Aufgaben:Aufgabe 4.12: Berechnungen zur 16-QAM - Versionsgeschichte

Guenter am 20. August 2022 um 15:46 Uhr

2022-08-20T15:46:43Z

Guenter am 20. August 2022 um 15:33 Uhr

2022-08-20T15:33:55Z

Guenter am 15. März 2019 um 09:43 Uhr

2019-03-15T09:43:15Z

Guenter am 15. März 2019 um 09:36 Uhr

2019-03-15T09:36:36Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:36:29Z

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Guenter am 23. November 2017 um 15:31 Uhr

2017-11-23T15:31:05Z

Guenter am 23. November 2017 um 15:22 Uhr

2017-11-23T15:22:10Z

Guenter am 23. November 2017 um 15:20 Uhr

2017-11-23T15:20:43Z

Hussain am 21. November 2017 um 16:46 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung.
+'''(1)'''&nbsp; Der Quotient&nbsp; $E_{\rm S}/E$&nbsp; ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der&nbsp; $M = 16$&nbsp; Signalraumpunkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; vom Ursprung.
-*Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der 16&ndash;QAM erhält man:
+*Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der&nbsp; "16&ndash;QAM"&nbsp; erhält man:
 :$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; angegebenen Gleichung:
 :$$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot  E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot  E = 10 E
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit.
+'''(2)'''&nbsp; Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar.&nbsp; Damit ist die mittlere Energie pro Bit.
 :$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot  E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}}
   \hspace{0.05cm}.$$
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 [[Datei:P_ID2063__Dig_A_4_12c.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit]]
-'''(3)'''&nbsp; Die <i>Union Bound</i> ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
+'''(3)'''&nbsp; Die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
 *Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN&ndash;Rauschen.
 *Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen.
-*Der &bdquo;worst case&rdquo; sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten. Daraus folgt:
+*Aus der Grafik geht hervor,&nbsp; dass die Ecksymbole&nbsp; (gelb gefüllt)&nbsp; nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole&nbsp; (grüne Füllung)&nbsp; in drei Richtungen.
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf
+'''(4)'''&nbsp; Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik,&nbsp; so kommt man auf
 :$$4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48.$$
 *Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist somit gleich
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   \hspace{0.05cm}.$$
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; angegebenen Gleichung:
 :$$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.
+*Beide Gleichungen gelten nur dann exakt,&nbsp; wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.
 '''(5)'''&nbsp; Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler.
-*Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist
+*Da aber mit jedem Symbol&nbsp; $M = 4$&nbsp; Binärsymbole übertragen werden,&nbsp; ist die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)}
 = \frac{ 1.2\%}{ 4}  = \underline{0.3\%}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2062__Dig_A_4_12.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 16–QAM]]
+[[Datei:P_ID2062__Dig_A_4_12.png|right|frame|Signalraumkonstellation der&nbsp; $\rm 16–QAM$]]
-Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; mit &nbsp;$M = 16$&nbsp; Signalraumpunkten.
+Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| "Quadraturamplitudenmodulation"]]&nbsp; mit &nbsp;$M = 16$&nbsp; Signalraumpunkten.
 Für dieses Modulationsverfahren sollen berechnet werden:
 * die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit,
 * die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$,
 *die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| Union Bound]]&nbsp; $p_{\rm UB}$&nbsp; als obere Schranke,
 * die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; bei Graycodierung.
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 Hinweise:
-''Hinweise:''
+# Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation"]].
-* Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
+#Die Gray&ndash;Zuordnung ist in der Grafik angegeben&nbsp; (rote Beschriftung).
-*Die Gray&ndash;Zuordnung ist in der Grafik angegeben (rote Beschriftung).
+# Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass das linke obere Symbol in eines der benachbarten Symbole verfälscht wird,&nbsp; wird mit&nbsp; $p$&nbsp; abgekürzt&nbsp; (blaue Pfeile in der Grafik).
-* Die Wahrscheinlichkeit, dass das linke obere Symbol in eines der benachbarten Symbole verfälscht wird, wird mit&nbsp; $p$&nbsp; abgekürzt (blaue Pfeile in der Grafik).
+# Eine diagonale Verfälschung &nbsp;&#8658;&nbsp; zwei Bit verfälscht&nbsp; (grüner Pfeil)&nbsp; wird ausgeschlossen.
-* Eine diagonale Verfälschung &nbsp;&#8658;&nbsp; zwei Bit verfälscht (grüner Pfeil) wird ausgeschlossen.
+# Für den AWGN&ndash;Kanal gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral für diese Hilfsgröße: &nbsp; $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$
