Aufgaben:Aufgabe 4.11: Analyse von Prüfmatrizen - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Juli 2019 um 12:57 Uhr

2019-07-10T12:57:03Z

Guenter am 10. Juli 2019 um 12:50 Uhr

2019-07-10T12:50:38Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:38 Uhr

2018-02-02T10:38:24Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:28 Uhr

2018-02-02T10:28:49Z

Guenter am 2. Februar 2018 um 10:27 Uhr

2018-02-02T10:27:19Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:30 Uhr

2018-01-08T13:30:20Z

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2018-01-08T13:28:55Z

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2018-01-04T06:55:44Z

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Hussain am 12. Dezember 2017 um 16:08 Uhr

2017-12-12T16:08:40Z

Hussain am 12. Dezember 2017 um 16:07 Uhr

2017-12-12T16:07:51Z

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-Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ lifern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
+Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ liefern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
 * Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
 :$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 * Der Code ist systematisch, weil $\mathbf{H}_1$ mit einer $4 &times 4$&ndash;Diagonalmatrix endet.
-* Bei einem regulären (LDPC)&ndash;Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein. Die erste Bedingung ist erfüllt $(w_{\rm Z} = 3)$, nicht aber die zweite. Vielmehr gibt es (gleich oft) eine Eins bzw. zwei Einsen pro Spalte &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm E}[w_{\rm S}] = 1.5$.
+* Bei einem regulären (LDPC)&ndash;Code müssten in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich viele Einsen sein.
 * Bei einem irregulären Code lautet die untere Schranke für die Coderate:
 :$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
@@ Zeile 106: / Zeile 107: @@
 * Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.
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-Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
+Durch Linearkombinationen werden aus den vier linear unabhängigen Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_1$ nun vier linear unabhängige Gleichungen bezüglich $\mathbf{H}_3$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp;  Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}
-[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix]]
+[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$]]
 In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
 :$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
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 p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$
-Darunter sind die Prüfmatrizen $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$ angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:
+Darunter sind die Prüfmatrizen&nbsp; $\mathbf{H}_1, \ \mathbf{H}_2$ und $\mathbf{H}_3$&nbsp; angegeben. Zu prüfen ist, welche der Matrizen den gegebenen Produktcode entsprechend der Gleichung&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$&nbsp; richtig beschreiben, wenn von folgenden Definitionen ausgegangen wird:
-* dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,
+* dem Codewort&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$,
-* dem Codewort $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
+* dem Codewort&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
-Alle $\mathbf{H}$&ndash;Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes</i> (kurz: LDPC&ndash;Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC&ndash;Codes ist der Einsen&ndash;Anteil allerdings noch geringer als bei diesen Beispielen.
+Alle&nbsp; $\mathbf{H}$&ndash;Matrizen beinhalten weniger Einsen als Nullen. Dies ist ein Kennzeichen der so genannten <i>Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes</i>&nbsp; (kurz: &nbsp;$\rm LDPC$&ndash;Codes). Bei den praxisrelevanten LDPC&ndash;Codes ist der Einsen&ndash;Anteil allerdings noch deutlich geringer als bei diesen Beispielen.
 Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:
-* Ein $(n, \ k)$&ndash;Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k \ \rm Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k &times k$&ndash;Diagonalmatrix enden.
+* Ein&nbsp; $(n, \ k)$&ndash;Blockcode ist systematisch, wenn die ersten&nbsp; $k$&nbsp; Bit des Codewortes&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; das Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; beinhaltet. Mit der Codewortdefinition&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$&nbsp; muss dann die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; mit einer&nbsp; $k &times k$&ndash;Diagonalmatrix enden.
-* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC&ndash;Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming&ndash;Gewicht aller Zeilen &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm Z}$ und das Hamming&ndash;Gewicht aller Spalten &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC&ndash;Code</i>.
+* Ein&nbsp; <i>regulärer Code</i>&nbsp; (hinsichtlich LDPC&ndash;Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming&ndash;Gewicht aller Zeilen &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm Z}$ und das Hamming&ndash;Gewicht aller Spalten &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm S}$ jeweils gleich sind. Andernfalls spricht man von einem&nbsp; <i>irregulären LDPC&ndash;Code</i>.
-* Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$&ndash;Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC&ndash;Codes lautet dagegen die Forderung: $m &#8805; n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
+* Die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; eines herkömmlichen linearen&nbsp; $(n, \ k)$&ndash;Blockcodes besteht aus exakt&nbsp; $m = n - k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten. Bei den LDPC&ndash;Codes lautet dagegen die Forderung: &nbsp; $m &#8805; n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die&nbsp; $m$&nbsp; Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
-* Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:
+* Aus der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; lässt sich eine untere Schranke für die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; angeben:
 :$$R \ge 1 - \frac{{\rm E}[w_{\rm S}]}{{\rm E}[w_{\rm Z}]}
 \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC&ndash;Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.
+*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC&ndash;Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes&nbsp; ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$&nbsp; berücksichtigt werden kann.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes|Einige Charakteristika der LDPC&ndash;Codes]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low–density_Parity–check_Codes#Einige_Charakteristika_der_LDPC.E2.80.93Codes|Einige Charakteristika der LDPC&ndash;Codes]].
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 {Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze?
 |type="[]"}
-+ $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
++ $\mathbf{H}_1$&nbsp; unter der Voraussetzung&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
-- $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
+- $\mathbf{H}_1$&nbsp; unter der Voraussetzung&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
-+ $\mathbf{H}_2$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
++ $\mathbf{H}_2$&nbsp;  unter der Voraussetzung&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
-- $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
+- $\mathbf{H}_3$&nbsp; unter der Voraussetzung&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
-{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?
+{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von&nbsp; $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_1$?
 |type="[]"}
 + Der Code ist systematisch.
 - Der Code ist regulär.
-- Für die Coderate gilt $R > 1/2$.
+- Für die Coderate gilt&nbsp; $R > 1/2$.
-+ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.
++ Für die Coderate gilt&nbsp; $R = 1/2$.
-{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$?
+{Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_3$?
 |type="[]"}
-- Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.
+- Es ist kein Zusammenhang zwischen&nbsp; $\mathbf{H}_1$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{H}_3$&nbsp; erkennbar.
-+ Die $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$&ndash;Zeilen.
++ Die&nbsp; $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei&nbsp; $\mathbf{H}_1$&ndash;Zeilen.
-+ Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.
++ Die vier Prüfgleichungen gemäß&nbsp; $\mathbf{H}_3$&nbsp; sind linear unabhängig.
-{Welche Aussagen gelten für den durch $\mathbf{H}_3$ gekennzeichneten Code?
+{Welche Aussagen gelten für den durch&nbsp; $\mathbf{H}_3$&nbsp; gekennzeichneten Code?
 |type="[]"}
 - Der Code ist systematisch.
 + Der Code ist regulär.
-+ Für die Coderate gilt $R &#8805; 1/2$.
++ Für die Coderate gilt&nbsp; $R &#8805; 1/2$.
-+ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.
++ Für die Coderate gilt&nbsp; $R = 1/2$.
 </quiz>

