019-12-02T09:38:17Z

Guenter am 20. August 2018 um 07:08 Uhr

2018-08-20T07:08:41Z

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2018-08-20T06:57:48Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:45:05Z

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Guenter am 27. März 2017 um 12:15 Uhr

2017-03-27T12:15:45Z

Guenter am 27. März 2017 um 12:10 Uhr

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Guenter am 27. März 2017 um 12:08 Uhr

2017-03-27T12:08:18Z

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei: P_ID406__Sto_A_4_12_a.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum mit Gleichanteil]]
-'''(1)'''&nbsp; Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF. Mit der Fourierkorrespondenz auf der Angabenseite und $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm  V$ erh&auml;lt man:
+'''(1)'''&nbsp; Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF.
 :$${\it \Phi}_x(f)= x_{\rm 0}^2 \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T).$$
-Die gesuchten LDS-Werte sind:
+*Die gesuchten LDS-Werte sind:
 :$${\it \Phi}_x(f = 0)\hspace{0.15cm}\underline {=4} \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz,$$
 :$${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline {=1.62} \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz,$$
 :$${\it \Phi}_x(f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline {=0}.$$
-Bei $f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz $ besitzt  das Leistungsdichtespektrum die erste Nullstelle.
+*Bei&nbsp; $f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz $&nbsp; besitzt  das Leistungsdichtespektrum die erste Nullstelle.
 [[Datei:P_ID407__Sto_A_4_12_b.png|right|frame|Autokorrelationsfunktion mit Gleichanteil ]]
 '''(2)'''&nbsp; Aufgrund des rechteckigen Signalverlaufs &auml;ndert sich an der Dreiecksform der AKF prinzipiell nichts.
-*Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt wieder das Moment zweiter Ordnung an.
+*Der AKF-Wert bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; gibt wieder das Moment zweiter Ordnung an.
-*Mit $p = 0.25$ erh&auml;lt man:
+*Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erh&auml;lt man:
 :$$\varphi_y( 0) = {1}/{4}\cdot {(\rm 4\hspace{0.05cm}V)}^2 + {3}/{4}\cdot {(\rm 0\hspace{0.05cm}V)}^2 \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 4\,V^2}}.$$
-*Ab $\tau =T$ ist die AKF konstant gleich $m_y^2$.
+*Ab&nbsp; $\tau =T$&nbsp; ist die AKF konstant gleich&nbsp; $m_y^2$.
-*Mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.25$ und &nbsp;$m_y = p \cdot {\rm 4\hspace{0.05cm}V} + (1-p)\cdot {\rm 0\hspace{0.05cm}V} = 1 \, \rm V$&nbsp; erh&auml;lt man ab $\tau =T$ den konstanten Wert $\varphi_y( \tau >T) \hspace{0.15cm}\underline {=\rm 1\,V^2}$.
+*Mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; und &nbsp;$m_y = p \cdot {\rm 4\hspace{0.05cm}V} + (1-p)\cdot {\rm 0\hspace{0.05cm}V} = 1 \, \rm V$&nbsp; erh&auml;lt man ab&nbsp; $\tau =T$&nbsp; den konstanten Wert&nbsp; $\varphi_y( \tau >T) \hspace{0.15cm}\underline {=\rm 1\,V^2}$.
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 :$$\varphi_y(\tau) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}^2 + 3\hspace{0.05cm}{\rm V}^2 \cdot \Delta (\tau).$$
-*Der AKF-Gleichanteil (mit $1\hspace{0.05cm}{\rm V}^2$) f&uuml;hrt im LDS zu einer Diracfunktion bei $f = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Skizze zur Teilaufgabe '''(1)'''.
+*Der AKF-Gleichanteil&nbsp; $($mit&nbsp; $1\hspace{0.05cm}{\rm V}^2)$&nbsp; f&uuml;hrt im LDS zu einer Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Skizze zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
