Aufgaben:Aufgabe 4.11: Frequenzbereichsbetrachtung der 4–QAM - Versionsgeschichte

Guenter am 18. April 2022 um 05:14 Uhr

2022-04-18T05:14:43Z

Guenter am 21. April 2020 um 15:55 Uhr

2020-04-21T15:55:23Z

Guenter am 21. April 2020 um 15:49 Uhr

2020-04-21T15:49:01Z

Guenter am 11. Januar 2019 um 15:44 Uhr

2019-01-11T15:44:39Z

Guenter am 11. Januar 2019 um 15:39 Uhr

2019-01-11T15:39:24Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.11 Frequenzbereichsbetrachtung der 4–QAM nach Aufgaben:Aufgabe 4.11: Frequenzbereichsbetrachtung der 4–QAM

2018-01-03T14:30:52Z

Guenter verschob die Seite 4.11 Frequenzbereichsbetrachtung der 4–QAM nach Aufgabe 4.11: Frequenzbereichsbetrachtung der 4–QAM

Guenter am 27. Juli 2017 um 16:12 Uhr

2017-07-27T16:12:24Z

Guenter am 26. Juli 2017 um 12:31 Uhr

2017-07-26T12:31:38Z

Guenter am 26. Juli 2017 um 12:13 Uhr

2017-07-26T12:13:08Z

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:Mod_A_4_10_vers2.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von <br>BPSK und 4-QAM]]
-Ausgehend von der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]]&nbsp; (binäre Phasenmodulation) mit rechteckförmigem Grundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; der Breite &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; und der Amplitude &nbsp;$s_0 = 2 \ \rm  V$&nbsp; soll  in dieser Aufgabe das Leistungsdichtespektrum (LDS) der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|4–QAM]]&nbsp; schrittweise ermittelt werden.
+Ausgehend von der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]]&nbsp; (binäre Phasenmodulation)&nbsp; mit rechteckförmigem Grundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; der Breite &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; und der Amplitude &nbsp;$s_0 = 2 \ \rm  V$&nbsp; soll  das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|4–QAM]]&nbsp; schrittweise ermittelt werden.
-In der &nbsp;[[Aufgaben:4.7_Spektren_von_ASK_und_BPSK| Aufgabe 4.7]]&nbsp; wurde das Leistungdichtespektrum &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; der BPSK für genau diese Parameterwerte ermittelt. Mit
+In der &nbsp;[[Aufgaben:4.7_Spektren_von_ASK_und_BPSK| Aufgabe 4.7]]&nbsp; wurde das Leistungdichtespektrum &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; der BPSK für genau diese Parameterwerte ermittelt.&nbsp; Mit
 :$$A = s_0^2 \cdot T_{\rm B} = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}$$
-erhält man für das tatsächliche Leistungsdichtespektrum (im Bandpassbereich):
+erhält man für das tatsächliche Leistungsdichtespektrum&nbsp; (im Bandpassbereich):
 :$${{\it \Phi}_s(f)} = {A}/{4} \cdot {\big [ {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f - f_{\rm T})) + {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f + f_{\rm T}))\big ]}\hspace{0.05cm}.$$
-In der oberen Grafik ist allerdings das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals dargestellt. Dieses ergibt sich aus &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; durch
+In der oberen Grafik ist allerdings das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals dargestellt.&nbsp; Dieses ergibt sich aus &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; durch
 *Abschneiden aller Anteile bei negativen Frequenzen,
-*Vervierfachen der Anteile bei positiven Frequenzen
+*Vervierfachen der Anteile bei positiven Frequenzen&nbsp; (weil: &nbsp; ein Spektrum muss verdoppelt werden,&nbsp; ein LDS vervierfacht),
 *Verschieben um &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nach links:
 :$${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)} = A \cdot {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B}). \hspace{0.2cm}$$
 Die 4–QAM unterscheidet sich von der BPSK in folgenden Details:
-* Aufspaltung des binären Quellensignals in zwei Teilsignale mit jeweils halber Bitrate, das heißt mit der Symboldauer &nbsp;$T = 2 · T_{\rm B}$.
+* Aufspaltung des binären Quellensignals in zwei Teilsignale mit jeweils halber Bitrate,&nbsp; das heißt mit der Symboldauer &nbsp;$T = 2 · T_{\rm B}$.
-* Multiplikation der Teilsignale mit Cosinus und Minus–Sinus, deren Amplituden &nbsp;$g_0$&nbsp; jeweils um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; kleiner sind als &nbsp;$s_0$.
+* Multiplikation der Teilsignale mit Cosinus und Minus–Sinus,&nbsp; deren Amplituden &nbsp;$g_0$&nbsp; jeweils um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; kleiner sind als &nbsp;$s_0$.
-* Summation der beiden Teilsignale, die mit &nbsp;$s_{\cos}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{–\sin}(t)$&nbsp; bezeichnet werden:
+* Summation der beiden Teilsignale,&nbsp; die mit &nbsp;$s_{\cos}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{–\sin}(t)$&nbsp; bezeichnet werden:
 :$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 27: / Zeile 26: @@
 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|"BPSK &ndash; Binary Phase Shift Keying"]]&nbsp; im vorherigen Kapitel.
 * Das Leistungsdichtespektrum (LDS) einer QAM-Komponente ist identisch mit dem vergleichbaren BPSK&ndash;LDS.
 *Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
@@ Zeile 41: / Zeile 37: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei  &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK)?
+{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei  &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; (BPSK)?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des 4–QAM–Teilsignals&nbsp; $s_{\cos}(t)$&nbsp; in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert &nbsp;$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz  &nbsp;$f = 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$&nbsp; des 4–QAM–Teilsignals&nbsp; $s_{\cos}(t)$&nbsp; in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert &nbsp;$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz  &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 $B_0 \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
@@ Zeile 54: / Zeile 50: @@
 $Q_0 \ = \ $ { 8 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
-{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei der &nbsp;''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation''&nbsp; (4–QAM)?
+{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei der &nbsp;"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"&nbsp; (4–QAM)?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$