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-# Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC&ndash;Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.
+*Diese Gleichung gilt für reguläre und irreguläre LDPC&ndash;Codes gleichermaßen, wobei den regulären Codes ${\rm E}[w_{\rm S}] = w_{\rm S}$ und ${\rm E}[w_{\rm Z}] = w_{\rm Z}$ berücksichtigt werden kann.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ bezeichnet die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ folgende Prüfgleichungen:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 :$$u_1 \oplus u_2 \oplus p_1 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 u_3 \oplus u_4 \oplus p_2 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 u_1 \oplus u_3 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 u_2 \oplus u_4 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen liefern bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ die beiden anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz.
+Bei gleicher Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$ lifern die anderen Prüfmatrizen keinen sinnvollen Gleichungssatz:
 * Entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$:
 :$$u_1 \oplus p_1 \oplus u_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 u_2 \oplus p_2 \oplus p_3 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm},$$
+p_1 \oplus p_2 \oplus p_4 = 0\hspace{0.05cm};$$
 * entsprechend Prüfmatrix $\mathbf{H}_3$:
 :$$u_1 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_2 \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} u_3  \hspace{-0.12cm}\oplus\hspace{-0.06cm} p_4 \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u> im Gegensatz zur Antwort 3.
+* Wegen der gegebenen Codestruktur ($k = 4$ Informationsbits, $m = 4$ Prüfbits &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 8$ Codebits) ist hier die Coderate auch in der herkömmlichen Form angebbar: $R = k/n$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Richtig ist Lösungsvorschlag 4 im Gegensatz zur Antwort 3.
@@ Zeile 116: / Zeile 117: @@
 '''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u> richtig:
 * Wäre der durch $\mathbf{H}_3$ beschriebene Code systematisch, müsste $\mathbf{H}_3$ mit einer $4 &times 4$&ndash;Diagonalmatrix enden. Dies ist hier nicht der Fall.
-* Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming&ndash;Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; der Code ist regulär.
+* Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen sind gleich $(w_{\rm Z} = 4)$ und auch alle Spalten haben jeweils das gleiche Hamming&ndash;Gewicht $(w_{\rm S} = 2)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; der Code ist regulär.
-* Daraus ergibt sich für die Coderate $R &#8805; 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen &nbsp;&#8658;&nbsp; $R = 1/2$.
+* Daraus ergibt sich für die Coderate $R &#8805; 1 - 2/4 = 1/2$. Da aber auch die vier Zeilen von $\mathbf{H}_3$ vier unabhängige Gleichungen beschreiben, gilt ebenfalls das Gleichheitszeichen &nbsp; &#8658; &nbsp; $R = 1/2$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}
-[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Beschreibung der Produktcodes durch die Prüfmatrix]]
+[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode, beschrieben durch die Prüfmatrix]]
 In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
 :$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes}}
-[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Produktcode und dessen Beschreibung durch die Prüfmatrix]]
+[[Datei:P_ID3067__KC_A_4_11_v2.png|right|frame|Beschreibung der Produktcodes durch die Prüfmatrix]]
 In nebenstehender Grafik ist oben ein Produktcode angegeben, der durch folgende Prüfgleichungen gekennzeichnet ist:
 :$$p_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},$$
+p_2 = u_3 \oplus u_4\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-:$$p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+p_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 \oplus u_3\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 p_4 = u_2 \oplus u_4\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 Weiterhin ist für die Aufgabe anzumerken:
 * Ein $(n, \ k)$&ndash;Blockcode ist systematisch, wenn die ersten $k \ \rm Bit$ des Codewortes das Informationswort $\underline{u}$ beinhaltet. Mit der Codewortdefinition $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ muss dann die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ mit einer $k &times k$&ndash;Diagonalmatrix enden.
-* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC&ndash;Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming&ndash;Gewicht aller Zeilen &nbsp;&#8658;&nbsp; $w_{\rm Z}$ und das Hamming&ndash;Gewicht aller Spalten &nbsp;&#8658;&nbsp; $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC&ndash;Code</i>.
+* Ein <i>regulärer Code</i> (hinsichtlich LDPC&ndash;Anwendung) liegt vor, wenn das Hamming&ndash;Gewicht aller Zeilen &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm Z}$ und das Hamming&ndash;Gewicht aller Spalten &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm S}$ jeweils gleich ist. Andernfalls spricht man von einem <i>irregulären LDPC&ndash;Code</i>.
 * Die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ eines herkömmlichen linearen $(n, \ k)$&ndash;Blockcodes besteht aus exakt $m = n - k$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei den LDPC&ndash;Codes lautet dagegen die Forderung: $m &#8805; n - k$. Das Gleichheitszeichen trifft dann zu, wenn die $m$ Prüfgleichungen statistisch unabhängig sind.
 * Aus der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ lässt sich eine untere Schranke für die Coderate $R$ angeben:
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
-''Hinweis:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes| Grundlegendes zu den Low&ndash;density Parity&ndash;check]]
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode (obere Skizze)?
+{Welche Prüfmatrix beschreibt den vorgegebenen Produktcode entsprechend der oberen Skizze?
 |type="[]"}
 + $\mathbf{H}_1$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$.
@@ Zeile 43: / Zeile 49: @@
 - $\mathbf{H}_3$ unter der Voraussetzung $\underline{x} = (u_1, \, p_1, \, u_2, \, p_2, \, u_3, \, p_3, \, u_4, \, p_4)$.
-{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?
+{Für die restlichen Teilaufgaben soll stets von $\underline{x} = (u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, p_1, \, p_2, \, p_3, \, p_4)$ ausgegangen werden. <br>Welche Aussagen gelten für die Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$?
 |type="[]"}
 + Der Code ist systematisch.
@@ Zeile 53: / Zeile 59: @@
 |type="[]"}
 - Es ist kein Zusammenhang zwischen $\mathbf{H}_1$ und $\mathbf{H}_3$ erkennbar.
-+ $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$&ndash;Zeilen.
++ Die $\mathbf{H}_3$&ndash;Zeilen sind Linearkombinationen von je zwei $\mathbf{H}_1$&ndash;Zeilen.
 + Die vier Prüfgleichungen gemäß $\mathbf{H}_3$ sind linear unabhängig.
@@ Zeile 61: / Zeile 67: @@
 + Der Code ist regulär.
 + Für die Coderate gilt $R &#8805; 1/2$.
-+ Die Coderate ist $R = 1/2$.
++ Für die Coderate gilt $R = 1/2$.
 </quiz>

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−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 ~~Zu den~~ Low–density Parity–check Codes^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Low–density Parity–check Codes^]]

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Zeile 117:		Zeile 117:


−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 ~~Grundlegendes zu~~ den Low–density Parity–check Codes^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.4 Zu den Low–density Parity–check Codes^]]

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(kein Unterschied)