Aufgaben:Aufgabe 4.10: Union Bound - Versionsgeschichte

Guenter am 30. Juli 2022 um 14:22 Uhr

2022-07-30T14:22:31Z

Guenter am 30. Juli 2022 um 14:09 Uhr

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Guenter am 14. März 2019 um 12:38 Uhr

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2019-03-14T12:33:29Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:35:33Z

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Hussain am 21. November 2017 um 16:52 Uhr

2017-11-21T16:52:46Z

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2017-11-21T09:43:52Z

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Guenter am 21. November 2017 um 09:20 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Punkte $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind für alle Konfigurationen gleich.
+'''(1)'''&nbsp; Die Punkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; sind für alle Konfigurationen gleich.
-*Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn $\boldsymbol{s}_0$ von $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ am weitesten entfernt liegt.
+*Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; von&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; am weitesten entfernt liegt.
-*Dies ist bei der Konfiguration '''C''' der Fall &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+*Dies ist bei der Konfiguration&nbsp; $\rm C$&nbsp; der Fall &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Bei der Konfiguration '''A''' ist der Abstand zwischen allen Punkten gleich: $d_{01} = d_{02} = d_{12} = 2$.
+'''(2)'''&nbsp; Bei der Konfiguration&nbsp; $\rm A$&nbsp; ist der Abstand zwischen allen Punkten gleich: &nbsp;  $d_{01} = d_{02} = d_{12} = 2$.
-*Deshalb muss zur Berechnung der <i>Union Bound</i> nicht über alle Symbole gemittelt werden, und es gilt, da zum Beispiel $\boldsymbol{s}_0$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ bzw. $\boldsymbol{s}_2$ verfälscht wird:
+*Deshalb muss zur Berechnung der&nbsp; "Union Bound"&nbsp; nicht über alle Symbole gemittelt werden.
 :$${\rm Pr}({ \cal E}) \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d_{ik}/2}{\sigma_n} \right ) = 2 \cdot {\rm Q}(2) \approx 2 \cdot 0.023 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 4.6\%} \hspace{0.05cm}. $$
 '''(3)'''&nbsp; Hier unterscheiden sich die Verfälschungswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Symbole.
-*Wurde $\boldsymbol{s}_0$ gesendet, so gilt mit $d_{01} = d_{02} = 2^{0.5}$ und $\sigma = 0.5$:
+*Wurde&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; gesendet,&nbsp; so gilt mit&nbsp; $d_{01} = d_{02} = 2^{0.5}$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 0.5$:
 :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )
   = 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2}) = 2 \cdot 0.079 = 0.158 \hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
   {\rm Q} \left ( \frac{{2}/2}{0.5} \right )+{\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )= {\rm Q}(2) +{\rm Q}(\sqrt{2}) = 0.023 + 0.079 = 0.102 \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Mittelung erhält man für die Union Bound unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Abstände:
+*Durch Mittelung erhält man für die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Abstände:
 :$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{3} \cdot \left [ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} + p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} +p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2}\right ]=
 {1}/{3} \cdot \left [ 2 \cdot  {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot ({\rm Q}({2}) + {\rm Q}(\sqrt{2})) \right ] =
 {1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot  {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot {\rm Q}({2})  \right ] $$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm UB} =
-{1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot  0.079+ 2 \cdot 0.023  \right ] \hspace{0.1cm}\hspace{0.12cm}\underline {\approx 12.1\% }  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm UB}\ge {\rm Pr}({ \cal E})\hspace{0.05cm}.$$
+{1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot  0.079+ 2 \cdot 0.023  \big ] \hspace{0.1cm}\hspace{0.12cm}\underline {\approx 12.1\% }  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm UB}\ge {\rm Pr}({ \cal E})\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$d_{01} = d_{02} = \sqrt{2^2 + 1^2}= \sqrt{5} \approx 2.24\hspace{0.2cm}, d_{12} = 2$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm UB}  =
-  {1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot  {\rm Q}(\sqrt{5})+ 2 \cdot {\rm Q}({2})  \right ] = {1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot  0.013+ 2 \cdot 0.023  \right ]\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx  3.2\%} \hspace{0.05cm}. $$
+  {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot  {\rm Q}(\sqrt{5})+ 2 \cdot {\rm Q}({2})  \big ] = {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot  0.013+ 2 \cdot 0.023  \big ]\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx  3.2\%} \hspace{0.05cm}. $$

