Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei QAM - Versionsgeschichte

Guenter am 18. April 2022 um 06:53 Uhr

2022-04-18T06:53:24Z

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2020-04-21T16:16:09Z

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2020-04-21T16:10:19Z

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2019-01-11T16:17:49Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:31:06Z

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Guenter am 26. Juli 2017 um 13:09 Uhr

2017-07-26T13:09:39Z

Guenter am 26. Juli 2017 um 12:53 Uhr

2017-07-26T12:53:27Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Werten erhält man für &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
+'''(1)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Werten erhält man für &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; (BPSK):
 :$$E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} = \frac{1}{2}\cdot (2\,{\rm V})^2 \cdot 1\,{\rm &micro; s} = 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  {E_{\rm B}}/{N_0} = \frac {2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}} = 8$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{16} \right ) = {\rm Q}\left ( 4 \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{8}\right )\hspace{0.05cm}.$$
-*Aufgrund der gegebenen&nbsp; $x$–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise die erste Gleichung anzuwenden:
+*Aufgrund der gegebenen&nbsp; $x$–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise,&nbsp; die erste Gleichung anzuwenden:
 :$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( 4 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4} }\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Setzt man die für die 4–QAM gegebenen Gleichungen ineinander ein, so kommt man zum gleichen Ergebnis wie bei der BPSK:
+'''(3)'''&nbsp; Setzt man die für die 4–QAM gegebenen Gleichungen ineinander ein,&nbsp; so kommt man zum gleichen Ergebnis wie bei der BPSK:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \equiv p_\text{B, BPSK}.$$
-*Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht geändert hat, wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:
+*Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht geändert hat,&nbsp; wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM}= {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der&nbsp; <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
 *Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich in den beiden Zweigen gleich groß.&nbsp; Warum auch nicht?
 *Das würde allerdings bei einem Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger nicht mehr gelten.
 *Der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle ist hier allerdings&nbsp; $g_0$&nbsp; und damit um den Faktor&nbsp; $\sqrt{2}$&nbsp; kleiner als die Hüllkurve&nbsp; $s_0$&nbsp; der gesamten 4–QAM.
-*Betrachtet man den Inphase–Zweig (oder den Quadratur–Zweig) als eine eigenständige BPSK, so ist aber auch die Rauschleistung wegen der geringeren Symbolrate nur halb so groß wie bei der BPSK.&nbsp; Deshalb bleibt die Fehlerwahrscheinlichkeit gleich.
+*Betrachtet man den Inphase–Zweig&nbsp; (oder den Quadratur–Zweig)&nbsp; als eine eigenständige BPSK,&nbsp; so ist aber auch die Rauschleistung wegen der geringeren Symbolrate nur halb so groß wie bei der BPSK.&nbsp; Deshalb bleibt die Fehlerwahrscheinlichkeit gleich.
 {{ML-Fuß}}

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-Wie schon mehrfach gezeigt wurde, kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der binären Phasenmodulation&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; bei diesen Randbedingungen mit den folgenden Gleichungen berechnen:
+Wie schon mehrfach gezeigt wurde,&nbsp; kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der binären Phasenmodulation&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; bei diesen Randbedingungen mit den folgenden Gleichungen berechnen:
 :$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}BPSK} = {\rm Q}\left ({s_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm} E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/{T_{\rm B} }$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B, \hspace{0.05cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
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 :$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/({2 \cdot T_{\rm B} }).$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; herabsetzen muss.&nbsp; Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich &nbsp;$s_0$.
+Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass man &ndash; um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen &ndash; die Impulsamplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; herabsetzen muss.&nbsp; Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich &nbsp;$s_0$.
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"]].
-''Hinweise:''
+*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|"Fehlerwahrscheinlichkeiten &ndash; ein kurzer Überblick"]]&nbsp; im vorherigen Kapitel.
 * Gehen Sie stets von den folgenden Zahlenwerten aus: &nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}, \hspace{0.05cm} N_0 = 0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}.$
-*Die Bitdauer beträgt &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; (Teilaufgabe 1) bzw. &nbsp;$T_{\rm B} = 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; (ab Teilaufgabe 2).
+*Die Bitdauer beträgt &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; (Teilaufgabe 1)&nbsp; bzw. &nbsp;$T_{\rm B} = 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; (ab Teilaufgabe 2).
 *In der Tabelle sind die beiden gebräuchlichen Gaußschen Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp;  und &nbsp;$1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$&nbsp;  angegeben.
 *Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp;  anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, BPSK}$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) mit $T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, BPSK}$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; (BPSK)&nbsp; mit $T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \rm 10^{-4}$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, BPSK}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp; ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) mit $T_{\rm B} = 2 \ \rm &micro; s$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, BPSK}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; (BPSK)&nbsp; mit $T_{\rm B} = 2 \ \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
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 $p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
-{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig&nbsp; $\rm (I$&nbsp; oder&nbsp; $\rm Q)$&nbsp; der 4–QAM betrachtet?
+{Was trifft zu,&nbsp; wenn man nur einen Zweig&nbsp; $\rm (I$&nbsp; oder&nbsp; $\rm Q)$&nbsp; der 4–QAM betrachtet?
 |type="[]"}
 + Es ergibt sich das gleiche Ergebnis wie für die gesamte 4–QAM.
-- Der Abstand der Nutzabtastwerte ist wie bei der BPSK gleich &nbsp;$s_0$.
+- Der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle&nbsp; $(E=0)$&nbsp; ist wie bei der BPSK gleich &nbsp;$s_0$.
 - Es ergibt sich die gleiche Rauschleistung wie bei der BPSK.
 </quiz>

