Aufgaben:Aufgabe 4.10: Signalverläufe der 16–QAM - Versionsgeschichte

Guenter am 16. April 2022 um 14:38 Uhr

2022-04-16T14:38:39Z

Guenter am 16. April 2022 um 14:32 Uhr

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Guenter am 21. April 2020 um 15:27 Uhr

2020-04-21T15:27:23Z

Guenter am 21. April 2020 um 15:17 Uhr

2020-04-21T15:17:59Z

Guenter am 11. Januar 2019 um 15:10 Uhr

2019-01-11T15:10:42Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:30:21Z

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"]].
-*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufe der 4-QAM]]&nbsp; hilfreich.
+*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|"Signalverläufe der 4-QAM"]]&nbsp; hilfreich.
 *Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur &nbsp;[[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]]&nbsp; zu sehen.&nbsp; <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen.
 *Verwenden Sie ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; die Parameterwerte &nbsp;$g_0 = 1 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus dem (roten) Inphasesignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Realteil folgt (erste Gleichung entsprechend Definition, zweite Gleichung gemäß Skizze):
+'''(1)'''&nbsp; Aus dem (roten) Inphasesignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Realteil folgt&nbsp; (erste Gleichung entsprechend Definition,&nbsp; zweite Gleichung gemäß Skizze):
 :$$ s_{\rm cos}(t)= a_{\rm I}\cdot g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)= g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm I}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$
-*Entsprechend erkennt man aus dem Quadratursignal  &nbsp; &rArr; &nbsp; Imaginärteilteil :
+*Entsprechend erkennt man aus dem Quadratursignal  &nbsp; &rArr; &nbsp; Imaginärteilteil:
 :$$ s_{\rm -sin}(t)= -a_{\rm Q}\cdot g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)= -g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die (maximale) Hüllkurve&nbsp; $g_0$, während&nbsp; $s_0$&nbsp; das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; charakterisiert.
+'''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die&nbsp; (maximale)&nbsp; Hüllkurve&nbsp; $g_0$,&nbsp; während&nbsp; $s_0$&nbsp; das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; charakterisiert.
 *Wie aus der Signalraumzuordnung&nbsp; (siehe Aufgabe 4.10Z)&nbsp; hervorgeht, gilt:
 :$${s_0}/{ g_0 }= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414} \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{\rm I}$&nbsp; und&nbsp; $a_{\rm Q}$&nbsp; haben die gleichen Vorzeichen wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''', aber mit kleinerem Betrag:
+'''(3)'''&nbsp; Die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{\rm I}$&nbsp; und&nbsp; $a_{\rm Q}$&nbsp; haben die gleichen Vorzeichen wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''',&nbsp; aber mit kleinerem Betrag:
 :$$a_{\rm I} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Im dritten (grünen) Intervall erkennt man ein Minus–Cosinus–Signal mit der Amplitude&nbsp; $g_0$&nbsp; und ein Minus–Sinus–Signal mit Amplitude&nbsp; $g_0/3$:
+'''(4)'''&nbsp; Im dritten&nbsp; (grünen)&nbsp; Intervall erkennt man ein Minus–Cosinus–Signal mit der Amplitude&nbsp; $g_0$&nbsp; und ein Minus–Sinus–Signal mit Amplitude&nbsp; $g_0/3$:
 :$$a_{\rm I} = \hspace{0.15cm}\underline {= -1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$
-Wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; der Aufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll, ist hier der Betrag gleich&nbsp; $|a| =1.054$&nbsp; und der Phasenwinkel&nbsp; ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.
