Aufgaben:Aufgabe 4.11: Analyse von Prüfmatrizen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:08Z

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	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.11:_Analysis_of_Parity-check_Matrices]]

Maintenance script: Fix 6 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T13:59:52Z

Fix 6 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

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	[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$]]		[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$]]
	In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:		In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
	:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$
	p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$

	Darunter sind die Prüfmatrizen  $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$  angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung  $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$  richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:		Darunter sind die Prüfmatrizen  $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$  angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung  $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$  richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:
Zeile 20:		Zeile 17:
	* Die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  eines herkömmlichen linearen  $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt  $m = n - k$  Zeilen und  $n$  Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung:   $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die  $m$  Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.		* Die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  eines herkömmlichen linearen  $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt  $m = n - k$  Zeilen und  $n$  Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung:   $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die  $m$  Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
	* Aus der Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  lässt sich eine untere Schranke für die Coderate  $R$  angeben:		* Aus der Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  lässt sich eine untere Schranke für die Coderate  $R$  angeben:
	:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}		:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} {\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i) \hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm} {\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
	{\rm E}[w_{\rm S}] =\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n}w_{\rm S}(i)
	\hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm}
	{\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j)
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes  ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$  und  ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$  berücksichtigt werden kann.		*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes  ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$  und  ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$  berücksichtigt werden kann.
Zeile 77:		Zeile 69:
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:		*Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:
	:$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$
	u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$
	*Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.		*Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

Zeile 86:		Zeile 75:
	Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ liefern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:		Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ liefern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
	* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:		* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
	:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm};$$
	u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm};$$
	* entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:		* entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:
	:$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}		:$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm}.$$
	u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
	p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm}u_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
	p_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 102:		Zeile 85:
	*Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte  ⇒  ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.		*Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte  ⇒  ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.
	* Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:		* Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:
	:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}		:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]} = 1 - \frac{1.5}{3} = 1/2 \hspace{0.05cm}.$$
	= 1 - \frac{1.5}{3} = 1/2
	\hspace{0.05cm}.$$

	* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits  ⇒  $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$   ⇒   Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.		* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits  ⇒  $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$   ⇒   Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.

Guenter am 10. Juli 2019 um 12:57 Uhr

2019-07-10T12:57:03Z

Guenter am 10. Juli 2019 um 12:50 Uhr

2019-07-10T12:50:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2019, 14:50 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}

	[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix]]		[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$]]
	In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:		In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
	:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
Zeile 8:		Zeile 8:
	p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$		p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$

	Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:		Darunter sind die Prüfmatrizen  $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$  angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung  $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$  richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:
	* dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,		* dem Codewort  $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,
	* dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.		* dem Codewort  $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.


	Alle $\mathbf{H}$–Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low–density Parity–check Codes</i> (kurz: LDPC–Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC–Codes ist der Einsen–Anteil allerdings noch geringer als bei diesen Beispielen.		Alle  $\mathbf{H}$–Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low–density Parity–check Codes</i>  (kurz:  $\rm LDPC$–Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC–Codes ist der Einsen–Anteil allerdings noch deutlich geringer als bei diesen Beispielen.

	Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:		Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:
	* Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k ~~\ \rm~~ Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k &times k$–Diagonalmatrix enden.		* Ein  $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten  $k$  Bit des Codewortes  $\underline{x}$  das Informationswort  $\underline{u}$  beinhaltet. Mit der Codewortdefinition  $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$  muss dann die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  mit einer  $k &times k$–Diagonalmatrix enden.
	* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen   ⇒   $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten   ⇒   $w_{\rm S}$ jeweils gleich ~~ist~~. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC–Code</i>.		* Ein  <i>regulärer Code</i>  (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen   ⇒   $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten   ⇒   $w_{\rm S}$ jeweils gleich sind. Andernfalls spricht man von einem  <i>irregulären LDPC–Code</i>.
	* Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.		* Die Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  eines herkömmlichen linearen  $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt  $m = n - k$  Zeilen und  $n$  Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung:   $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die  $m$  Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
	* Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:		* Aus der Prüfmatrix  $\mathbf{H}$  lässt sich eine untere Schranke für die Coderate  $R$  angeben:
	:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}		:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
	\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}		\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
Zeile 27:		Zeile 27:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.		*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes  ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$  und  ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$  berücksichtigt werden kann.





Zeile 35:		Zeile 38:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes\| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes\| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check]].
	* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes\|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]].		* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes\|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]].


Zeile 44:		Zeile 47:
	{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze?		{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.		+ $\mathbf{H}_1$  unter der Voraussetzung  $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
	- $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.		- $\mathbf{H}_1$  unter der Voraussetzung  $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
	+ $\mathbf{H}_2$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.		+ $\mathbf{H}_2$  unter der Voraussetzung  $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
	- $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.		- $\mathbf{H}_3$  unter der Voraussetzung  $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

	{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?		{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von  $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix  $\mathbf{H}_1$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der Code ist systematisch.		+ Der Code ist systematisch.
	- Der Code ist regulär.		- Der Code ist regulär.
	- Für die Coderate gilt $R > 1/2$.		- Für die Coderate gilt  $R > 1/2$.
	+ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.		+ Für die Coderate gilt  $R = 1/2$.

	{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$?		{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix  $\mathbf{H}_3$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.		- Es ist kein Zusammenhang zwischen  $\mathbf{H}_1$  und  $\mathbf{H}_3$  erkennbar.
	+ Die $\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$–Zeilen.		+ Die  $\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei  $\mathbf{H}_1$–Zeilen.
	+ Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.		+ Die vier Prüfgleichungen gemäß  $\mathbf{H}_3$  sind linear unabhängig.