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 [[Datei:P_ID2043__Dig_A_4_10.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $N=2$&nbsp; und&nbsp; $M=3$]]
-Die so genannte &bdquo;Union Bound&rdquo; gibt eine obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines nichtbinären Übertragungssystems&nbsp; $(M > 2)$&nbsp; an.
+Die&nbsp; &bdquo;Union Bound&rdquo;&nbsp; ist eine obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines nichtbinären Übertragungssystems&nbsp; $(M > 2)$.
-Die tatsächliche (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit ist allgemein wie folgt gegeben:
+*Die tatsächliche&nbsp; (mittlere)&nbsp; Fehlerwahrscheinlichkeit ist allgemein wie folgt gegeben:
 :$${\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \rm wobei}\hspace{0.2cm}
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die einfachere ''Union Bound''&nbsp; liefert eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; $($bzw. das Signal&nbsp; $\boldsymbol{s}_i)$&nbsp; gesendet wurde:
+*Die einfachere&nbsp; "Union Bound"&nbsp; liefert eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung,&nbsp; dass die Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; $($bzw. das Signal&nbsp; $\boldsymbol{s}_i)$&nbsp; gesendet wurde:
 :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ \ge \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s }_i ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i )\hspace{0.05cm},\ $$
 :$$ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}\sum\limits_{k = 0 ,\hspace{0.1cm}  k \ne i}^{M-1}\hspace{-0.1cm}
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 Dabei sind folgende Abkürzungen verwendet:
 * ${\rm Q}(x)$&nbsp; ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion;
-Durch Mittelung über alle möglichen Signale&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; kommt man dann zur eigentlichen ''Union Bound''&nbsp;:
+* $\sigma_n$&nbsp; ist der Effektivwert&nbsp; (&#8658; Wurzel aus der Varianz)&nbsp; des additiven weißen Gaußschen Rauschens.
 :$$p_{\rm UB} = \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s }_i) \cdot p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \ge {\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils&nbsp; $M = 3$&nbsp; Signalraumpunkten&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; im zweidimensionalen Raum &nbsp;$(N = 2)$.
+Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils&nbsp; $M = 3$&nbsp; Signalraumpunkten&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; im zweidimensionalen Raum &nbsp;$(N = 2)$.
 *Die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; sind geeignet normiert.
 *Somit sind auch die Signalraumkoordinaten reine Zahlenwerte ohne Einheit:
 :$$\boldsymbol{ s }_1 = (-1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_2 = (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; in der Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; liegt so, dass&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; ein gleichseitiges Dreieck beschreiben. *Bei den Konfigurationen  &nbsp;$\rm B$&nbsp; und  &nbsp;$\rm C$&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (0, 0)$&nbsp; bzw.&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (0, \ -1)$.
+*Der Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; in der Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; liegt so, dass&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; ein gleichseitiges Dreieck beschreiben.
-''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+Hinweise:
 *Verwenden Sie für alle Berechnungen den AWGN&ndash;Effektivwert &nbsp;$\sigma_n = 0.5$.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der drei Konfigurationen führt zur kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit (zumindest nach der ''Union Bound''&ndash;Näherung)?
+{Welche der drei Konfigurationen führt zur kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $($zumindest nach der&nbsp; "Union Bound"&ndash;Näherung)?
 |type="()"}
 - Konfiguration &nbsp;$\rm A$,
@@ Zeile 55: / Zeile 62: @@
 + Konfiguration &nbsp;$\rm C$.
-{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; &nbsp;$(p_{\rm UB})$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$.
+{Berechnen Sie die&nbsp; &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo;&nbsp; &nbsp;$(p_{\rm UB})$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ ${ 4.6 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$.
+{Berechnen Sie die&nbsp; &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo;&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ ${ 12.1 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$.
+{Berechnen Sie die&nbsp; &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo;&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ ${ 3.2 3% } $\ \%$