+*Wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; der Aufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll,&nbsp; ist hier der Betrag gleich&nbsp; $|a| =1.054$&nbsp; und der Phasenwinkel&nbsp; ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.
-'''(5)'''&nbsp; Das violette Signal unterscheidet sich vom grünen Intervall nicht in der Inphasekomponente, sondern nur im Vorzeichen der Quadraturkomponente:
+'''(5)'''&nbsp; Das violette Signal unterscheidet sich vom grünen Intervall nicht in der Inphasekomponente,&nbsp; sondern nur im Vorzeichen der Quadraturkomponente:
 :$$a_{\rm I} = \hspace{0.15cm}\underline {= -1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = - 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= -0.333} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Die maximale Signalenergie tritt auf, wenn einer der vier äußeren Eckpunkte belegt ist.&nbsp; Dann gilt:
+'''(6)'''&nbsp; Die maximale Signalenergie tritt auf,&nbsp; wenn einer der vier äußeren Eckpunkte belegt ist.&nbsp; Dann gilt:
 :$$ E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T = {1}/{2}\cdot \left (\sqrt{2} \cdot g_0 \right )^2 \cdot T = g_0^2 \cdot T = (1\,{\rm V})^2 \cdot (1\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die mittlere Signalenergie ist gleich dem Maximalwert, wenn nur die Eckpunkte der Signalraumzuordnung belegt sind und „innere Symbole” von der Codierung ausgeschlossen werden.
+*Die mittlere Signalenergie ist gleich dem Maximalwert,&nbsp; wenn nur die Eckpunkte der Signalraumzuordnung belegt sind und „innere Symbole” von der Codierung ausgeschlossen werden.
-'''(7)'''&nbsp; Pro Symbol werden vier Bit übertragen. Daraus folgt:
+'''(7)'''&nbsp; Pro Symbol werden vier Bit übertragen.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$ E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max} = {E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
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 '''(8)'''&nbsp; Die minimale Signalenergie ergibt sich bei einem der inneren Signalraumpunkte und ist um den Faktor&nbsp; $9$&nbsp; kleiner als bei Teilaufgabe&nbsp; '''(7)''':
 :$$E_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = \frac{E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max}}{9} = \frac{g_0^2 \cdot T}{36} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.028 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei der 16–QAM für die mittlere Signalenergie pro Bit unter der Voraussetzung, dass alle Symbole gleichwahrscheinlich sind, näherungsweise gilt:
+*Im Theorieteil wird gezeigt,&nbsp; dass bei der 16–QAM für die mittlere Signalenergie pro Bit unter der Voraussetzung,&nbsp; dass alle Symbole gleichwahrscheinlich sind,&nbsp; näherungsweise gilt:
 :$$E_{\rm B} \approx 0.139 · g_0^2 \cdot T = 0.035 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 *Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur &nbsp;[[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]]&nbsp; zu sehen.&nbsp; <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen.
 *Verwenden Sie ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; die Parameterwerte &nbsp;$g_0 = 1 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$.
-*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
+*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben;&nbsp; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
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-{Welches Verhältnis besteht zwischen &nbsp;$s_0$&nbsp; (maximale Hüllkurve des Sendesignals) und &nbsp;$g_0$&nbsp; (maximale Hüllkurve der Teilsignale)?
+{Welches Verhältnis besteht zwischen &nbsp;$s_0$&nbsp; (maximale Hüllkurve des Sendesignals)&nbsp; und &nbsp;$g_0$&nbsp; (maximale Hüllkurve der Teilsignale)?
 |type="{}"}
 $s_0/g_0 \ = \ $ { 1.414 3% }