@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die Leistung des BPSK–Sendesignals ist gleich dem Intergral über das Leistungsdichtespektrum.
-*Integriert man über das äquivalente Tiefpass–LDS, so ist noch der Faktor 1/2 zu berücksichtigen:
+*Integriert man über das äquivalente Tiefpass–LDS, so ist noch der Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; zu berücksichtigen:
 :$$P_{\rm BPSK}  =  \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{A}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f =  \frac{A}{2T_{\rm B}} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x =\frac{A}{2T_{\rm B}}$$
 :$$\text{Mit} \ \ A = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} T_{\rm B}= 10^{-6}\,{\rm s} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm BPSK} = 2\,{\rm V^2} ( = {s_0^2 }/{2})\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer der 4–QAM ($T = 2 · T_{\rm B}$) ist die Spektralfunktion gegenüber der BPSK nur halb so breit, aber doppelt so hoch, und anstelle von $s_0$ ist nun der kleinere Wert $g_0$ zu berücksichtigen.
 *Der LDS–Wert bei der Frequenz $f = 0$ lautet damit:
 :$${\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = \left ({s_0}/{\sqrt{2}} \right )^2 \cdot 2 \cdot T_{\rm B} ={s_0^2 \cdot T_{\rm B}} = B_0 \hspace{0.05cm}.$$
 *Es ergibt sich somit genau der gleiche Wert wie bei der BPSK:
@@ Zeile 80: / Zeile 82: @@
 '''(3)'''&nbsp; Das zweite Teilsignal $s_{–\sin}(t)$ liefert den genau gleichen Beitrag wie das gerade betrachtete Signal $s_{\cos}(t)$.
 *Aufgrund der Orthogonalität zwischen der Cosinus– und der Minus–Sinusfunktion können die Leistungen addiert werden und man erhält:
-$$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = 2 \cdot B_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = 2 \cdot B_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(1)''' erhält man für die Energie pro Bit:
+'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man für die Energie pro Bit:
 :$$E_{\rm B}  =  \frac{1}{2} \cdot T_{\rm B} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f =
   \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} = \frac{8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz} \cdot 1\,{\rm \mu s}}{ 2 \cdot 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt, dass bei den hier getroffenen Voraussetzungen die „Energie pro Bit” von BPSK und 4–QAM übereinstimmen.
+*Man erkennt, dass bei den hier getroffenen Voraussetzungen die „Energie pro Bit” von BPSK und 4–QAM übereinstimmen.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 * Summation der beiden Teilsignale, die mit &nbsp;$s_{\cos}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{–\sin}(t)$&nbsp; bezeichnet werden:
 :$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 43: / Zeile 45: @@
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des 4–QAM–Teilsignals $s_{\cos}(t)$ in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert &nbsp;$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz  &nbsp;$f = 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des 4–QAM–Teilsignals&nbsp; $s_{\cos}(t)$&nbsp; in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert &nbsp;$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz  &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 $B_0 \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$