-*Der dreieckf&ouml;rmige AKF-Term bewirkt einen kontinuierlichen LDS-Anteil entsprechend der $\rm si^2$-Form:
+*Der dreieckf&ouml;rmige AKF-Term bewirkt einen kontinuierlichen LDS-Anteil entsprechend der&nbsp; $\rm si^2$-Form:
 :$${\it \Phi}_y(f)= 1{\rm V}^2 \cdot {\rm \delta   } (f) + 3 \cdot 10^{-6}\  {\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}  \cdot {\rm si}^2(\pi f T).$$
-*F&uuml;r $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f \cdot T =0.5$ ergibt sich der LDS-Wert zu ${\underline {1.216} \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz}$.
+*F&uuml;r&nbsp; $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f \cdot T =0.5$&nbsp; ergibt sich der LDS-Wert zu&nbsp; ${\underline {1.216} \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz}$.
-'''(4)'''&nbsp; Die Leistung ist als Integral &uuml;ber das LDS berechenbar. Unter Ber&uuml;cksichtigung der spektralen Begrenzung auf $ 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz$ erh&auml;lt man mit der Substitution $u =f \cdot T$:
+'''(4)'''&nbsp; Die Leistung ist als Integral &uuml;ber das LDS berechenbar.
 :$$P_{\rm M} = 1{\rm V}^2  + 3 \cdot 10^{-6} {{\rm V^2} /{\rm Hz}} \cdot \int^{\rm 1 MHz}_{-\rm 1 MHz} {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = 1{\rm V}^2  + 3  V^2 \cdot 2 \cdot \int^{1}_{\rm 0} {\rm si}^2(\pi u)\hspace{0.1cm}{\rm d}u = (1 + 3\cdot 2 \cdot 0.456)\,{\rm V^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 3.736 \, {\rm V^2}}. $$
-W&uuml;rden dagegen alle Spektralanteile erfasst, erg&auml;be sich die mittlere Leistung zu $\varphi_y( \tau=  0) = 4 \, {\rm V^2}$.
+*W&uuml;rden dagegen alle Spektralanteile erfasst, erg&auml;be sich die mittlere Leistung zu&nbsp; $\varphi_y( \tau=  0) = 4 \, {\rm V^2}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID405__Sto_A_4_12.png|right|300px|frame|Binäre Rechtecksignale]]
-Wir betrachten ein rechteckf&ouml;rmiges Bin&auml;rsignal $x(t)$ mit gleichwahrscheinlichen Amplitudenwerten $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $-2\hspace{0.05cm}\rm V$.
+Wir betrachten ein rechteckf&ouml;rmiges Bin&auml;rsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit gleichwahrscheinlichen Amplitudenwerten&nbsp; $+2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $-2\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*Die Symboldauer betr&auml;gt $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
+*Die Symboldauer betr&auml;gt&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
-*In [[Aufgaben:4.10_Binär_und_quaternär|Aufgabe 4.10]] wurde bereits gezeigt, dass die dazugeh&ouml;rige AKF auf den Bereich von $-T \le  \tau\le +T$ beschr&auml;nkt ist und in diesem Bereich dreieckf&ouml;rmig verl&auml;uft:
+*In&nbsp; [[Aufgaben:4.10_Binär_und_quaternär|Aufgabe 4.10]]&nbsp; wurde bereits gezeigt, dass die dazugeh&ouml;rige AKF auf den Bereich von&nbsp; $-T \le  \tau\le +T$&nbsp; beschr&auml;nkt ist und in diesem Bereich dreieckf&ouml;rmig verl&auml;uft:
 :$$\varphi_x (\tau) =  4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2 \cdot (1 - | \tau |/{T}).$$
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-Das unten skizzierte Signal $y(t)$ ist ebenfalls bin&auml;r und rechteckf&ouml;rmig mit der gleichen Symboldauer $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
+Das unten skizzierte Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist ebenfalls bin&auml;r und rechteckf&ouml;rmig mit der gleichen Symboldauer&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
-*Die m&ouml;glichen Amplitudenwerte sind nun aber $0\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Die m&ouml;glichen Amplitudenwerte sind nun aber&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $4\hspace{0.05cm}\rm V$.