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 '''(1)'''&nbsp; Aus dem (roten) Inphasesignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Realteil folgt (erste Gleichung entsprechend Definition, zweite Gleichung gemäß Skizze):
 :$$ s_{\rm cos}(t)= a_{\rm I}\cdot g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)= g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm I}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend erkennt man aus dem Quadratursignal  &nbsp; &rArr; &nbsp; Imaginärteilteil :
+*Entsprechend erkennt man aus dem Quadratursignal  &nbsp; &rArr; &nbsp; Imaginärteilteil :
 :$$ s_{\rm -sin}(t)= -a_{\rm Q}\cdot g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)= -g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm Q}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die (maximale) Hüllkurve $g_0$, während $s_0$ das Sendesignal $s(t)$ charakterisiert.
-*Wie aus der Signalraumzuordnung (siehe Aufgabe 4.10Z) hervorgeht, gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die (maximale) Hüllkurve&nbsp; $g_0$, während&nbsp; $s_0$&nbsp; das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; charakterisiert.
 :$${s_0}/{ g_0 }= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ haben die gleichen Vorzeichen wie bei der Teilaufgabe '''(1)''', aber mit kleinerem Betrag:
 :$$a_{\rm I} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Im dritten (grünen) Intervall erkennt man ein Minus–Cosinus–Signal mit der Amplitude $g_0$ und ein Minus–Sinus–Signal mit Amplitude $g_0/3$:
 :$$a_{\rm I} = \hspace{0.15cm}\underline {= -1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$
-Wie in der Teilaufgabe '''(4)''' der Aufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll, ist hier der Betrag gleich $|a| =1.054$ und der Phasenwinkel ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.
+Wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; der Aufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll, ist hier der Betrag gleich&nbsp; $|a| =1.054$&nbsp; und der Phasenwinkel&nbsp; ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.
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 '''(6)'''&nbsp; Die maximale Signalenergie tritt auf, wenn einer der vier äußeren Eckpunkte belegt ist. Dann gilt:
 :$$ E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T = {1}/{2}\cdot \left (\sqrt{2} \cdot g_0 \right )^2 \cdot T = g_0^2 \cdot T = (1\,{\rm V})^2 \cdot (1\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
 *Die mittlere Signalenergie ist gleich dem Maximalwert, wenn nur die Eckpunkte der Signalraumzuordnung belegt sind und „innere Symbole” von der Codierung ausgeschlossen werden.
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 '''(8)'''&nbsp; Die minimale Signalenergie ergibt sich bei einem der inneren Signalraumpunkte und ist um den Faktor $9$ kleiner als bei Teilaufgabe (7) :
 :$$E_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = \frac{E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max}}{9} = \frac{g_0^2 \cdot T}{36} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.028 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
 *Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei der 16–QAM für die mittlere Signalenergie pro Bit unter der Voraussetzung, dass alle Symbole gleichwahrscheinlich sind, näherungsweise gilt:

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 [[Datei:P_ID1718__Mod_A_4_9.png|right|frame|Signalverläufe der 16–QAM für <br>vier beispielhafte Symbole]]
-Wir betrachten das 16–QAM–Verfahren gemäß dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil. In aller Kürze lässt sich dieses wie folgt beschreiben:
+Wir betrachten das 16–QAM–Verfahren gemäß dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil.
 * Jeweils vier Bit des binären redundanzfreien Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; am Eingang ergeben nach Seriell–Parallell–Wandlung und der folgenden Signalraumzuordnung einen komplexwertigen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;
 :$$a = a_{\rm I} +{\rm j} · a_{\rm Q}.$$
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 Die Grafik zeigt für vier ausgewählte Symbole die Signale &nbsp;$s_{\rm cos}(t)$, &nbsp;$s_{\rm –sin}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s(t)$. Daraus sollen die Amplitudenkoeffizienten ermittelt werden.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
 *Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufe der 4-QAM]]&nbsp; hilfreich.
-*Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur &nbsp;[[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]]&nbsp; zu sehen. <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen.
+*Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur &nbsp;[[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]]&nbsp; zu sehen.&nbsp; <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen.
-*Verwenden Sie ab der Teilaufgabe '''(6)''' die Parameterwerte &nbsp;$g_0 = 1 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$.
+*Verwenden Sie ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; die Parameterwerte &nbsp;$g_0 = 1 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$.
 *Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
@@ Zeile 47: / Zeile 52: @@
 $a_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3% }
-{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient &nbsp;$a$&nbsp; im grünen Zeitintervall &nbsp;$(2T < t < 3T)$? <br>Ermitteln Sie auch dessen Betrag und die Phasenlage.
+{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient &nbsp;$a$&nbsp; im grünen Zeitintervall &nbsp;$(2T < t < 3T)$?&nbsp; Ermitteln Sie auch dessen Betrag und die Phasenlage.
 |type="{}"}
 $a_{\rm I} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
@@ Zeile 57: / Zeile 62: @@
 $a_{\rm Q} \ = \ $ { -0.343--0.323 }
-{Welche maximale Energie &nbsp;$E_\text{S, max}$&nbsp; wird pro Symbol aufgewendet?
+{Welche maximale Energie &nbsp;$E_\text{S, max}$&nbsp; wird pro Symbol aufgewendet?&nbsp; Unter welcher Voraussetzung ist die mittlere Energie pro Symbol gleich &nbsp;$E_\text{S, max}$?
 |type="{}"}
 $E_\text{S, max} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$

