Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Juli 2019 um 13:08 Uhr

2019-07-10T13:08:20Z

Guenter am 10. Juli 2019 um 13:01 Uhr

2019-07-10T13:01:54Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:35:19Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:57 Uhr

2018-02-02T10:57:29Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:56 Uhr

2018-02-02T10:56:24Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:45 Uhr

2018-02-02T10:45:47Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:29 Uhr

2018-01-08T13:29:39Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.11Z Coderate aus der Prüfmatrix nach Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix

2018-01-04T06:55:59Z

Guenter verschob die Seite 4.11Z Coderate aus der Prüfmatrix nach Aufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix

Hussain am 12. Dezember 2017 um 20:17 Uhr

2017-12-12T20:17:20Z

Hussain am 12. Dezember 2017 um 20:10 Uhr

2017-12-12T20:10:00Z

@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 *Dies ist das Kennzeichen eines systematischen Codes mit $\underline{m = 3}$ Prüfgleichungen.
 *Die Codelänge ist $\underline{n = 7}$.
-Damit beinhaltet ein Codewort $\underline{k = 4}$ Informationsbits.
+*Damit beinhaltet ein Codewort $\underline{k = 4}$ Informationsbits.
 <i>Hinweis:</i> Es handelt sich um den [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|systematischen (7, 4, 3)&ndash;Hamming&ndash;Code]].
@@ Zeile 81: / Zeile 83: @@
 *Die zweite Zeile ist gleich $z_2 + z_3$ und die dritte Zeile ist $z_1 + z_3$.
 *Es handelt sich um den identischen Code &nbsp;&#8658;&nbsp; Rate $\underline{R = 4/7 = 0.571}$.
-*Weiterhin gilt $w_{\rm Z} = 4$ und ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1/7 \cdot [0 + 6 \cdot 2] = 12/7$.
+*Weiterhin gilt&nbsp; $w_{\rm Z} = 4$&nbsp; und&nbsp; ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1/7 \cdot [0 + 6 \cdot 2] = 12/7$.
 '''(4)'''&nbsp; Für diesen Code mit $n = 7$ (Spaltenzahl) und $m = 4$ (Zeilenzahl) gilt:
 :$$w_{\rm Z} = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot  \sum_{j = 1}^{ n}w_{\rm S}(j) = 1/7 \cdot [3 + 1 + 2 +3+2 + 2+3] = 16/7\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} R \ge  1 - \frac{16/7}{4}= 3/7 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 93: / Zeile 96: @@
 '''(5)'''&nbsp; Hier gilt $n = 7$ und $m = 4$, sowie
 :$${\rm E}[w_{\rm S}] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1/8 \cdot [4 + 3 + 4 + 3 + 3+2 + 2+2] = 23/8\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
 {\rm E}[w_{\rm Z}] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1/4 \cdot [8 + 5 + 5+5] = 23/4$$
@@ Zeile 103: / Zeile 107: @@
-<i>Hinweis:</i> Es handelt sich um den [[Aufgaben:Aufgabe_1.09:_Erweiterter_Hamming–Code| erweiterten (8, 4, 4)&ndash;Hamming&ndash;Code]].
+<i>Hinweis:</i> &nbsp; Es handelt sich um den [[Aufgaben:Aufgabe_1.09:_Erweiterter_Hamming–Code| erweiterten (8, 4, 4)&ndash;Hamming&ndash;Code]].
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 [[Datei:P_ID3068__KC_Z_4_11_v4.png|right|frame|Vorgegebene Prüfmatrizen]]
-In dieser Aufgabe sollen die Coderaten der Codes $\mathcal {C}_1, \, \mathcal {C}_2, \, \mathcal {C}_3$ und $\mathcal {C}_4$ ermittelt werden, wobei die Codes allein durch ihre Prüfmatrizen gegeben sind. Eine untere Schranke für die Coderate $R$ lautet:
+In dieser Aufgabe sollen die Coderaten der Codes&nbsp; $\mathcal {C}_1, \, \mathcal {C}_2, \, \mathcal {C}_3$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal {C}_4$&nbsp; ermittelt werden, wobei die Codes allein durch ihre Prüfmatrizen gegeben sind. Eine untere Schranke für die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; lautet:
 :$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Sind die $m$ Prüfgleichungen aller Matrix&ndash;Zeilen linear unabhängig, so gilt in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen.
+Sind die&nbsp; $m$&nbsp; Prüfgleichungen aller Matrix&ndash;Zeilen linear unabhängig, so gilt in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen.
 Verwendet ist hier die folgende Nomenklatur:
-* $w_{\rm Z}(j)$ mit $1 &#8804; j &#8804; m$ ist das [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]] der $j$&ndash;ten Zeile der Prüfmatrix.
+* $w_{\rm Z}(j)$&nbsp; mit&nbsp; $1 &#8804; j &#8804; m$&nbsp; ist das&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]]&nbsp; der&nbsp; $j$&ndash;ten Zeile der Prüfmatrix.
 * Durch <i>Erwartungswertbildung</i> ergibt sich:
 :$${\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot  \sum_{j = 1}^{m}
 w_{\rm Z}(j)\hspace{0.05cm}.$$
-* Entsprechend gibt $w_{\rm S}(i)$ mit $1 &#8804; i &#8804; n$ das Hamming&ndash;Gewicht der $i$&ndash;ten Spalte von $\mathbf{H}$ an, mit dem Erwartungswert
+* Entsprechend gibt&nbsp; $w_{\rm S}(i)$&nbsp; mit&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; n$&nbsp; das Hamming&ndash;Gewicht der&nbsp; $i$&ndash;ten Spalte von&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; an, mit dem Erwartungswert
 :$${\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot  \sum_{i = 1}^{n}
 w_{\rm S}(i)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 24: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes|Einige Charakteristika der LDPC&ndash;Codes]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes|Einige Charakteristika der LDPC&ndash;Codes]].
@@ Zeile 32: / Zeile 35: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{$\mathbf{H}_1$ beschreibt einen systematischen Code. Wie lauten dessen Parameter?
+{$\mathbf{H}_1$&nbsp; beschreibt einen systematischen Code. Wie lauten dessen Parameter?
 |type="{}"}
 $n \hspace{0.27cm} = \ ${ 7 }
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 $m \hspace{0.15cm} = \ ${ 3 }
-{Wie groß ist die Coderate des Codes $\mathcal {C}_1$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?
+{Wie groß ist die Coderate des Codes&nbsp; $\mathcal {C}_1$&nbsp; mit der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_1$?
 |type="{}"}
 $R \ = \ ${ 0.571 3% }
-{Wie groß ist die Coderate des Codes $\mathcal {C}_2$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_2$?
+{Wie groß ist die Coderate des Codes&nbsp; $\mathcal {C}_2$&nbsp; mit der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_2$?
 |type="{}"}
 $R \ = \ ${ 0.571 3% }
-{Wie groß ist die Coderate des Codes $\mathcal {C}_3$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$?
+{Wie groß ist die Coderate des Codes&nbsp; $\mathcal {C}_3$&nbsp; mit der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_3$?
 |type="{}"}
 $R \ = \ ${ 0.571 3% }
-{Wie groß ist die Coderate des Codes $\mathcal {C}_4$ mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_4$?
+{Wie groß ist die Coderate des Codes&nbsp; $\mathcal {C}_4$&nbsp; mit der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_4$?
 |type="{}"}
 $R \ = \ ${ 0.5 3% }