-* Der Amplitudenwert $4\hspace{0.05cm}\rm V$ tritt seltener auf als $0\hspace{0.05cm}\rm V$. Es gilt:
+* Der Amplitudenwert&nbsp; $4\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; tritt seltener auf als&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$. Es gilt:
 :$${\rm Pr}(x(t) = 4 \hspace{0.05cm} {\rm V}) = p\hspace{0.5cm} {\rm mit}\hspace{0.5cm} 0 < p \le 0.25.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
-*Beachten Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei ${\rm \Delta} (t)$ einen um $t= 0$ symmetrischen Dreieckimpuls mit ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$ und ${\rm \Delta} (t) = 0$ f&uuml;r $|t| \ge T$ bezeichnet:
+*Beachten Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei&nbsp; ${\rm \Delta} (t)$&nbsp; einen um&nbsp; $t= 0$&nbsp; symmetrischen Dreieckimpuls mit&nbsp; ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm \Delta} (t) = 0$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $|t| \ge T$&nbsp; bezeichnet:
 :$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
-*Weiterhin gilt die Notation ${\rm si}(x)  = \sin(x)/x$ mit folgendem Integralwert:
+*Weiterhin gilt die Notation&nbsp; ${\rm si}(x)  = \sin(x)/x$&nbsp; mit folgendem Integralwert:
 :$$\int^1_0 {\rm si}^2 ( \pi \cdot u) \, {\rm d}u \ \approx 0.456.$$
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_x(f)$ des bipolaren Zufallssignals $x(t)$ an.
+{Geben Sie das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; des bipolaren Zufallssignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; an.&nbsp;
-<br>Welche LDS-Werte ergeben sich f&uuml;r $f= 0$, $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$  und $f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz$?
+Welche LDS-Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $f= 0$,&nbsp; $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$&nbsp;  und&nbsp; $f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_x(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
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-{Berechnen Sie die AKF $\varphi_y(\tau)$ des unipolaren Zufallssignals $x(t)$. <br>Welche AKF-Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau =0$, $\tau =T$ und $\tau =2T$?
+{Berechnen Sie die AKF&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; des unipolaren Zufallssignals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Welche AKF-Werte ergeben sich mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $\tau =0$,&nbsp; $\tau =T$&nbsp; und&nbsp; $\tau =2T$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\varphi_y(\tau = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 51: / Zeile 54: @@
-{Berechnen Sie das zugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welcher LDS-Wert ergibt sich f&uuml;r $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$?
+{Berechnen Sie das zugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$.&nbsp; Welcher LDS-Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$&nbsp;?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.08cm}\rm kHz) \ = \ $ { 1.216 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-{Welche mittlere Signalleistung $P_{\rm M}$ (bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$) zeigt ein Messger&auml;t an, das nur Leistungsanteile bis $1  \hspace{0.05cm}\rm  MHz$ erfasst?
+{Welche mittlere Signalleistung&nbsp; $P_{\rm M}$&nbsp; $($bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega)$&nbsp; zeigt ein Messger&auml;t an, das nur Leistungsanteile bis&nbsp; $1  \hspace{0.05cm}\rm  MHz$&nbsp; erfasst?
 |type="{}"}
 $P_{\rm M} \ = \ $ { 3.736 3% } $\ \rm V^2$