-* Für den AWGN&ndash;Kanal gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegrale für diese Hilfsgröße: &nbsp; $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$
+# Verwenden Sie für numerische Berechnungen&nbsp; $E = 1 \ \rm mWs$&nbsp; und &nbsp;$p = 0.4\%$.
-* Verwenden Sie für numerische Berechnungen&nbsp; $E = 1 \ \rm mWs$&nbsp; und &nbsp;$p = 0.4\%$.
+#Aus diesen Werten kann die AWGN&ndash;Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; näherungsweise berechnet werden:
-*Aus diesen Werten kann die AWGN&ndash;Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; näherungsweise berechnet werden:
+::$$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}
   { 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz}
   \hspace{0.05cm}.$$
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es sei&nbsp; $E = 1 \ \rm mWs$. Wie groß ist die mittlere Energie ''pro Symbol''?
+{Es sei&nbsp; $E = 1 \ \rm mWs$.&nbsp; Wie groß ist die&nbsp; "mittlere Energie pro Symbol"?
 |type="{}"}
 $E_{\rm S}\ = \ $ { 10 3% } $\  \rm mWs$
-{Wie groß ist die mittlere Energie ''pro Bit''?
+{Wie groß ist die&nbsp; "mittlere Energie pro Bit"?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B}\ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm mWs$
-{Geben Sie die (verbesserte) &bdquo;Union Bound&rdquo;&nbsp; $(p_{\rm UB})$&nbsp; für&nbsp; $p = 0.4\%$&nbsp; an.
+{Geben Sie die&nbsp; (verbesserte)&nbsp; "Union Bound"&nbsp; $(p_{\rm UB})$&nbsp; für&nbsp; $p = 0.4\%$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \%$
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 $p_{\rm S}  \ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die tatsächliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Graycodierung.
+{Berechnen Sie die tatsächliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; bei Graycodierung.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}  \ = \ $ { 0.3 3% } $\ \%$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung. Mit der gegebenen Signalraumkonstellation der 16&ndash;QAM erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Der Quotient $E_{\rm S}/E$ ergibt sich als der mittlere quadratische Abstand der $M = 16$ Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ vom Ursprung.
 :$$E_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} { E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot (1^2 + 1^2) + 8 \cdot (1^2 + 3^2) + 4 \cdot (3^2 + 3^2)\right ]={ E}/{ 16} \cdot \left [ 4 \cdot 2 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 18\right ] = 10 \cdot E = \underline{10 \ {\rm mWs}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung
 :$$E_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{ 3 } \cdot  E = \frac{ 2 \cdot 15}{ 3 } \cdot  E = 10 E
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Jedes einzelne Symbol stellt vier Binärsymbole dar. Damit ist die mittlere Energie pro Bit.
 :$$E_{\rm B} = \frac{ E_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} = 2.5 \cdot  E = \underline{2.5 \ {\rm mWs}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID2063__Dig_A_4_12c.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der 16–QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit]]
-'''(3)'''&nbsp; Die <i>Union Bound</i> ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit. Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN&ndash;Rauschen.
+'''(3)'''&nbsp; Die <i>Union Bound</i> ist eine obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
+*Sie berücksichtigt nur den Übergang zu benachbarten Entscheidungsregionen aufgrund von AWGN&ndash;Rauschen.
+*Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen.
-Aus der Grafik geht hervor, dass die Ecksymbole (gelb gefüllt) nur zu zwei anderen Symbolen hin verfälscht werden können und die restlichen Randsymbole (grüne Füllung) in drei Richtungen. Der &bdquo;worst case&rdquo; sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten. Daraus folgt:
+*Der &bdquo;worst case&rdquo; sind die vier inneren Symbole (mit blauer Füllung) mit jeweils vier Verfälschungsmöglichkeiten. Daraus folgt:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) \le 4 \cdot p = \underline{1.6\%}= p_{\rm UB}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf $4 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 48$. Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist somit gleich
+'''(4)'''&nbsp; Zählt man die blauen Pfeile in obiger Grafik, so kommt man auf
 :$$p_{\rm S} = { E}/{ 16}   \cdot 48 p = 3p = \underline{1.2\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man mit der im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegebenen Gleichung
 :$$p_{\rm S} = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ \sqrt{M}} \right ] = 4p \cdot \left [ 1 - { 1}/{ 4} \right ] = 3p
   \hspace{0.05cm}.$$
-Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.
+*Beide Gleichungen gelten nur dann exakt, wenn man wie hier diagonale Verfälschungen ausschließt.
-'''(5)'''&nbsp; Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler. Da aber mit jedem Symbol $M = 4$ Binärsymbole übertragen werden, ist
+'''(5)'''&nbsp; Bei Graycodierung entsprechend der roten Beschriftung in der Grafik bewirkt jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler.
 :$$p_{\rm B} = \frac{ p_{\rm S}}{ {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)}
 = \frac{ 1.2\%}{ 4}  = \underline{0.3\%}