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Werten erhält man für &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
-:$$E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} = \frac{1}{2}\cdot (2\,{\rm V})^2 \cdot 1\,{\rm \mu s} = 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}
+:$$E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} = \frac{1}{2}\cdot (2\,{\rm V})^2 \cdot 1\,{\rm &micro; s} = 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  {E_{\rm B}}/{N_0} = \frac {2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}} = 8$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{16} \right ) = {\rm Q}\left ( 4 \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{8}\right )\hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der gegebenen $x$–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise die erste Gleichung anzuwenden:
+*Aufgrund der gegebenen&nbsp; $x$–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise die erste Gleichung anzuwenden:
 :$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( 4 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4} }\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Bei doppelter Bitdauer ist auch die Energie doppelt so groß: $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm  V^2s$  ⇒  $E_B/N_0 = 16$.
 *Daraus folgt:
 :$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{16}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
 *Aus pragmatischen Gründen wurde hier die letzte Spalte der Tabelle benutzt.
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 '''(3)'''&nbsp; Setzt man die für die 4–QAM gegebenen Gleichungen ineinander ein, so kommt man zum gleichen Ergebnis wie bei der BPSK:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \equiv p_\text{B, BPSK}.$$
-Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht geändert hat, wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:
+*Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; nicht geändert hat, wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM}= {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich in den beiden Zweigen gleich groß. Warum auch nicht?
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich in den beiden Zweigen gleich groß.&nbsp; Warum auch nicht?
 *Das würde allerdings bei einem Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger nicht mehr gelten.
-*Der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle ist hier allerdings $g_0$ und damit um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner als die Hüllkurve $s_0$ der gesamten 4–QAM.
+*Der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle ist hier allerdings&nbsp; $g_0$&nbsp; und damit um den Faktor&nbsp; $\sqrt{2}$&nbsp; kleiner als die Hüllkurve&nbsp; $s_0$&nbsp; der gesamten 4–QAM.
-*Betrachtet man den Inphase–Zweig (oder den Quadratur–Zweig) als eine eigenständige BPSK, so ist aber auch die Rauschleistung wegen der geringeren Symbolrate nur halb so groß wie bei der BPSK. Deshalb bleibt die Fehlerwahrscheinlichkeit gleich.
+*Betrachtet man den Inphase–Zweig (oder den Quadratur–Zweig) als eine eigenständige BPSK, so ist aber auch die Rauschleistung wegen der geringeren Symbolrate nur halb so groß wie bei der BPSK.&nbsp; Deshalb bleibt die Fehlerwahrscheinlichkeit gleich.
 {{ML-Fuß}}