@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Leistung des BPSK–Sendesignals ist gleich dem Intergral über das Leistungsdichtespektrum. Integriert man über das äquivalente Tiefpass–LDS, so ist noch der Faktor 1/2 zu berücksichtigen:
+'''(1)'''&nbsp; Die Leistung des BPSK–Sendesignals ist gleich dem Intergral über das Leistungsdichtespektrum.
 :$$P_{\rm BPSK}  =  \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{A}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f =  \frac{A}{2T_{\rm B}} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x =\frac{A}{2T_{\rm B}}$$
 :$$\text{Mit} \ \ A = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} T_{\rm B}= 10^{-6}\,{\rm s} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm BPSK} = 2\,{\rm V^2} ( = {s_0^2 }/{2})\hspace{0.05cm}.$$
-Die Energie pro Bit ist dementsprechend bei der BPSK:
+*Die Energie pro Bit ist dementsprechend bei der BPSK:
 :$$E_{\rm B} = {P_{\rm BPSK} \cdot T_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist wieder der Bezugswiderstand $1\ \rm Ω$ zugrunde gelegt.
+*Hierbei ist wieder der Bezugswiderstand $1\ \rm Ω$ zugrunde gelegt.
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer der 4–QAM ($T = 2 · T_{\rm B}$) ist die Spektralfunktion gegenüber der BPSK nur halb so breit, aber doppelt so hoch, und anstelle von $s_0$ ist nun der kleinere Wert $g_0$ zu berücksichtigen. Der LDS–Wert bei der Frequenz $f = 0$ lautet damit:
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer der 4–QAM ($T = 2 · T_{\rm B}$) ist die Spektralfunktion gegenüber der BPSK nur halb so breit, aber doppelt so hoch, und anstelle von $s_0$ ist nun der kleinere Wert $g_0$ zu berücksichtigen.
 :$${\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = \left ({s_0}/{\sqrt{2}} \right )^2 \cdot 2 \cdot T_{\rm B} ={s_0^2 \cdot T_{\rm B}} = B_0 \hspace{0.05cm}.$$
-Es ergibt sich somit genau der gleiche Wert wie bei der BPSK:
+*Es ergibt sich somit genau der gleiche Wert wie bei der BPSK:
 :$$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}$$
-'''(3)'''&nbsp; Das zweite Teilsignal $s_{–\sin}(t)$ liefert den genau gleichen Beitrag wie das gerade betrachtete Signal $s_{\cos}(t)$. Aufgrund der Orthogonalität zwischen der Cosinus– und der Minus–Sinusfunktion können die Leistungen addiert werden und man erhält:
+'''(3)'''&nbsp; Das zweite Teilsignal $s_{–\sin}(t)$ liefert den genau gleichen Beitrag wie das gerade betrachtete Signal $s_{\cos}(t)$.
 $$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = 2 \cdot B_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (1) erhält man für die Energie pro Bit:
+'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(1)''' erhält man für die Energie pro Bit:
 :$$E_{\rm B}  =  \frac{1}{2} \cdot T_{\rm B} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f =
   \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} = \frac{8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz} \cdot 1\,{\rm \mu s}}{ 2 \cdot 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:Mod_A_4_10_vers2.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von BPSK und 4-QAM]]
+[[Datei:Mod_A_4_10_vers2.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von <br>BPSK und 4-QAM]]
-Ausgehend von der [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]] (binäre Phasenmodulation) mit rechteckförmigem Grundimpuls $g_s(t)$ der Breite $T_{\rm B} = 1 \ \rm μs$ und der Amplitude $s_0 = 2 \ \rm  V$ soll  in dieser Aufgabe das Leistungsdichtespektrum (LDS) der [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|4–QAM]] schrittweise ermittelt werden.
+Ausgehend von der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]]&nbsp; (binäre Phasenmodulation) mit rechteckförmigem Grundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; der Breite &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; und der Amplitude &nbsp;$s_0 = 2 \ \rm  V$&nbsp; soll  in dieser Aufgabe das Leistungsdichtespektrum (LDS) der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|4–QAM]]&nbsp; schrittweise ermittelt werden.
-In der [[Aufgaben:4.7_Spektren_von_ASK_und_BPSK| Aufgabe 4.7]] wurde das Leistungdichtespektrum ${\it Φ}_s(f)$ der BPSK für genau diese Parameterwerte ermittelt. Mit
+In der &nbsp;[[Aufgaben:4.7_Spektren_von_ASK_und_BPSK| Aufgabe 4.7]]&nbsp; wurde das Leistungdichtespektrum &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; der BPSK für genau diese Parameterwerte ermittelt. Mit
 :$$A = s_0^2 \cdot T_{\rm B} = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}$$
 erhält man für das tatsächliche Leistungsdichtespektrum (im Bandpassbereich):