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 [[Datei:P_ID2062__Dig_A_4_12.png|right|frame|Signalraumkonstellation der 16–QAM]]
-Beigefügte Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]] mit $M = 16$ Signalraumpunkten. Für dieses Modulationsverfahren sollen berechnet werden:
+Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation der&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation#Quadraturamplitudenmodulation_.28M.E2.80.93QAM.29| Quadraturamplitudenmodulation]]&nbsp; mit &nbsp;$M = 16$&nbsp; Signalraumpunkten.
 * die mittlere Energie pro Symbol bzw. pro Bit,
-* die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ sowie die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| Union Bound]] als obere Schranke,
+* die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$,
-* die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bei Graycodierung. Die Gray&ndash;Zuordnung ist in der Grafik angegeben (rote Beschriftung).
+*die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_-_Obere_Schranke_f.C3.BCr_die_Fehlerwahrscheinlichkeit| Union Bound]]&nbsp; $p_{\rm UB}$&nbsp; als obere Schranke,
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
+* Die Aufgabe behandelt einen Teilaspekt des Kapitels&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
-* Die Wahrscheinlichkeit, dass das linke obere Symbol in eines der benachbarten Symbole verfälscht wird, wird mit $p$ abgekürzt (blaue Pfeile in der Grafik).
+*Die Gray&ndash;Zuordnung ist in der Grafik angegeben (rote Beschriftung).
 * Eine diagonale Verfälschung &nbsp;&#8658;&nbsp; zwei Bit verfälscht (grüner Pfeil) wird ausgeschlossen.
 * Für den AWGN&ndash;Kanal gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegrale für diese Hilfsgröße: &nbsp; $p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right )\hspace{0.05cm}.$
-* Verwenden Sie für numerische Berechnungen $E = 1 \ \rm mWs$ und $p = 0.4\%$. Aus diesen Werten kann die AWGN&ndash;Rauschleistungsdichte $N_0$ näherungsweise berechnet werden:
+* Verwenden Sie für numerische Berechnungen&nbsp; $E = 1 \ \rm mWs$&nbsp; und &nbsp;$p = 0.4\%$.
 :$$p = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E}/{ N_0} }\right ) = 0.004 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}
   { 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz}
@@ Zeile 26: / Zeile 32: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es sei $E = 1 \ \rm mWs$. Wie groß ist die mittlere Energie pro Symbol?
+{Es sei&nbsp; $E = 1 \ \rm mWs$. Wie groß ist die mittlere Energie ''pro Symbol''?
 |type="{}"}
 $E_{\rm S}\ = \ $ { 10 3% } $\  \rm mWs$
-{Wie groß ist die mittlere Energie pro Bit?
+{Wie groß ist die mittlere Energie ''pro Bit''?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B}\ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm mWs$
-{Geben Sie die (verbesserte) &bdquo;Union Bound&rdquo; $(p_{\rm UB})$ mit $p = 0.4\%$ an.
+{Geben Sie die (verbesserte) &bdquo;Union Bound&rdquo;&nbsp; $(p_{\rm UB})$&nbsp; für&nbsp; $p = 0.4\%$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ $ { 1.6 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} < p_{\rm UB}$.
+{Berechnen Sie die tatsächliche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S} < p_{\rm UB}$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm S}  \ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
   { 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = { E}/{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz}
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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	\frac{ 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = \frac{ E}{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz}		\frac{ 2E}{ N_0} \approx 2.65^2 \approx 7 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_0 = \frac{ E}{ 3.5}\approx 1.4 \cdot 10^{-4}\,{\rm W/Hz}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.