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-Wie schon mehrfach gezeigt wurde, kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der binären Phasenmodulation (BPSK) bei diesen Randbedingungen mit den folgenden Gleichungen berechnen:
+Wie schon mehrfach gezeigt wurde, kann man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der binären Phasenmodulation&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; bei diesen Randbedingungen mit den folgenden Gleichungen berechnen:
 :$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}BPSK} = {\rm Q}\left ({s_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm} E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/{T_{\rm B} }$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B, \hspace{0.05cm}BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$
-Die entsprechenden Gleichungen der 4–QAM lauten:
+Die entsprechenden Gleichungen der&nbsp; $\rm 4–QAM$&nbsp;  lauten:
 :$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/({2 \cdot T_{\rm B} }).$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; herabsetzen muss. Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich &nbsp;$s_0$.
+Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; herabsetzen muss.&nbsp; Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich &nbsp;$s_0$.
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 $p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
-{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig $\rm (I$ oder $\rm Q)$ der 4–QAM betrachtet?
+{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig&nbsp; $\rm (I$&nbsp; oder&nbsp; $\rm Q)$&nbsp; der 4–QAM betrachtet?
 |type="[]"}
 + Es ergibt sich das gleiche Ergebnis wie für die gesamte 4–QAM.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Werten erhält man für''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK):
+'''(1)'''&nbsp; Mit den vorgegebenen Werten erhält man für &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
 :$$E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} = \frac{1}{2}\cdot (2\,{\rm V})^2 \cdot 1\,{\rm \mu s} = 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  {E_{\rm B}}/{N_0} = \frac {2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}} = 8$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{16} \right ) = {\rm Q}\left ( 4 \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{8}\right )\hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der gegebenen x–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise die erste Gleichung anzuwenden:
+Aufgrund der gegebenen $x$–Werte in der Tabelle ist bei dieser Teilaufgabe zweckmäßigerweise die erste Gleichung anzuwenden:
 :$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( 4 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.317 \cdot 10^{-4} }\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Bei doppelter Bitdauer ist auch die Energie doppelt so groß: $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm  V^2s$  ⇒  $E_B/N_0 = 16$. Daraus folgt:
+'''(2)'''&nbsp; Bei doppelter Bitdauer ist auch die Energie doppelt so groß: $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm  V^2s$  ⇒  $E_B/N_0 = 16$.
 :$$p_\text{B, BPSK} = {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{16}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
-Aus pragmatischen Gründen wurde hier die letzte Spalte der Tabelle benutzt.
+*Aus pragmatischen Gründen wurde hier die letzte Spalte der Tabelle benutzt.
 '''(3)'''&nbsp; Setzt man die für die 4–QAM gegebenen Gleichungen ineinander ein, so kommt man zum gleichen Ergebnis wie bei der BPSK:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \equiv p_\text{B, BPSK}.$$
-Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe b) nicht geändert hat, wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:
+Da sich auch die Energie pro Bit gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' nicht geändert hat, wird sich auch die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit einstellen:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM}= {\rm Q}\left ( \sqrt{32} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( 4\right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.771 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich in den beiden Zweigen gleich groß. Warum auch nicht? Das würde allerdings bei einem Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger nicht mehr gelten.
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist natürlich in den beiden Zweigen gleich groß. Warum auch nicht?
 *Der Abstand der Nutzabtastwerte von der Schwelle ist hier allerdings $g_0$ und damit um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner als die Hüllkurve $s_0$ der gesamten 4–QAM.
 *Betrachtet man den Inphase–Zweig (oder den Quadratur–Zweig) als eine eigenständige BPSK, so ist aber auch die Rauschleistung wegen der geringeren Symbolrate nur halb so groß wie bei der BPSK. Deshalb bleibt die Fehlerwahrscheinlichkeit gleich.

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 }}
-[[Datei:P_ID1721__Mod_Z_4_10.png|right|frame|Tabelle zweier unterschiedlicher Gaußschen Fehlerfunktionen]]
+[[Datei:P_ID1721__Mod_Z_4_10.png|right|frame|Tabelle zweier unterschiedlicher Gaußscher Fehlerfunktionen]]
 Wir gehen von den folgenden Voraussetzungen aus:
-* binäre bipolare Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{±1\}$,
+* binäre bipolare Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_ν ∈ \{±1\}$,
-* rechteckförmiger Sendegrundimpuls mit Amplitude $s_0$ und Bitdauer $T_{\rm B}$,
+* rechteckförmiger Sendegrundimpuls mit Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; und Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$,
-* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
+* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$,
 * Empfänger gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
 * bestmögliche Demodulation und Detektion.
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 :$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/({2 \cdot T_{\rm B} }).$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude $g_0$ der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor $\sqrt{2}$ herabsetzen muss. Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich $s_0$.
+Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; herabsetzen muss. Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich &nbsp;$s_0$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten &ndash; ein kurzer Überblick]] im vorherigen Kapitel.
+*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Fehlerwahrscheinlichkeiten_-_ein_kurzer_.C3.9Cberblick|Fehlerwahrscheinlichkeiten &ndash; ein kurzer Überblick]]&nbsp; im vorherigen Kapitel.
 * Gehen Sie stets von den folgenden Zahlenwerten aus: &nbsp; $s_0 = 2\,{\rm V}, \hspace{0.05cm} N_0 = 0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}.$
-*Die Bitdauer beträgt $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$ (Teilaufgabe 1) bzw. $T_{\rm B} = 2 \ \rm μs$ (ab Teilaufgabe 2).
+*Die Bitdauer beträgt &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; (Teilaufgabe 1) bzw. &nbsp;$T_{\rm B} = 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; (ab Teilaufgabe 2).
-*In der Tabelle sind die beiden gebräuchlichen Gaußschen Fehlerfunktionen ${\rm Q}(x)$ und $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$ angegeben.
+*In der Tabelle sind die beiden gebräuchlichen Gaußschen Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp;  und &nbsp;$1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$&nbsp;  angegeben.
-*Energien sind in  $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.
+*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp;  anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, BPSK}$ ergibt sich für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) mit $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, BPSK}$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) mit $T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \rm 10^{-4}$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, BPSK}$ ergibt sich für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) mit $T_{\rm B} = 2 \ \rm μs$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, BPSK}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp; ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) mit $T_{\rm B} = 2 \ \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $p_\text{B, BPSK} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, 4-QAM}$ erhält man für die 4–QAM mit $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm V^2s$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_\text{B, 4-QAM}$&nbsp; erhält man für die 4–QAM mit &nbsp;$E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm V^2s$?
 |type="{}"}
 $p_\text{B, 4-QAM} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
-{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig (I oder Q) der 4–QAM betrachtet?
+{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig $\rm (I$ oder $\rm Q)$ der 4–QAM betrachtet?
 |type="[]"}
 + Es ergibt sich das gleiche Ergebnis wie für die gesamte 4–QAM.
-- Der Abstand der Nutzabtastwerte ist wie bei der BPSK gleich $s_0$.
+- Der Abstand der Nutzabtastwerte ist wie bei der BPSK gleich &nbsp;$s_0$.
 - Es ergibt sich die gleiche Rauschleistung wie bei der BPSK.
 </quiz>