@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus dem (roten) Inphasesignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Realteil folgt (links entsprechend Definition, rechts gemäß Skizze):
+'''(1)'''&nbsp; Aus dem (roten) Inphasesignal &nbsp; &rArr; &nbsp; Realteil folgt (erste Gleichung entsprechend Definition, zweite Gleichung gemäß Skizze):
 :$$ s_{\rm cos}(t)= a_{\rm I}\cdot g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)= g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}a_{\rm I}\hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$
 Entsprechend erkennt man aus dem Quadratursignal  &nbsp; &rArr; &nbsp; Imaginärteilteil :
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
-'''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die (maximale) Hüllkurve $g_0$, während $s_0$ das Sendesignal $s(t)$ charakterisiert. Wie aus der Signalraumzuordnung (siehe Aufgabe 4.10Z) hervorgeht, gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Die beiden Teilsignale haben jeweils die (maximale) Hüllkurve $g_0$, während $s_0$ das Sendesignal $s(t)$ charakterisiert.
 :$${s_0}/{ g_0 }= \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.414} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ haben die gleichen Vorzeichen wie bei der Teilaufgabe (1), aber mit kleinerem Betrag:
+'''(3)'''&nbsp; Die Amplitudenkoeffizienten $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ haben die gleichen Vorzeichen wie bei der Teilaufgabe '''(1)''', aber mit kleinerem Betrag:
 :$$a_{\rm I} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 90: / Zeile 91: @@
 '''(4)'''&nbsp; Im dritten (grünen) Intervall erkennt man ein Minus–Cosinus–Signal mit der Amplitude $g_0$ und ein Minus–Sinus–Signal mit Amplitude $g_0/3$:
 :$$a_{\rm I} = \hspace{0.15cm}\underline {= -1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_{\rm Q} = + 1/3\hspace{0.15cm}\underline {= +0.333} \hspace{0.05cm}.$$
-Wie in der Teilaufgabe (4) der Zusatzaufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll, ist hier der Betrag gleich $|a| =1.054$ und der Phasenwinkel ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.
+Wie in der Teilaufgabe '''(4)''' der Aufgabe 4.10Z noch berechnet werden soll, ist hier der Betrag gleich $|a| =1.054$ und der Phasenwinkel ${\rm arc} \ a \approx 161^\circ$.
@@ Zeile 99: / Zeile 100: @@
 '''(6)'''&nbsp; Die maximale Signalenergie tritt auf, wenn einer der vier äußeren Eckpunkte belegt ist. Dann gilt:
 :$$ E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T = {1}/{2}\cdot \left (\sqrt{2} \cdot g_0 \right )^2 \cdot T = g_0^2 \cdot T = (1\,{\rm V})^2 \cdot (1\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
-Die mittlere Signalenergie ist gleich dem Maximalwert, wenn nur die Eckpunkte der Signalraumzuordnung belegt sind und „innere Symbole” von der Codierung ausgeschlossen werden.
+*Die mittlere Signalenergie ist gleich dem Maximalwert, wenn nur die Eckpunkte der Signalraumzuordnung belegt sind und „innere Symbole” von der Codierung ausgeschlossen werden.
 '''(7)'''&nbsp; Pro Symbol werden vier Bit übertragen. Daraus folgt:
 :$$ E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max} = {E_{\rm S, \hspace{0.05cm}max}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(8)'''&nbsp; Die minimale Signalenergie ergibt sich bei einem der inneren Signalraumpunkte und ist um den Faktor $9$ kleiner als bei Teilaufgabe (7) :
 :$$E_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = \frac{E_{\rm B, \hspace{0.05cm}max}}{9} = \frac{g_0^2 \cdot T}{36} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.028 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}\hspace{0.05cm}.$$
-Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei der 16–QAM für die mittlere Signalenergie pro Bit unter der Voraussetzung, dass alle Symbole gleichwahrscheinlich sind, näherungsweise gilt: &nbsp;  $E_{\rm B} \approx 0.139 · g_0^2 \cdot T = 0.035 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}$.
+*Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei der 16–QAM für die mittlere Signalenergie pro Bit unter der Voraussetzung, dass alle Symbole gleichwahrscheinlich sind, näherungsweise gilt:
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1718__Mod_A_4_9.png|right|frame|Signalverläufe der 16–QAM für vier beispielhafte Symbole]]
+[[Datei:P_ID1718__Mod_A_4_9.png|right|frame|Signalverläufe der 16–QAM für <br>vier beispielhafte Symbole]]
-Wir betrachten das 16–QAM–Verfahren gemäß dem [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung_.281.2|Blockschaltbild]] im Theorieteil. In aller Kürze lässt sich dieses wie folgt beschreiben:
+Wir betrachten das 16–QAM–Verfahren gemäß dem &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung_.281.2|Blockschaltbild]]&nbsp; im Theorieteil. In aller Kürze lässt sich dieses wie folgt beschreiben:
-* Jeweils vier Bit des binären redundanzfreien Quellensignals $q(t)$ am Eingang ergeben nach Seriell–Parallell–Wandlung und der folgenden Signalraumzuordnung einen komplexwertigen Amplitudenkoeffizienten $a = a_{\rm I} +{\rm j} · a_{\rm Q}$.
