Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Nochmals OOK und BPSK - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Oktober 2022 um 15:17 Uhr

2022-10-01T15:17:19Z

Guenter am 20. August 2022 um 14:29 Uhr

2022-08-20T14:29:32Z

Guenter am 20. August 2022 um 14:24 Uhr

2022-08-20T14:24:21Z

Guenter am 15. März 2019 um 09:26 Uhr

2019-03-15T09:26:52Z

Guenter am 15. März 2019 um 09:23 Uhr

2019-03-15T09:23:15Z

Guenter am 15. März 2019 um 09:22 Uhr

2019-03-15T09:22:19Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:35Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:36:12Z

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2017-11-26T15:15:40Z

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Guenter am 22. November 2017 um 16:48 Uhr

2017-11-22T16:48:01Z

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; und "Binary Phase Shift Keying"]]
+[[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von&nbsp; <br>"On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; $\rm (OOK)$&nbsp;und <br>"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$]]
 Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm S}$&nbsp; von den digitalen Modulationsverfahren&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; $\rm (OOK)$&nbsp; und&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; ohne Herleitung angegeben.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit
+'''(1)'''&nbsp; Aus&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; folgt&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$&nbsp; und damit
 :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx
   \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5  }  \underline{=85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$.
+*Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet&nbsp; $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$.
 *Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$.
-*Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
+*Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für&nbsp; ${\rm Q}(x)$.
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   \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10  }  \underline{=0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$.
+*Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch&nbsp; $5\%$.
 *Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.
-'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich.
+'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von&nbsp; $9.6 \ \rm dB$&nbsp; erforderlich.
-*Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden &#8658; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$.
+*Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa&nbsp; $3 \ \rm dB$&nbsp; erhöht werden &nbsp; &#8658; &nbsp;$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i> und <i>Binary Phase Shift Keying</i>]]
+[[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; und "Binary Phase Shift Keying"]]
-Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm S}$&nbsp; von den digitalen Modulationsverfahren <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i>&nbsp; (OOK) und <i>Binary Phase Shift Keying</i>&nbsp; (BPSK) ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q&ndash;Funktion
+Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm S}$&nbsp; von den digitalen Modulationsverfahren&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; $\rm (OOK)$&nbsp; und&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; ohne Herleitung angegeben.
 :$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it
 x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
-für den AWGN&ndash;Kanal &ndash; gekennzeichnet durch&nbsp; $E_{\rm S}/N_0$&nbsp; &ndash; und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)
+für den AWGN&ndash;Kanal &ndash; gekennzeichnet durch&nbsp; $E_{\rm S}/N_0$&nbsp; &ndash; und weiteren optimalen Voraussetzungen&nbsp; (zum Beispiel kohärente Demodulation)
-* für <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i>&nbsp; (OOK), oft auch <i>Amplitude Shift Keying</i>&nbsp; (2&ndash;ASK) genannt:
+* für&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying",&nbsp; oft auch&nbsp; "Amplitude Shift Keying"&nbsp; $\rm (2&ndash;ASK)$&nbsp; genannt:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
   ) \hspace{0.05cm},$$
-* für <i>Binary Phase Shift Keying</i>&nbsp; (BPSK):
+* für&nbsp; "Binary Phase Shift Keying":
 :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
   ) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten (gleichzeitig die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten) sind in der Grafik dargestellt.
+Für &nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ &nbsp; erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
-Für&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
+Um bei BPSK&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$&nbsp; zu erreichen,&nbsp; muss &nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 &#8805; 9.6 \ \rm dB$ &nbsp; sein.
-''Hinweise:''
+* Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| "Lineare digitale Modulation &ndash; Kohärente Demodulation"]].
 * Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende obere Schranke:
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die &nbsp;'''OOK'''&ndash;Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke.
+{Berechnen Sie die &nbsp;$\rm OOK$&ndash;Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB $&nbsp; unter Verwendung der oberen Schranke.
 |type="{}"}
 $p_{\rm S}\ = \ $  { 85 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
-{Wie groß ist die &nbsp;'''BPSK'''&ndash;Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$?
+{Wie groß ist die &nbsp;$\rm BPSK$&ndash;Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für &nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S}\ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
-{Geben Sie für&nbsp; '''OOK''' den minimalen Wert für&nbsp; $E_{\rm S}/N_0$&nbsp; $($in $\rm dB)$&nbsp; an, der für&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$ erforderlich ist.
+{Geben Sie für&nbsp; $\rm OOK$&nbsp; den minimalen Wert für &nbsp; $E_{\rm S}/N_0$&nbsp; $($in $\rm dB)$ &nbsp; an, der für&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$&nbsp; erforderlich ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Minimum} \big[10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \big ] \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$

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   \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5  }  \underline{=85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm &ndash;5}$. Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
+*Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$.
@@ Zeile 66: / Zeile 69: @@
   \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10  }  \underline{=0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$. <br>Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.
+*Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$.
-'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich. Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden &#8658; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$.
+'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich.
 {{ML-Fuß}}

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−	Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt.	+	Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten (gleichzeitig die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten) sind in der Grafik dargestellt.

	Für  $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$  erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:		Für  $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$  erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
 * Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| Lineare digitale Modulation &ndash; Kohärente Demodulation]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 * Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
 :$${\rm Q}(x)  \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}