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 11:35 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes\|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]].		* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes\|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]].

−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 *Da alle vier Gleichungen linear unabhängig sind, ist die Coderate gleich der unteren Schranke: $\underline{R = 1/2}$.
-<i>Hinweis:</i> Es handelt sich um den [[Aufgaben:1.9_Erweiterter_Hamming%E2%80%93Code| erweiterten (8, 4, 4)&ndash;Hamming&ndash;Code]].
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Matrix $\mathbf{H}_1$ endet mit einer $3 &times 3$&ndash;Diagonalmatrix. Dies ist das Kennzeichen eines systematischen Codes mit $\underline{m = 3}$ Prüfgleichungen. Die Codelänge ist $\underline{n = 7}$. Damit beinhaltet ein Codewort $\underline{k = 4}$ Informationsbits. <i>Hinweis:</i> Es handelt sich um den [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|systematischen (7, 4, 3)&ndash;Hamming&ndash;Code]].
+'''(1)'''&nbsp; Die Matrix $\mathbf{H}_1$ endet mit einer $3 &times 3$&ndash;Diagonalmatrix.
-'''(2)'''&nbsp; Die Coderate des (7, 4, 3)&ndash;Hamming&ndash;Codes ist $\underline{R = 4/7 = 0.571}$. Das Hamming&ndash;Gewicht für alle $m = 3$ Zeilen ist $w_{\rm Z} = 4$ und für das mittlere Hamming&ndash;Gewicht über alle Spalten gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Die Coderate des (7, 4, 3)&ndash;Hamming&ndash;Codes ist $\underline{R = 4/7 = 0.571}$.
 :$${\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot  \sum_{j = 1}^{ n}
 w_{\rm S}(j) = 1/7 \cdot [2 + 3 + 2+2 + 1+1 +1]
 = 12/7 \hspace{0.05cm}.$$
+*Damit gilt für die angegebene untere Schranke der Coderate:
 :$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{w_{\rm Z}}
 = 1 - \frac{12/7}{4}\hspace{0.15cm} \underline{= 4/7 \approx 0.571}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die erste Zeile von $\mathbf{H}_2$ ist die Summe aus der ersten Zeile $(z_1)$ und der zweiten Zeile $(z_2)$ von $\mathbf{H}_1$.
-'''(3)'''&nbsp; Die erste Zeile von $\mathbf{H}_2$ ist die Summe aus der ersten Zeile $(z_1)$ und der zweiten Zeile $(z_2)$ von $\mathbf{H}_1$. Die zweite Zeile ist gleich $z_2 + z_3$ und die dritte Zeile ist $z_1 + z_3$. Es handelt sich um den identischen Code &nbsp;&#8658;&nbsp; Rate $R = 4/7 = 0.571$. Weiterhin gilt $w_{\rm Z} = 4$ und ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1/7 \cdot [0 + 6 \cdot 2] = 12/7$.
+*Die zweite Zeile ist gleich $z_2 + z_3$ und die dritte Zeile ist $z_1 + z_3$.
 '''(4)'''&nbsp; Für diesen Code mit $n = 7$ (Spaltenzahl) und $m = 4$ (Zeilenzahl) gilt:
-:$$w_{\rm Z} = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot  \sum_{j = 1}^{ n}w_{\rm S}(j) = 1/7 \cdot [3 + 1 + 2 +3+2 + 2+3] = 16/7$$
+:$$w_{\rm Z} = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot  \sum_{j = 1}^{ n}w_{\rm S}(j) = 1/7 \cdot [3 + 1 + 2 +3+2 + 2+3] = 16/7\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} R \ge  1 - \frac{16/7}{4}= 3/7 \hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} R \ge  1 - \frac{16/7}{4}= 3/7 \hspace{0.05cm}.$$
-Das Gleichheitszeichen würde nur bei linear unabhängigen Prüfgleichungen gelten, was hier nicht zutrifft: Die dritte Zeile von $\mathbf{H}_3$ wurde von $\mathbf{H}_1$ übernommen. Streicht man diese Zeile, so ist $\mathbf{H}_3 = \mathbf{H}_2$ und deshalb gilt ebenfalls: $\ \underline{R = 4/7 = 0.571}$.
+Das Gleichheitszeichen würde nur bei linear unabhängigen Prüfgleichungen gelten, was hier nicht zutrifft:
 '''(5)'''&nbsp; Hier gilt $n = 7$ und $m = 4$, sowie
-:$${\rm E}[w_{\rm S}] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1/8 \cdot [4 + 3 + 4 + 3 + 3+2 + 2+2] = 23/8\hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm E}[w_{\rm S}] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1/8 \cdot [4 + 3 + 4 + 3 + 3+2 + 2+2] = 23/8\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
-:$${\rm E}[w_{\rm Z}] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1/4 \cdot [8 + 5 + 5+5] = 23/4$$
+{\rm E}[w_{\rm Z}] \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1/4 \cdot [8 + 5 + 5+5] = 23/4$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
 = 1 - \frac{23/8}{23/4} = 1/2
 \hspace{0.05cm}.$$
-Da alle vier Gleichungen linear unabhängig sind, ist die Coderate gleich der unteren Schranke: $\underline{R = 1/2}$. <i>Hinweis:</i> Es handelt sich um den [[Aufgaben:1.9_Erweiterter_Hamming%E2%80%93Code| erweiterten (8, 4, 4)&ndash;Hamming&ndash;Code]].
+*Da alle vier Gleichungen linear unabhängig sind, ist die Coderate gleich der unteren Schranke: $\underline{R = 1/2}$.
 {{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 13:29 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:


−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 ~~Grundlegendes zu den~~ Low–density Parity–check Codes^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]