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 :$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$
 *Weiterhin gilt die Notation ${\rm si}(x)  = \sin(x)/x$ mit folgendem Integralwert:
-:$$\int^1_0 {\rm si}^2 ( \pi u) \, {\rm d}u \ \approx 0.456.$$
+:$$\int^1_0 {\rm si}^2 ( \pi \cdot u) \, {\rm d}u \ \approx 0.456.$$
@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_x(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz) \ =  \ $ { 1.62 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.08cm}\rm kHz) \ =  \ $ { 1.62 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-${\it \Phi}_x(f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz) \ =  \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 1 \hspace{0.08cm}\rm MHz) \ =  \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 {Berechnen Sie das zugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welcher LDS-Wert ergibt sich f&uuml;r $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$?
 |type="{}"}
-${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz) \ = \ $ { 1.216 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.08cm}\rm kHz) \ = \ $ { 1.216 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-{Welche mittlere Signalleistung $P_{\rm M}$ (bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$) zeigt ein Messger&auml;t an, das nur Leistungsanteile bis $1  \hspace{0.05cm}\rm  MHz$ erfasst?
+{Welche mittlere Signalleistung $P_{\rm M}$ (bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.08cm}\rm \Omega$) zeigt ein Messger&auml;t an, das nur Leistungsanteile bis $1  \hspace{0.05cm}\rm  MHz$ erfasst?
 |type="{}"}
 $P_{\rm M} \ = \ $ { 3.736 3% } $\ \rm V^2$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei: P_ID406__Sto_A_4_12_a.png|right|LDS mit Gleichanteil]]
+[[Datei: P_ID406__Sto_A_4_12_a.png|right|frame|Leistungsdichtespektrum mit Gleichanteil]]
 '''(1)'''&nbsp; Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF. Mit der Fourierkorrespondenz auf der Angabenseite und $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm  V$ erh&auml;lt man:
 :$${\it \Phi}_x(f)= x_{\rm 0}^2 \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T).$$
@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 Bei $f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz $ besitzt  das Leistungsdichtespektrum die erste Nullstelle.
-[[Datei:P_ID407__Sto_A_4_12_b.png|right|AKF mit Gleichanteil ]]
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund des rechteckigen Signalverlaufs &auml;ndert sich an der Dreiecksform der AKF prinzipiell nichts. Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt wieder das Moment 2. Ordnung an. Mit $p = 0.25$ erh&auml;lt man:
+[[Datei:P_ID407__Sto_A_4_12_b.png|right|frame|Autokorrelationsfunktion mit Gleichanteil ]]
 :$$\varphi_y( 0) = {1}/{4}\cdot {(\rm 4\hspace{0.05cm}V)}^2 + {3}/{4}\cdot {(\rm 0\hspace{0.05cm}V)}^2 \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 4\,V^2}}.$$
-Ab $\tau =T$ ist die AKF konstant gleich $m_y^2$. Mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.25$ und
+*Ab $\tau =T$ ist die AKF konstant gleich $m_y^2$.
-$$m_y = p \cdot {\rm 4\hspace{0.05cm}V} + (1-p)\cdot {\rm 0\hspace{0.05cm}V} = 1 \, \rm V$$
+*Mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.25$ und &nbsp;$m_y = p \cdot {\rm 4\hspace{0.05cm}V} + (1-p)\cdot {\rm 0\hspace{0.05cm}V} = 1 \, \rm V$&nbsp; erh&auml;lt man ab $\tau =T$ den konstanten Wert $\varphi_y( \tau >T) \hspace{0.15cm}\underline {=\rm 1\,V^2}$.
 '''(3)'''&nbsp; Die AKF kann auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$\varphi_y(\tau) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}^2 + 3\hspace{0.05cm}{\rm V}^2 \cdot \Delta (\tau).$$
-*Der AKF-Gleichanteil (mit $1\hspace{0.05cm}{\rm V}^2$) f&uuml;hrt im LDS zu einer Diracfunktion bei $f = 0$ (siehe Skizze zur Teilaufgabe 1).
+*Der AKF-Gleichanteil (mit $1\hspace{0.05cm}{\rm V}^2$) f&uuml;hrt im LDS zu einer Diracfunktion bei $f = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Skizze zur Teilaufgabe '''(1)'''.
 *Der dreieckf&ouml;rmige AKF-Term bewirkt einen kontinuierlichen LDS-Anteil entsprechend der $\rm si^2$-Form:
 :$${\it \Phi}_y(f)= 1{\rm V}^2 \cdot {\rm \delta   } (f) + 3 \cdot 10^{-6}\  {\rm V^2\hspace{-0.1cm}/Hz}  \cdot {\rm si}^2(\pi f T).$$
-F&uuml;r $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f \cdot T =0.5$ ergibt sich der LDS-Wert zu ${\underline {1.216} \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz}$.
+*F&uuml;r $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f \cdot T =0.5$ ergibt sich der LDS-Wert zu ${\underline {1.216} \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz}$.
 '''(4)'''&nbsp; Die Leistung ist als Integral &uuml;ber das LDS berechenbar. Unter Ber&uuml;cksichtigung der spektralen Begrenzung auf $ 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz$ erh&auml;lt man mit der Substitution $u =f \cdot T$:

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 }}
-[[Datei:P_ID405__Sto_A_4_12.png|right|300px|Binäre Rechtecksignale]]
+[[Datei:P_ID405__Sto_A_4_12.png|right|300px|frame|Binäre Rechtecksignale]]
-Wir betrachten ein rechteckf&ouml;rmiges Bin&auml;rsignal $x(t)$ mit gleichwahrscheinlichen Amplitudenwerten $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $-2\hspace{0.05cm}\rm V$. Die Symboldauer betr&auml;gt $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. In [[Aufgaben:4.10_Binär_und_quaternär|Aufgabe 4.10]] wurde bereits gezeigt, dass die dazugeh&ouml;rige AKF auf den Bereich von $-T \le  \tau\le +t$ beschr&auml;nkt ist und in diesem Bereich dreieckf&ouml;rmig verl&auml;uft:
+Wir betrachten ein rechteckf&ouml;rmiges Bin&auml;rsignal $x(t)$ mit gleichwahrscheinlichen Amplitudenwerten $+2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $-2\hspace{0.05cm}\rm V$.
-:$$\varphi_x (\tau) =  4 \hspace{0.05cm}V^2 \cdot (1 - | \tau |/{T}).$$
+*Die Symboldauer betr&auml;gt $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm &micro; s$.
-Hierbei ist vorausgesetzt, dass die einzelnen Symbole statistisch voneinander unabh&auml;ngig sind.
+*Hierbei ist vorausgesetzt, dass die einzelnen Symbole statistisch voneinander unabh&auml;ngig sind.
-Das unten skizzierte Signal $y(t)$ ist ebenfalls bin&auml;r und rechteckf&ouml;rmig mit der gleichen Symboldauer $T = 1 \hspace{0.05cm}\rm \mu s$. Die m&ouml;glichen Amplitudenwerte sind nun aber $0\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$, wobei der Amplitudenwert $4\hspace{0.05cm}\rm V$ seltener als der Wert $0\hspace{0.05cm}\rm V$ auftritt. Es gilt:
 :$${\rm Pr}(x(t) = 4 \hspace{0.05cm} {\rm V}) = p\hspace{0.5cm} {\rm mit}\hspace{0.5cm} 0 < p \le 0.25.$$
@@ Zeile 20: / Zeile 29: @@
 *Weiterhin gilt die Notation ${\rm si}(x)  = \sin(x)/x$ mit folgendem Integralwert:
 :$$\int^1_0 {\rm si}^2 ( \pi u) \, {\rm d}u \ \approx 0.456.$$
@@ Zeile 28: / Zeile 39: @@
 <br>Welche LDS-Werte ergeben sich f&uuml;r $f= 0$, $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$  und $f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz$?
 |type="{}"}
-${\it \Phi}_x(f = 0) \ = $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz) \ = $ { 1.62 3% } $\ \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz) \ =  \ $ { 1.62 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-${\it \Phi}_x(f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz) \ = $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 1 \hspace{0.05cm}\rm MHz) \ =  \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
-{Berechnen Sie die AKF $\varphi_y(\tau)$ des unipolaren Zufallssignals $x(t)$. Welche AKF-Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau =0$, $\tau =T$ und $\tau =2T$?
+{Berechnen Sie die AKF $\varphi_y(\tau)$ des unipolaren Zufallssignals $x(t)$. <br>Welche AKF-Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ f&uuml;r $\tau =0$, $\tau =T$ und $\tau =2T$?
 |type="{}"}
-$\varphi_y(\tau = 0) \ = $ { 4 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_y(\tau = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm V^2$
-$\varphi_y(\tau = T) \ = $ { 1 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_y(\tau = T) \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$
-$\varphi_y(\tau = 2T) \ = $ { 1 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_y(\tau = 2T) \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$
 {Berechnen Sie das zugeh&ouml;rige Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_y(f)$. Welcher LDS-Wert ergibt sich f&uuml;r $f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz$?
 |type="{}"}
-${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz) \ = $ { 1.216 3% } $\ \cdot 10^{-6} \rm V^2 /Hz$
+${\it \Phi}_x(f = 500 \hspace{0.05cm}\rm kHz) \ = \ $ { 1.216 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 /Hz$
 {Welche mittlere Signalleistung $P_{\rm M}$ (bezogen auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm}\rm \Omega$) zeigt ein Messger&auml;t an, das nur Leistungsanteile bis $1  \hspace{0.05cm}\rm  MHz$ erfasst?
 |type="{}"}
-$P_{\rm M} \ = $ { 3.736 3% } $\ \rm V^2$
+$P_{\rm M} \ = \ $ { 3.736 3% } $\ \rm V^2$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Beachten Sie die folgende Fourierkorrespondenz, wobei ${\rm \Delta} (t)$ einen um $t= 0$ symmetrischen Dreieckimpuls mit ${\rm \Delta} (t= 0) = 1$ und ${\rm \Delta} (t) = 0$ f&uuml;r $|t| \ge T$ bezeichnet:
 :$${\rm \Delta} (t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T).$$

← Nächstältere Version	Version vom 16. März 2022, 15:56 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:45 Uhr
(kein Unterschied)