-:$${{\it \Phi}_s(f)} = {A}/{4} \cdot {\left [ {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f - f_{\rm T})) + {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f + f_{\rm T}))\right ]}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${{\it \Phi}_s(f)} = {A}/{4} \cdot {\big [ {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f - f_{\rm T})) + {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f + f_{\rm T}))\big ]}\hspace{0.05cm}.$$
-In der oberen Grafik ist allerdings das Leistungsdichtespektrum ${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}$ des äquivalenten Tiefpass–Signals dargestellt. Dieses ergibt sich aus ${\it Φ}_s(f)$ durch
+In der oberen Grafik ist allerdings das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals dargestellt. Dieses ergibt sich aus &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; durch
 *Abschneiden aller Anteile bei negativen Frequenzen,
-*Vervierfachen der Anteile bei positiven Frequenzen (beachten Sie: ein Spektrum muss verdoppelt werden, ein Leistungsdichtespektrum vervierfacht) und
+*Vervierfachen der Anteile bei positiven Frequenzen
-*Verschieben um $f_{\rm T}$ nach links:
+:(beachten Sie: &nbsp; ein Spektrum muss verdoppelt werden, ein Leistungsdichtespektrum vervierfacht) und
 :$${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)} = A \cdot {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B}). \hspace{0.2cm}$$
 Die 4–QAM unterscheidet sich von der BPSK in folgenden Details:
-* Aufspaltung des binären Quellensignals in zwei Teilsignale mit jeweils halber Bitrate, das heißt mit der Symboldauer $T = 2 · T_{\rm B}$.
+* Aufspaltung des binären Quellensignals in zwei Teilsignale mit jeweils halber Bitrate, das heißt mit der Symboldauer &nbsp;$T = 2 · T_{\rm B}$.
-* Multiplikation der Teilsignale mit Cosinus und Minus–Sinus, deren Amplituden $g_0$ jeweils um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner sind als $s_0$.
+* Multiplikation der Teilsignale mit Cosinus und Minus–Sinus, deren Amplituden &nbsp;$g_0$&nbsp; jeweils um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; kleiner sind als &nbsp;$s_0$.
-* Summation der beiden Teilsignale, die mit $s_{\cos}(t)$ und $s_{–\sin}(t)$ bezeichnet werden:
+* Summation der beiden Teilsignale, die mit &nbsp;$s_{\cos}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{–\sin}(t)$&nbsp; bezeichnet werden:
 :$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK &ndash; Binary Phase Shift Keying]] im vorherigen Kapitel.
+*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK &ndash; Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; im vorherigen Kapitel.
 * Das Leistungsdichtespektrum (LDS) einer QAM-Komponente ist identisch mit dem vergleichbaren BPSK&ndash;LDS.
-*Energien sind in  $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.
+*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
@@ Zeile 34: / Zeile 39: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ bei der ''Binary Phase Shift Keying'' (BPSK)?
+{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei  &nbsp;''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK)?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des 4–QAM–Teilsignals $s_{\cos}(t)$ in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert $B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $ ergibt sich bei der Frequenz  $f = 0$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des 4–QAM–Teilsignals $s_{\cos}(t)$ in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert &nbsp;$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz  &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 $B_0 \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
-{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$ des gesamten 4–QAM–Signals $s(t)$?
+{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$&nbsp; des gesamten 4–QAM–Signals $s(t)$?
-Welcher Wert $Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $ ergibt sich hier bei der Frequenz $f = 0$?
+<br>Welcher Wert &nbsp;$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich hier bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
 |type="{}"}
 $Q_0 \ = \ $ { 8 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$
-{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$ bei der ''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation'' (4–QAM)?
+{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei der &nbsp;''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation''&nbsp; (4–QAM)?
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$