	{Welche Aussagen gelten für den durch $\mathbf{H}_3$ gekennzeichneten Code?		{Welche Aussagen gelten für den durch  $\mathbf{H}_3$  gekennzeichneten Code?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Der Code ist systematisch.		- Der Code ist systematisch.
	+ Der Code ist regulär.		+ Der Code ist regulär.
	+ Für die Coderate gilt $R ≥ 1/2$.		+ Für die Coderate gilt  $R ≥ 1/2$.
	+ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.		+ Für die Coderate gilt  $R = 1/2$.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:38 Uhr

2018-02-02T10:38:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2018, 12:38 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	# Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.		*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC–Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.


Zeile 72:		Zeile 72:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
			*Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:
	:$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$		u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$
			*Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

	Dies entspricht genau den vorne getroffenen Annahmen. Das gleiche Ergebnis erhält man für $\mathbf{H}_2$ und der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$  ⇒  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.

	~~Dagegen liefern bei~~ gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ die ~~beiden~~ anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz.		Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ lifern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
	* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:		* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
	:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm},$$		p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm};$$
	* entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:		* entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:
	:$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}		:$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits  ⇒  $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$  ⇒  Richtig ist ~~der <u>~~Lösungsvorschlag 4~~</u>~~ im Gegensatz zur Antwort 3.		* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits  ⇒  $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$   ⇒   Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.


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	'''(4)'''  Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u> richtig:		'''(4)'''  Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u> richtig:
	* Wäre der durch $\mathbf{H}_3$ beschriebene Code systematisch, müsste $\mathbf{H}_3$ mit einer $4 &times 4$–Diagonalmatrix enden. Dies ist hier nicht der Fall.		* Wäre der durch $\mathbf{H}_3$ beschriebene Code systematisch, müsste $\mathbf{H}_3$ mit einer $4 &times 4$–Diagonalmatrix enden. Dies ist hier nicht der Fall.
	* Die Hamming–Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming–Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$  ⇒  der Code ist regulär.		* Die Hamming–Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming–Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$   ⇒   der Code ist regulär.
	* Daraus ergibt sich für die Coderate $R ≥ 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen  ⇒  $R = 1/2$.		* Daraus ergibt sich für die Coderate $R ≥ 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen   ⇒   $R = 1/2$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:28 Uhr

2018-02-02T10:28:49Z

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	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}

	[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|~~Beschreibung der Produktcodes~~ durch die Prüfmatrix]]		[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix]]
	In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:		In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
	:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:27 Uhr

2018-02-02T10:27:19Z

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	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}

	[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|~~Produktcode und dessen~~ Beschreibung durch die Prüfmatrix]]		[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png\|right\|frame\|Beschreibung der Produktcodes durch die Prüfmatrix]]
	In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:		In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
	:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},$$		p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$		p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$

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	Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:		Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:
	* Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k \ \rm Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k &times k$–Diagonalmatrix enden.		* Ein $(n, \ k)$–Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k \ \rm Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k &times k$–Diagonalmatrix enden.
	* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen  ⇒  $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten  ⇒  $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC–Code</i>.		* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC–Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming–Gewicht aller Zeilen   ⇒   $w_{\rm Z}$ und das Hamming–Gewicht aller Spalten   ⇒   $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC–Code</i>.
	* Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.		* Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$–Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC–Codes lautet dagegen die Forderung: $m ≥ n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
	* Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:		* Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:
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	''~~Hinweis~~:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes\| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check]]


			''Hinweise:''
			* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes\| Grundlegendes zu den Low–density Parity–check]].
			* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes\|Einige Charakteristika der LDPC–Codes]].



	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode ~~(obere~~ Skizze)?		{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.		+ $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
Zeile 43:		Zeile 49:
	- $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.		- $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.

	{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?		{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Der Code ist systematisch.		+ Der Code ist systematisch.
Zeile 53:		Zeile 59:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.		- Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.
	+ $\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$–Zeilen.		+ Die $\mathbf{H}_3$–Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$–Zeilen.
	+ Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.		+ Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.

Zeile 61:		Zeile 67:
	+ Der Code ist regulär.		+ Der Code ist regulär.
	+ Für die Coderate gilt $R ≥ 1/2$.		+ Für die Coderate gilt $R ≥ 1/2$.
	+ ~~Die~~ Coderate ~~ist~~ $R = 1/2$.		+ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:30 Uhr

2018-01-08T13:30:20Z

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	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 ~~Zu den~~ Low–density Parity–check Codes^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:28 Uhr

2018-01-08T13:28:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 15:28 Uhr
Zeile 117:		Zeile 117:


	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 ~~Grundlegendes zu~~ den Low–density Parity–check Codes^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Zu den Low–density Parity–check Codes^]]

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.11 Analyse von Prüfmatrizen nach Aufgaben:Aufgabe 4.11: Analyse von Prüfmatrizen

2018-01-04T06:55:44Z

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(kein Unterschied)

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Zeile 84:		Zeile 84:


	Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ ~~lifern~~ die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:		Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ liefern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
	* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:		* Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
	:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
Zeile 99:		Zeile 99:
	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
	* Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 &times 4$–Diagonalmatrix endet.		* Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 &times 4$–Diagonalmatrix endet.
	* Bei einem regulären (LDPC)–Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein. Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte  ⇒  ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.		* Bei einem regulären (LDPC)–Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein.
			*Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte  ⇒  ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.
	* Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:		* Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:
	:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}		:$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
Zeile 106:		Zeile 107:

	* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits  ⇒  $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$   ⇒   Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.		* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits  ⇒  $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$   ⇒   Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.



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	Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.		Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$   <br>⇒   Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.