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 }}
-[[Datei:P_ID1721__Mod_Z_4_10.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1721__Mod_Z_4_10.png|right|frame|Tabelle zweier unterschiedlicher Gaußschen Fehlerfunktionen]]
 Wir gehen von den folgenden Voraussetzungen aus:
-:* binäre bipolare Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ ∈ {±1},
+* binäre bipolare Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{±1\}$,
-:* rechteckförmiger Sendegrundimpuls mit Amplitude $s_0$ und Bitdauer $T_B$,
+* rechteckförmiger Sendegrundimpuls mit Amplitude $s_0$ und Bitdauer $T_{\rm B}$,
-:* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
+* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
-:* Empfänger gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
+* Empfänger gemäß dem Matched–Filter–Prinzip,
-:* bestmögliche Demodulation und Detektion.
+* bestmögliche Demodulation und Detektion.
 Die entsprechenden Gleichungen der 4–QAM lauten:
-$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/({2 \cdot T_{\rm B} }).$$
+:$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}4-QAM} = {\rm Q}\left ( {g_0}/{\sigma_d } \right ), \hspace{0.2cm}g_{0} = {s_0}/{\sqrt{2}}, \hspace{0.2cm}E_{\rm B} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} ,\hspace{0.2cm} \sigma_d^2 = {N_0}/({2 \cdot T_{\rm B} }).$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass man – um die gleiche Sendeenergie pro Bit wie bei der BPSK zu erreichen – die Impulsamplitude $g_0$ der Rechteckimpulse in den beiden Teilzweigen der 4–QAM um den Faktor „Wurzel aus 2” herabsetzen muss. Die Hüllkurve ist dann bei beiden Systemen gleich $s_0$.
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei BPSK mit $T_B = 1 μs$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BPSK}$ ergibt sich für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) mit $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$?
 |type="{}"}
-$BPSK, T_B = 1 μs:   p_B$ = { 0.317 3% } $10^{-4}$
+$p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.317 3% } $\ \rm 10^{-4}$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei BPSK mit $T_B = 2 μs$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm BPSK}$ ergibt sich für ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK) mit $T_{\rm B} = 2 \ \rm μs$?
 |type="{}"}
-$BPSK, T_B = 2 μs:   p_B$ = { 0.771 3% } $10^{-8}$
+$p_{\rm BPSK} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
-{Welches Ergebnis erhält man für die 4–QAM mit $E_B = 4 · 10^{–6} V^2s$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm 4-QAM}$ erhält man für die 4–QAM mit $E_{\rm B} = 4 · 10^{–6} \ \rm V^2s$?
 |type="{}"}
-$4–QAM, E_B = 4 · 10^{–6} V^2s: p_B$ = { 0.771 3% } $10^{-8}$
+$p_{\rm 4-QAM} \ = \ $ { 0.771 3% } $\ \rm 10^{-8}$
-{Was trifft zu, wenn man nur den I–Zweig der 4–QAM betrachtet?
+{Was trifft zu, wenn man nur einen Zweig (I oder Q) der 4–QAM betrachtet?
 |type="[]"}
 + Es ergibt sich das gleiche Ergebnis wie für die gesamte 4–QAM.