-{Wie müsste der Rauscheffektivwert&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; bei Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; verändert werden, damit sich die gleiche <i>Union Bound</i>&nbsp; wie in '''(4)''' ergibt?
+{Wie müsste der Rauscheffektivwert&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; bei Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; verändert werden,&nbsp; damit sich die gleiche&nbsp; "Union Bound"&nbsp; wie in Aufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ergibt?
 |type="{}"}
 $\sigma_n \ = \ ${ 0.467 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Punkte $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind für alle Konfigurationen gleich. Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn $\boldsymbol{s}_0$ von $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ am weitesten entfernt liegt. Dies ist bei der Konfiguration '''C''' der Fall &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Die Punkte $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind für alle Konfigurationen gleich.
 '''(2)'''&nbsp; Bei der Konfiguration '''A''' ist der Abstand zwischen allen Punkten gleich: $d_{01} = d_{02} = d_{12} = 2$. Deshalb muss zur Berechnung der <i>Union Bound</i> nicht über alle Symbole gemittelt werden, und es gilt, da zum Beispiel $\boldsymbol{s}_0$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ bzw. $\boldsymbol{s}_2$ verfälscht wird:
 :$${\rm Pr}({ \cal E}) \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d_{ik}/2}{\sigma_n} \right ) = 2 \cdot {\rm Q}(2) \approx 2 \cdot 0.023 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 4.6\%} \hspace{0.05cm}. $$
 '''(3)'''&nbsp; Hier unterscheiden sich die Verfälschungswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Symbole. Wurde $\boldsymbol{s}_0$ gesendet, so gilt mit $d_{01} = d_{02} = 2^{0.5}$ und $\sigma = 0.5$:
 :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )
   = 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2}) = 2 \cdot 0.079 = 0.158 \hspace{0.05cm}. $$
-Dagegen sind die beiden anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten kleiner
+*Dagegen sind die beiden anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten kleiner:
 :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} = p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
   {\rm Q} \left ( \frac{{2}/2}{0.5} \right )+{\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )= {\rm Q}(2) +{\rm Q}(\sqrt{2}) = 0.023 + 0.079 = 0.102 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 94: / Zeile 100: @@
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm UB} =
 {1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot  0.079+ 2 \cdot 0.023  \right ] \hspace{0.1cm}\hspace{0.12cm}\underline {\approx 12.1\% }  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm UB}\ge {\rm Pr}({ \cal E})\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2043__Dig_A_4_10.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $N=2$, $M=3$]]
+[[Datei:P_ID2043__Dig_A_4_10.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $N=2$&nbsp; und&nbsp; $M=3$]]
-Die so genannte &bdquo;Union Bound&rdquo; gibt eine obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines nichtbinären Übertragungssystems $(M > 2)$ an. Die tatsächliche (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit ist allgemein wie folgt gegeben:
+Die so genannte &bdquo;Union Bound&rdquo; gibt eine obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines nichtbinären Übertragungssystems&nbsp; $(M > 2)$&nbsp; an.
 :$${\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \rm wobei}\hspace{0.2cm}
@@ Zeile 9: / Zeile 11: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die einfachere ''Union Bound'' liefert eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht $m_i$ (bzw. das Signal $\boldsymbol{s}_i$) gesendet wurde:
+Die einfachere ''Union Bound''&nbsp; liefert eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; $($bzw. das Signal&nbsp; $\boldsymbol{s}_i)$&nbsp; gesendet wurde:
 :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ \ge \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s }_i ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i )\hspace{0.05cm},\ $$
 :$$ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}\sum\limits_{k = 0 ,\hspace{0.1cm}  k \ne i}^{M-1}\hspace{-0.1cm}
@@ Zeile 15: / Zeile 17: @@
 Dabei sind folgende Abkürzungen verwendet:
-* ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion,
+* ${\rm Q}(x)$&nbsp; ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion;
-* $d_{ik}$ bezeichnet den Abstand der Signalpunkte $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$,
+* $d_{ik}$&nbsp; bezeichnet den Abstand der Signalpunkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; und $\boldsymbol{s}_k$;
-* $\sigma_n$ ist der Effektivwert (&#8658; Wurzel aus der Varianz) des additiven weißen Gaußschen Rauschens.
+* $\sigma_n$&nbsp; ist der Effektivwert (&#8658; Wurzel aus der Varianz) des additiven weißen Gaußschen Rauschens.