+* Jeweils vier Bit des binären redundanzfreien Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; am Eingang ergeben nach Seriell–Parallell–Wandlung und der folgenden Signalraumzuordnung einen komplexwertigen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;
-* Mit dem rechteckförmigen Sendegrundimpuls $g_s(t)$ im Bereich von $0$ bis $T$ und der Höhe $g_0$ erhält man nach den Multiplikationen mit der Cosinus–Funktion bzw. Minus–Sinus–Funktion im betrachteten Zeitintervall:
+:$$a = a_{\rm I} +{\rm j} · a_{\rm Q}.$$
 :$$s_{\rm cos}(t)  =  a_{\rm I}\cdot g_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.05cm},$$
 :$$ s_{\rm -sin}(t) =  -a_{\rm Q} \cdot g_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 13: / Zeile 14: @@
 :$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt für vier ausgewählte Symbole die Signale $s_{cos}(t)$, $s{–sin}(t)$ und $s(t)$. Daraus sollen die Amplitudenkoeffizienten ermittelt werden.
+Die Grafik zeigt für vier ausgewählte Symbole die Signale &nbsp;$s_{\rm cos}(t)$, &nbsp;$s_{\rm –sin}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s(t)$. Daraus sollen die Amplitudenkoeffizienten ermittelt werden.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation]].
-*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufe der 4-QAM]] hilfreich.
+*Zur Lösung der Aufgabe ist die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufe der 4-QAM]]&nbsp; hilfreich.
-*Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur [[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]] zu sehen. <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen.
+*Die betrachtete Signalraumzuordnung ist im Angabenblatt zur &nbsp;[[Aufgaben:4.10Z_Signalraumkonstellation_der_16–QAM|Aufgabe 4.10Z]]&nbsp; zu sehen. <br>Auch die farblichen Hervorhebungen passen zusammen.
-*Verwenden Sie ab der Teilaufgabe (6) die Parameterwerte $g_0 = 1 \ \rm V$ und $T = 1 \ \rm μs$.
+*Verwenden Sie ab der Teilaufgabe '''(6)''' die Parameterwerte &nbsp;$g_0 = 1 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$.
-*Energien sind in  $\rm V^2s$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.
+*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lauten Real- und Imaginärteil dea Amplitudenkoeffizienten $a$ im roten Zeitintervall ($0 < t < T$)?
+{Wie lauten Real- und Imaginärteil des Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a$&nbsp; im roten Zeitintervall &nbsp;$(0 < t < T)$?
 |type="{}"}
 $a_{\rm I} \ = \ $ { 1 3% }
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-{Welches Verhältnis besteht zwischen $s_0$ (maximale Hüllkurve des Sendesignals) und $g_0$ (maximale Hüllkurve der Teilsignale) ?
+{Welches Verhältnis besteht zwischen &nbsp;$s_0$&nbsp; (maximale Hüllkurve des Sendesignals) und &nbsp;$g_0$&nbsp; (maximale Hüllkurve der Teilsignale)?
 |type="{}"}
 $s_0/g_0 \ = \ $ { 1.414 3% }
-{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient im blauen Zeitintervall ($T < t < 2T$)?
+{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient &nbsp;$a$&nbsp; im blauen Zeitintervall &nbsp;$(T < t < 2T)$?
 |type="{}"}
 $a_{\rm I} \ = \ $ { 0.333 3% }
 $a_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3% }
-{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient im grünen Zeitintervall ($2T < t < 3T$)? Ermitteln Sie auch dessen Betrag und die Phasenlage.
+{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient &nbsp;$a$&nbsp; im grünen Zeitintervall &nbsp;$(2T < t < 3T)$? <br>Ermitteln Sie auch dessen Betrag und die Phasenlage.
 |type="{}"}
 $a_{\rm I} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
 $a_{\rm Q} \ = \ $ { 0.333 3% }
-{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient im violetten Zeitintervall ($3T < t < 4T$)?
+{Wie lautet der Amplitudenkoeffizient &nbsp;$a$&nbsp; im violetten Zeitintervall &nbsp;$(3T < t < 4T)$?
 |type="{}"}
 $a_{\rm I} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
 $a_{\rm Q} \ = \ $ { -0.343--0.323 }
-{Welche maximale Energie $E_\text{S, max}$ wird pro Symbol aufgewendet?
+{Welche maximale Energie &nbsp;$E_\text{S, max}$&nbsp; wird pro Symbol aufgewendet?
-<br>Unter welcher Voraussetzung ist die mittlere Energie pro Symbol gleich $E_\text{S, max}$?
+<br>Unter welcher Voraussetzung ist die mittlere Energie pro Symbol gleich &nbsp;$E_\text{S, max}$?
 |type="{}"}
 $E_\text{S, max} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$
-{Wie groß ist die maximale Energie $E_\text{B, max}$ pro Bit?
+{Wie groß ist die maximale Energie &nbsp;$E_\text{B, max}$&nbsp; pro Bit?
 |type="{}"}
 $E_\text{B, max} \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$
-{Wie groß ist die minimale Energie $E_\text{B, min}$ pro Bit?
+{Wie groß ist die minimale Energie &nbsp;$E_\text{B, min}$&nbsp; pro Bit?
 |type="{}"}
 $E_\text{B, min} \ = \ $ { 0.028 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^2 s$