-Durch Mittelung über alle möglichen Signale $\boldsymbol{s}_i$ kommt man dann zur eigentlichen ''Union Bound'':
+Durch Mittelung über alle möglichen Signale&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; kommt man dann zur eigentlichen ''Union Bound''&nbsp;:
 :$$p_{\rm UB} = \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s }_i) \cdot p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \ge {\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils $M = 3$ Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$. Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sind geeignet normiert. Somit sind auch die Signalraumkoordinaten reine Zahlenwerte ohne Einheit:
+*Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils&nbsp; $M = 3$&nbsp; Signalraumpunkten&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; im zweidimensionalen Raum &nbsp;$(N = 2)$.
 :$$\boldsymbol{ s }_1 = (-1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_2 = (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}.$$
-Der Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_0$ in der Konfiguration '''A''' liegt so, dass $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$, $\boldsymbol{s}_2$ ein gleichseitiges Dreieck beschreiben. Bei der Konfiguration  '''B''' und  '''C''' gilt dagegen $\boldsymbol{s}_0 = (0, 0)$ bzw. $\boldsymbol{s}_0 = (0, \ &ndash;1)$. Verwenden Sie für alle Berechnungen den AWGN&ndash;Effektivwert $\sigma_n = 0.5$.
+*Der Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; in der Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; liegt so, dass&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; ein gleichseitiges Dreieck beschreiben. *Bei den Konfigurationen  &nbsp;$\rm B$&nbsp; und  &nbsp;$\rm C$&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (0, 0)$&nbsp; bzw.&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (0, \ -1)$.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 * Gegeben sind folgende Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion:
@@ Zeile 43: / Zeile 51: @@
 {Welche der drei Konfigurationen führt zur kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit (zumindest nach der ''Union Bound''&ndash;Näherung)?
 |type="()"}
-- Konfiguration '''A''',
+- Konfiguration &nbsp;$\rm A$,
-- Konfiguration '''B''',
+- Konfiguration &nbsp;$\rm B$,
-+ Konfiguration '''C'''.
++ Konfiguration &nbsp;$\rm C$.
-{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; ($p_{\rm UB}$) für die Konfiguration '''A'''.
+{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; &nbsp;$(p_{\rm UB})$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ ${ 4.6 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; ($p_{\rm UB}$) für die Konfiguration '''B'''.
+{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ ${ 12.1 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; ($p_{\rm UB}$) für die Konfiguration '''C'''.
+{Berechnen Sie die &bdquo;gemittelte Union Bound&rdquo; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm UB} \ = \ ${ 3.2 3% } $\ \%$
-{Wie müsste der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ bei Konfiguration '''A''' verändert werden, damit sich die gleiche <i>Union Bound</i> wie in (4) ergibt?
+{Wie müsste der Rauscheffektivwert&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; bei Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; verändert werden, damit sich die gleiche <i>Union Bound</i>&nbsp; wie in '''(4)''' ergibt?
 |type="{}"}
 $\sigma_n \ = \ ${ 0.467 3% }

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Gegeben sind folgende Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion:
 :$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$

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	:$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.023\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.14) \approx 0.016\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}{\rm Q}(\sqrt{5}) \approx 0.013 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.023\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.14) \approx 0.016\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}{\rm Q}(\sqrt{5}) \approx 0.013 \hspace{0.05cm}.$$
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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	:$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.023\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.14) \approx 0.016\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}{\rm Q}(\sqrt{5}) \approx 0.013 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.023\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.14) \approx 0.016\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}{\rm Q}(\sqrt{5}) \approx 0.013 \hspace{0.05cm}.$$
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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(kein Unterschied)